Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Integral

Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Integral

Apostila Cálculo Diferencial e Integral I: Integral

Sumário 1 Integral 5 1.1 Antidiferenciação......................... 5 1.1.1 Exercícios......................... 16 1. Algumas Técnicas de Antidiferenciação............. 18 1..1 Exercícios......................... 30 1.3 Integração por Partes....................... 34 1.3.1 Exercícios......................... 41 1.4 Integração de Potências de Seno e Cosseno........... 43 1.4.1 Caso 1........................... 43 1.4. Caso........................... 44 1.4.3 Caso 3........................... 45 1.4.4 Caso 4........................... 45 1.4.5 Exercícios......................... 48 1.5 Integração de Potências da Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante............................. 50 1.5.1 Caso 1........................... 51 1.5. Caso........................... 53 1.5.3 Caso 3........................... 53 1.5.4 Caso 4........................... 54 1.5.5 Caso 5........................... 55 1.5.6 Caso 6:.......................... 56 1.5.7 Exercícios......................... 57 1.6 Integração por Substituição Trigonométrica........... 59 1.6.1 Caso 1........................... 59 1.6. Caso........................... 61 1.6.3 Caso 3........................... 63 1.6.4 Exercícios......................... 67 1.7 Integração das Funções Racionais por Frações Parciais.... 69 1.7.1 Quando o denominador tem somente Fatores Lineares. 69 1.7. Caso 1........................... 70 1.7.3 Caso........................... 73 1.7.4 Exercícios......................... 78 1.7.5 Quando o denominador contém Fatores Quadráticos.. 80 1.7.6 Caso 3........................... 80 1.7.7 Caso 4........................... 84 1.7.8 Exercícios......................... 90 Referências 9

Lista de Figuras 1 Exemplo 48............................. 60 Exemplo 48............................. 60 3 Exemplo 50............................. 63 4 Exemplo 50............................. 63 5 Exemplo 51............................. 65 6 Exemplo 51............................. 65 7 Exemplo 5............................. 66 8 Exemplo 5............................. 66 9 Exemplo 61............................. 86 10 Exemplo 61............................. 87

1 Integral 1.1 Antidiferenciação Você já está familiarizado com operações inversas. Adição e subtração, multiplicação e divisão, potenciação e radiciação são operações inversas. Nesta seção, vamos desenvolver a operação inversa da diferenciação chamada de antidiferenciação. Definição 1. Uma função F será chamada de antiderivada de uma função f num intervalo I se F (x) = f(x) para todo x em I. Ilustração 1. Se F for definida por F (x) = 4x 3 + x + 5, então, F (x) = 1x + x. Assim, se f for a função definida por f(x) = 1x + x, logo, afirmamos que f é a derivada de F e que F é uma antiderivada de f. Se G for a função definida por G(x) = 4x 3 + x 17 então, G também será uma antiderivada de f, pois G (x) = 1x + x. Na realidade, toda função cujos valores funcionais são dados por 4x 3 + x + C, onde C é uma constante qualquer, é uma antiderivada de f. Em geral, se uma função F for antiderivada de uma função f num intervalo I e se a função G for definida por G(x) = F (x) + C, onde C é uma constante arbitrária, então G (x) = F (x) = f(x), e G também será uma antiderivada de f no intervalo I. Apostila Integral 5

Teorema 1. a Se f e g forem duas funções, tais que f (x) = g (x) para todo x no intervalo I, então haverá uma constante K, tal que f(x) = g(x) + K, para todo x em I. a ver prova na página 86, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Teorema. a Se F for uma antiderivada particular de f em um intervalo I, então toda antiderivada de f em I será dada por F (x) + C, (1) onde C é uma constante arbitrária e todas as antiderivadas de f em I poderão ser obtidas de (1), atribuindo-se certos valores a C. a ver prova na página 87, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Antidiferenciação é o processo de encontrar o conjunto de todas as antiderivadas de uma dada função. O símbolo denota a operação de antidiferenciação e escrevemos f(x) = F (x) + C, () onde e De () e (3) podemos escrever F (x) = f(x), d(f (x)) = f(x). (3) d(f (x)) = F (x) + C. De acordo com essa fórmula, quando antidiferenciamos a diferencial de uma função, obtemos a própria função mais uma constante arbitrária. Assim, podemos considerar que o símbolo de antidiferenciação significa a operação inversa da operação denotada por d para o cálculo da diferencial. Se F (x)+c for o conjunto de todas as funções cuja diferencial é f(x), também será o conjunto de todas as funções cujas derivadas são f(x). Assim Apostila Integral 6

sendo, a antidiferenciação é considerada como a operação de encontrar o conjunto de todas as funções, tendo uma dada derivada. Como a antidiferenciação é a operação inversa da diferenciação, os teoremas sobre antidiferenciação podem ser obtidos dos teoremas sobre diferenciação. Assim sendo, os teoremas a seguir podem ser provados a partir dos teoremas correspondentes da diferenciação. Teorema 3. = x + C. Teorema 4. af(x) = a f(x), onde a é uma constante. O Teorema 4 estabelece que para determinar uma antiderivada de uma constante vezes uma função, achamos primeiro uma antiderivada da função, multiplicando-a, em seguida, pela constante. Teorema 5. Se f 1 e f estão definidas no mesmo intervalo, então [f 1 (x) + f (x)] = f 1 (x) + f (x). O Teorema 5 estabelece que para determinar uma antiderivada da soma de duas funções, achamos primeiro a antiderivada de cada uma das funções separadamente e então, somamos os resultados, ficando subentendido que ambas as funções estão definidas no mesmo intervalo. O Teorema 5 pode ser estendido a um número qualquer, finito, de funções. Teorema 6. Se f 1, f,..., f n estão definidas no mesmo intervalo, [c 1 f 1 (x) + c f (x) +... + c n f n (x)] = = c 1 f 1 (x) + c f (x) +... + c n f n (x), onde c 1, c,..., c n são constantes. Apostila Integral 7

Teorema 7. a Se n for um número racional, x n = xn+1 + C, n 1. n + 1 a ver prova na página 89, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Exemplo 1. Aplicando o Teorema 7, calcule para valores específicos de n: 1. x ;. x 3 ; 3. 1 x ; 4. 3 x. 1. x = x3 3 + C;. x 3 = x4 4 + C; 3. 1 x = x = x +1 + 1 + C = x 1 1 + C = 1 x + C; 4. 3 x = x 1 3 = x 1 3 +1 1 + 1 + C = x 3 4 3 4 3 + C = 3 4 x 4 3 + C. Apostila Integral 8

Exemplo. Utilize os Teoremas 3 até 7 para antidiferenciar (3x + 5). (3x + 5) = 3x + 5 (pelo Teorema 5) = 3 x + 5 (pelo Teorema 4) = ( ) x 3 + C 1 + 5(x + C ) (pelos Teoremas 7 e 3) = 3 x + 5x + (3C 1 + 5C ). Como 3C 1 + 5C é uma constante arbitrária, ela pode ser denotada por C; assim, o resultado pode ser escrito como 3 x + 5x + C. Pode-se conferir a resposta calculando sua derivada. ( ) 3 D x x + 5x + C = 3x + 5. Exemplo 3. Calcule (5x 4 8x 3 + 9x x + 7). = 5 x 4 8 (5x 4 8x 3 + 9x x + 7) = x 3 + 9 x x + 7 = 5. x5 5 8. x4 4 + 9. x3 3. x + 7x + C = x 5 x 4 + 3x 3 x + 7x + C. Apostila Integral 9

Exemplo 4. Calcule ( x x + 1 ) x. ( x x + 1 ) x = = x 1 (x + x 1 ) (x 3 + x 1 ) = x 5 5 + x 1 1 + C = 5 x 5 + x 1 + C. Exemplo 5. Calcule 5t + 7 dt. t 4 3 5t + 7 t 1 dt = 5 dt + 7 dt t 4 3 t 4 3 t 4 3 = 5 t 3 dt + 7 t 4 3 dt ( ) ( ) t 5 3 t 1 3 = 5 + 7 + C = 5 5 3 ( 3 5 t 5 3 = 3t 5 3 1 t 1 3 1 3 ) + 7( 3t 1 3 ) + C + C. Apostila Integral 10

Os teoremas para a antiderivada das funções seno e cosseno seguem imediatamente dos teoremas correspondentes para diferenciação. Teorema 8. a sen x = cos x + C. a ver prova na página 91, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Teorema 9. a cos x = sen x + C. a ver prova na página 91, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Os teoremas a seguir são consequências dos teoremas para as derivadas das funções tangente, cotangente, secante e cossecante. As demonstrações também são imediatas, obtidas com o cálculo da derivada do segundo membro das fórmulas. Teorema 10. sec x = tan x + C. Teorema 11. cosec x = cotan x + C. Teorema 1. sec x tan x = sec x + C. Teorema 13. cosec x cotan x = cosec x + C. Apostila Integral 11

Exemplo 6. Calcule (3 sec x tan x 5 cosec x). Aplicando os Teoremas 1 e 11, (3 sec x tan x 5 cosec x) = 3 sec x tan x 5 cosec x = 3 sec x 5( cotan x) + C = 3 sec x + 5 cotan x + C. As identidades trigonométricas são frequentemente usadas quando calculamos antiderivadas envolvendo funções trigonométricas. As oito identidades fundamentais a seguir são cruciais: sen x cosec x = 1; tan x = sen x cos x ; sen x + cos x = 1; cos x sec x = 1; cotan x = cos x sen x ; tan x + 1 = sec x; tan x cotan x = 1; cotan x + 1 = cosec x. Exemplo 7. Calcule cotan x 3 sen x sen x. cotan x 3 sen x sen x = Apostila Integral 1

= = 1 sen x sen x. cotan x 3 sen x sen x cosec x cotan x 3 = ( cosec x) 3( cos x) + C (dos Teoremas 13 e 8) = cosec x + 3 cos x + C. Exemplo 8. Calcule (tan x + cotan x + 4). (tan x + cotan x + 4) = = = [(sec x 1) + (cosec x 1) + 4] sec x + cosec x + = tan x cotan x + x + C (dos Teoremas 10 e 11). Frequentemente, em aplicações envolvendo antidiferenciação, desejamos encontrar uma antiderivada específica que satisfaça determinadas condições chamadas inicial 1 ou lateral, conforme elas ocorrem no ponto inicial ou para os pontos extremos do intervalo de definição da variável. Por exemplo, se uma equação envolvendo dy for dada, bem como a condição inicial de que y = y 1 quando x = x 1, então depois que o conjunto de todas as antiderivadas for encontrado, se x e y forem substituídos por x 1 e y 1, iremos determinar um valor específico da constante arbitrária C. Com esse valor de C, uma determinada antiderivada é obtida. 1 também conhecida como condição de Cauchy. também conhecida como condição de contorno, de fronteira ou de extremos. Apostila Integral 13

Ilustração. Suponha que desejemos encontrar uma determinada função y(x) satisfazendo a equação dy = x (ou seja, uma antiderivada da função f(x) = x) e a condição inicial de que y = 6 quando x =. Da fórmula y = x, temos y = x + C. (4) Em (4), substituímos x por e y por 6, obtendo 6 = 4 + C C =. Quando esse valor de C é substituído em (4), obtemos y = x +, que dá a antiderivada desejada. Exemplo 9. Em qualquer ponto (x, y) de uma determinada curva, a reta tangente tem uma inclinação igual a 4x 5. Se a curva contém o ponto (3, 7), ache sua equação. Como a inclinação da reta tangente a uma curva em qualquer ponto (x, y) é o valor da derivada nesse ponto, temos dy = 4x 5 y = (4x 5) y = ( ) x 4 5x + C y = x 5x + C. (5) Apostila Integral 14

A equação (5) representa uma família de curvas. Como queremos determinar uma certa curva dessa família que contenha o ponto (3, 7), substituímos x por 3 e y por 7 em (5), obtendo 7 = (9) 5(3) + C 7 = 18 15 + C C = 4. Substituindo C por 4 em (5), iremos obter a equação da curva pedida, que é y = x 5x + 4. Teorema 14. a x = ax ln a + C. Exemplo 10. Calcule e x. De acordo com o Teorema 14, e x = ex ln e + C = ex + C. Exemplo 11. Calcule 1 x 1 x, para x > 0. = (ln x) + C, para x > 0, pois (ln x + C) = 1 x. Apostila Integral 15

1.1.1 Exercícios 1. Faça a antidiferenciação e, calculando a derivada de sua resposta, verifique o resultado. (i) (3 t + t ) dt. (a) 3x 4. (j) (b) (4x 3 3x + 6x 1). x 7. (k) (c) 1 x. (8x 4 + 4x 3 6x 4x + 5). 3 (d) 3 t dt. 5 (e) (f) (g) (h) 5u 3 du. 10 3 x. 7 3 x. 3 y dy. (l) ( + 3x 8x 3 ). (m) sen x cos x. (n) cos x sen x. (o) (p) (4 cosec x cotan x + sec x). (3 cosec t 5 sec t tan t) dt. Apostila Integral 16

. Encontre a antiderivada. (a) 6t 3 t dt. (b) 7x 3 x. (c) (4x 3 + x ). (d) (3u 5 u 3 ) du. (e) y 3 (y 3) dy. (k) (l) (m) (n) (o) ( x + 3 ) 3 x + 5 (3 1x 4 + 1x ) x + 4x 4 x y 4 + y 1 y ( 3 x + 1 x ). dy.... (f) x 4 (5 x ). (p) 7t 3 1 3 t dt. (g) x(x + 1). (q) (3 sen t cos t) dt. (h) (ax + bx + c). (r) (5 cos x 4 sen x). (i) (j) (x 3 x). ( x 1 x ). (s) (t) ( cotan θ 3 tan θ) dθ. 3 tan θ 4 cos θ dθ. cos θ Apostila Integral 17

1. Algumas Técnicas de Antidiferenciação Muitas antiderivadas não podem ser encontradas diretamente com a aplicação dos teoremas vistos na Seção 1.1. Então, faz-se necessário aprender certas técnicas que podem ser usadas no cálculo de tais antiderivadas. Nesta seção serão apresentadas técnicas que requerem a regra da cadeia para a antidiferenciação e aquelas que envolvem uma mudança de variável. Ilustração 3. Para diferenciar 1 10 (1 + x ) 10 aplicamos a regra da cadeia para a diferenciação e obtemos D x [ 1 10 (1 + x ) 10 ] = (1 + x ) 9 (x). Suponha que desejamos antidiferenciar (1 + x ) 9 (x). Então, precisamos calcular (1 + x ) 9 (x ). (6) Para chegarmos a um procedimento que possa ser usado em tal situação, seja g(x) = 1 + x e g (x) = x. (7) Então, (6) pode ser escrita como [g(x)] 9 [g (x) ]. (8) Do Teorema 7, u 9 du = 1 10 u10 + C. (9) Observe que (8) é da mesma forma que o primeiro membro de (9). Assim, [g(x)] 9 [g (x) ] = 1 10 [g(x)]10 + C, e com g(x) e g (x) dados em (7), temos (1 + x ) 9 (x ) = 1 10 (1 + x ) 10 + C. Apostila Integral 18

Teorema 15. A Regra da Cadeia para a Antidiferenciação a : Seja g uma função diferenciável e seja o intervalo I a imagem de g. Suponha que f seja uma função definida em I e que F seja uma antiderivada de f em I. Então, f(g(x))[g (x) ] = F (g(x)) + C. a ver prova na página 96, Livro : O Cálculo com Geometria Analítica, 3 a edição, Louis Leithold. Como caso particular do Teorema 15, a partir do Teorema 7, temos a fórmula da potência generalizada para antiderivadas que será enunciada a seguir. Teorema 16. Se g for uma função diferenciável e se n for um número racional, [g(x)] n [g (x) ] = [g(x)]n+1 + C, n 1. n + 1 Exemplo 1. Calcule 3x + 4. Para aplicar o Teorema 16, escrevemos primeiro 3x + 4 = (3x + 4) 1. Observamos que, se g(x) = 3x + 4, então g (x) = 3. (10) Logo, precisamos de um fator de 3 que acompanhe para dar g (x). Assim sendo, (3x + 4) 1 = (3x + 4) 1 1 (3 ) 3 = 1 (3x + 4) 1 (3 ). 3 Apostila Integral 19

Do Teorema 16, com g(x) e g (x) dados por (10), temos 3 1 (3x + 4) 1 1 (3x + 4) (3 ) =. 3 + C 3 3 = 9 (3x + 4) 3 + C. Exemplo 13. Ache x (5 + x 3 ) 8. Observe que, se g(x) = 5 + x 3, então g (x) = 6x. (11) Como x (5 + x 3 ) 8 = (5 + x 3 ) 8 (x ), precisamos de um fator 6 que acompanhe x para obter g (x). Assim, escrevemos x (5 + x 3 ) 8 = 1 (5 + x 3 ) 8 (6x ). 6 Aplicando o Teorema 16 com g(x) e g (x) dado em (11), obtemos 1 (5 + x 3 ) 8 (6x ) = 1 6 6. (5 + x3 ) 9 + C 9 = 1 54 (5 + x3 ) 9 + C. A regra da cadeia para antidiferenciação (Teorema 15) é f(g(x))[g (x) ] = F (g(x)) + C, onde F é uma antiderivada de f. Se nessa fórmula f for a função cosseno, então F será a função seno e teremos cos(g(x))[g (x) ] = sen(g(x)) + C. (1) Apostila Integral 0

Exemplo 14. Calcule x cos x. Se Como g(x) = x, então g (x) = x. (13) x cos x = (cos x )(x ), precisamos de um fator de acompanhando x para obter g (x). Assim, x cos x = 1 (cos x )(x ). Aplicando (1) com g(x) e g (x) dados por (13), iremos obter 1 (cos x )(x ) = 1 sen x + C. Exemplo 15. Calcule 4x (1 8x 3 ) 4. Como D x (1 8x 3 ) = 4x, escreveremos 4x = 4 (1 8x 3 ) 4 (x ) (1 8x 3 ) 4 ( = 4 1 ) (1 8x 3 ) 4 ( 4x ) 4 = 1 6. (1 8x3 ) 3 3 + C = 1 18(1 8x 3 ) 3 + C. Apostila Integral 1

Observação: Os resultados de cada um dos exemplos resolvidos anteriormente podem ser verificados através do cálculo da derivada da resposta. Em um exemplo resolvido anteriormente tínhamos x (5 + x 3 ) 8 = 1 54 (5 + x3 ) 9 + C. Verificando por diferenciação, obtemos D x [ 1 54 (5 + x3 ) 9 ] = 1 54. 9(5 + x3 ) 8 (6x ) = x (5 + x 3 ) 8. Algumas vezes é possível calcular uma antiderivada após efetuarmos a mudança de uma variável, conforme mostra o Exemplo 16. Exemplo 16. Calcule x 1 + x. Seja u = 1 + x; du = ; x = u 1. Temos x 1 + x = (u 1) u 1 du = (u u + 1)u 1 du = u 5 du u 3 du + u 1 du = u 7 7. u 5 5 + u 3 3 + C = 7 (1 + x) 7 4 5 (1 + x) 5 + 3 (1 + x) 3 + C. Observação: tomar Um método alternativo para a solução do Exemplo 16 é v = 1 + x; v = 1 + x; x = v 1; = v dv. Apostila Integral

O cálculo, então, é feito da seguinte forma: x 1 + x = (v 1). v. (v dv) = v 6 dv 4 v 4 dv + v dv = 7 v7 4 5 v5 + 3 v3 + C = 7 (1 + x) 7 4 5 (1 + x) 5 + 3 (1 + x) 3 + C. Verificando por diferenciação, obtemos [ ] D x 7 (1 + x) 7 4 5 (1 + x) 5 + 3 (1 + x) 3 = = (1 + x) 5 3 1 (1 + x) + (1 + x) = (1 + x) 1 [(1 + x) (1 + x) + 1] = (1 + x) 1 [1 + x + x x + 1] = x 1 + x. Exemplo 17. Calcule sen x x. Seja u = x e du = 1 x. Logo, sen x = x = sen ( ) 1 x x sen u du = cos u + C = cos x + C. Apostila Integral 3

Exemplo 18. Calcule sen x 1 cos x. Seja u = 1 cos x e du = sen x. Assim, sen x 1 cos x = u 1 du = 3 u 3 + C = 3 (1 cos x) 3 + C. Exemplo 19. Calcule tan x sec x por dois métodos: (a) Faça u = tan x; (b) Faça v = sec x; (c) Explique a diferença nas respostas de (a) e de (b). (a) Se u = tan x, então du = sec x. Temos tan x sec x = u du = u + C = 1 tan x + C. Apostila Integral 4

(b) Se v = sec x, então dv = sec x tan x. Assim, tan x sec x = sec x(sec x tan x ) = v dv = v + C = 1 sec x + C. (c) Como sec x = 1 + tan x, as funções definidas por 1 tan x e 1 sec x diferem por uma constante e, assim sendo, cada uma serve como antiderivada de tan x sec x. Além disso, podemos escrever 1 sec x + C = 1 (tan x + 1) + C = 1 tan x + 1 + C = 1 tan x + K, onde K = 1 + C. Exemplo 0. Seja α 0 uma constante. Verifique que e αx = 1 α eαx + C. Assim, [ ] 1 α eαx = 1 α [eαx ] = 1 α eαx α = e αx. e αx = 1 α eαx + C. Apostila Integral 5

Exemplo 1. Calcule e x. De acordo com o Exemplo 0, e αx = 1 α eαx + C, logo, e x = 1 ex + C. Observação: Uma outra forma de resolver o Exemplo 1 é fazendo uma mudança de variável. Sendo u = x, du =. Fazendo a substituição em e x, temos que e u du = 1 e u du = 1 eu + C = 1 ex + C. Exemplo. Seja α 0 uma constante. Verifique que cos αx = 1 sen αx + C. α Assim, [ ] 1 sen αx = 1 α α sen αx. (αx) = cos αx. cos αx = 1 sen αx + C. α Apostila Integral 6

Exemplo 3. Calcule cos 3x. De acordo com o Exemplo, cos αx = 1 α sen αx + C = 1 sen 3x + C. 3 Observação: Uma outra forma de resolver o Exemplo 3 é fazendo uma mudança de variável. Sendo u = 3x, du = 3. Fazendo a substituição em cos 3x, temos que cos u du 3 = 1 cos u du = 1 3 3 sen u + C = 1 sen 3x + C. 3 Exemplo 4. Calcule sen 5x. Seja u = 5x, du = 5. Fazendo a substituição em sen 5x, temos que sen u du 5 = 1 sen u du = 1 5 5 cos u + C = 1 cos 5x + C. 5 Apostila Integral 7

Exemplo 5. Encontre x 3 cos(x 4 + ). Fazemos a substituição u = x 4 + porque sua diferencial é du = 4x 3, que, à parte do fator constante 4, ocorre na integral. Assim, usando x 3 = du 4, fazendo uma mudança de variável, temos x 3 cos(x 4 + ) = cos u. 1 4 du = 1 4 = 1 4 sen u + C = 1 4 sen(x4 + ) + C. cos u du Exemplo 6. Calcule x 1 4x. Seja u = 1 4x. Então du = 8x, portanto x = 1 8 du e x = 1 1 4x 8 = 1 8 1 u du u 1 du = 1 8 ( u) + C = 1 4 1 4x + C. Apostila Integral 8

Exemplo 7. Calcule tan x. Vamos escrever primeiro a tangente em termos de seno e cosseno: sen x tan x = cos x. Isso sugere que devemos substituir u = cos x, visto que du = sen x e, portanto, sen x = du: sen x du tan x = cos x = u = ln u + C = ln cos x + C. ( Uma vez que ln cos x = ln( cos x 1 ) = ln resultado do Exemplo 7 pode também ser escrito como tan x = ln sec x + C. 1 cos x ) = ln sec x, o Apostila Integral 9

1..1 Exercícios 1. Efetue a antidiferenciação. (a) 1 4y dy. (k) y 3 dy (1 y 4 ) 5. (b) 3 3x 4. (l) s ds 3s + 1. (c) 3 6 x. (m) (x 4x + 4) 4 3. (d) 5r + 1 dr. (n) x 4 3x 5 5. (e) x x 9. (o) x x +. (f) 3x 4 x. (p) t dt t + 3. (g) (h) x (x 3 1) 10. x(x + 1) 6. (q) (r) r dr (1 r) 7. x 3 ( x ) 1. (i) 5x 3 (9 4x ). (s) x 3 x. (j) x (x + 1) 3. (t) (x 3 + 3) 1 4 x 5. Apostila Integral 30

(u) (v) cos 4θ dθ. sen 1 3 x. (x) 1 t cos 4t dt. (y) sec 5x. (w) 6x sen x 3. (z) cosec θ dθ.. Encontre a antiderivada. (a) y cosec 3y cotan 3y (i) dy. (b) (c) r sec r 3 dr. cos x( sen x) 5. (d) 4 sen x (1 + cos x). (e) (f) (g) (h) 1 + 1 3x x. 1 t 1 dt t. sen x 3 1 + cos x. sen x cos x. (j) (k) (l) (m) (n) (o) cos t sen t dt. sen 3 θ cos θ dθ. (tan x + cotan x). 1 cos 1 4 x sen 14 x. cos 3x 1 sen 3x. sec 3 t t dt. (x + x) x3 + 3x + 1. Apostila Integral 31

(p) (q) (r) x(x + 1) (v) 4 x x 4. x(3x + 1) (3x 4 + x + 1). 3 + s(s + 1) ds. (w) ( t + 1 ) 3 ( ) t 1 t t x 3. (x + 4) 3 dt. (s) (t) (u) (y + 3) dy. (3 y) 3 (t + 1) 1 3 t 3 dt. 1 (r 3 + ) 4 dr 3. r (x) (y) (z) x 3 1 x. sen x sen(cos x). sec x tan x cos(sec x). 3. Calcule a antiderivada das funções e verifique sua resposta por derivação. (a) (f) e x. e x. (b) e 5x. (g) sen x. (c) (e x + e 4x ). (h) cos 5x. (d) ( 1 x + 1 ) e x. (i) sen 4t dt. (e) ( 3 x + ) x 3. (j) cos 7t dt. Apostila Integral 3

(k) cos 3t dt. (l) (m) (n) (o) (p) ( 1 1 ) cos x (x + 15 cos 3x ) sen x cos x... ( 1 3 cos 8x 1 ) sen 7x 7 ( ) 1 3 e3x + sen 3x.. Apostila Integral 33

1.3 Integração por Partes Da fórmula da derivada do produto de duas funções obtemos um método de integração muito útil chamado integração por partes. Se f e g forem funções diferenciáveis, então D x [f(x)g(x)] = f(x)g (x) + g(x)f (x) f(x)g (x) = D x [f(x)g(x)] g(x)f (x). Integrando ambos os membros, iremos obter f(x)g (x) = D x [f(x)g(x)] g(x)f (x) f(x)g (x) = f(x)g(x) g(x)f (x). (14) Chamaremos (14) de fórmula de integração por partes. Para propósitos de cálculo existe uma maneira mais conveniente de escrever essa fórmula, tomando u = f(x) e v = g(x). Então du = f (x) e dv = g (x). Assim sendo, (14) torna-se u dv = uv v du. (15) Essa fórmula expressa a integral u dv em termos de uma outra integral, v du. Escolhendo adequadamente u e dv, pode ser mais fácil calcular a segunda integral do que a primeira. Quando escolhemos as substituições para u e dv, em geral pretendemos que dv seja o fator do integrando mais complicado do que se possa integrar diretamente, e que u seja uma função cuja derivada seja uma função mais simples. Apostila Integral 34

Exemplo 8. Calcule x ln x. Para determinar quais as substituições para u e dv, deve-se ter em mente que para encontrar v é preciso saber integrar dv. Isso sugere que dv = x e u = ln x. Então, Da fórmula (15), x ln x = ln x v = x + C 1 e du = x. ( ) x ( ) x + C 1 + C 1 x x C 1 x = x ln x + C 1 ln x 1 = x ln x + C 1 ln x x 4 C 1 ln x + C = 1 x ln x 1 4 x + C. No Exemplo 8, observe que a primeira constante de integração C 1 não aparece na resposta final. C 1 foi usada somente para mostrar que todas as escolhas de v da forma 1 x +C 1 produzem o mesmo resultado para x ln x. Essa situação é válida em geral e provamos isso da seguinte forma: escrevendo v + C 1 na fórmula (15), teremos u dv = u(v + C 1 ) (v + C 1 ) du = uv + C 1 v v du C 1 du = uv + C 1 u v du C 1 u = uv v du. Assim sendo, é desnecessário escrever C 1 quando calcularmos v a partir de dv. Apostila Integral 35

Observação: A resposta do Exemplo 8 pode ser escrita como 1 x (ln x 1 ) + C. Esse resultado pode ser verificado calculando a derivada de um produto. [ ] 1 D x x (ln x 1) = 1 ( ) ( 1 x + x ln x 1 ) x = 1 x + x ln x 1 x = x ln x. Exemplo 9. Calcule x 3 e x. Usamos integração por partes com dv = xe x v = 1 ex e du = x. Da fórmula (15) ( ) 1 x 3 e x = x ex = 1 x e x e u = x. Então, ( ) 1 ex x xe x = 1 x e x 1 ex + C. Apostila Integral 36

Exemplo 30. Calcule x cos x. Seja u = x e dv = cos x. Então, du = e v = sen x. Assim, x cos x = x sen x sen x = x sen x + cos x + C. Observação: No Exemplo 30, se para u e dv tivéssemos escolhido u = cos x e dv = x, então, du = sen x e v = 1 x. Assim, x cos x = x cos x + 1 x sen x. A integral do segundo membro é mais complicada do que a que tínhamos inicialmente, indicando assim que as escolhas feitas para u e dv não são boas. Pode acontecer que determinada integral exija repetidas aplicações da integração por partes. Exemplo 31. Calcule x e x. Seja u = x e dv = e x. Então, du = x e v = e x. Apostila Integral 37

Temos assim, x e x = x e x xe x. Vamos aplicar a integração por partes ao segundo membro. Seja u = x e dv = e x. Então, du = e v = e x. Obtemos assim, xe x = xe x e x = xe x e x + C. Logo, x e x = x e x (xe x e x + C) = x e x xe x + e x + C, onde C = C. A integração por partes é frequentemente usada quando o integrando envolve logaritmos, funções trigonométricas inversas e produtos de funções. Exemplo 3. Calcule tan 1 x. Seja u = tan 1 x e dv =. Então, Assim, du = 1 + x e v = x. tan 1 x = x tan 1 x x 1 + x = x tan 1 x 1 ln(1 + x ) + C. Apostila Integral 38

Exemplo 33. Calcule e x sen x. Seja u = e x e dv = sen x. Então, du = e x e v = cos x. Logo, e x sen x = e x cos x + e x cos x. A integral do segundo membro é semelhante à primeira integral, exceto que em vez de sen x temos cos x. Aplicamos a integração por partes novamente, sendo u = e x e dv = cos x. Então, du = e x e v = sen x. Assim, e x sen x = e x cos x + ( e x sen x ) e x sen x. Agora temos no segundo membro a mesma integral que no primeiro. Assim, se somarmos e x sen x a ambos os membros da igualdade, teremos e x sen x = e x cos x + e x sen x + C. Observe que o segundo membro da igualdade acima tem uma constante arbitrária, pois no primeiro membro temos uma integral indefinida. Essa constante arbitrária foi escrita como C; assim, quando dividirmos por os membros da igualdade, a constante arbitrária na resposta será C. Assim temos e x sen x = 1 ex (sen x cos x) + C. Apostila Integral 39

Ao aplicarmos a integração por partes em uma dada integral, um determinado par de escolhas para u e dv pode funcionar, enquanto que outro par pode falhar. Observação: No Exemplo 33, na etapa em que tínhamos e x sen x = e x cos x + e x cos x, se calcularmos a integral à direita tomando u = cos x e dv = e x cos x, temos du = sen x e v = e x. Assim, iremos obter ( e x sen x = e x cos x + e x cos x + = e x sen x. ) e x sen x Apostila Integral 40

1.3.1 Exercícios 1. Calcule a integral indefinida. (a) xe 3x. (j) x ln x. (b) x cos x. (k) xe x (x + 1). (c) x sec x tan x. (l) x sen 3x. (d) x3 x. (m) sen x ln(cos x). (e) ln x. (n) sen(ln x). (f) sen 1 w dw. (o) e x cos x. (g) (ln x). (p) x 5 e x. (h) x sec x. (q) x 3 1 x. (i) x tan 1 x. (r) sen x e x. Apostila Integral 41

(s) e x 1 e x. (t) cotan 1 z z dz. (u) (v) (w) cos 1 x. cos x. tan 1 x. Apostila Integral 4

1.4 Integração de Potências de Seno e Cosseno Vamos considerar quatro casos de integrais indefinidas envolvendo potências de seno e cosseno, conforme as potências sejam pares ou ímpares. 1.4.1 Caso 1 sen n u du ou cos n u du, onde n é um inteiro ímpar. Exemplo 34. Calcule cos 3 x. cos 3 x = cos x(cos x ) = (1 sen x)(cos x ) cos 3 x = cos x sen x cos x. (16) Para a segunda integral do lado direito de (16) observe que sendo D x (sen x) = cos x, temos sen x(cos x ) = 1 3 sen3 x + C 1. Como a primeira integral do lado direito de (16) é sen x + C, cos 3 x = sen x 1 3 sen3 x + C. Apostila Integral 43

Exemplo 35. Calcule sen 5 x. sen 5 x = (sen x) sen x = (1 cos x) sen x = (1 cos x + cos 4 x) sen x = sen x cos x sen x + = cos x + cos x( sen x ) cos 4 x sen x cos 4 x( sen x ) = cos x + 3 cos3 x 1 5 cos5 x + C. 1.4. Caso sen n x cos m x, onde pelo menos um dos expoentes é ímpar. A solução desse caso é semelhante à do Caso 1. Exemplo 36. Calcule sen 3 x cos 4 x. sen 3 x cos 4 x = = sen x cos 4 x(sen x ) (1 cos x) cos 4 x(sen x ). Apostila Integral 44

sen 3 x cos 4 x = cos 4 x sen x cos 6 x sen x = 1 5 cos5 x + 1 7 cos7 x + C. 1.4.3 Caso 3 sen n u du e cos n u du, onde n é um inteiro par. O método usado no Caso 1 e no Caso não funciona nesse caso. Usaremos as seguintes identidades trigonométricas: sen x = 1 cos x e cos x = 1 + cos x. Exemplo 37. Calcule sen x. sen x = 1 cos x = 1 x 1 sen x + C. 4 1.4.4 Caso 4 sen n x cos m x, ambos m e n são pares. A solução deste caso é semelhante à do Caso 3. Apostila Integral 45

Exemplo 38. Calcule sen x cos 4 x. sen x cos 4 x = ( ) ( ) 1 cos x 1 + cos x = = 1 + 1 cos x 1 cos x 1 cos 3 x 8 8 8 8 = 1 8 x + 1 16 sen x 1 1 + cos 4x 1 (1 sen x) cos x 8 8 = x sen x + x sen 4x 1 cos x + 1 sen x cos x 8 16 16 64 8 8 = x sen x sen 4x sen x + + sen3 x + C 16 16 64 16 48 = x 16 + sen3 x sen 4x + C. 48 64 Exemplo 39. Calcule sen 4 x cos 4 x. Se usarmos a identidade sen x cos x = 1 sen x, teremos sen 4 x cos 4 x = 1 sen 4 x 16 ( ) 1 cos 4x. = 1 16 Apostila Integral 46

sen 4 x cos 4 x = 1 (1 cos 4x) 16 4 = 1 1 cos 4x + 1 cos 4x 64 3 64 = x sen 4x 64 18 + 1 1 + cos 8x 64 = x sen 4x 64 18 + x sen 8x + 18 104 + C = 3x sen 4x sen 8x + 18 18 104 + C. O Exemplo 40 envolve um outro tipo de integral contendo um produto de seno e cosseno. Exemplo 40. Calcule sen 3x cos x. Vamos usar a seguinte identidade trigonométrica: sen mx cos nx = 1 sen(m n)x + 1 sen(m + n)x. ( 1 sen 3x cos x = sen x + 1 ) sen 5x = 1 sen x + 1 sen 5x = 1 cos x 1 cos 5x + C. 10 Apostila Integral 47

1.4.5 Exercícios 1. Calcule a integral indefinida. (a) sen 4 x cos x. (k) sen x cos 3 x. (b) sen 5 x cos x. (l) cos 6 x. (c) cos 3 4x sen 4x. (m) sen 5 x cos x. (d) cos 6 1 x sen 1 x. (n) sen t cos 4 t dt. (e) sen 3 x. (o) sen 3t cos 3t dt. (f) sen 3x. (p) cos z sen 3 z dz. (g) sen 4 z dz. (q) cos 3 3x 3 sen 3x. (h) cos 5 x. (r) sen 3 1 y cos 1 y dy. (i) cos 1 x. (s) cos 4x sen 3x. (j) sen 3 x cos 3 x. (t) sen x cos 4x. Apostila Integral 48

(u) (v) sen 3y cos 5y dy. cos t cos 3t dt. (w) (x) (sen 3t sen t) dt. sen x sen 3x sen 5x. Apostila Integral 49

1.5 Integração de Potências da Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Vamos lembrar as seguintes fórmulas envolvendo tangente, cotangente, secante e cossecante: tan u du = ln sec u + C. sec u du = ln sec u + tan u + C. sec u du = tan u + C. sec u tan u du = sec u + C. cotan u du = ln sen u + C. cosec u du = ln cosec u cotan u + C. cosec u du = cotan u + C. cosec u cotan u du = cosec u + C. Com essas fórmulas e as identidades trigonométricas 1 + tan u = sec u e 1 + cotan u = cosec u, é possível calcular integrais da forma tan m u sec n u du e onde m e n são inteiros não-negativos. cotan m u cosec n u du, (17) Apostila Integral 50

Exemplo 41. Calcule: (a) tan x ; (a) cotan x. (a) tan x = = (sec x 1) sec x = tan x x + C. (b) cotan x = (cosec x 1) = cosec x = cotan x x + C. Vamos distinguir agora os vários casos das integrais da forma (17). 1.5.1 Caso 1 tan n u du ou cotan n u du, onde n é um inteiro positivo. Escrevemos, tan n u = tan n u tan u = tan n u(sec 1); cotan n u = cotan n u cotan u = cotan n u(cosec 1). Apostila Integral 51

Exemplo 4. Calcule tan 3 x. tan 3 x = = tan x(sec x 1) tan x sec x tan x = 1 tan x + ln cos x + C. Exemplo 43. Calcule cotan 4 3x. cotan 4 3x = cotan 3x(cosec 3x 1) = cotan 3x cosec 3x cotan 3x = 1 9 ( cotan3 3x) (cosec 3x 1) = 1 9 cotan3 3x + 1 cotan 3x + x + C. 3 Apostila Integral 5

1.5. Caso sec n u du ou cosec n u du, onde n é um inteiro par positivo. Escrevemos sec n u = sec n u sec u = (tan u + 1) n sec u; cosec n u = cosec n u cosec u = (cotan u + 1) n cosec u. Exemplo 44. Calcule cosec 6 x. cosec 6 x = = = (cotan x + 1) cosec x cotan 4 x cosec x + cotan x cosec x + cosec x = 1 5 cotan5 x 3 cotan3 x cotan x + C. 1.5.3 Caso 3 sec n u du ou cosec n u du, onde n é um inteiro ímpar positivo. Para integrar potências ímpares de secante e cossecante, usaremos integração por partes. Apostila Integral 53

Exemplo 45. Calcule sec 3 x. Seja u = sec x e dv = sec x. Então, du = sec x tan x e v = tan x. Logo, sec 3 x = sec x tan x = sec x tan x = sec x tan x sec x tan x sec x(sec x 1) sec 3 x + sec x. Somando sec 3 x a ambos os membros, obtemos sec 3 x = sec x tan x + ln sec x + tan x + C sec 3 x = 1 sec x tan x + 1 ln sec x + tan x + C. 1.5.4 Caso 4 tan m u sec n u du ou cotan m u cosec n u du, onde n é um inteiro par positivo. Apostila Integral 54

Exemplo 46. Calcule tan 5 x sec 4 x. tan 5 x sec 4 x = = tan 5 x(tan x + 1) sec x tan 7 x sec x + tan 5 x sec x = 1 8 tan8 x + 1 6 tan6 x + C. 1.5.5 Caso 5 tan m u sec n u du ou cotan m u cosec n u du, onde m é um inteiro ímpar positivo. Exemplo 47. Calcule tan 5 x sec 7 x. tan 5 x sec 7 x = = = = tan 4 x sec 6 x sec x tan x (sec x 1) sec 6 x(sec x tan x ) sec 10 x(sec x tan x ) sec 8 x(sec x tan x ) + sec 6 x(sec x tan x ) = 1 11 sec11 x 9 sec9 x + 1 7 sec7 x + C. Apostila Integral 55

1.5.6 Caso 6: tan m u sec n u du ou cotan m u cosec n u du, onde m é um inteiro par positivo e n é um inteiro ímpar positivo. O integrando pode ser expresso em termos de potências ímpares de secante ou cossecante. Por exemplo, tan x sec 3 x = (sec x 1) sec 3 x = sec 5 x sec 3 x. Para calcular cada uma dessas integrais usamos integração por partes, conforme foi indicado no Caso 3. Apostila Integral 56

1.5.7 Exercícios 1. Calcule a integral indefinida. (a) tan 5x. (b) cotan 4t dt. (c) x cotan x. (d) e x tan (e x ). (e) cotan 3 t dt. (k) (l) (m) (n) (o) e x tan 4 (e x ). sec 4 (ln x). x tan 6 x sec 4 x. tan 5 x sec 3 x. (sec 5x + cosec 5x). (f) (g) (h) (i) (j) tan 4 x. cotan 5 x. sec 4 x. cosec 4 x. sec 5 x. (p) (q) (tan x + cotan x). 1 + cos x. (r) sen(w) 1 (s) (t) cos w tan 3 x x. tan 5 3x. dw. Apostila Integral 57

(u) (v) (w) (x) (y) (z) tan 4 y sec 5 y dy. du 1 + sec 1 u. cosec 4 x cotan x. sec 3 x tan 4 x. sen πx cos 6 πx. tan 3 (ln x) sec 6 (ln x) x. Apostila Integral 58

1.6 Integração por Substituição Trigonométrica Se o integrando contiver expressões do tipo a u, a + u, ou u a, onde a > 0, em geral é possível efetuar a integração através de uma substituição trigonométrica que levará a uma integral envolvendo funções trigonométricas. Vamos considerar cada forma como um caso separado. 1.6.1 Caso 1 O integrando contém uma expressão da forma a u, onde a > 0. Vamos introduzir uma nova variável θ tomando u = a sen θ, onde 0 θ 1π se u 0 e 1 π θ < 0 se u < 0. Então du = a cos θ dθ, e a u = a a sen θ = a (1 sen θ) = a cos θ. Como 1 π θ 1 π, cos θ 0. Então cos θ = cos θ, e a u = a cos θ. Como sen θ = u a e 1 π θ 1 π, θ = sen 1 u a. Exemplo 48. Calcule 9 x x. Seja x = 3 sen θ, onde 0 < θ 1π se x > 0 e 1 π θ < 0 se x < 0. Então = 3 cos θ dθ e 9 x = 9 9 sen θ = 3 cos θ = 3 cos θ. Apostila Integral 59

Logo, 9 x x = = = 3 cos θ (3 cos θ dθ) 9 sen θ cotan θ dθ (cosec θ 1)dθ = cotan θ θ + C. Como sen θ = 1x e 1π θ 1π, θ = 3 sen 1 1 x. Para encontrar cotan θ, 3 consulte a Figura 1 (para x > 0) e a Figura (para x < 0). Observe que em ambos os casos cotan θ = 9 x. Logo, x 9 x 9 x = x x sen 1 x 3 + C. Figura 1: Exemplo 48. Figura : Exemplo 48. Apostila Integral 60

Exemplo 49. Calcule x 3 x x. Podemos transformar o integrando em uma função para a qual a substituição trigonométrica é apropriada completando o quadrado: 3 x x = 3 (x + x) = 3 + 1 (x + x + 1) = 4 (x + 1). Isso sugere a substituição u = x + 1. Então du = e x = u 1, assim x = u 1 du. 3 x x 4 u Agora substituímos u = sen θ, obtendo du = cos θ dθ e 4 u = cos θ. Dessa forma, x sen θ 1 = cos θ dθ = ( sen θ 1) dθ 3 x x cos θ = cos θ θ + C = ( u ) 4 u sen 1 + C = ( ) x + 1 3 x x sen 1 + C. 1.6. Caso O integrando contém uma expressão da forma a + u, onde a > 0. Introduzimos uma nova variável θ fazendo u = a tan θ, onde 0 θ < 1π se u 0 e 1 π < θ < 0 se u < 0. Então du = a sec θ dθ, e a + u = a + a tan θ = a 1 + tan θ = a sec θ. Apostila Integral 61

Como 1 π < θ < 1 π, sec θ 1. Assim sec θ = sec θ, e a + u = a sec θ. Como tan θ = u e 1π < θ < 1 π, temos que, a θ = tan 1 u a. Exemplo 50. Calcule x + 5. Substituímos x = 5 tan θ, onde 0 θ < 1 π se x 0 e 1 π < θ < 0 se x < 0. Então = 5 sec θ dθ e x + 5 = Logo, x + 5 = 5 tan θ + 5 = 5 sec θ = 5 sec θ. 5 sec θ( 5 sec θ dθ) = 5 sec 3 θ dθ. Usando o resultado do Exemplo 45, temos x + 5 = 5 sec θ tan θ + 5 ln sec θ + tan θ + C. Determinamos sec θ da Figura 3 (para x 0) e da Figura 4 (para x < 0), onde tan θ = x 5. Em ambos os casos vemos que sec θ = x +5 5. Logo, x + 5 = 5. x + 5 x. + 5 5 5 ln x + 5 + x + C 5 5 = 1 x x + 5 + 5 ln x + 5 + x 5 ln 5 + C = 1 x x + 5 + 5 ln( x + 5 + x) + C 1. Observe que substituímos 5 ln 5 + C pela constante arbitrária C 1. Além disso, como x + 5 + x > 0, retiramos as barras de valor absoluto. Apostila Integral 6

Figura 3: Exemplo 50. Figura 4: Exemplo 50. 1.6.3 Caso 3 O integrando contém uma expressão da forma u a, onde a > 0. Introduzimos uma nova variável fazendo u = a sec θ, onde 0 θ < 1π se u a e π θ < 3 π se u a. Então du = a sec θ tan θ dθ e u a = a sec θ a = a (sec θ 1) = a tan θ. Como 0 θ < 1 π ou π θ < 3 π, tan θ 0. Assim, tan θ = tan θ, e temos u a = a tan θ. Como sec θ = u a e θ está em [0, 1 π) [π, 3 π), θ = sec 1 u a. Apostila Integral 63

Exemplo 51. Calcule x 3 x 9. Seja x = 3 sec θ, onde 0 < θ < 1π se x > 3 e π < θ < 3 π se x < 3. Então = 3 sec θ tan θ dθ e x 9 = 9 sec θ 9 = 3 tan θ = 3 tan θ. Logo, x 3 x 9 = 3 sec θ tan θ dθ 7 sec 3 θ. 3 tan θ = 1 cos θ dθ 7 = 1 (1 + cos θ)dθ 54 = 1 (θ + 1 ) 54 sen θ + C = 1 (θ + sen θ cos θ) + C. 54 Como sec θ = 1x e θ está em (0, 1π) (π, 3π), temos que θ = 3 sec 1 1x. 3 Quando x > 3, 0 < θ < 1 π, obtemos sen θ e cos θ da Figura 5. Quando x < 3, π < θ < 3 π, obtemos sen θ e cos θ da Figura 6. Em ambos os casos sen θ = x 9 e cos θ = 3. Logo, x x x 3 x 9 = 1 ( sec 1 x 54 3 + x 9. 3 ) + C x x = 1 54 sec 1 x 3 + x 9 18x + C. Apostila Integral 64

Figura 5: Exemplo 51. Figura 6: Exemplo 51. Exemplo 5. Calcule x 5. Seja x = 5 sec θ, onde 0 < θ < 1π se x > 5 e π < θ < 3 π se x < 5. Então = 5 sec θ tan θ dθ e x 5 = 5 sec θ 5 Logo, = 5 tan θ = 5 tan θ. 5 sec θ tan θ dθ x 5 = 5 tan θ = sec θ dθ = ln sec θ + tan θ + C. Apostila Integral 65

Para encontrar tan θ, consulte a Figura 7 (para x > 5) e a Figura 8 (para x < 5). Em ambos os casos, sec θ = x e tan θ = x 5. Temos então, 5 5 x 5 = ln x 5 + x 5 5 + C = ln x + x 5 ln 5 + C = ln x + x 5 + C 1. Figura 7: Exemplo 5. Figura 8: Exemplo 5. Apostila Integral 66

1.6.4 Exercícios 1. Calcule a integral indefinida. (a) (b) (c) (d) x 4 x. 4 x x. x x + 4. x x + 6. (k) (l) (m) (n) x 4 16 + x. dt t t 4 + 5. x 3 (5 x ). 4x + x. (e) (f) x 5 x. 1 u du. (o) (p) 4x x.. (5 4x x ) 3 (g) x a. (q) x x 4 4. (h) dw w w 7. (r) sec x (4 tan x) 3. (i) (j) x (x + 4).. (4 + x ) 3 (s) (t) e x (9e x + 1) 3. ln 3 w w ln w 4 dw. Apostila Integral 67

(u) (v) (w) dz. (z 6z + 18) 3 e t dt. (e t + 8e t + 7) 3 16 e x e x. Apostila Integral 68

1.7 Integração das Funções Racionais por Frações Parciais 1.7.1 Quando o denominador tem somente Fatores Lineares Da definição de função racional, H será racional se H(x) = P (x), onde P (x) Q(x) e Q(x) são polinômios. Se o grau do numerador não for menor do que o grau do denominador, temos uma fração imprópria e, nesse caso, dividimos o numerador pelo denominador até obter uma fração própria, isto é, uma fração cujo numerador tenha grau menor do que o grau do denominador. Por exemplo, x 4 10x + 3x + 1 = x 3x 3 6 + x 4 x 4. Assim, se quisermos integrar x 4 10x + 3x + 1, x 4 o problema se reduz a integrar 3x 3 (x 6) + x 4. Em geral, então, estamos interessados em calcular integrais do tipo P (x) Q(x), onde o grau de P (x) é menor do que o grau de Q(x). Para fazer isso, em geral é necessário escrever P (x) como a soma de Q(x) frações parciais. Os denominadores das frações parciais são obtidos fatorando Q(x) num produto de fatores lineares e quadráticos onde os fatores quadráticos não têm zeros reais. Algumas vezes pode ser difícil encontrar esses fatores de Q(x); porém, um teorema de Álgebra Avançada estabelece que teoricamente isso sempre pode ser feito. Após fatorar Q(x) num produto de fatores lineares e quadráticos, o método de determinar as frações parciais irá depender da natureza desses fatores. Vamos considerar separadamente os vários casos. Os resultados de Álgebra Avançada fornecem a forma da fração parcial em cada caso. Apostila Integral 69

1.7. Caso 1 Os fatores de Q(x) são todos lineares e nenhum é repetido. Isto é, Q(x) = (a 1 x + b 1 )(a x + b )... (a n x + b n ), onde não existem dois fatores idênticos. Nesse caso escrevemos P (x) Q(x) A 1 + A A n +... +, a 1 x + b 1 a x + b a n x + b n onde A 1, A,..., A n, são constantes a serem determinadas. Observe que na igualdade acima usamos (que se lê idêntico) no lugar de =, pois trata-se de uma identidade. Exemplo 53. Calcule (x 1) x 3 x x. Para calcular fatoramos o denominador obtendo Assim, (x 1) x 3 x x, x 1 x 3 x x x 1 x(x )(x + 1). (x 1) x(x )(x + 1) A x + B x + C x + 1. (18) Como (18) é uma identidade, deve ser válida para todo x exceto 0, e 1. De (18), x 1 A(x )(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x ). (19) A igualdade (19) é uma identidade válida para todos os valores de x inclusive 0, e 1. Queremos encontrar as constantes A, B e C. Substituindo x por 0 em (19), obtemos 1 = A A = 1. Apostila Integral 70

Substituindo x por em (19), obtemos 1 = 6B B = 1 6. Substituindo x por 1 em (19), obtemos = 3C C = 3. Há um outro método para encontrar os valores de A, B e C. segundo membro de (19) agruparmos os termos, Se no x 1 (A + B + C)x + ( A + B C)x A. Como temos uma identidade, os coeficientes do primeiro membro devem ser iguais aos coeficientes correspondentes do segundo membro. Assim, A + B + C = 0 A + B C = 1 A = 1. Resolvendo essas equações simultaneamente, obtemos A = 1, B = 1 6 C =. Substituindo esses valores em (18), teremos 3 e 1 1 x 1 x(x )(x + 1) x + 6 x + 3 x + 1. Assim, a integral dada pode ser expressa da seguinte forma: x 1 x 3 x x = 1 x + 1 6 x 3 x + 1 = 1 ln x + 1 6 ln x 3 ln x + 1 + 1 6 ln C = 1 (3 ln x + ln x 4 ln x + 1 + ln C) 6 = 1 6 ln Cx 3 (x ) (x + 1) 4. Apostila Integral 71

Exemplo 54. Calcule x + x 1 x 3 + 3x x. Como o grau do numerador é menor que o grau do denominador, não precisamos dividir. Fatoramos o denominador como x 3 + 3x x = x(x + 3x ) = x(x 1)(x + ). Como o denominador tem três fatores lineares distintos, a decomposição em frações parciais do integrando tem a forma x + x 1 x(x 1)(x + ) A x + B x 1 + C x +. Para determinar os valores de A, B e C multiplicamos ambos os lados dessa equação pelo produto dos denominadores, x(x 1)(x + ), obtendo x + x 1 A(x 1)(x + ) + Bx(x + ) + Cx(x 1). (0) Expandindo o lado direito de (0) e escrevendo-a na forma padrão para os polinômios, temos x + x 1 (A + B + C)x + (3A + B C)x A. (1) Os polinômios de (1) são idênticos, então seus coeficientes devem ser iguais. O coeficiente de x do lado direito, A + B + C, deve ser igual ao coeficiente de x do lado esquerdo, ou seja, 1. Do mesmo modo, os coeficientes de x são iguais e os termos constantes também. Isso resulta no seguinte sistema de equações para A, B e C: A + B + C = 1 3A + B C = A = 1. Resolvendo, obtemos A = 1, B = 1, C = 1, e assim 5 10 x ( + x 1 1 x 3 + 3x x =. 1 x + 1 5. 1 x 1 1 ) 10. 1 x + = 1 ln x + 1 10 ln x 1 1 ln x + + C. 10 Ao integrar o termo do meio, fizemos mentalmente a substituição u = x 1, que resulta em du = e = du. Apostila Integral 7

1.7.3 Caso Os fatores de Q(x) são todos lineares e alguns são repetidos. Suponha que (a i x + b i ) seja um fator que se repete p vezes. Então, correspondendo a esse fator haverá a soma de p frações parciais A 1 (a i x + b i ) p + A (a i x + b i ) p 1 +... + A p 1 (a i x + b i ) + A p a i x + b i, onde A 1, A,..., A p, são constantes a serem determinadas. Exemplo 55. Calcule (x 3 1) x (x ) 3. A fração no integrando pode ser escrita como soma de frações parciais da seguinte forma: x 3 1 x (x ) A 3 x + B x + C (x ) + D 3 (x ) + E x. () Multiplicando ambos os membros de () pelo mínimo múltiplo comum, teremos x 3 1 A(x ) 3 + Bx(x ) 3 + Cx + Dx (x ) + Ex (x ). (3) Substituindo x por em (3), obtemos 7 = 4C C = 7 4. Substituindo x por 0 em (3), obtemos 1 = 8A A = 1 8. Substituímos esses valores de A e C em (3) e expandindo as potências dos binômios, teremos x 3 1 1 8 (x3 6x + 1x 8) + Bx(x 3 6x + 1x 8) + 7 4 x + +Dx 3 Dx + Ex (x 4x + 4) ( 1 6B + D 4E 8 x 3 1 (B + E)x 4 + ( 3 + 8B ) x 1. ) x 3 + ( 34 + 1B + 74 D + 4E ) x + Apostila Integral 73

Igualando os coeficientes das potências iguais de x, obtemos Resolvendo, obtemos B + E = 0 1 6B + D 4E 8 = 1 3 4 + 1B + 7 D + 4E = 0 4 3 8B = 0. B = 3 16, D = 5 4 e E = 3 16. Logo, de (), x 3 1 3 7 5 1 x (x ) 8 3 x + 16 x + 4 (x ) + 4 3 (x ) + 3 16 x. Assim, x 3 1 x (x ) 3 = = 1 8 x + 3 16 x + 7 4 (x ) + 5 3 4 = 1 8x + 3 16 ln x 7 8(x ) 5 = 11x + 17x 4 8x(x ) (x ) 3 16 4(x ) 3 ln x + C 16 + 3 16 ln x x + C. x Apostila Integral 74

Exemplo 56. Calcule x 4 x + 4x + 1 x 3 x x + 1. A primeira etapa é dividir. O resultado da divisão de polinômios é x 4 x + 4x + 1 x 3 x x + 1 = x + 1 + 4x x 3 x x + 1. A segunda etapa é fatorar o denominador Q(x) = x 3 x x + 1. Como Q(1) = 0, sabemos que x 1 é um fator e obtemos x 3 x x + 1 = (x 1)(x 1) = (x 1)(x 1)(x + 1) = (x 1) (x + 1). Como o fator linear x 1 ocorre duas vezes, a decomposição em frações parciais é 4x (x 1) (x + 1) A x 1 + B (x 1) + C x + 1. Multiplicando pelo mínimo denominador comum, (x 1) (x + 1), temos 4x A(x 1)(x + 1) + B(x + 1) + C(x 1) Agora igualamos os coeficientes: (A + C)x + (B C)x + ( A + B + C). A + C = 0 B C = 4 A + B + C = 0. Resolvendo, obtemos A = 1, B = e C = 1. Assim, x 4 x [ + 4x + 1 x 3 x x + 1 = x + 1 + 1 x 1 + (x 1) 1 ] x + 1 = x + x + ln x 1 ln x + 1 + C x 1 x 1 + ln x 1 x + 1 + C. = x + x Apostila Integral 75

Exemplo 57. Calcule du u a. 1 u a A u a + Multiplicando por (u a)(u + a), obtemos Igualando os coeficientes, teremos B u + a. 1 A(u + a) + B(u a) 1 (A + B)u + Aa Ba. A + B = 0 Aa Ba = 1. Resolvendo simultaneamente, obtemos Logo, A = 1 a e B = 1 a. du = 1 du u a a u a 1 a = 1 1 ln u a a a = 1 a ln u a u + a + C. du u + a ln u + a + C O tipo de integral do Exemplo 57 ocorre com uma frequência tal que justifica ser dado como fórmula. Trata-se de uma simples integração por frações parciais. du u a = 1 a ln u a u + a + C. Apostila Integral 76

Se tivermos escreveremos, du a u, du du = a u u a = 1 a ln u a u + a + C = 1 a ln u + a u a + C. Essa integração será também dada como fórmula. du a u = 1 a ln u + a u a + C. Apostila Integral 77

1.7.4 Exercícios 1. Calcule a integral indefinida. (a) (b) x 4. x x + x 6. (c) 5x x 4. (d) (e) (f) (g) (h) (i) 4x x 3 x x. 4w 11 w + 7w 4 dw. 9t 6t 5 3t 5t dt. 6x x 1 4x 3 x x + x + x 1 x 3 + 3x... (j) (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) x + 4x 1 x 3 x x (x + 1). 3x x + 1 x 3 x.. x 3x 7 (x + 3)(x + 1). dt (t + ) (t + 1). 3z + 1 (z 4) dz. 5x 11x + 5 x 3 4x + 5x. x 4 + 3x 3 5x 4x + 17 x 3 + x 5x + 3 x 4 x + 1 x 5 x 4.. Apostila Integral 78

(s) 4x 3 + 30x + 5x + 17 9x 4 6x 3 11x + 4x + 4. (t) 16x 4 8x + 1. Apostila Integral 79

1.7.5 Quando o denominador contém Fatores Quadráticos A discussão de integração de funções racionais por frações parciais continua com dois casos onde o denominador contém fatores quadráticos irredutíveis. Um fator ax + bx + c será irredutível se uma equação a + bx + c = 0 não tiver raízes reais, isto é, b 4ac < 0. 1.7.6 Caso 3 Os fatores de Q(x) são lineares e quadráticos, e nenhum fator quadrático é repetido. Correspondendo ao fator quadrático ax + bx + c no denominador, temos uma fração parcial da forma Ax + B ax + bx + c. Exemplo 58. Calcule x x 3 (x 1)(x + x + ). A fração no integrando pode ser escrita como a seguinte soma de frações parciais: x x 3 (x 1)(x + x + ) Ax + B x + x + + C x 1. (4) Multiplicando ambos os membros de (4) pelo mínimo denominador comum, teremos x x 3 (Ax + B)(x 1) + C(x + x + ). (5) Podemos calcular C substituindo x por 1 em (5) e obtendo 4 = 5C C = 4 5. Substituímos C por 4 em (5) e multiplicando o segundo membro, obtemos 5 ( x x 3 A 4 ) ( x + B A 8 ) x + ( 85 ) 5 5 B. Apostila Integral 80

Igualando os coeficientes das potências iguais de x, teremos Logo, A 4 5 = 1 B A 8 5 = 8 5 B = 3. A = 9 e B = 7 5 5. Substituindo os valores de A, B e C em (4), teremos x 9 x 3 (x 1)(x + x + ) x + 7 5 5 x + x + + 4 5 x 1. Assim, x x 3 (x 1)(x + x + ) = = 9 x 5 x + x + + 7 5 x + x + 4 5 x 1. (6) Para integrar x x + x +, vemos que a diferencial do denominador é (x + 1); assim, se somarmos e subtrairmos 1 no numerador, iremos obter 9 5 x x + x + = 9 5 (x + 1) x + x + 9 5 x + x +. Substituindo essa desigualdade em (6) e combinando os termos, teremos x x 3 (x 1)(x + x + ) = = 9 5. 1 (x + 1) x + x + 5 x + x + 4 5 x 1 = 9 10 ln x + x + 5 (x + 1) + 1 4 ln x 1 5 = 9 10 ln x + x + 5 tan 1 (x + 1) 8 10 ln x 1 + 1 10 ln C = 1 10 ln C(x + x + ) 9 (x 1) 8 5 tan 1 (x + 1). Apostila Integral 81

Observação: No Exemplo 58 podemos evitar algumas passagens, se, em vez de (4), expressarmos a fração original como x x 3 (x 1)(x + x + ) D(x + ) + E x + x + + F x 1. Escrevemos D(x + ) + E em vez de Ax + B, pois x + = D x (x + x + ). Então, resolvendo para D, E e F, obtemos resultando em diretamente. 9 5. 1 D = 9 10, E = 5 (x + 1) x + x + 5 e F = 4 5, x + x + 4 5 x 1 Exemplo 59. Calcule x x + 4 x 3 + 4x. Como x 3 + 4x = x(x + 4) não pode mais ser fatorado, escrevemos x x + 4 x(x + 4) A x + Bx + C x + 4. Multiplicando por x(x + 4), temos x x + 4 A(x + 4) + (Bx + C)x (A + B)x + Cx + 4A. Igualando os coeficientes, obtemos A + B =, C = 1 e 4A = 4. Então A = 1, B = 1, C = 1 e, dessa forma, x ( x + 4 1 = x 3 + 4x x + x 1 ) x + 4. Apostila Integral 8

Para integrar o segundo termo, o dividimos em duas partes: x 1 x + 4 = x x + 4 1 x + 4. Fazemos a substituição u = x + 4 na primeira das integrais de modo que du = x. Calculamos a segunda integral usando a fórmula x + a = 1 ( x ) a tan 1 + C, a com a = : x x + 4 x(x + 4) 1 = x + x x + 4 1 x + 4 = ln x + 1 ln(x + 4) 1 ( x ) tan 1 + C. Exemplo 60. Calcule 4x 3x + 4x 4x + 3. Como o grau do numerador não é menor que o do denominador, primeiro dividimos e obtemos 4x 3x + 4x 4x + 3 = 1 + x 1 4x 4x + 3. Observe que o termo quadrático 4x 4x + 3 é irredutível, porque seu discriminante é b 4ac = 3 < 0. Isso significa que este não pode ser fatorado, então não precisamos usar a técnica de frações parciais. Para integrar a função dada completamos o quadrado no denominador: 4x 4x + 3 = (x 1) +. Apostila Integral 83

Isso sugere que façamos a substituição u = x 1. Então, du = e x = 1 (u + 1). Assim, 4x ( ) 3x + 4x 4x + 3 = x 1 1 + 4x 4x + 3 1.7.7 Caso 4 = x + 1 = x + 1 4 1 (u + 1) 1 u + u u + du 1 4 = x + 1 8 ln(u + ) 1 4. 1 du = x + 1 4 1 u + du u 1 u + du tan 1 ( u ) + C = x + 1 8 ln(4x 4x + 3) 1 4 tan 1 ( x 1 ) + C. Os fatores de Q(x) são lineares e quadráticos e alguns dos fatores quadráticos são repetidos. Se ax + bx + c for um fator quadrático de Q(x) que se repete p vezes, então, correspondendo ao fator (ax + bx + c) p, teremos a soma das p frações parciais: A 1 x + B 1 (ax + bx + c) + A x + B p (ax + bx + c) +... + A px + B p p 1 ax + bx + c. Observação: Se o denominador contém o fator (x 5x + ) 3, correspondendo a esse fator, Ax + B (x 5x + ) 3 + Cx + D (x 5x + ) + Ex + F x 5x +, ou, de forma mais conveniente, A(x 5) + B C(x 5) + D E(x 5) + F + + (x 5x + ) 3 (x 5x + ) x 5x +. Apostila Integral 84