Breve Noa Sobre Polinôios e Moelos ARIMA Rogério Silva e Maos 0/05/017 1. Polinôios Definição e Polinôio Seja: o a 0, a 1,, a núeros reais o x variável real P ( a a xa x a x, a 0. 0 1 é o grau o polinôio Polinôio consane: P ( a0 (é u polinôio o grau = 0) Raízes Equação polinoial: P ( 0 r é ua raíz o polinôio P ( se for u núero real ou coplexo que saisfaz à equação polinoial, iso é: o P ( r) a a r a r a r 0 0 1 u polinôio e e er grau 1 para que possua raiz saber as raízes e u polinôio é uio úil porque perie faorá-lo Núero e Raízes U polinôio o grau 1 possui raízes (reais e/ou coplexas) U polinôio o grau 1 aie aé raízes iguais (ulipliciae) Rogerio Silva e Maos 1
Exeplos e polinôios e graus 1 e P( 4x 1 raíz real r 1 P( 4 x raízes reais r e r 1 P( x raízes reais iguais r r 0 1 P( 4 x Se raízes reais, as uas raízes coplexas r1 i e r i Obs: i 1( núero iaginário) Esses rês exeplos ilusra o fao que u polinôio e grau aior ou igual a 1 sepre e raízes (reais e/ou coplexas) e que o núero e raízes é igual ao seu grau. Rogerio Silva e Maos
Núero Coplexo Seja a e b consanes reais Seja o núero iaginário efinio coo i 1 z abi é u núero coplexo o a é a pare real (Re) o bi é a pare iaginária (Ig) Móulo e u núero coplexo: z a b (isância e z à orige) Círculo uniário: conjuno e oos os núeros coplexos que apresena óulo igual a 1 ou cuja isância à orige o Plano Coplexo (vie figura) é igua a 1. Ou seja, { z C: z 1} Plano Coplexo e Círculo Uniário O Plano Coplexo é ua represenação visual o conjuno C os núeros coplexos. É u plano caresiano one o eixo horizonal as abcissas represena a pare real e o eixo verical as orenaas a pare iaginária os núeros coplexos. Caa núero coplexo correspone a u pono no Plano Coplexo. Rogerio Silva e Maos 3
Faoração e Polinôios Seja r 1, r,..., r raízes o polinôio P ( Enão: P ( a( xr1 )( xr ) ( xr ) A faoração e u polinôio é uio úil e operações algébricas. Mas, para isso é preciso saber as raízes o polinôio Polinôios e grau enor ebuios (Faoração Parcial) Se r 1, r,..., r são raízes o polinôio P (, enão ele poe ser escrio coo: P ( ( xr1 ) P 1(, one P 1( é u polinôio e grau -1 P ( ( xr1 )( xr ) P (, one P ( é u polinôio e grau - : : Ec. Raízes Uniárias Se k as raízes e P ( fore iguais a 1, iz-se que o polinôio possui k raízes uniárias. k Nese caso, é possível faorar parcialene coo: P ( ( x 1) P ( É possível, aina, re-escrever o polinôio usano (1- ao invés e (x-1), coo: k o P ( (1 P ( se k for par k k P k o P ( (1 ( se k for ípar k Rogerio Silva e Maos 4
. Aplicação e Moelos ARIMA(p,,q) Moelo ARMA(p,q): ( Y ( Conição e esacionarieae p Polinôio auorregressivo: ( 11 BB pb * * * Seja B 1, B,..., Bp raízes e ( Conição e esacionarieae: B * j 1 (j=1,...,p) o ou seja, as raízes e ( ê e esar fora o círculo uniário Conição e inveribiliae É o análogo a conição e esacionarieae aplicaa ao polinôio éias óveis q Polinôio eias-óveis: ( 11B B qb / / / Seja B 1, B,..., Bp raízes e ( / Conição e inveribiliae: B j 1 (j=1,...,p) o ou seja, as raízes e ( ê e esar fora o círculo uniário Represenações possíveis e u ARIMA(p,,q) Suponha que: o ( aene conição e esacionarieae o ( aene conição e inveribiliae Enão, as represenações abaixo são equivalenes: o ( Y ( ( o Y ( ( ( o Y ( ( Rogerio Silva e Maos 5
3. Raízes uniárias e não-esacionarieae Seja o oelo linear: * o ( Y ( B ) o e suponha que você não sabe se Y é esacionário ou não Se polinôio auorregressivo * ( B ) possuir raízes uniárias, enão: * o ( B ) ( ( 1 (faoração parcial e * ( B )) o Mas, repare que 1 B (operaor iferença). o Enão, posso re-escrever: * ( ( Melhor aina, posso re-escrever o oelo linear coo: o ( Y ( Suponha agora que o polinôio auorregressivo reuzio ( aene conição e esacionarieae (raízes fora o círculo uniário). Enão, isso uo é úil porque poeos fazer as seguines afirações: o O oelo linear ( Y ( represena: u processo esacionário para Y u processo não esacionário para Y u oelo ARMA(p,q) para Y u oelo ARIMA(p,,q) para Y o Y precisa ser iferenciao vezes para se ornar esacionário o Y é u processo inegrao e ore ou I() o Y é u processo esocásico co raízes uniárias Ua pequena noa: Engle e Granger (1987) usa ua efinição u pouco ais resria e processo inegrao e ore ou I() e que a consane é nula. o ( Y ( (ou seja, 0 ) Rogerio Silva e Maos 6