T.D. - Resolução Comentada Matéria: Série: Turmas: Professor: Matemática º Ano A, B, C, D e Olímpica Wilkson Linhares Bimestre: 3º Assunto: Geometria Analítica Questão: 01 Resposta: Item: c) O ponto P possui coordenadas (x, 3), logo: 3 x 0 x 8 P 8,3. Questão: 0 ΔP BM ΔACP (LAA ) P B AC a e P C b 1 1 1 o 1 1 ΔACP ΔM DP (LAA ) DP a e M D 10 b o Logo, M (a,b) e M (10 a,10 b). 1 Calculando as coordenadas do ponto M médio do segmento M 1 e M, temos: x M a 10 a 5 e y M b 10 b 5 Logo, o ponto médio do segmento de extremos M 1 e M é M(5,5).
Questão: 03 Resposta: Item: e) Considerando que o simétrico de um ponto P( x,y) em relação ao eixo y é P ( x,y), temos: A(3,5), então A =( 3,5) B(, 6), então B (, 6) C( 4,1), então C (4,1) Questão: 04 a) A medida do lado do quadrado é igual a d(a, B) (13 5) (6 1) 64 36 10 u.c. b) O coeficiente angular da reta AB é igual a 6 1 3 m. AB 13 5 4 Como ABCD é quadrado, segue que AB BC. Logo, se m denota o coeficiente angular da BC reta BC, então 4 m. BC 3 Seja C ( αβ, ), com α 13 e β 6, de acordo com a figura abaixo.
Sabendo que m BC tgpbc, tem-se PC 4 tgpbc PC PB. PB 3 Por (a) vem que BC 10. Agora, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo BPC, concluímos que PB 6, o que implica em PC 8. Donde obtemos C (19,14). Finalmente, segue que a equação da reta que passa por C e D é 3 3 113 y 14 (x 19) y x. 4 4 4 5 19 1 14 c) O centro do círculo é o ponto médio da diagonal AC, ou seja,, (1,13), e seu raio mede a metade do lado do quadrado, isto é, 5. Portanto, a equação pedida é (x 1) (y 13) 5. Questão: 05 Resposta: Item: c) D é ponto médio de PN, logo: 7 4 11 x D. D é ponto médio de CM, logo:
xc 3 11 xc 8. Questão: 06 Resposta: Item: b) Reescrevendo a equação da reta y x 1 sob a forma interseção dessa reta com os eixos cartesianos são x 1 1 N, 0 e M (0,1). Como os triângulos POQ e MON são semelhantes por AA, temos y 1, tem-se que os pontos de (POQ) 9 k k (MON) 1 1 1 k 6, com k sendo a razão de semelhança. Desse modo, vem P (0, 6) e Q (3, 0). Portanto, o resultado pedido é d(p, Q) 6 3 3 5 m. Questão: 07 Resposta: Item: a) Considerando, (r ) x 3y 4 0 e P(1, 5) Determinando a equação da reta ( s) perpendicular a reta (r ) e que passa pelo ponto (1, 5) ( s) 3 x y k 0 3 10 k 0 k 7 Logo, a equação da reta ( s) será dada por 3x y 7 0. Determinando, o ponto M de intersecção das retas r e s. x 3y 4 0 3x y 7 0 Resolvendo o sistema, temos M( 1, ). Determinando agora o ponto A simétrico do ponto p em relação à reta r, M é ponto médio de PA. 1 xa 1 xa 3 5 xa xa 1
Logo, A( 3, 1). Questão: 08 Resposta: Item: d) 4 6 Fazendo (I) = (II), temos: t t 6t 4t 8 t 4. Questão: 09 A reta cujos pontos são equidistantes de A e B é exatamente a mediatriz do segmento de extremos A e B. Portanto, devemos encontrar a equação da reta que passa pelo ponto médio de AB e é perpendicular a ele. 17 14, 4,8 (x,y ) Cálculo do ponto médio de AB : 0 0 Coeficiente angular da reta que passa por A e B: 14 71 Portanto, o coeficiente angular da mediatriz r é m r 1 Encontrando, agora, a equação da mediatriz r. 1 y 8 (x 4) y 16 x 4 x y 0 0
Questão: 10 Resposta: Item: b) A única opção que possui os dois pontos pertencentes a reta é a [B]. Calculando a distância de cada um desses pontos ao ponto T, obtemos 00m. Questão: 11 Resposta: Item: b) Determinando o ponto B, utilizando a equação da reta r. x 0 x B(, 0) Determinando o ponto C, utilizando a equação da reta s. x 5 0 x 5 C(5,0) Determinando o ponto A resolvendo um sistema com as equações de r e s. y x x 5 A(3, 1) y Daí, temos a seguinte figura: Portanto, a área do triângulo será dada por: 31 A 1,5 Questão: 1 Resposta: Item: d) Desde que (ABCD) AB BC 15 5 BC BC 3 e B (5, 0), é imediato que C (5, 3).
Portanto, como A é a origem, segue-se que a equação da reta AC é 3 y x. 5 Questão: 13 Resposta: Item: d) A equação segmentária da reta AB é x y x 3y 1 1. 6 4 Desse modo, como A (6, 0) e B (0, 4), segue-se que o ponto médio do segmento AB tem coordenadas 6 0 0 ( 4), (3, ). Questão: 14 Resposta: Item: d) O coeficiente angular da reta AC é igual a 4 ( ) 3 m. AC 13 m m 1 m, com 3 BD perpendiculares, segue-se que AC BD BD da reta BD. Daí, como AC e BD são m sendo o coeficiente angular Além disso, se M é o ponto médio de AC, temos 3 ( 1) 4 M, (1,1). Sabendo que M é o ponto de interseção das retas AC e BD, concluímos que a equação de BD é 1 y 1 (x 1) y x. 3 3 3 Portanto, segue de imediato que a ordenada do ponto de interseção de BD com o eixo Oy é igual a 1. 3 Questão: 15 Equação da reta AC: y = -x + 1 Equação da reta AQ: y = x 1 P(a, a-1) e Q(a+1, a) Cálculo da área do triângulo APQ: 1 0 1 1 A a 1 a 1 a a a 1 a 1
Como 0 < a < 1, temos: A a a Valor da Área máxima: Δ 1 1 A máx. 4 a 4 ( 1) 4 Questão: 16 Resposta: Item: c) Seja M o ponto médio do segmento de reta AB. Se A, r d d d, então M pertence à reta r. Logo, B, r 8 3 6 11 M,, 4 e, portanto, a equação de r é 11 3 y 4 tg45 x y x. Em consequência, tomando y 0, segue-se que Questão: 17 Resposta: Item: b) 3 C, 0. Fazendo y 0 na equação 1x 5y 60, obtemos o ponto A (5, 0), que é o ponto de interseção da reta com o eixo das abscissas. Tomando x 0, encontramos o ponto B (0,1), que é o ponto de interseção da reta com o eixo das ordenadas. Desse modo, sendo O a origem do sistema de eixos cartesianos, queremos calcular o raio r da circunferência inscrita no triângulo AOB. Pelo Teorema de Pitágoras, encontramos AB 13. Logo, temos
OA OB OA OB AB r 5 1 (5 1 13) r r. Questão: 18 Resposta: Item: c) x y 1 Equação da reta AE: 4 1 0 x 3y 10 0 1 3 1 Equação da reta BC: x = 5 Determinando o ponto P de intersecção das retas: x 3y 10 0 5 P 5, x 5 3 Questão: 19 Resposta: Item: c) Adotando-se convenientemente um sistema de coordenadas cartesianas, em que o terminal rodoviário T é a origem, chamemos de P o ponto onde está localizado o aeroporto, e de H o pé da perpendicular baixada de T sobre o trecho AB da rodovia. Queremos calcular PT TH. Calculando a distância de P à origem, obtemos PT ( 8) ( 6) 10km. A equação da reta AB é dada por 4 14 y 14 (x ) 3x y 0 0. 8 A distância de T à reta AB é 0 TH 10 6,3km. 3 1
Portanto, PT TH 10 6,3 16,3km. Questão: 0 Resposta: Item: b) Considerando a reta r representada abaixo, temos: 0 r : y 0 x 3 x y 3 0 31 Equação da reta Temos que ser fiéis aos nossos planos. Não existem atalhos. Michael Jordan