Uiversidade de São Paulo Istituto de Física FÍSICA MODERNA I AULA 14 Profa. Márcia de Almeida Rizzutto Pelletro sala 114 rizzutto@if.usp.br 1o. Semestre de 014 Moitor: Gabriel M. de Souza Satos Págia do curso: ttp://disciplias.stoa.usp.br/course/view.pp?id=905 3/04/014
Regras de quatização de Wilso e Sommerfeld Em 1916, Wilso e Sommerfeld euciaram um cojuto de regra de quatização: Para qualquer sistema físico o qual as coordeadas são fuções periódica do tempo existe uma codição quâtica para cada coordeada dq q q q é uma coordeada, p q é o mometo associado a esta coordeada e, q é o úmero quâtico que toma apeas valores iteiros. sigifica que a itegração é tomada sobre um período da coordeada q. P
Regras de quatização de Wilso e Sommerfeld 3 P q dq q Exemplo: átomo de Hidrogêio Um elétro se movedo em uma órbita de raio r tem mometo agular costate L mvr A coordeada q é uma fução periódica do tempo (0 a p) Ldq L p 0 dq Lp L Lei de quatização de Bor
Regras de quatização de Wilso e Sommerfeld Uma iterpretação física da regra de quatização de Bor foi dada em 194 por de Broglie L pr mvr p p Mometo do elétro em uma órbita possível de raio r, r pr p 4 As órbitas possíveis são aquelas as quais as circuferêcias podem coter exatamete um úmero iteiro de comprimetos de oda de de Broglie Sommerfield trabalou com órbitas elípticas para o átomo de H e também levou em cota as correções relativísticas para a eergia do elétro. Usou isto como tetativa de explicar a estrutura fia do idrogêio (Estrutura fia é uma separação das lias espectrais em várias compoetes diferetes).
Órbitas elípticas de Sommerfeld Órbitas elípticas para o átomo de H. Classicamete sabemos que órbitas circulares e elípticas com o mesmo eixo maior tem a mesma eergia. No etato as correções relativísticas para a eergia ciética os dá pequeas difereças etre as eergias das órbitas circulares e elípticas. 5 q =1 q = q =1 q =3 q = q =1 A cada valor do úmero quâtico pricipal á diferetes órbitas possíveis E E E E E 3 E 1 Usou coordeadas polares Ldq P dr r E E 4 q r a Número quâtico azimutal b As várias órbitas caracterizadas por um mesmo valor de são ditas degeeradas
Órbitas elípticas de Sommerfeld 6 Número quâtico azimutal Usou coordeadas polares Ldq P dr r q r a b As várias órbitas caracterizadas por um mesmo valor de são ditas degeeradas 1) A primeira codição dá a mesma restrição para o mometo agular orbital L q q 1,,3... Que era obtida para a teoria da órbita circular ) A seguda codição (que ão era aplicável a órbita puramete circular) L( a / b 1) r r 0,1,,3... Que era obtida para a teoria da órbita circular
Órbitas elípticas de Sommerfeld Sommerfeld calculou os valores dos semi-eixos maior (a) e meor (b) que dão a forma e o tamao das órbitas elípticas e a eergia total E do elétro essa órbita a b E 4po Ze a q 1 4p o Z e 4 é a massa reduzida é o úmero quâtico: 1,,3... q q r 0,1,,3... 1,,3... r 7 As eergia são degeeradas q =1 =3, q=3 =3, q= =3, q=1 =, q= =, q=1 E E E E E 3 E 1 E E 4 =1, q=1
Órbitas elípticas de Sommerfeld tratadas relativisticamete O tamao real da correção depede da velocidade média do elétro que por sua vez depede da excetricidade da órbita, correções da ordem de v /c, era provável que a maior correção fosse a órbita muito excêtrica, porque v aumeta à medida que o elétro se aproxima do úcleo v ( mr mr 4po r1 a0 me v mr mke 1 m( ) 1) ke mke As lias tracejadas ão foram observadas os espectros e estas trasições ão ocorrem (regras de seleção): 1 q q v c i ke c f k 4 1 Z e Z 1 3 E 1 ( ) 4po q 4 é camada de costate de estrutura fia 1,44evm. 197,3evm. =3, q=3 =3, q= =3, q=1 =, q= =, q=1 =1, q=1 ke c 1 137 8
Pricípio de Correspodêcia Um postulado auxiliar proposto por Bor em 193, pode auxiliar a justificativa das regras de seleção: 1) Para grades úmeros quâticos, os cálculos quâticos e os clássicos devem levar aos mesmos resultados 9 ) Uma regra de seleção é válida para todos os úmeros quâticos possíveis. Portato, todas as regras de seleção que são ecessárias para obter a correspodêcia exigida o limite clássico ( grade ) também se aplica o limite quâtico A partir de espectro vibracioais de moléculas i f 1 pode-se dizer que os estados de eergia vibracioal para este sistema de moléculas são exatamete os mesmos de um oscilador armôico simples, pois a força que leva a separação de equilíbrio de dois átomos tem a mesma forma de uma força de restauração armôica
Vimos que os feômeos: Crítica da Teoria de Bor e da vela Mecâica quâtica 1) Radiação de corpo egro ) Efeito fotoelétrico 3) Efeito Compto 4) Espectro ótico do idrogêio 5) Espectros de raios X de muitos elemetos O SUCESSO da teoria de Bor: 1) várias lias espectrais descoecidas foram previstas e mais tarde observadas ) o raio da primeira órbita de Bor do idrogêio (0,053m) era compatível com o diâmetro coecido da molécula do idrogêio 3) os comprimetos de oda dos espectros característicos dos raios X puderam ser calculados 10 Puderam ser explicados pelas ipóteses de quatização Soma de ideias clássicas e quâticas coecidas como VELHA MECÂNICA QUANTICA O FRACASSO da teoria de Bor: 1) Não era possível calcular as probabilidades das trasições do espectro de H ) A teoria ão podia ser aplicada a sistema com mais de um elétro 3) Apresetava fala coceituais das validades das leis de Coulomb, de radiação e de Newto 4) Apeas certos mometos agulares poderiam ser permitidos
Durate a década de 190 proposta da mecâica odulatória (de Broglie, Scrödiger, Heiseberg, Pauli, Dirac e outros) Propriedades odulatórias da matéria Vimos que as partículas que costituem a matéria (elétro) possuem propriedades odulatórias QUESTÕES: 1) Como podemos descrever este elétro etão? ) O que seria esta oda que costitui o elétro 3) O elétro é uma oda se propagado em que meio? 4) Como descrever esta oda matematicamete? 11 Dualidade Oda-partícula
Associaremos uma fução de oda y (probabilidade da partícula ser observada em uma certa posição em um certo istate de tempo) Fução de oda que é solução da equação de oda Uma solução simples é a camada oda armôica Cujo o de oda Velocidade de fase ( x, t) p k v f 1 x v t x, t Acosk( x vt ) x, t Asek( x vt) x, t Acos( kx wt) Curva que viaja a direção de x positivo v é a velocidade de fase