MAT3110 - Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática Aplicada e Computacional - IME/USP Lista de eercícios 3 13/04/2012 1. Calcule os limites: 3 + 1 1 2 + 1 2 2 1 2 3 + 2 3 3 + 2 4 4 + 3 a 2 (a + 1) + a 3 a 3 2 4 2 3 + 2 2 f) lim 7 + 2 3 7 2 2 2 g) lim 1 2 1 h) lim 5 2 5 + 10 2 25 2 2 i) lim 2 2 4 + 4 ( + ) 3 3 j) lim h k) lim h h l) lim 9 9 t 3 t 2 m) lim ( 1) 2 2 n) lim 1 2. Se lim a f() = 0 e g() M, para todo Dom(g), mostre que lim a (f g)() = 0. 3. Seja f uma função tal que 3 f() 2, para todo 1. O que você pode dizer a respeito de: f() + f() f() 2 f() f() f) lim f() + 4. Calcule os seguintes limites: 64 8 3 4 8 8 3 2 h 1 m 1 n 1 m 1 3 + 3 f) lim 3 1 1 1
5. Se f() 1 ( 1) 2, calcule lim f(). Você pode dizer algo sobre lim 2 f()? 6. Seja f : IR IR uma função tal que f() 2. Mostre que f é contínua na origem. 4 + 1 7. Encontre, quando eistir, os seguintes limites: 2 1 1 2 2 2 + 3 (2 + 3 ) + 2 2 + 2 2 + 12 6 + 6 8. Determine os valores das constantes a e b que tornam as funções contínuas para todo real. 2, 1 a) f() = 2 + a, > 1 3 + 7, 4 b) f() = a 1, > 4 4, < 3 c) f() = a 2 a, 3, 1 d) f() = a + b, 1 < < 4 2, 4 9. Considere a função f() = 2 4, < 2 a 2 b, 2 a) Para que valores de a e b f é contínua? b) Seja m() = f() f(2). Encontre a e b para que eista lim m(). 2 2 10. Seja g uma função tal que lim 0 g() = 1. Mostre que eiste δ > 0 tal que Domg, 0 < 0 < δ 1 2 < g() < 3 2. 11. Seja f definida em IR e tal que lim f() f(3) = 1. Calcule: f( 2 1) 1 12. Seja f() = 5 + 5 10, 5 a, = 5. Determine o valor de a para que f seja contínua em 5. 2
f() 13. Se lim 14. Calcule f () sendo: = 0 e f é contínua na origem, mostre que f(0) = 0. a)f() = 1 2 (3 + 2) b)f() = + 1 c)f() = 2 + + 1 3 2 e)f() = 7 + 2 f)f() = ( 1) g)f() = 1 3/2 d)f() = 5( 1)( + 2)( 3 + 1) 15. Verifique se as funções abaio têm derivadas em 0. Justifique sua resposta. a)f() = b)f() = 16. Encontre as equações das retas tangentes à curva y = 2 2 + 3 e paralelas à reta 8 y + 3 = 0. 17. Encontre as equações das retas que passam pelo ponto (3, 2) e são tangentes à curva y = 2 7. 18. Demonstre analiticamente que não eiste reta que passa pelo ponto (1, 2) e é tangente à curva y = 4 2. 19. A reta normal ao gráfico de uma função y = f() num ponto P do mesmo é a reta normal à tangente ao gráfico da função nesse ponto. Determine a reta normal ao gráfico de f() = no ponto de abscissa = 4. 20. Considere a função f() = 5 1 + 2. a) Determine f () usando a definição de derivada. b) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (2, 2). c) Determine os pontos do gráfico de f onde a reta tangente é horizontal. d) Encontre a reta normal ao gráfico de f. 21. Encontre as equações das retas tangentes à curva y = 4 3 1 e perpendiculares à reta + 2y 11 = 0. 22. Determine uma reta que tangencie as parábolas y = 2 e y = 2 + 8 10. 23. Determine a e b para que f seja derivável, sendo f() = 2, 1 a 2 + b, > 1. 3
24. Mostre que a reta tangente à hipérbole y = 1 no ponto (a, 1 ) intercepta os eios coordenados nos a pontos (2a, 0) e (0, 2 a ). 25. Calcule a derivada primeira e a derivada segunda das seguintes funções: a)f() = g( + 1 1 ) b)f(t) = u(t)2 + v(t) 2 c)f() = g(g()) d)f() = u()2 v() 2 26. Seja f uma função definida em IR. Suponha que eista m > 0 tal que f() m 2, IR. a) Mostre que f é contínua e derivável em 0. f() b) Eiste lim? Se sim, prove. Se não, eiba um contra eemplo. 2 27. Seja f definida em IR, derivável em 0 e tal que f(0) = 0. Prove que eiste uma função g definida em IR, contínua em 0, tal que f() = g(), IR. 28. Seja r uma reta tangente aos gráficos de f() = 2 e g() = 1 2 + 2. Determine r. 29. Encontre a distância entre a parábola y = 2 + 1 e a reta y = 1. 30. Mostre que a reta tangente à parábola y = a 2 no ponto ( 0, y 0 ) intercepta o eio na metade de 0. 31. Para que valores de a e b a parábola y = a 2 + b tangencia a reta y =. 32. Uma bolinha de naftalina perde sua massa numa taa que é proporcional à sua área. Se depois de um mês ela perdeu a metade de sua massa, depois de quanto tempo desaparecerá? 33. Um avião, voando horizontalmente com uma velocidade constante v e a uma altura h, deia cair um objeto. Desprezando-se a resistência do ar, determinar o tempo de queda e o local onde caiu, tomando-se como referência o ponto no solo sob o ponto de lançamento. 34. Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume da areia cresce a uma taa de 10m 3 /h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4m? 35. Uma formiga sobe uma parede de vidro com velocidade constante V. Determine a velocidade da sombra no chão (ver figura). 4
36. Entra água num tanque cônico a uma taa de 2litros/min. Determine a variação instantânea da altura em ralação ao tempo no instante em que h = 1 (ver figura). 37. Em um tanque cônico entra água a uma taa de 3litros/min. Se a altura do tanque é de 20m e o raio da base é 10m, qual a velocidade de ascenção da água no instante em que o nível encontra-se na metade da altura? 5