Notas de Aula do Curso PGE950: Probabilidade

Notas de Aula do Curso PGE950: Probabilidade Leadro Chaves Rêgo, Ph.D. 2013.1

Prefácio Estas otas de aula foram feitas para compilar o coteúdo de várias referêcias bibliográficas tedo em vista o coteúdo programático da disciplia PGE950-Probabilidade do curso de mestrado em Estatística da Uiversidade Federal de Perambuco. Em particular, elas ão cotém ehum material origial e ão substituem a cosulta a livros textos. Seu pricipal objetivo é dispesar a ecessidade dos aluos terem que copiar as aulas e, deste modo, poderem se cocetrar em eteder o coteúdo das mesmas. Recife, março de 2013. Leadro Chaves Rêgo, Ph.D. i

Coteúdo Prefácio i 1 Itrodução à Probabilidade 1 1.1 Experimeto Aleatório.............................. 1 1.2 Espaço Amostral................................. 2 1.3 Evetos e Coleção de Evetos.......................... 3 1.3.1 Partição.................................. 3 1.3.2 Álgebra de Evetos............................ 4 1.3.3 Fução Idicadora............................ 6 1.4 Fudametos de Probabilidade......................... 8 1.4.1 Hierarquia de Coceitos Estruturais de Probabilidade......... 10 1.4.2 Iterpretações de Probabilidade..................... 11 1.5 Frequêcias Relativas............................... 11 1.6 Axiomas de Kolmogorov............................. 13 1.6.1 Exemplos de Medidas de Probabilidade................. 15 1.6.2 Propriedades de uma Medida de Probabilidade............. 16 2 Probabilidade Codicioal 22 2.1 Probabilidade Codicioal............................ 22 2.2 Idepedêcia................................... 29 3 Variável Aleatória 33 3.1 Itrodução..................................... 33 3.2 Fução de Distribuição Acumulada....................... 35 3.3 Tipos de Variável Aleatória........................... 37 3.3.1 Variável Aleatória Discreta........................ 37 3.3.2 Variável Aleatória Cotíua....................... 38 3.3.3 Variável Aleatória Sigular........................ 38 3.3.4 Decomposição de uma Variável Aleatória................ 39 3.4 Pricipais Distribuições de Probabilidade.................... 40 3.5 Variáveis Aleatórias Multidimesioais..................... 47 3.5.1 Fução de Distribuição Acumulada Cojuta.............. 48 3.5.2 Idepedêcia etre Variáveis Aleatórias................. 49 3.5.3 Exemplos de Distribuições Multivariadas................ 51 ii

3.6 Fuções de Variáveis Aleatórias......................... 51 4 Esperaça e Mometos de Variáveis Aleatórias 56 4.1 O Coceito de Esperaça............................. 56 4.2 Defiição da Esperaça - Caso Discreto..................... 56 4.3 As itegrais de Riemma-Stieltjes e de Lebesgue-Stieltjes........... 59 4.3.1 Propriedades da Itegral de Lebesgue-Stieltjes............. 61 4.4 Defiição da Esperaça - Caso Geral...................... 62 4.4.1 Iterpretação Geométrica da Esperaça................. 64 4.5 Esperaça de Fuções de Variáveis Aleatórias................. 66 4.5.1 Caso Discreto............................... 66 4.5.2 Caso Geral................................ 67 4.6 Propriedades da Esperaça............................ 67 4.7 Mometos..................................... 70 4.7.1 Mometos Cetrais............................ 71 4.8 Mometos Cojutos............................... 74 5 Distribuição e Esperaça Codicioais 77 5.1 Distribuição codicioal de X dada Y discreta................. 77 5.2 Distribuição codicioal de X dada Y : caso geral............... 79 5.3 Esperaça Codicioal.............................. 83 6 Covergêcia Estocástica 87 6.1 Seqüêcia de Evetos............................... 87 6.1.1 Borel-Cateli............................... 89 6.2 Covergêcia de Variáveis Aleatórias....................... 91 6.2.1 Tipos de Covergêcia.......................... 92 6.2.2 Relação Etre os Tipos de Covergêcia................ 98 6.3 Covergêcia de Vetores Aleatórios....................... 102 7 Fuções Características 104 7.1 Motivação..................................... 104 7.2 Defiição...................................... 105 7.2.1 Propriedades............................... 105 7.2.2 Exemplos de Fuções Características.................. 110 7.3 Teorema da Cotiuidade de Levy........................ 111 7.4 Soma de um Número Aleatório de Variáveis Aleatórias............ 115 7.5 Fução Característica de um Vetor Aleatório.................. 117 7.6 Fuções Geratrizes de Mometo......................... 120 7.7 Teorema de Slutsky................................ 120 8 Lei dos Grades Números 123 8.1 Motivação..................................... 123 8.2 Lei Fraca dos Grades Números......................... 125 8.3 Lei Forte dos Grades Números......................... 127 iii

8.4 Um Exemplo de Divergêcia das Médias.................... 134 9 Teorema Cetral do Limite 136 9.1 Motivação..................................... 136 9.2 Teoremas e provas................................ 136 9.3 Teorema Cetral do Limite: Caso Multivariado................ 145 9.4 Método Delta................................... 145 Referêcias Bibliográficas 149 iv

Capítulo 1 Itrodução à Probabilidade 1.1 Experimeto Aleatório Um dos maiores objetivos de um estatístico é chegar a coclusões sobre certa população de objetos através da realização de um experimeto. Um experimeto é qualquer processo de observação. Em muitos experimetos de iteresse, existe um elemeto de icerteza, ou chace, que ão importa quato ós sabemos sobre o passado de outras performaces deste experimeto, ós essecialmete ão somos capazes de predizer seu comportameto em futuras realizações. As razões para ossa falta de habilidade para predizer são varias: ós podemos ão saber de todas as causas evolvidas; ós podemos ão ter dados suficietes sobre as codições iiciais do experimeto; as causas podem ser tão complexas que o cálculo do seu efeito combiado ão é possível; ou a verdade existe alguma aleatoriedade fudametal o experimeto. Estamos iteressados em uma classe particular de experimetos, chamados experimetos aleatórios. Os seguites traços caracterizam um experimeto aleatório: (a) Se for possível repetir as mesmas codições do experimeto, os resultados do experimeto em diferetes realizações podem ser diferetes. Por exemplo, jogar uma moeda diversas vezes com bastate cuidado para que cada jogada seja realizada da mesma maeira. (b) Muito embora ão sejamos capazes de afirmar que resultado particular ocorrerá, seremos capazes de descrever o cojuto de todos os possíveis resultados do experimeto. 1 (c) Quado o experimeto for executado repetidamete, os resultados idividuais parecerão ocorrer de uma forma acidetal. Cotudo, quado o experimeto for repetido um grade úmero de vezes, uma cofiguração defiida ou regularidade surgirá. É esta regularidade que tora possível costruir um modelo probabilístico. Por exemplo, 1 É importate ressaltar que frequetemete são ecotradas situações práticas ode ão se cosegue descrever todos os possíveis resultados de um experimeto. Uma maeira de cotorar este problema é assumir que um resultado possível do experimeto é a ão ocorrêcia de qualquer dos resultados descritos, cotudo, em problemas práticos, tal suposição pode acarretar em dificuldades quado se teta elicitar ou deduzir probabilidades. 1

1.2. ESPAÇO AMOSTRAL 2 pese as repetidas jogadas de uma moeda, muito embora caras e coroas apareçam sucessivamete, em uma maeira arbitrária, é fato empírico cohecido que, depois de um grade úmero de jogadas, a proporção de caras e de coroas serão aproximadamete iguais (assumido que a moeda é simétrica). Os resultados de um experimeto aleatório são caracterizados pelos seguites compoetes: 1. o cojuto de resultados possíveis Ω; 2. a coleção de cojutos de resultados de iteresse A; 3. um valor umérico P da verossimilhaça ou probabilidade de ocorrêcia de cada um dos cojutos de resultados de iteresse. 1.2 Espaço Amostral O cojuto de possíveis resultados de um experimeto aleatório é chamado de espaço amostral. Existem quatro potos que são desejáveis da especificação de um espaço amostral: SS1. listar os possíveis resultados do experimeto; SS2. fazê-lo sem duplicação; SS3. fazê-lo em um ível de detalhameto suficiete para os iteresses desejados; SS4. especificar essa lista completamete em um setido prático, embora usualmete ão completa o que se refere a todos os resultados logicamete ou fisicamete possíveis. Por exemplo, uma úica jogada de uma moeda pode ter o espaço amostral tradicioal Ω = {cara, coroa}, ou podemos cosiderar que a moeda pode fisicamete ficar equilibrada a borda Ω = {cara, coroa, borda} (SS1). Uma outra possibilidade seria levar em cosideração as coordeadas (x, y) do cetro da moeda quado ela para após ser jogada o ar. Como vemos muito mais se sabe sobre o resultado de uma jogada de uma moeda que os simples resultados biários tradicioais cara e coroa. Nós igoramos está iformação adicioal (SS3) usado uma hipótese ão mecioada que existe uma aposta com pagametos que depedem apeas de qual lado da moeda cai para cima e ão em outras iformações (SS4). Podemos classificar espaços amostrais em dois tipos de acordo com o úmero de elemetos que eles cotem. Espaços amostrais podem ser eumeráveis ou ão eumeráveis; se os elemetos do espaço amostral podem ser colocados em uma correspodêcia 1-1 com um subcojuto dos iteiros, o espaço amostral é eumerável. Em um ível filosófico, pode-se argumetar que só existem espaços amostrais eumeráveis, visto que medidas ão podem ser feitas com ifiita precisão. Equato a prática isto é verdadeiro, métodos estatísticos e probabilísticos associados com espaços amostrais ão eumeráveis são, em geral, meos complicados que aqueles para espaços amostrais eumeráveis, e proporcioam uma boa aproximação para a situação (eumerável) real.

1.3. EVENTOS E COLEÇÃO DE EVENTOS 3 1.3 Evetos e Coleção de Evetos Um eveto é um subcojuto do espaço amostral, ou seja, é um cojuto de resultados possíveis do experimeto aleatório. Se ao realizarmos um experimeto aleatório, o resultado pertece a um dado eveto A, dizemos que A ocorreu. Estaremos iteressados o estudo da ocorrêcia de combiações de evetos. Para tato, utilizaremos as operações Booleaas de cojutos (complemetar, uião, itersecção, difereça) para expressar evetos combiados de iteresse. Defiição 1.3.1: Os evetos A e B são disjutos ou mutuamete excludetes ou mutuamete exclusivos se ão puderem ocorrer jutos, ou, em liguagem de cojutos, A B =. Exemplo 1.3.2: Sejam A, B, e C evetos em um mesmo espaço amostral Ω. Expresse os seguites evetos em fução de A, B, e C e operações Booleaas de cojutos. (a) Pelo meos um deles ocorre: A B C. (b) Exatamete um deles ocorre: (A B c C c ) (A c B C c ) (A c B c C). (c) Apeas A ocorre: (A B c C c ). (d) Pelo meos dois ocorrem: (A B C c ) (A B c C) (A c B C) (A B C). (e) No máximo dois deles ocorrem: (f) Nehum deles ocorre: (A B C) c. (A c B c C c ). (g) Ambos A e B ocorrem, mas C ão ocorre: 1.3.1 Partição (A B C c ). Defiição 1.3.3: Dado um espaço amostral Ω, uma partição Π = {A α, α I} de Ω é uma coleção de evetos (subcojutos de Ω) (este caso, idexados por α que toma valores o cojuto de ídices I) e satisfaz: P1. Para todo α β, A α A β = ;

1.3. EVENTOS E COLEÇÃO DE EVENTOS 4 P2. α I A α = Ω. Deste modo os evetos de uma partição são mutuamete excludetes (ou disjutos) e cobrem todo o espaço amostral. Portato, cada elemeto ω Ω pertece a um, e somete um, dos evetos A α de uma partição. Exemplo 1.3.4: Se Ω = {1, 2, 3, 4}, etão {A 1, A 2 }, ode A 1 = {1, 2, 3} e A 2 = {4}, é uma partição de Ω. Exemplo 1.3.5: A coleção de itervalos {(, + 1] : Z} é uma partição dos úmeros reais IR. 1.3.2 Álgebra de Evetos Embora possa-se pesar que, dado um espaço amostral, ecessariamete é de iteresse aalisar todos os seus subcojutos (e isto evetualmete é verdadeiro), temos três razões para esperar que estejamos apeas iteressados em algus subcojutos do espaço amostral. Primeiro, o espaço amostral pode coter um grau de detalhameto superior ao que estamos iteressados o mometo. Por exemplo, ele pode represetar uma úica jogada de um dado com 6 elemetos, mas ós apeas estamos iteressados em saber se o resultado é par ou ímpar. Segudo, ós vamos querer associar cada eveto A com uma probabilidade umérica P (A). Como essas probabilidades estão baseadas em algum cohecimeto sobre a tedêcia de ocorrer do eveto, ou o grau de ossa creça que determiado eveto ocorrerá, osso cohecimeto sobre P pode ão esteder para todos os subcojutos de Ω. A terceira (e técica) razão para limitar a coleção de evetos de iteresse é que codições impostas em P pelos axiomas de Kolmogorov, que estudaremos adiate, podem ão permitir que P seja defiida em todos os subcojutos de Ω, em particular isto pode ocorrer quado Ω for ão eumerável, mas ão iremos demostrar este fato que está fora do escopo deste curso. Estaremos iteressados em uma coleção especial A de subcojutos do espaço amostral Ω (ote que A é um cojuto cujos elemetos também são cojutos!) que são evetos de iteresse o que se refere ao experimeto aleatório E e os quais temos cohecimeto sobre a sua verossimilhaça de ocorrêcia. A é chamado de uma álgebra de evetos. Defiição 1.3.6: Uma álgebra de evetos A é uma coleção de subcojutos do espaço amostral Ω que satisfaz: 1. ão é vazia; 2. fechada com respeito a complemetos (se A A, etão A c A); 3. fechada com respeito a uiões fiitas (se A, B A, etão A B A). Pelas Leis de De Morga, vemos que A é fechada com respeito a itersecções fiitas também.

1.3. EVENTOS E COLEÇÃO DE EVENTOS 5 Exemplo 1.3.7: 1. A meor álgebra de evetos é A = {, Ω}; 2. A maior álgebra de evetos é o cojuto das partes de Ω; 3. Um exemplo itermediário, temos: Ω = {1, 2, 3}, A = {Ω,, {1}, {2, 3}}. 4. A álgebra de evetos fiitos e co-fiitos. Seja Ω = IR e A = {A IR : A é fiito} {A IR : A c é fiito}, ou seja, A cosiste dos subcojutos de IR que ou são fiitos ou têm complemetos fiitos. A é uma álgebra de evetos. Lema 1.3.8: Se A é uma álgebra, etão Ω A Prova: Como A é ão vazia, seja A um elemeto qualquer seu. Pela seguda propriedade de álgebras, temos que A c A, e pela terceira propriedade temos que Ω = A A c A. Teorema 1.3.9: Sejam A 1 e A 2 álgebras de subcojutos de Ω e seja A = A 1 A 2 a coleção de subcojutos comus as duas álgebras. Etão, A é uma álgebra. Prova: Como A 1 e A 2 são álgebras, ambos cotém Ω. Etão, Ω A. Se A A, etão A está em ambos A 1 e A 2. Logo, A c está em ambos A 1 e A 2, e portato a sua itersecção A. Se A, B A, etão eles estão em ambos A 1 e A 2. Cosequetemete, A B está em ambos A 1 e A 2 e, portato, em A. Como A satisfaz as três codições da defiição de álgebra de evetos, A é uma álgebra de evetos. É fácil ver que a prova do Teorema 1.3.9 pode ser estedida para o caso de uma itersecção de um úmero arbitrário de álgebras. O seguite corolário usa este fato para provar que sempre existe uma meor álgebra cotedo uma família qualquer de evetos. Corolário 1.3.10: Existe uma meor (o setido de iclusão) álgebra cotedo qualquer família dada de subcojutos de Ω. Prova: Seja C uma coleção qualquer de subcojutos de Ω, defia A(C) como sedo o cojuto que é igual a itercessão de todas as álgebras de evetos que cotém C, isto é: A(C) = A. A C:A é uma álgebra de evetos Pelo Teorema 1.3.9, A(C) é uma álgebra de evetos, e cosequetemete é a meor álgebra de evetos cotedo C. A(C) é cohecida como a álgebra de evetos gerada por C.

1.3. EVENTOS E COLEÇÃO DE EVENTOS 6 Teorema 1.3.11: Se A é uma álgebra de evetos, etão A i A, i = 1, 2,..., i=1a i A Prova: Para = 1, o resultado é óbvio. Para = 2, o resultado segue diretamete da terceira propriedade a defiição de álgebra de evetos. Vamos agora provar o passo idutivo, supoha que A i A, i = 1, 2,..., k k i=1a i A. Vamos agora provar que o caso = k + 1 é verdadeiro. Supoha que A i, i = 1, 2,..., k + 1 A, etão como k+1 i=1 A i = ( k i=1a i ) A k+1, temos que utilizado o caso = k, k i=1a i A. Como k i=1a i A e A k+1 A, temos que utilizado o caso = 2, ( k i=1a i ) A k+1 A. Observação 1.3.12: Uma maeira de costruir uma álgebra de evetos, é primeiro particioar Ω em um úmero fiito subcojutos e depois cosiderar álgebra que cosiste dos evetos que são uiões fiitas dos subcojutos da partição. Exemplo 1.3.13: Por exemplo, Ω = {a, b, c, d}. Cosidere a partição, {{a, c}, {b, d}}, etão cosidere a coleção de evetos que cosiste de uiões fiitas dos evetos desta partição: A = {, Ω, {a, c}, {b, d}}. É fácil ver que A é uma álgebra de evetos. Dada uma coleção fiita evetos C = {A 1, A 2,..., A }, defie-se um átomo de C como sedo qualquer eveto B da seguite forma: B = B 1 B 2... B, ode B i = A i ou B i = A c i para i = 1, 2,...,. Note que existem o máximo 2 C átomos diferetes e que eles formam uma partição de Ω (verifique!). Quado C for uma coleção fiita de evetos, um eveto pertecerá a A(C), se e somete se, for igual a uma uião fiita de átomos de C. Note que A(C) terá o máximo 2 2 C elemetos (verifique!). Exemplo 1.3.14: Se Ω = {a, b, c, d, e, f}, ecotre a álgebra gerada por C = {{a, b, d}, {b, d, f}}. Os átomos de C são {{a}, {f}, {c, e}, {b, d}}. Logo, 1.3.3 Fução Idicadora A(C) = {, Ω, {a}, {f}, {c, e}, {b, d}, {a, f}, {a, c, e}, {a, b, d}, {c, e, f}, {b, d, f}, {b, c, d, e}, {a, f, c, e}, {a, f, b, d}, {a, b, c, d, e}, {b, c, e, d, f}}. É sempre coveiete represetar um eveto A por uma fução I A tedo domíio (cojuto dos argumetos da fução) Ω e cotra-domíio (cojuto dos possíveis valores da fução) biário {0, 1}.

1.3. EVENTOS E COLEÇÃO DE EVENTOS 7 Defiição 1.3.15: Fução Idicadora. A fução idicadora I A : Ω {0, 1} de um eveto A é dada por { 1 se ω A, I A (ω) = 0 se ω / A. Note que podemos determiar A a partir de sua fução idicadora: A = {ω : I A (ω) = 1}. Exemplo 1.3.16: Se I A (ω) for ideticamete igual a 1, ou seja, I A (ω) = 1, ω Ω, etão A é igual ao espaço amostral Ω. Se I A (ω) for ideticamete igual a 0, etão A é igual ao cojuto vazio. Se I A (ω) for igual a 1 somete quado ω = ω 0, etão A é o eveto {ω 0 } que cotém somete o elemeto ω 0. Note que existe uma correspodêcia 1-1 etre evetos e suas fuções idicadoras: A = B ( ω Ω)I A (ω) = I B (ω). O fato que evetos são iguais se, e somete se, suas fuções idicadoras forem idêticas os permitem explorar a aritmética de fuções idicadoras: I A c = 1 I A, A B I A I B, I A B = mi(i A, I B ) = I A I B, I A B = max(i A, I B ) = I A + I B I A B, I A B = max(i A I B, 0) = I A I B c, para costruir argumetos rigorosos o que se refere a relação etre evetos. Ou seja, ós trasformamos proposições sobre evetos em proposições sobre fuções idicadoras e podemos etão utilizar ossa familiaridade com álgebra para resolver pergutas meos familiares sobre evetos. Exemplo 1.3.17: Utilizado fuções idicadoras, verifique que A B B c A c. Solução: Temos que A B I A I B 1 I A 1 I B I A c I B c B c A c. Exemplo 1.3.18: As seguites questões ão estão relacioadas umas com as outras. a. Se I A I B for ideticamete igual a zero, o que sabemos a respeito da relação etre A e B? b. Se A B c = B A c, o que sabemos a respeito da relação etre A e B? c. Se I 2 A + I2 B for ideticamete igual a 1, o que podemos cocluir sobre A e B?

1.4. FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE 8 d. Se I A I B for ideticamete igual a 1, o que podemos cocluir sobre A e B? e. Se A B = B A, o que podemos cocluir sobre A e B? Solução: Exercício. Exemplo 1.3.19 : Utilizado fuções idicadoras, determie se (A C) (B C) = (A B c C c ) (A c B C c ). (Sugestão: Faça um Diagrama de Ve.) Solução: Seja ω A B C c. Etão, I A (ω) = I B (ω) = I C c(ω) = 1. Portato, temos I (A C) (B C) = I A C + I B C I A C I B C = I A I C c + I B I C c I A I C ci B I C c. De ode coclui-se que I (A C) (B C) (ω) = 1. Por outro lado, I (A B c C c ) (A c B C c ) = I (A B c C c ) + I (A c B C c ) I (A B c C c )I (A c B C c ) = I A I B ci C c + I A ci B I C c I A I B ci C ci A ci B I C c De ode coclui-se que I (A B c C c ) (A c B C c )(ω) = 0. Logo, I (A C) (B C) I (A B c C c ) (A c B C c ), o que implica que (A C) (B C) (A B c C c ) (A c B C c ). 1.4 Fudametos de Probabilidade Raciocíio probabilístico aparece em uma ampla variedade de feômeos de chace e icerteza, ele é lugar comum em osso dia-a-dia. Nós expressamos julgametos probabilísticos tato através da liguagem como através de ossas ações. Ultrapassar um carro em uma estrada com outro carro vido em direção oposta implica que calculamos as distâcias e velocidades, e calculamos os riscos de uma batida ocorrer e estamos coscietes das graves cosequêcias de erros os ossos julgametos, mas os cosideramos pequeos o suficiete. Raciocíio probabilístico o dia-a-dia equato ão desevolvido matematicamete precisa ser levado seriamete em cota se desejamos tomar decisões racioais. Nota-se que, em geral, precisamos icorporar cohecimeto probabilístico que seja tato qualitativo e expresso liguisticamete como também o cohecimeto quatitativo que pode ser expresso umericamete. Ates de focarmos em uma teoria probabilística, vamos explorar o espaço de alterativas. Nós podemos classificar as formas de raciocíio probabilístico as seguites dimesões: grau de precisão: o coceito estrutural o sigificado, ou iterpretação a ser dada a probabilidade estrutura matemática formal de probabilidade dada por um cojuto de axiomas O coceito estrutural determia a precisão com que podemos esperar que probabilidade represete feômeos aleatórios. A iterpretação proporcioa a base com a qual probabilidade deve ser determiada e idica o que podemos esperar apreder com ela, ou seja, o que uma afirmação probabilística sigifica. O coceito estrutural e a iterpretação guiam a

1.4. FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE 9 escolha dos axiomas. O cojuto de axiomas, cotudo, pode somete capturar uma parte do que etedemos da iterpretação. Compreesão de fudametos de probabilidade é importate, pois aplicações de teoria da probabilidade depedem fortemete de seus fudametos. Por exemplo, os fudametos ifluem a escolha dos métodos estatísticos a serem utilizados (Frequetistas, Bayesiaos,... ) e a iterpretação dos resultados obtidos. Os próximos exemplos ajudam a motivar um pouco a importâcia do estudo de fudametos de probabilidade. Exemplo 1.4.1: Supoha que Alice teha uma moeda hoesta e que ela e Bob saibam que a moeda é hoesta. Alice joga a moeda e olha o resultado. Após a moeda ser jogada, qual a probabilidade de cara segudo Bob? Um argumeto diria que a probabilidade aida é 1/2, pois Bob ão apredeu ada sobre o resultado da jogada, etão ele ão deve alterar o valor de sua probabilidade. Um outro argumeto, questioa se realmete faz setido falar sobre probabilidade de cara depois que a moeda foi jogada. Segudo este argumeto, a moeda ou caiu cara ou coroa, etão o melhor que Bob pode afirmar é que a probabilidade de cara ou é 0 ou é 1, mas ele ão sabe discerir etre esses valores. Exemplo 1.4.2 : Supoha agora que Alice teha duas moedas, uma hoesta e outra tedeciosa e é duas vezes mais provável dar cara que coroa com esta moeda. Alice escolhe uma das moedas (supoha que ela sabe distiguir as moedas) e está prestes a jogá-la. Bob sabe que uma moeda é hoesta e que a outra é tedeciosa e que é duas vezes mais provável cair cara que coroa com a moeda tedeciosa, mas ele ão sabe que moeda Alice escolheu em lhe foi dada a probabilidade com que Alice escolhe a moeda hoesta. Qual a probabilidade de cara segudo Bob? Exemplo 1.4.3: Paradoxo de Ellsbergue. Supoha que existam duas uras cada uma com 60 bolas. A ura 1 cotém 30 bolas azuis e 30 bolas verdes. Tudo que se sabe sobre a ura 2 é que ela cotém bolas azuis e verdes, mas ão sabe-se a distribuição das bolas. Cosidere que existem duas loteria com prêmios baseados o sorteio de bolas dessas uras. Loteria L 1 paga R$1.000,00 se uma bola azul for sorteada a ura 1, e R$0,00 caso cotrário. Loteria L 2 paga R$1.000,00 se uma bola azul for sorteada a ura 2, e R$0,00 caso cotrário. A maioria das pessoas quado questioada se prefere um bilhete da Loteria L 1 ou L 2 prefere um bilhete da loteria L 1. Supoha agora que temos duas outras loterias L 3 e L 4, ode a primeira paga R$1.000,00 somete se uma bola verde for sorteada da ura 1, e a seguda para R$1.000,00 somete se uma bola verde for sorteada da ura 2. Também, é verificado que a maioria das pessoas que preferiram a loteria L 1 a loteria L 2 preferem a loteria L 3 a loteria L 4. Com estas preferêcias, ão é possível que o decisor possua uma úica distribuição de probabilidade subjetiva sobre as cores das bolas a ura 2, pois a primeira preferêcia (L 1 sobre L 2 ) idica que o decisor cosidera que existam mais bolas verdes que azuis a ura 2, e a seguda (L 3 sobre L 4 ) idica que o decisor cosidera que existam mais bolas azuis que verdes a ura 2. Esse feômeo é cohecido a literatura como aversão a ambiguidade, e pode-se modelar a icerteza do decisor por um cojuto de medidas de probabilidade ao ivés de uma úica medida de probabilidade.

1.4. FUNDAMENTOS DE PROBABILIDADE 10 Nós discutiremos uma variedade de coceitos estruturais e iterpretações de probabilidade. Depois ós focaremos a probabilidade umérica tradicioal que satisfaz os famosos axiomas de Kolmogorov e em uma iterpretação baseada em frequêcias de ocorrêcia. 1.4.1 Hierarquia de Coceitos Estruturais de Probabilidade Os seguites são exemplos de uma variedade de coceitos estruturais de probabilidade: Possivelmete. Possivelmete A é o coceito mais rudimetar e meos preciso, e o usado pelos atigos Gregos para distiguir etre o que era ecessário e o que era cotigete. Existe um úmero de coceitos de possibilidade que icluem os seguites: possibilidade lógica, o setido que ão se cotradiz logicamete; possibilidade epistêmica, segudo a qual ocorrêcia de A ão cotradiz osso cohecimeto, que iclui, mas estede mais que mera lógica; possibilidade física, a ocorrêcia de A é compatível com leis físicas, cotudo ela pode ser extremamete improvável por exemplo, uma moeda parado e ficado equilibrada a borda em uma superfície rígida; possibilidade prática, a oção do dia-a-dia segudo a qual A é praticamete possível se ele tem pelo meos uma verossimilhaça ão tão pequea de ocorrer. Provavelmete. Provavelmete A é um fortalecimeto da oção de possibilidade que sigifica mais que provável que ão. Equato ela pode correspoder ao caso que a probabilidade umérica de A seja maior que 1/2, este coceito ão requer ehum comprometimeto com probabilidade umérica em com o preciso estado de cohecimeto que probabilidade umérica requer. Probabilidade Comparativa. A é pelo meos tão provável quato B. A probabilidade comparativa iclui provavelmete A através de A é pelo meos tão provável quato A c. Pode ser relacioada com probabilidade umérica através de P (A) P (B); embora como os dois exemplos ateriores, probabilidade comparativa ão requer ehum comprometimeto com probabilidade umérica. Probabilidade Itervalar. A tem probabilidade itervalar, ou probabilidade iferior e superior (P (A), P (A)). Isto permite um grau de idetermiação variável sem ehum comprometimeto com que exista um verdadeiro valor o itervalo. Probabilidade Numérica. A probabilidade de A é o úmero real P (A). Este é o coceito usual com o qual os ocuparemos este curso. Equato este coceito absorveu quase toda ateção de pessoas evolvidas com feômeos de chace e icerteza e provou ser frutífero a prática cietífica, este ão é o úico coceito utilizado em liguagem ordiária e o raciocíio probabilístico do dia-a-dia. É duvidoso que probabilidade umérica seja adequada a todas as aplicações que ela é utilizada, e é provável que ela teha iibido o desevolvimeto de teorias matemáticas apropriadas para outros feômeos aleatórios.

1.5. FREQUÊNCIAS RELATIVAS 11 De agora em diate focaremos o coceito estrutural mais utilizado e preciso que é a probabilidade umérica. 1.4.2 Iterpretações de Probabilidade Parece ão ser possível reduzir probabilidade a outros coceitos; ela é uma oção em si mesma. O melhor que podemos fazer é relacioar probabilidade a outros coceitos através de uma iterpretação. Os cico mais comus grupos de iterpretação são os seguites: 1. Lógica: grau de cofirmação da hipótese de uma proposição que A ocorre dada uma evidêcia através da proposição que B ocorreu. Esta iterpretação está ligada a um sistema lógico formal e ão, digamos, ao mudo físico. Ela é usada para torar o raciocíio idutivo quatitativo. Quado as evidêcias ou premissas são isuficietes para deduzir logicamete a hipótese ou coclusão, podemos aida medir quatitativamete o grau de suporte que uma evidêcia da a uma hipótese através de probabilidade lógica. 2. Subjetiva: se refere ao grau de creça pessoal a ocorrêcia do eveto A e é medida através da iterpretação comportametal de disposição a apostar ou agir. 3. Frequetista: se refere ao limite da frequêcia relativa de ocorrêcia do eveto A em repetidas realizações ão relacioadas do experimeto aleatório E. Note que limites de frequêcia relativas são uma idealização, pois ão se pode repetir ifiitas vezes um experimeto. 4. Propesidade: tedêcia, propesidade, ou disposição para um eveto A ocorrer. Por exemplo, cosiderações de simetria, podem levar a coclusão que um dado tem a mesma propesão ou tedêcia a cair em qualquer uma de suas faces. 5. Clássica: baseada em uma eumeração de casos igualmete prováveis. 1.5 Frequêcias Relativas Resta-os discutir o terceiro elemeto para modelagem do raciocíio probabilístico, a associação de uma medida umérica a evetos que represetam a verossimilhaça com que eles ocorrem. As propriedades desta associação são motivadas em grade parte pelas propriedades de frequêcia relativas. Cosidere uma coleção de experimetos aleatórios E i que possuem a mesma álgebra de evetos A e tem resultados idividuais ão ecessariamete uméricos {ω i }. Seja X(ω) uma fução real dos resultados, com X i = X(ω i ) sedo o valor associado com o resultado ω i do i-ésimo experimeto. Seja Av X = 1 i=1 X i a média dos resultados dos primeiros experimetos. Por simplicidade matemática, assumiremos que a fução X é escolhida de uma família F de fuções que podem assumir apeas um úmero fiito de valores uméricos. Fixado uma dada sequêcia de resultados {ω i }, é fácil verificar as seguites propriedades de Av : Av0. Av : F IR.

1.5. FREQUÊNCIAS RELATIVAS 12 Av1. Se para todo ω, X(ω) 0, etão Av 0. Av2. Se X é uma fução costate, etão Av X = X. Av3. Para todo X, Y F, para todo α, β IR, Av (αx + βy ) = αav X + βav Y. Em particular, se estamos iteressados em um dado eveto A e escolhemos X(ω) = I A (ω), uma fução biária, etão a média é cohecida como a frequêcia relativa de A. Defiição 1.5.1: A frequêcia relativa de um eveto A, determiada pelos resultados {ω 1,..., ω } de experimetos aleatórios, é r (A) = 1 I A (ω i ) = N (A). i=1 Propriedades chaves da frequêcia relativa são: FR0. r : A IR. FR1. r (A) 0. FR2. r (Ω) = 1. FR3. Se A e B são disjutos, etão r (A B) = r (A) + r (B). FR4. Se A 1, A 2, A, é uma sequêcia de evetos disjutos dois a dois, etão r ( i=1a i ) = i=1 r (A i ). Pode-se expressar Av em termos de r. Dada uma fução X que assume valores o cojuto fiito {x 1, x 2,..., x k }, cosidere os k evetos {A i = {ω : X(ω) = x i }, i = 1, 2,..., k}. Podemos rearrajar os termos em Av X e reescrevê-la da seguite forma: Av X = k x i r (A i ) = i=1 k x i r (X = x i ). Em particular, se para cada i, temos covergêcia da sequêcia r 1 (X = x i ), r 2 (X = x i ),..., r (X = x i ) para um limite p i, etão também temos covergêcia da média Av X, lim Av X = x i p i. Este limite das médias, quado existe, serve como iterpretação para o coceito essecial de esperaça ou média de uma quatidade aleatória umérica X. Veremos mais sobre esperaça este curso. Nós prosseguiremos como se existisse alguma base empírica ou metafísica que garata que r (A) P (A), embora que o setido de covergêcia quado cresce só será explicado pela Lei dos Grades Números. Esta tedêcia da frequêcia relativa de estabilizar em um certo valor é cohecida como regularidade estatística. Deste modo, P herdará propriedades da frequêcia relativa r. i=1 i=1

1.6. AXIOMAS DE KOLMOGOROV 13 1.6 Axiomas de Kolmogorov Primeiro por razões técicas, fora do escopo deste curso, temos que o domíio da medida formal de probabilidade é uma álgebra de evetos que também é fechada com relação a um úmero eumerável de uiões. Defiição 1.6.1: Uma σ-álgebra A é uma álgebra de evetos que também é fechada com relação a uma uião eumerável de evetos, ( i Z)A i A i Z A i A. Exemplo 1.6.2: A coleção de cojutos de úmeros reais fiitos e co-fiitos é uma álgebra que ão é uma σ-álgebra. Exemplo 1.6.3: A σ-álgebra de Borel B de subcojutos reais é, por defiição, a meor σ- álgebra cotedo todos os itervalos e é a σ-álgebra usual quado lidamos com quatidades reais ou vetoriais. Em particular, temos que uiões eumeráveis de itervalos (por exemplo, o cojuto dos úmeros racioais), seus complemetos (por exemplo, o cojuto dos úmeros irracioais), e muito mais está em B. Os axiomas que descreveremos a seguir ão descrevem um úico modelo probabilístico, eles apeas determiam uma família de modelos probabilísticos, com os quais poderemos utilizar métodos matemáticos para descobrir propriedades que serão verdadeiras em qualquer modelo probabilístico. A escolha de um modelo específico satisfazedo os axiomas é feito pelo aalista/estatístico familiar com o feômeo aleatório sedo modelado. Motivados pelas propriedades de frequêcia relativa, impõe-se os primeiros quatro axiomas de Kolmogorov: K0. Iicial. O experimeto aleatório é descrito pelo espaço de probabilidade (Ω, A, P ) que cosiste do espaço amostral Ω, de uma σ-álgebra A, e de uma fução de valores reais P : A IR. K1. Não-egatividade. A A, P (A) 0. K2. Normalização Uitária. P (Ω) = 1. K3. Aditividade Fiita. Se A, B são disjutos, etão P (A B) = P (A) + P (B). É fácil provar (tete!) utilizado idução matemática que K3 é válida para qualquer coleção fiita de evetos disjutos par a par, ou seja, se A i, i = 1, 2,...,, são evetos disjutos par a par, etão P ( i=1a i ) = i=1 P (A i). Um quito axioma, embora ão teha sigificado em espaços amostrais fiitos, foi proposto por Kolmogorov para garatir um certo grau de cotiuidade da medida de probabilidade.

1.6. AXIOMAS DE KOLMOGOROV 14 K4. Cotiuidade Mootôica. Se para todo i > 0, A i+1 A i e i A i =, etão Um forma equivalete de K4 é a seguite: lim i P (A i) = 0. 2 K4. σ-aditividade. Se {A i } é uma coleção eumerável de evetos disjutos dois a dois, etão P ( i=1a i ) = P (A i ). Teorema 1.6.4: Se P satisfaz K0-K3, etão P satisfaz K4 se, e somete se, ela satisfaz K4. Prova: Primeiro, vamos provar que K0-K4 implicam o axioma da σ-aditividade K4. Seja {A i } qualquer sequêcia eumerável de evetos disjutos par a par, e defia para todo i=1 B = i> A i, i=1a i = B ( i=1a i ). Claramete, para todo i, temos que A i e B são disjutos. Por K3, temos P ( i=1a i ) = P (B ) + P (A i ). i=1 Por defiição de série umérica, lim P (A i ) = i=1 P (A i ). i=1 K4 segue se coseguirmos mostrar que lim P (B ) = 0. Note que B +1 B, e que =1B =. Etão por K4, temos que o limite acima é zero e K4 é verdadeiro. Agora, vamos provar que K0-K3, K4 implicam o axioma da cotiuidade mootôica K4. Seja {B } qualquer coleção eumerável de evetos satisfazedo as hipóteses do axioma K4: B +1 B e =1B =. Defia, A = B B +1 e observe que {A } é uma coleção eumerável de evetos disjutos par a par. Note que B = j A j. 2 K4 (ou equivaletemete K4 ) é uma idealização que ão é aceita por algus tratametos subjetivistas de probabilidade, em especial ão é aceita por uma escola de estatísticos liderados por defietti (1972). Assumir apeas aditividade fiita, embora pareça mais plausível, pode levar a complicações iesperadas em teoria estatística. Portato, ós prosseguiremos sobre a suposição que o axioma da cotiuidade (K4) é válido.

1.6. AXIOMAS DE KOLMOGOROV 15 Etão, por K4 temos que P (B ) = P ( j A j ) = j P (A j ). Como por K4, temos que logo K4 é verdadeiro. P (A j ) = P ( j=1a j ) 1, j=1 lim P (B ) = lim P (A j ) = 0, j Uma fução que satisfaz K0-K4 é chamada de uma medida de probabi- Defiição 1.6.5: lidade. A tera (Ω, A, P ) é chamada de espaço de probabilidade. Ituitivamete quado se modela uma problema através de probabilidade, basicamete, o que se faz é especificar cada uma das compoetes da tera acima. Evetos são os elemetos de A, aos quais se pode atribuir probabilidade. Probabilidade é uma fução cujo argumeto é um cojuto. Portato, ão somete cojutos, como também as operações sobre eles, têm uma importâcia fudametal em teoria da probabilidade. 1.6.1 Exemplos de Medidas de Probabilidade Exemplo 1.6.6: Se Ω for um cojuto fiito, etão temos que a probabilidade clássica que assume que todos os resultados são igualmete prováveis, é um exemplo de uma medida de probabilidade. Neste caso, temos que P (A) = A Ω defiido para qualquer subcojuto A de Ω. O fato que 0 A Ω e que A B = A + B A B, permitem que verifiquemos que P satisfaz os axiomas de Kolmogorov. Exemplo 1.6.7: Se Ω = {ω 1, ω 2,..., ω } um cojuto fiito, e seja P ({ω i }) = p i, ode p i 0, i 1 e i=1 p i = 1, e P (A) = ω i A P ({ω i}). Neste caso, também é fácil verificar que P é uma medida de probabilidade verificado os axiomas. Exemplo 1.6.8: Seja Ω = [0, 1] e B 0 a σ-álgebra de Borel restrita a evetos cotidos em [0, 1]. Pode-se provar que existe uma medida de probabilidade µ em (Ω, B 0 ) tal que para todo itervalo I em [0, 1] µ(i) é igual ao comprimeto de I. Esta medida de probabilidade µ é cohecida como medida de Lebesgue.

1.6. AXIOMAS DE KOLMOGOROV 16 1.6.2 Propriedades de uma Medida de Probabilidade Teorema 1.6.9: Se P é uma medida de probabilidade, etão 1. P (A c ) = 1 P (A). 2. P ( ) = 0. 3. P (A) 1. Prova: Parte 1, segue do fato que Ω = A A c, K2, e K3, pois 1 = P (Ω) = P (A) + P (A c ). Parte 2, segue da Parte 1, do fato que Ω c =, e K2, K3, pois P ( ) = 1 P (Ω) = 0. Parte 3, segue do fato que 1 = P (Ω) = P (A) + P (A c ) P (A), já que P (A c ) 0 por K1. Teorema 1.6.10: Mootoicidade. Se A B, etão P (A) P (B). Prova: Note que B = A (B A), ode A e B A são disjutos. Etão K3 implica que P (B) = P (A) + P (B A). O resultado segue do fato que P (B A) 0. Corolário 1.6.11: P (A B) max(p (A), P (B)) mi(p (A), P (B)) P (A B). Teorema 1.6.12: Uma expressão exata para a probabilidade de uma uião ão-disjuta é dada por P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Prova: Como A B = A (B A), e A e B A são disjutos, K3 implica que P (A B) = P (A) + P (B A). E como B = (A B) (B A), A B e B A são disjutos, K3 implica que P (B) = P (A B) + P (B A). Logo, P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Teorema 1.6.13: Probabilidade de Partições. Se {A i } é uma partição eumerável de Ω feita de cojutos em A, etão para todo B A P (B) = i P (B A i ).

1.6. AXIOMAS DE KOLMOGOROV 17 Prova: Como {A i } é uma partição, segue que B = B Ω = B ( i A i ) = i (B A i ). O resultado segue etão por K4. Teorema 1.6.14: Desigualdade de Boole. Para evetos arbitrários {A 1,..., A }, a desigualdade de Boole é P ( i=1a i ) P (A i ). Prova: Provaremos por idução matemática em. A desigualdade é trivialmete verdadeira para = 1 e verdadeira para = 2, pois é uma cosequêcia imediata do Teorema 1.6.12. Assuma que a desigualdade é válida para = k e vamos provar que ela é válida para = k+1. Para ver isto, escrevemos k+1 i=1 A i = A k+1 k i=1a i. Pela desigualdade para = 2, Pela hipótese do passo idutivo, para = k, i=1 P ( k+1 i=1 A i) P (A k+1 ) + P ( k i=1a i ). P ( k i=1a i ) k P (A i ), i=1 portato, a desigualdade de Boole é verdadeira. Corolário 1.6.15: Para evetos arbitrários {A 1,..., A }, P ( A i ) P (A i ) ( 1). i=1 Prova: Utilizado a Lei de De Morga e a desigualdade de Boole para os evetos {A c 1,..., A c }, temos P ( i=1a c i) = 1 P ( A i ) P (A c i) = (1 P (A i )). i=1 i=1 Logo, P ( A i ) P (A i ) ( 1). i=1 O próximo teorema permite que possamos calcular de maeira exata a probabilidade P ( i=1a i ) para evetos arbitrários.

1.6. AXIOMAS DE KOLMOGOROV 18 Teorema 1.6.16: Pricípio da Iclusão-Exclusão. Seja I um cojuto geérico de ídices que é um subcojuto ão-vazio qualquer de {1, 2,..., }. Para evetos arbitrários {A 1,..., A }, P ( i=1a i ) = ( 1) I +1 P ( i I A i ), I {1,...,} ode o somatório é sobre todos os 2 1 cojutos de ídices excluido apeas o cojuto vazio. No caso particular de = 3, o pricípio de iclusão-exclusão afirma que P (A 1 A 2 A 3 ) = P (A 1 )+P (A 2 )+P (A 3 ) P (A 1 A 2 ) P (A 1 A 3 ) P (A 2 A 3 )+P (A 1 A 2 A 3 ). Prova: A prova é por idução matemática em. O resultado é trivialmete verdadeiro para = 1 e já foi provado para = 2 o Teorema1.6.12. Assuma que o resultado vale para = k e vamos provar que ele é verdadeiro para = k + 1. Como a prova da desigualdade de Boole, k+1 i=1 A i = A k+1 k i=1a i. Usado o resultado para = 2, temos P ( k+1 i=1 A i) = P (A k+1 ) + P ( k i=1a i ) P (A k+1 k i=1a 1 ). Reescrevedo o último termo como P ( k i=1(a k+1 A i )), os dá uma expressão que cotém uma uião de exatamete k cojutos. Etão, usado a hipótese do passo idutivo para os dois últimos termos P ( k+1 i=1 A i) = P (A k+1 )+ ( 1) I +1 P ( i I A i ) ( 1) I +1 P ( i I (A k+1 A i )). I {1,...,k} =I {1,...,k} O resultado segue ao rearrajarmos os termos destes somatórios. Exemplo 1.6.17: Professor Leôidas está tetado calcular a probabilidade p = P (A) do eveto A, e determiou que ela é uma raiz do seguite poliômio de grau cico: (p 3)(p 3 1)(p + 3 1)(p + 0.3)(p 0.3) = 0. Baseado esta fato, qual é o valor de p? Exemplo 1.6.18: Se Ω = {a, b, c}, e a álgebra A é o cojuto das partes de Ω, e a medida de probabilidade P é parcialmete defiida por P ({a, b}) = 0.5, P ({b, c}) = 0.8, P ({a, c}) = 0.7, etão complete a especificação de P para todos os evetos em A. Exemplo 1.6.19: Se {A i } for uma partição eumerável de Ω e P (A i ) = ab i, i 1, etão quais as codições que a e b devem satisfazer para que P seja uma medida de probabilidade?

1.6. AXIOMAS DE KOLMOGOROV 19 Exemplo 1.6.20: Em um grupo de r pessoas qual a probabilidade de haver pelo meos duas pessoas que façam aiversário o mesmo dia, assumido que a distribuição de aiversários é uiforme ao logo do ao e desprezado a existêcia de aos bissextos? Solução: Para determiar esta probabilidade, vamos utilizar a probabilidade clássica. O úmero de resultados possíveis para os aiversários de r pessoas é 365 r. O úmero de casos possíveis ode todas as pessoas fazem aiversário em dias diferetes é dado por 365 364 (365 (r 1)). Portato, o úmero de casos possíveis ode pelo meos duas pessoas fazem aiversário o mesmo dia é a difereça etre o úmero total de aiversários possíveis e o úmero de casos ode as pessoas têm aiversários em datas diferetes, ou seja, é igual a Logo, a probabilidade deste eveto é: 365 r 365 364 (365 (r 1)). 1 365 364 (365 (r 1)) 365 r. Para r = 23, temos que essa probabilidade é aproximadamete igual a 0, 51. E para r = 50, essa probabilidade é igual a 0, 97. Exemplo 1.6.21: Em uma loteria de N úmeros há um só prêmio. Salvador compra (1 < < N) bilhetes para uma só extração e Sílvio compra bilhetes, um para cada uma de extrações. Qual dos dois jogadores têm mais chaces de gahar algum prêmio? Solução: A probabilidade de Salvador gahar algum prêmio é. O úmero total de N extrações possíveis é N. O úmero de casos ode Sílvio ão gaha ehum prêmio é (N 1), logo o úmero de casos ode Sílvio gaha algum prêmio é igual a N (N 1). Logo, a probabilidade de Sílvio gahar algum prêmio é 1 (N 1). N Vamos provar por idução que Salvador tem mais chace de gahar, ou seja, > 1 N (N 1), que equivale a N (N 1) > 1 N N. Para = 2, temos: (N 1) 2 = 1 2 N 2 N + 1 N > 1 2 2 N. Supoha que para = k, temos que (N 1) k N k > 1 k N. Multiplicado esta expressão por N 1, obtemos: N (N 1) k+1 N k+1 > ( N 1 N )(1 k N ) = 1 1 N k N + k N 2 > 1 k + 1 N. Exemplo 1.6.22: Doze pessoas são divididas em três grupos de 4. Qual é a probabilidade de duas determiadas dessas pessoas ficarem o mesmo grupo?

1.6. AXIOMAS DE KOLMOGOROV 20 ( Solução: O úmero total de divisões de doze pessoas em 3 grupos de 4 é igual a 12 )( 8 )( 4 ) 4 4 4. Vamos agora cotar o úmero de casos favoráveis ao osso eveto. Existem 3 opções de escolhermos em qual grupo as duas pessoas determiadas podem ficar. Das 10 pessoas restates, temos que escolher mais duas para estarem este grupo, o que podemos fazer de ( ) ( 10 2 maeiras diferetes. E temos 8 4 4)( 4) maeiras diferetes de dividir as outras 8 pessoas os dois grupos restates. Portato, a probabilidade de duas determiadas pessoas ficarem o mesmo grupo é: 3 ( )( 10 8 4 ) 2 4)( 4) = 3 11. ( 12 )( 8 )( 4 4 4 4 Exemplo 1.6.23: Supoha que temos em uma sala mães cada uma com um filho. Supoha formemos duplas aleatoriamete, ode cada dupla cotém uma mãe e um filho, qual a probabilidade de que pelo meos uma mãe forme uma dupla com seu próprio filho? Solução: Seja A i o eveto que a i-ésima mãe forma dupla com seu filho. Queremos determiar P ( i=1a i ). Vamos calcular esta probabilidade utilizado a fórmula da iclusão exclusão. Note que: ( 1)! P (A i ) = = 1 para todo i {1, 2,..., }! ( 2)! 1 P (A i A j ) = =! ( 1) para i j e em geral, para um grupo I {1, 2,..., } de mães temos que P ( i I A i ) = ( I )!.! Como existem ( I ) grupos de mães com cardialidade I, temos que P ( i=1a i ) = = ( ) ( i)! ( 1) i+1 i! i=1 ( 1) i+1 1 i! i=1 Note que quado, temos que esta probabilidade tede a 1 1 e. Exemplo 1.6.24: Demostre que se P (A i ) = 1 para i = 1, 2,..., etão P ( i=1a i ) = 1. Solução: Como P (A i ) = 1, temos que P (A c i) = 1 P (A i ) = 0. Logo, pela desigualdade de Boole, temos P ( i=1a c i) i=1 P (Ac i) = 0. Logo, P ( i=1a c i) = 0. Portato, como pela Lei de De Morga, i=1a i = ( i=1a c i) c, temos que P ( i=1a i ) = 1 P ( i=1a c i) = 1. Exemplo 1.6.25: Demostre: se A 1, A 2,... e B 1, B 2,... são evetos aleatórios do mesmo espaço de probabilidade tais que P (A ) 1 e P (B ) p, etão P (A B ) p.

1.6. AXIOMAS DE KOLMOGOROV 21 Solução: Note que P (A B ) = 1 P ((A B ) c ) = 1 P (A c B c ) 1 P (A c ) P (B c ) = P (A ) + P (B ) 1. (1.1) Como P (B ) P (A B ) P (A ) + P (B ) 1, P (A ) + P (B ) 1 p e P (B ) p, pelo teorema do cofroto (ou saduíche), temos que P (A B ) p.

Capítulo 2 Probabilidade Codicioal 2.1 Probabilidade Codicioal Como vimos o capítulo aterior, existem várias possíveis iterpretações de probabilidade. Por exemplo, pode-se iterpretar probabilidade de um eveto A como um limite das freqüêcias relativas de ocorrêcia do eveto A em realizações idepedetes de um experimeto. Por outro lado, a iterpretação subjetiva de probabilidade associa a probabilidade de um eveto A com o grau de creça pessoal que o eveto A ocorrerá. Em ambos os casos, probabilidade é baseada em iformação e cohecimeto. Revisão desta base de iformação ou cohecimeto pode levar a revisão do valor da probabilidade. Em particular, cohecimeto que determiado eveto ocorreu pode iflueciar a probabilidade dos demais evetos. Cosiderado-se a iterpretação freqüetista de probabilidade, supoha que estejamos iteressados em saber qual a probabilidade de um dado eveto A, visto que sabe-se que um dado eveto B ocorreu. Supoha que realizasse um experimeto vezes das quais o eveto A (resp., B e A B) ocorre N A (resp., N B > 0 e N A B ) vezes. Seja r A = N A / a freqüêcia relativa do eveto A estas realizações do experimeto. A probabilidade codicioal de A dado que sabe-se que B ocorreu segudo esta iterpretação freqüetista, sugere que ela deve ser igual ao limite das freqüêcias relativas codicioais do eveto A dado o eveto B, isto é, ela deve ser o limite da razão N A B /N B quado tede ao ifiito. É fácil provar que esta razão é igual a r A B /r B, que por sua vez segudo a iterpretação freqüetista de probabilidade é aproximadamete igual a P (A B)/P (B) para valores grades de. Cosiderado-se uma iterpretação mais subjetiva supoha que a icerteza de um agete é descrita por uma probabilidade P em (Ω, A) e que o agete observa ou fica sabedo que o eveto B ocorreu. Como o agete deve atualizar sua probabilidade P ( B) de modo a icorporar esta ova iformação? Claramete, se o agete acredita que B é verdadeiro, etão parece razoável requerer que P (B c B) = 0 (2.1) Em relação aos evetos cotidos em B, é razoável assumir que sua chace relativa permaeça ialterada se tudo que o agete descobriu foi que o eveto B ocorreu, ou seja, se 22

2.1. PROBABILIDADE CONDICIONAL 23 A 1, A 2 B com P (A 2 ) > 0, etão P (A 1 ) P (A 2 ) = P (A 1 B) P (A 2 B) Segue que (2.1) e (2.2) determiam completamete P ( B) se P (B) > 0. (2.2) Teorema 2.1.1: Se P (B > 0) e P ( B) é uma medida de probabilidade em Ω que satisfaz (2.1) e (2.2), etão P (A B) P (A B) =. P (B) Prova: Como P ( B) é uma medida de probabilidade e satisfaz P (B c B) = 0, ós temos que P (B B) = 1 P (B c B) = 1. Cosiderado A 1 = A e A 2 = B em (2.2), temos etão P (A B) = P (A) para A B. Se A ão é um subcojuto de B, temos que A = P (B) (A B) (A B c ). Como (A B) e (A B c ) são evetos disjutos, temos P (A B) = P (A B B)+P (A B c B). Como A B c B c e P (B c B) = 0, temos que P (A B c B) = 0. Como A B B, usado o caso aterior P (A B) = P (A B B) = P (A B). P (B) Deste modo as iterpretações freqüetista e subjetivista de probabilidade justificam a seguite defiição. Defiição 2.1.2: Seja (Ω, A, P ) um espaço de probabilidade. Se A, B A e P (B) > 0 a probabilidade codicioal de A dado B é defiida por P (A B) = P (A B) P (B) Vamos provar que para um eveto fixo B que satisfaz P (B) > 0, P ( B) satisfaz os axiomas K1-K4 acima e realmete é uma medida de probabilidade. Para provar K1, ote que para todo A A, como P (A B) 0, ós temos P (A B) = Para provar K2, ote que Ω B = B, etão P (Ω B) = P (A B) P (B) P (Ω B) P (B) 0. = P (B) P (B) = 1. Fialmete, para provar K4 (que implica K3), ote que se A 1, A 2,... são mutuamete exclusivos A 1 B, A 2 B,... também o são, etão P ( i A i B) = P (( ia i ) B) = P ( i(a i B)) P (B) P (B) i = P (A i B) = P (A i B). P (B) i A probabilidade codicioal também satisfaz as seguites propriedades:

2.1. PROBABILIDADE CONDICIONAL 24 1. P (B B) = 1; 2. P (A B) = P (A B B); 3. se A B, etão P (A B) = 1; 4. P (A B C) = P (A B C)P (B C). Fazedo C = Ω a propriedade 4 acima, temos que: P (A B) = P (A B)P (B). Utilizado idução matemática, pode-se facilmete provar que P (A 1 A 2... A ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )... P (A A 1... A 1 ). Um método de se obter uma probabilidade (icodicioal) de uma probabilidade codicioal é utilizado o Teorema da Probabilidade Total. Ates de euciar este teorema precisamos relembrar o que é uma partição do espaço amostral. Uma seqüêcia de evetos A 1, A 2, A 3,... é uma partição do espaço amostral Ω se estes evetos são mutuamete exclusivos e cotém todos os elemetos de Ω ( i A i = Ω). Teorema 2.1.3: todo A A Seja a seqüêcia de evetos B 1, B 2,... uma partição de Ω, etão para P (A) = P (A B i )P (B i ) i:p (B i ) 0 Prova: Como B 1, B 2,... é uma partição de Ω, temos que A = A Ω = A ( i B i ) = i (A B i ). Como os evetos B i s são mutuamete exclusivos, os evetos (A B i ) s também são mutuamete exclusivos. Etão axioma K3 implica que P (A) = P ( i (A B i )) = i = P (A B i ) = i:p (B i ) 0 i:p (B i ) 0 P (A B i ) P (A B i )P (B i ). Se ós iterpretarmos a partição B 1, B 2,... como possíveis causas e o eveto A correspoda a um efeito particular associado a uma causa, P (A B i ) especifica a relação estocástica etre a causa B i e o efeito A. Por exemplo, seja {D, D c } uma partição do espaço amostral, ode o eveto D sigifica que um dado idivíduo possui uma certa doeça. Seja A o eveto que determiado teste para