o Congesso emático de Dinâmica, Contole e Aplicações 6- de juno de 5 UNESP Campus de Bauu Estimação da ajetóia de endevous Atavés da Dinâmica do Movimento elativo ( Fomation Fling Denilson Paulo Soua dos Santos, Helio Koiti Kuga Divisão de Mecânica Espacial e Contole INPE C.P. 55, 7- São José dos Campos - SP, Basil denilson@dem.inpe.b @dem.inpe.b obeto Vieia da Fonseca Lopes Divisão de Sistemas Espaciais, INPE 7-, São José dos Campos, SP E-mail: obeto@dss.inpe.b. esumo O Objetivo deste tabalo é estima uma manoba de endevous ótima ente óbitas Kepleianas atavés de um filto de Kalman, utiliando as equações dinâmicas de scaune-hempel ( Fomation Fling []. Paa ocoe um enconto ente dois veículos espaciais é necessáio que o instante da suas cegadas a um luga (ponto específico sejam o mesmo paa os dois Copos envolvidos na manoba. Dadas as medidas efeentes à posição de enconto das óbitas, estima-se a posição específica final, onde o veículo encontaá o outo copo, do qual ele patiu. As medidas de efeência foam etiadas do método de Gooding paa esolve o Poblema de Lambet, epesentando uma tansfeência bi-impulsiva ente as óbitas [], dado os ângulos inicial e final da tansfeência. Seá apesentado o enconto de um veículo M que desgaa de M em uma óbita elíptica a pati do ponto P, e enconta novamente M que pemanece em uma óbita cicula. A metodologia empegada seá a implementação numéica do filto de Kalman e a análise dos esultados. Palavas-cave: Dinâmica Obital, endevous, Manobas Obitais, Mecânica Celeste. Intodução Dinâmica do Movimento elativo A descição da dinâmica do movimento elativo ente dois copos em óbitas elípticas abitáias pode se vista em muitas efeências na liteatua [,]. scaune-hempel [] desenvolveu um conjunto de equação paa desceve o movimento elativo ente uma espaçonave (M póimo a um pimáio, em uma óbita elíptica abitáia, com o sistema de coodenadas otogonais fio no pimáio M. A pioi, a única suposição feita na fomulação do poblema é que a distância ente os copos M e M seja pequena compaado com a distancia ente o ponto de efeência (M e o copo M (cento de gavidade. Seão consideadas neste tabalo apenas óbitas elípticas e ciculaes paa o veículo espacial e consideando que os pontos de inicio e fim da manoba sejam não siméticos. Descição do Poblema Camemos de M e M os dois pimáios com massa ( - e, espectivamente. M em óbita cicula ao edo de M. O veículo espacial M deia M de um ponto P (t ψ, segue uma tajetóia em
tono de M e enconta novamente com M num ponto Q (t ψ f, onde ψ, ψ f [,π], onde os valoes de ψ e ψ f não são necessaiamente siméticos [,5]. O poblema seá modelado dento da dinâmica de dois copos, ou seja, seá consideado, implicando na edução do poblema de tês copos paa o poblema de dois copos. Assim pode-se utilia as equações de Keple no desenvolvimento das soluções. É assumido que os tês copos envolvidos sejam pontos de massa e não sofam petubações etenas ao sistema (Figua. M As equações do movimento no sistema de coodenadas ineciais são: Paa M : Paa M : ψ f ψ o ( Q P Distância elativa Figua M M onde e são, espectivamente, o veto do cento de gavidade M ao pimáio (M e o veto do pimáio (M ao veículo (M. Assim, ( ( ( Consideando que a distância ente o veículo espacial e o pimáio de efeência M é muito pequena compaando com a distância ente M e M ( >>, então, ( ( ( ( ( ( ( ( ( Cega-se facilmente a este esultado utiliando a fomulação do eoema Binomial: ( a b onde ( b Enfim, n α n n a n b ( n (...( α α α! n! n! b a! n b ( I Que é a equação do movimento elativo no sistema de coodenadas ineciais. A oigem do sistema de coodenadas é o cento pimáio M (,, em coodenas catesianas. A epessão coespondente paa o veto abitáio no sistema de coodenadas giante, pode se epessado po:
(II d d d d d d ot ot ot ot ot onde é a velocidade angula da óbita de efeência, óbita do pimáio M. Substituindo ( I em ( II temos: d d - ot ot ot Analisando os temos obtemos: j i Definindo o momento angula do objeto de efeência, e os outos paâmetos: a n, e ecos n pode se epessado da seguinte foma : ecos ecos e a P e cos e a const. θ θ θ θ Então as equações de scaune-hempel [], que descevem o movimento elativo no sistema de coodenadas obitais elativas na ausência de toques ou foças etenas são: (III Filto de Kalman O Filto de Kalman descobeto po udolf E. Kalman em 96 [6,7], consiste em um algoitmo ecusivo ótimo, utiliado paa estima os estados de um sistema dinâmico, baseado na medição da confiabilidade dos dados obsevados a pati de uma mati denominada Mati de Covaiâncias, e é calculada a cada nova medida disponível. A pati de um estado inicial conecido, este algoitmo combina todos os dados disponíveis, adicionados ao conecimento anteio do sistema e de seus dispositivos, paa pocessa e podui uma estimativa das vaiáveis desejadas, de modo que eo seja eduido estatisticamente ao longo do. O Filto de Kalman utilia um pocesso de contole po ealimentação, ou seja, estima-se o estado
do pocesso num dado instante, e então se obtêm o feedbac, sob a foma de medidas uidosas. Em outas palavas o filto de Kalman pode se definido como um conjunto de equações matemáticas que fonece uma solução ecusiva paa o poblema de estima o estado de um sistema baseado em medidas com uídos. Combinando as medidas, o conecimento a pioi da dinâmica do sistema, estatísticas do uído do sistema dinâmico e eos de medidas, além de infomações da condição inicial ele podu uma estimativa do estado, de tal maneia que o eo é minimiado estatisticamente. P AP PA GQG Modelagem do Poblema a. Unidade de distância é a distância ente M e M b. Velocidade angula ω de otação de M e M é unitáia m c. (Massa M e de M é ( - m m Massa otal d. Constante gavitacional é um e. unge-utta de ª odem, passo fio paa esolve as equações dinâmicas. f. Utiliação do aplicativo MALAB 6.5 paa gea um Filto de Kalman paa estimação do ponto de enconto, dada algumas medidas. Foi utiliada a função LQE do Matlab 6.5, que é um filto de Kalman paa sistemas contínuos no. g. Nota-se que todas as unidades foam nomaliadas (A, B, C, D. Dado um sistema dinâmico: A Bu Gω Y C Du ν com um pocesso banco gaussiano não tendencioso ω e um uído nas medidas ν gaussiano, ambos de média eo e covaiâncias: E{ ωω } E{ νν } Q : onde Q e são as espectivas Densidades espectais de Potência. A função LQE etona o gano de Kalman (Kf e as soluções da equação associada de iccati (Figuas e : Aplicando as equações do poblema da dinâmica do movimento elativo e supondo que o movimento obital é plana temos: eduindo o sistema de equações difeenciais paa pimeia odem têm-se: que na foma maticial fica: Figua Planta Figua Filto de Kalman
. P -. -... -....6 -..6.5 Então, Substituindo os valoes paa o poblema: A B, a nave é não contolada C [] D 7 7 Q 7 7. Kf..5......6 esultados e Simulações.5.6.7 Os esultados abaio são baseados em dados eais simulados e mostam os esíduos nas componentes adial e aial. Estes esultados são peliminaes e foam obtidos num poblema de estimação de posição e de velocidade. σ X,,99,66,, -, -,66 -,99 -, esíduo Figua esíduo da Posição X X Condições Iniciais da tajetóia de efeência: ψ o - ad, ψ f, ad, e, - ecenticidade da óbita de M,98,65 esíduo X Após esolve a equação de icatti no MALAB, obteve-se as maties constantes de covaiância P e o gano de Kalman Kf, com os seguintes valoes de egime: σ X,,99,66,, -, Figua esíduo da Velocidade V X 5
Nota-se que os esíduos dos estados convegem paa uma faia de valoes que está compeendida ente σ e -σ (desvios-padão. Os esultados nos gáficos (Figuas 6 estão em função dos espectivos σ dos estados. Lemba que as componentes de velocidade devem tende ao valo unitáio po seem as pojeções no eio tansvesal. simulação e os valoes oscilam dento de uma faia que em longo pao ( maio nos paâmetos do filto satisfa a epectativa da solução, que são os estados (posição e velocidade do enconto de endevous. Eos no Estado X esíduo X σ X,97,6,,98,65,,99,66,, -, -,66 -,99 -, -,65 -,98 -, -,6 -,97 X - 5 Figua 7 Eos na Posição X (X Figua 5 esíduo da Posição Y Eos no Estado X,5, σ X,96,6,,97,6,,98,65,,99,66,, -, -,66 -,99 -, esíduo X X,5, -,5 -, -,5 -, -,5 -, 5 Figua 8 Eos na Velocidade V (X Figua 6 esíduo da Velocidade V Y As medidas de efeência foam geadas em Fotan, utiliando a outina desenvolvida po Gooding [] paa a esolução do poblema de manobas que pate de um copo e etonam ao mesmo copo []. Os gáficos dos eos nos estados (Figuas 7, mostam uma convegência lenta paa o de A modelagem do poblema de estimação de tajetóias de endevous atavés das equações dinâmicas de scaune-hempel ( Fomation Fling não são comumente utiliadas, então utiliando esta fomulação, deve-se leva em conta os eos nas tajetóias, e, conseqüentemente o eo no ponto de enconto do endevous. Quando necessáios os eos intoduidos pelo uso de um modelo devem se compensados pela utiliação de maio quantidade de medidas a seem pocessadas pelo estimado de estado, que é o filto de Kalman. 6
X X,5,,5,,5,,5,,5, -,5 -, -,5 -, -,5 -,,,5,,5,,5, -,5 -, -,5 -, -,5 -, -,5 -, Eos nos Estados X Figua 9 Eos na Posição Y (X Eos no Estado X Conclusões Com base na análise destes esultados obtidos pelo filto de Kalman, pôde-se constata que ele é uma feamenta eficiente paa edução de eos e estimação da tajetóia de endevous atavés das equações dinâmicas de scaune-hempel ( Fomation Fling. ecomenda-se o uso de todas as medidas disponíveis, pois é de fundamental impotância paa o meloamento das estimativas do filto de Kalman na estimação de tajetóias de endevous. Os benefícios espeados po este tipo de pocedimento são: econômico (custo e enegia, pocedimento altenativo de deteminação de óbita a bodo, autonomia a bodo, e pesquisa no desenvolvimento de algoitmos de pocessamento de dados. Como tabalos futuos popõe-se o uso de filto sintoniadoes paa obte meloes s de esposta, quando o paa o endevous é eduido. Agadecimentos Este tabalo foi ealiado com supote de bolsa de mestado pela CAPES. Podemos obseva a evolução dos estados na figua, e nota que eles convegem ao longo do. Estados,,,8,5,,9,6,, -, -,6 -,9 -, -,5 -,8 -, -, Figua Eos na Velocidade V Y (X Evolução dos Estados Figua Evolução dos Estados X X X X efeências [] Cate,. and Hunic, M., Fuel-Optimal endevous Nea a Point in Geneal Kepleian Obit, Jounal of Guidance, Contol and Dnamics, Vol., nº 6, 987. [] Pado, A.F.B.A. e ios-neto, A., "Um Estudo Bibliogáfico sobe o Poblema de ansfeências de Óbitas". evista Basileia de Ciências Mecânicas, Vol. XV, No., 99, pp. 65-78 (INPE-56-PE/86. [] Cobotov, V.A. Obital Motion Second Edition. eston: Ameican Institute of Aeonautics and Astonautics, 996. [] Pado, A.F.B.A. e Bouce,.A., "e Poblem of ansfe Obits fom one Bod 7
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