UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA Graduação em Engenhara Cvl ELETROTÉCNICA (ENE078) PROF. RICARDO MOTA HENRIQUES E-mal: rcardo.henrques@ufjf.edu.br Aula Número: 19
Importante... Crcutos com a corrente adantada em relação à tensão Predomnânca de elementos capactvos Crcuto capactvo Crcutos com a corrente atrasada em relação à tensão Predomnânca de elementos ndutvos Crcuto ndutvo Análse de crcutos sem necessdade de cálculo de dervadas e ntegras Resstênca, reatânca ndutva e reatânca capactva
Solução de crcutos CA... Tensões e correntes alternadas até aqu... Como somar? v T t = v 1 t = V m1 sen wt + θ 1 + v t = V m sen wt + θ? Soma ponto a ponto... Processo dfícl e mprodutvo Em crcutos CA, sto acontecerá váras vezes... 3
Solução de crcutos CA... Como calcular a soma algébrca de duas ou mas tensões ou correntes senodas? Soma ponto a ponto Invável para os cálculos manuas Representação de uma senóde por meo de um número complexo Operações algébrcas com números complexos são smples RESPOSTA: Números complexos 4
Conceto Números Complexos Os números complexos surgram para sanar uma das maores dúvdas que atormentavam os matemátcos: Qual o resultado da operação X² + 1 = 0? X² = -1 X = -1 5
Conceto Por sso, fo crado um número especal, que denomnamos algebrcamente como, que elevado ao quadrado resulte em -1, matematcamente: ² = -1 = -1 Esse novo conceto possbltou a resolução da equação mostrada anterormente 6
Conceto Desse modo: X² + 1 = 0 X = -1 (como = -1) X = 7
Conceto Assm, fo crado um novo conjunto numérco denomnado conjunto dos números complexos ou conjunto dos números magnáros, que representamos pela letra C. Conjunto dos números complexos = C 8
Relação fundamental O conjunto dos números complexos possu, desse modo, a relação fundamental onde: ² = -1 ou = -1 9
Exemplos - = (-1) -4 = 4(-1) Aplcando a relação fundamental: - = Aplcando a relação fundamental: -4 = 10
Forma algébrca O número complexo possu uma parte real e outra magnára. Como a parte magnára conta com a presença do, sua forma algébrca é a + b Parte real Parte magnára 11
Forma algébrca Um número complexo que não possu parte real (a = 0) é denomnado número complexo puro. Um número complexo que não possu a parte magnára (b = 0) é denomnado número real e os números magnáros que possu ambas as partes são smplesmente chamados de números complexos. 1
+ 4 número complexo 8 - número complexo 6 número complexo puro 4 número real - número complexo puro Exemplos ² número real 13
Conjugado de um número complexo Um número complexo z = a + b possu um conjugado, representado por z, onde: z = a b (lê-se conjugado de z) 14
z = 4 z = + 4 z = z = - z = 1 + z = 1 - z = z = z = -3 8 z = -3 + 8 Exemplos 15
Operações com números complexos na forma algébrca Como os números reas possuem forma real e magnára separadas, as operações de adção, subtração, multplcação, dvsão e potencação dferem um pouco das habtuas com números reas. 16
Adção e subtração com números complexos na forma algébrca Para somar e subtrar números complexos deve-se efetuar as operações na parte real e magnára separadamente. (a + b) + (c + d) = (a + c) + (b + d) (a + b) - (c + d) = (a - c) + (b - d) 17
Exemplos ( + 4) + (3 + ) = ( + 3) + (4 + 1) = 5 + 5 (1 + 4) ( - 7) = (1 - ) + (4 + 7) = - -11 (3 + ) (4 + ) = (3-4) + (1-1) = -1 + ( + 4) = + (1 + 4) = + 5 18
Multplcação com números complexos na forma algébrca Para efetuar a multplcação aplca-se smplesmente a dstrbutva: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd² (a + b)(c + d) = ac + ad + bc bd (a + b)(c + d) = (ac bd) + (ad + bc) 19
Exemplos ( + 3)(1 + ) = + + 3 + 3² = + 5 3 = 1 + 5 (1 + ) = + ( )( 3 + ) = 6 +4 +3 ² = 4 + 7 0
Dvsão com números complexos na forma algébrca Para se dvdr números complexos, deve-se multplcar ambos os números pelo conjugado do complexo do denomnador: z1 z z z 1. z. z 1
Exemplo a 5 1 3 5 1 1 5 1 3 1 3 3 1 3 ) )(1 (1 ) )(1 (3 1 3
Potêncas de Nas potêncas de notam-se regulardades de quatro em quatro no expoente: 0 1 4 1 1 5 1 6 1 3 7 3
Potêncas de Assm, para encontrar o resultado de qualquer potênca, dvdmos o expoente por 4 e resolvemos a potênca utlzando como expoente o resto da dvsão. 1047 3 4 61 1047 = 3 = - 4
Número complexo no plano de Argand-Gauss Os números complexos podem ser representados em um plano, onde a reta das abscssas é a reta dos números reas e a das ordenadas é a reta dos números complexos. Esse plano é denomnado plano de Argand-Gauss. Colocar no plano de Argand-Gauss o número complexo z = 3 + : y (reta magnára) 4 3 1 z = 3 + 1 3 4 x (reta dos reas) 5
Módulo e Argumento No gráfco, o módulo de um número complexo z = a + b () é o segmento de reta que va do ponto orgem O (0,0) até o ponto do P (a, b) do número complexo z. O argumento de z é o ângulo que esta forma com o exo das abscssas em sentdo ant-horáro. = arg(z) z = a + b 6
Módulo e Argumento a =arg(z) z = a + b b z a b b sn a cos tan b a arctg b a 7
Forma trgonométrca Utlzando as relações dadas no slde anteror e aplcando-as à forma algébrca, obtemos a forma trgonométrca de um número complexo. sn cos b b sn a a cos z a b z cos sn z (cos sn ) 8
Exemplo Passar para a forma trgonométrca o número complexo z = 1 + 3 3 sn 3 cos ) sn (cos 3 ) arg( 1 cos 3 sn 4 3 1 3 1 z z z x x 9
Operações com números complexos na forma trgonométrca - Multplcação Multplcam-se os módulos e somam-se os argumentos: z z cos( ) sn( 1 1 1 1 ) 30
Operações com números complexos na forma trgonométrca - Dvsão Dvdem-se os módulos e subtraem-se os argumentos: z z 1 1 cos sn 1 1 31
Operações com números complexos na forma trgonométrca - Potencação Eleva-se o módulo à potênca n e multplcam-se os argumentos por n: z n z n cos n sn n 3
Operações com números complexos na forma trgonométrca Radcação De forma análoga à potencação, para efetuar a radcação com números complexos na forma trgonométrca utlzamos a formula: k k w n z cos sn n n k 0,1,,..., n 1 33
Resumo... Forma retangular Exos real e magnáro no quadro j parte real parte magnára j undade magnára j 1 34
Forma polar ou trgonométrca Resumo... Exos real e magnáro no quadro módulo ângulo cos arctan sn 35
Resumo... Operações matemátcas Complexo conjugado * j j Adção e subtração Adconar e subtrar as partes real e magnára 1 1 j1 j j 1 1 1 36
Operações matemátcas Multplcação Multplcar termo a termo 1 1 j1 j Resumo... j j 1 1 1 Na forma polar, multplcar os módulos e somar os ângulos 1 11 1 1 1 37
Operações matemátcas Dvsão Resumo... Raconalzar o denomnador 1 1 j1 1 1 j1 j j j j Dvsão Na forma polar, dvdr os módulos e subtrar os ângulos 1 j1 j 1 1 j1 j j 1 11 1 1 1 38
Importante... Representação de uma senóde por meo de um número complexo sn g t A t G A m m Para soma de senódes como g(t), podemos utlzar a álgebra de números complexos sob os fasores G A álgebra de fasores só pode ser aplcada a formas de onda senodas de mesma frequênca!!! 39
Orgem? Hstóra... A fórmula de Euler, cujo nome é uma homenagem a Leonhard Euler, é uma fórmula matemátca da área específca da análse complexa, que mostra uma relação entre as funções trgonométrcas e a função exponencal. (A dentdade de Euler é um caso especal da fórmula de Euler). A fórmula é dada por: 40
Hstóra... Orgem? Euler: Defasagem x = ρe = ρcos + ρsen v t = V m sen wt + θ V m e (wt+θ) = V m e wt e θ Osclação 41
Hstóra... v t = V m sen wt + θ V m e (wt+θ) = V m e wt e θ V m [cos (wt + θ) + sen (wt + θ)] aplcação fórmula de Euler 4
FASORES Fasor Defnção: O fasor é um vetor bdmensonal (plano complexo ou de Argand-Gauss) para representar uma onda em movmento harmônco smples. Observação 1: O exo-x do dagrama fasoral é o exo dos reas e o exo-y é o exo dos magnáro Dagrama fasoral genérco Observação : O sentdo de rotação do fasor é o ant-horáro. 43
FASORES Fasor Aplcação: O comportamento da tensão e corrente em CA para os dversos elementos de crcutos já estudados é senodal/cosenodal. Isso permte a comparação a segur: Dagrama fasoral da tensão CA (senodal) Onde: α = ωt (ângulo varável com o tempo) 44
FASORES Fasor Aplcação: A análse anteror propca a segunte decomposção fasoral do comportamento das tensões e correntes em CA. Domíno do Tempo rms Domíno da frequênca 45
FASORES Fasor Exemplo: Dado o crcuto abaxo determne (t). Represente o dagrama fasoral com v(t) e (t). Dado: v(t) (t) R = 100Ω v(t) = 100sen(ωt) [V] Resposta: (t) = 1sen(ωt) [A] I m.fasor: v t = V m sen ωt + θ 0 V = V m θ 0 v t = 100 sen ωt + 0 V = 100 0 t = 1 sen ωt + 0 I = 1 0 I = 1 0 V = 100 0 R e 46
Alguma dúvda? Crcutos em Corrente Alternada E-mal: rcardo.henrques@ufjf.edu.br Sala: 473, ao lado do R.U. Horáro preferencal: ª e 4ª Fera pela manhã 47