TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO3 Gil da Costa Marques 3. Introdução 3. Derivada da soma ou da diferença de funções 3.3 Derivada do produto de funções 3.4 Derivada de uma função composta: a Regra da Cadeia 3.5 Derivada do quociente de funções 3.6 Derivada de y = α, onde α 3.7 Derivada da função inversa 3.8 Diferencial de uma função de uma variável real 3.9 As regras de L Hospital Licenciatura em Ciências USP/ Univesp
Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 8 3. Introdução A seguir apresentaremos as técnicas de derivação para funções de uma variável. O objetivo de tais técnicas é o de facilitar o cálculo de derivadas a fim de não precisar recorrer sempre à definição de derivada de uma função num ponto interior ao seu domínio. Vamos, primeiramente, relembrar o conceito de derivada! Consideremos uma função y = f() definida num aberto contido em seu domínio, sendo um ponto interior a esse aberto, e suponhamos que a variável eperimenta, nesse intervalo, um aumento infinitesimal Δ (ou seja, infinitamente pequeno), acarretando uma variação infinitamente pequena da própria função, Δy. Consequentemente, a razão das diferenças y 3. = f ( + ) f ( ) envolve o quociente de quantidades infinitamente pequenas. No entanto, analisando o comportamento do quociente, quando ambos, denominador e numerador tendem simultaneamente a zero, a razão representada pela epressão 3. poderá convergir para um valor bem determinado. Esse limite, se eistir, varia com, e é denominado a derivada da função f no ponto. Por eemplo, se definirmos f() = m, m designando um valor inteiro, a razão entre as diferenças infinitesimais será: m m ( + ) m m( m ) m m = m + + + 3. No limite, quando a diferença Δ tende a zero, essa razão será a quantidade m m, isto é, uma nova função da variável. Para indicar essa dependência, daremos o nome de derivada à nova função e a designaremos, utilizando a notação de Cauchy, por yʹ ou fʹ(), ou ainda, usando a notação de Leibniz, por ( d ). A seguir analisaremos propriedades importantes das derivadas. Encerraremos o teto abordando, rapidamente, o conceito de diferencial de uma função.
8 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 3. Derivada da soma ou da diferença de funções Se f e g são funções deriváveis, então, a soma f + g é igualmente derivável. A derivada da soma é igual à soma das derivadas das suas parcelas: ( ) = + + d f + g d d dg d ou ( f g ) = f + g 3.3 Para a diferença de duas funções, vale um resultado análogo: ( ) = d f g d d dg d ou ( f g ) = f g 3.4 O resultado acima para a derivada da soma pode ser facilmente verificado a partir da definição de derivada. Para isso, consideramos as taas de variação da função soma de duas funções. De acordo com a sua definição, escrevemos: ( f + g)( )= ( f + g) ( + ) ( f + g)( )= = f ( + )+ g + f g ( )= + ( + ) ( ) = f + f g g 3.5 Donde se infere que: ( ) f ( )+ g( ) = f ( ) + g ( ) 3.6 Considerando o limite da epressão 3.6, quando 0, obtemos 3.3, uma vez que os limites das duas parcelas no segundo membro da igualdade acima eistem e são finitos, já que as funções f e g são deriváveis. No caso da diferença de funções deriváveis, a verificação é análoga. 3 Técnicas de Diferenciação
Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 83 Eemplos Eemplo : Consideremos as funções f ( ) = sen e g() = 3. Vamos encontrar a derivada da função f + g. Temos: ( d )= f ( )= cos e dg ( d )= g ( )= 3 Assim: d ( f + g ) ( )=( + ) ( )= ( )+ ( )= + d f g f g cos 3 Eemplo : Dada a função y = f ( ), definida por f ( ) = 5 6 + 9, vamos calcular a função derivada. Temos: d d ( )= ( 5 6+ 9) d Como d ( 5 )= 0 d d ( 6)= 6 d d ( 9)= 0 d Então, d d ( )= ( 5 6+ 9)= 0 6. d 3.3 Derivada do produto de funções Se f e g são deriváveis, então, o produto f g é derivável. Para o produto de duas funções vale a propriedade: d( f. g) d d g f dg = + ou ( fg. ) = f g + f g d 3.7 Para deduzir tal propriedade, iniciamos com a definição de taa de variação média para o produto de duas funções. Assim, por definição, temos: ( f g)= ( f g) ( + ) ( f g)( )= f ( + ) g + f g ( ) 3.8
84 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo ou seja, somando e subtraindo um conveniente termo, ( fg. )= f ( + ) g( + ) f ( ) g( + )+ f ( ) g + f g ( ) 3.9 ou, agrupando de modo apropriado, ( ) + ( ) ( fg. )= f ( + ) f ( ) g( )+ f ( ) g + g 3.0 Calculando o limite quando 0, temos: fg. lim ( ) + = f f lim equação que nos leva ao resultado 3.7, uma vez que g + g g( + )+ 0 0 f ( ) 3. bem como lim 0 lim f ( + )= f ( ) e lim g + g, 0 f ( + ) f ( ) = f ( ) 0 ( )= ( ) = g ( ) g + g e lim 0, pois as funções f e g são deriváveis. Da propriedade relativa ao produto de funções, podemos facilmente deduzir que, se k for uma constante qualquer, resultará: d( kf ) k = ou ( kf )' = kf ' d d 3. Eemplo 3: Sendo f ( ) = 4 3.cos, vamos encontrar sua derivada. Temos: ( )= ( )= ( )= ( )= g 4 g 3 h cos h sen 3 Técnicas de Diferenciação
Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Assim, como a derivada do produto é dada por (gh)ʹ() = gʹ().f ( ) + g().fʹ(), temos: 85 Eemplo 4: Vamos calcular a derivada da função f ( ) = 5 4.sen.cos. Temos: A fim de calcular a derivada do produto das três funções, observamos que, escrevendo de maneira abreviada, e, portanto, f ( )= cos+ 4 3 ( sen )= cos 4 3 sen ( )= ( )= ( )= ( )= ( )= ( )= g 5 g 0 4 3 h sen h cos z cos z sen ( ghz) = ( gh) z+( gh) z = ( g h+ g h ) z+ g h z = g h z+ g h z+g h z ( )= ( 0 3 ) ( ) ( )+ ( 5 4 ) ( ) ( )+ ( 5 4 ) ( f sen cos cos cos sen ) ( sen )= 3 4 4 = 0 sen cos + 5 cos 5 sen = ( ) 3 = 0 sen cos+ 5 4 cos sen Eemplo 5: Sendo f ( ) = 7 sen, vamos encontrar sua derivada. Vimos que, sendo k uma constante, temos (k.f )ʹ = k.fʹ, uma vez que a derivada de uma função constante é zero. Assim, fʹ() = 7 cos. 3.4 Derivada de uma função composta: a Regra da Cadeia Para a especial operação de composição de duas funções deriváveis, temos uma maneira especial de calcular a derivada da função composta, denominada Regra da Cadeia. Se y = h(u) e u = g(), ou seja, y = h(g()), sendo h e g deriváveis, então, a função composta y = h(g()) é derivável e sua derivada é dada pela epressão: dy d = dh du du d 3.3
86 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Assim, basta lembrar que, se y = h(g()), então, a taa de variação média será dada por: y = h = h u u 3.4 ou seja, y = h u+ u h u u u = h u+ u h u u g + g 3.5 Então, quando 0, temos u 0 e, supondo que u 0, temos: y lim lim... = h u = h ( u) g ( )= h g( ) g 0 0 u ( ) ( ) 3.6 que é precisamente 3.3. Entretanto, essa prova não é geral porque, para valores arbitrariamente pequenos de, poderia acontecer que u fosse zero e o cálculo acima não seria válido. Uma demonstração mais geral pode ser encontrada em tetos de Cálculo Diferencial. Adiante, utilizando o conceito de diferencial de uma função, novamente estaremos trabalhando com a composição de funções e a Regra da Cadeia reaparecerá. Eemplo 6: Consideremos a função f ( ) = sen 4 = (sen ) 4 e vamos calcular sua derivada. Para tanto façamos: logo Desse modo: h() = sen f ( ) = sen 4 = (sen ) 4 = (h()) 4 ( dh h)= 4h 3 e: dh ( d )= cos 3 Técnicas de Diferenciação
Logo, pela Regra da Cadeia: Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 87 f d dh h ( )= ( )= ( ( )) ( )= 4 3 ( ( )) ( )= 4 3 Eemplo 7: Sendo f ( ) = sen 5, vamos calcular sua derivada. Para tanto, façamos: dh d h cos sen cos o que acarreta: Temos então: e f h h() = 5 f ( ) = sen h() dh d ( )= ( )= dh h ( h)= ( )= 5 4 cosh Portanto, de acordo com a Regra da Cadeia, temos: f d dh h dh ( ) = d h 5 5 cos ( )= ( )= ( ( )) ( )= cos ( ) 4 4 5 3.5 Derivada do quociente de funções Seja g f ( )= ( ) h ( ) 3.7 de tal modo que h() 0. Assumindo que f e g são deriváveis, vamos mostrar que a derivada da função f é dada por: dg d d h g dh ( ) ( ( d ) )= ou h ( ) g h gh gh = h 3.8
88 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Para tanto, vamos escrever a função f como um produto: Então, derivando o produto das duas funções, temos: ( ) = ( ) ( ) Pela Regra da Cadeia, temos d d h h h Logo, Desse modo, a derivada do quociente de duas funções deriváveis, sendo não nula a função do denominador, é dada por: f ( )= ( ) f g d g h h( ) = ( ) ( ) dg d h g d d h ( )= ( )= ( ) ( ) + ( ) ( ) ( )= ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( )= g = ( ) h( ) g ( ) h ( ) g = ( ) h( ) g( ) h ( ) h( ) h( ) f g h g h h g h ( ) ( )= ( ) d g d h g h g h = ( ) ( ) h( ). 3.9 Eemplo 8: 4 Dada f ( )=, vamos calcular sua derivada. Fazendo sen e g() = 4 gʹ() = 4 3 h() = sen hʹ() = cos utilizando a epressão para a derivada do quociente, g h g ( h g h ( ) ( ) )= h ( ) 3 Técnicas de Diferenciação
temos: Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo ( )= 4 3 4 4 sen cos f = sen sen 89 Eemplo 9: sen Vamos encontrar a derivada de tg = em todo ponto em que o denominador não seja zero. cos Fazendo e g() = sen gʹ() = cos h() = cos hʹ() = sen utilizando a epressão para a derivada do quociente, temos: Eemplo 0: Vamos encontrar a derivada de sec = cos em todo ponto em que o denominador não seja zero. Fazendo e g() = gʹ() = 0 h() = cos hʹ() = sen utilizando a epressão para a derivada do quociente, g h g ( h g h ( ) ( ) )= h ( ) sen cos cos sen sen cos s ( tg ) = = ( ) + en = cos cos cos g h g ( h g h ( ) ( ) )= h ( ) = = sec cos temos: ( ) = = os 0 cos sen sen sen ( ) = = tg sec cos cos cos cos c
90 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 3.6 Derivada de y = α, onde α Em Derivadas das Funções Simples, encontramos a derivada de y = n, quando n é um número inteiro. O caso presente de y = α 3.0 envolve um epoente real, podendo ser racional ou irracional, e a questão de encontrar sua derivada será resolvida eaminando essa função como a composição de duas outras. De fato, podemos escrever y = α ln = e α 3. uma vez que a função eponencial de base e e a função logarítmica de base e são funções inversas. Assim, utilizando a propriedade dos logaritmos, ainda podemos escrever α ln y = = e = e αln E agora, encontramos a derivada da função com o auílio da regra da cadeia: α αln α α y = e α = α = α a derivada da eponencial de base e a derivada do logaritmo de base e 3. É importante notar que a epressão encontrada para a derivada de y = α, onde α, engloba o caso já analisado quando o epoente é um número inteiro. Eemplo : Encontrar a derivada de = 3 4 a. y b. y = 3 Técnicas de Diferenciação
Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Em ambos os casos, basta aplicar 3., obtendo: 3 a. y = 4 4 b. y = 9 Eemplo : Este eemplo merece atenção: se y = +, sua derivada, que é a derivada de uma soma de funções, é obtida pela aplicação de duas propriedades diferentes, uma para cada uma das parcelas: uma vez que, para derivar f ( ) =, utilizamos o raciocínio anterior, isto é, e, daí, y = + ln ln f ( )= = e = e ln f ( )= e ln ln = ln Eemplo 3: Analogamente, a derivada de y = π + π é: π y = π + π ln π Eemplo 4: Tudo o que foi desenvolvido até aqui nos permite encontrar a derivada de A() = f ( ) g() O domínio da função A é constituído pelos números reais tais que f ( ) > 0. Podemos escrever então ( )= ( ) = A f e g( ) g( ) ln f ( ) e, portanto, ou seja, A e g f g g( ) ( )= ln f ( ) ( ) ln ( )+ ( ) A f g f g f g( ) ( )= ( ) ( ) ln ( )+ ( ) ( ) f ( ) f f ( ) ( )
9 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 3.7 Derivada da função inversa Seja z uma função de relacionada a outra função y = f ( ) pela epressão: z = F( y) 3.3 Assim, z = F ( f ( )) é comumente denominada função de uma função da variável de. Ela foi definida anteriormente como a função composta z = F y 3.4 onde supomos que as funções z = F(y) e y = f() são ambas deriváveis em seus domínios. Denotando os acréscimos infinitamente pequenos por Δ, Δy e Δz, então, a taa de variação média de z, com relação a, é dada por: z = F y+ y F y Quando Δ 0, temos Δy 0 e, portanto, F y+ y F y = y y 3.5 e, portanto, vale a relação: dz d F y+ y F y ( )= lim y y lim 0 0 f + f 3.6 z ( )= F ( y) y ( )= F ( f ( ) ) f ( ) 3.7 com a ressalva análoga observada em 3.6. Se a função f for a função inversa de F, isto é, F f = Id 3.8 ou seja, 3 Técnicas de Diferenciação
( )( )= ( ( ))= ( )= Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo F f F f Id 93 3.9 de onde f = F e, de 3.7, segue-se que df f d df df ( ( )) ( )= ( f ( ) ) ( )= d 3.30 Inferimos, pois, que a derivada da função inversa F é dada, em termos da derivada da função F, como: df ( ) df = f ( ) d Com a ajuda da epressão 3.3, podemos facilmente determinar a derivada da função inversa de uma dada função. Consideremos o caso das funções simples y = A, y = arcsen e y = arccos, as quais podem ser obtidas a partir das derivadas das funções y = log A, y = sen e y = cos. Em O Teorema do Valor Médio e Aplicações das Derivadas, faremos uso da epressão 3.3 para encontrar as derivadas de funções simples a partir das derivadas das funções inversas. 3.3 Eemplo 5: Consideremos a função f ( ) = com domínio D e imagem I dados por: D = I = + Nesse caso, f não admite inversa. Entretanto, considerando uma restrição do domínio, podemos definir, por eemplo, a função + f : R R + + De y = obtemos = y, isto é: g( y)= y é a função inversa de f +. Pelo que vimos em 3., já sabemos que a derivada de g é: g ( y)= y = y
94 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Vamos determinar a derivada de g utilizando o que vimos a respeito da derivada da função inversa. Temos, pelo teorema demonstrado, g y f ( )= ( ) ou seja, pois = g ( y )= ( ) = = f y y, como queríamos mostrar. Eemplo 6: As funções e y = f ( ) log A (A > 0, A ) = g(y) = A y (A > 0, A ) são inversas uma da outra. Em Derivadas das Funções Simples, vimos como encontrar a derivada de cada uma delas. Agora, sabendo, por eemplo, que gʹ(y) = A y.ln A podemos encontrar a derivada da inversa f utilizando o fato de que f = g y A ln A ln A ( )= ( ) = y Eemplo 7: Consideremos a função g(y) = sen y, que não é inversível em seu domínio. Considerando a restrição de g ao intervalo D = π π,, podemos definir a função inversa (que se lê: arco-seno ) Temos: Assim: y = g () = f ( ) = arcsen = g( y)= sen y g ( y)= cosy = sen y = f g y ( )= ( ) = 3 Técnicas de Diferenciação
Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 95 É importante observar que a função arcsen tem como domínio o intervalo fechado D = π π,, mas é derivável somente no intervalo aberto de mesmas etremidades. Assim, d ( arcsen )= ( arcsen ) = para < < d 3.8 Diferencial de uma função de uma variável real Seja y = f ( ) uma função da variável independente. Seja ainda 0 uma quantidade não necessariamente infinitesimal, mas 0 uma quantidade finita. Considerando = α 0 3.3 onde agora α é uma quantidade infinitamente pequena, teremos que a taa de variação média será dada por: f + f de onde concluímos que f + α 0 f = α 0 3.33 + = f + α f f f 0 α 0 3.34 Definimos a diferencial da função y = f ( ) como: ( )= lim α 0 f + α f α 0 3.35 Indicamos, de acordo com a notação acima, essa diferencial com o caractere d. Assim, escrevemos para tal quantidade dy ou ( ) 3.36
96 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo É fácil obter o valor da diferencial se conhecemos a função yʹ = fʹ(). De fato, tomando o limite em ambos os membros da equação 3.33, encontraremos: lim α 0 + = f + α 0 f f f lim α 0 0 3.37 ou seja, ( )= f ( ) 0 3.38 No caso particular em que f ( ) =, a equação 3.38 se reduz a d = 0 3.39 Assim, a diferencial da variável independente nada mais é do que a constante finita 0. Tendo em vista 3.39, que identifica 0 como a diferencial da função identidade, o lado direito da equação 3.38 pode ser escrito como o produto ( )= f ( ) d 3.40 ou, analogamente, dy = yʹd 3.4 Eemplo 8: Vamos encontrar o valor aproimado de ln (,004). Nesse caso, temos a função y = f ( ) = ln, o valor inicial = e o acréscimo = 0,004. Temos, então, y = ln,004 ln = ln,004 e, como dy = f ʹ()., sendo f ( )=, para =, temos: dy = 0,004 Logo, y pode ser aproimado por 0,004, ou seja, ln(,004) 0,004 3 Técnicas de Diferenciação
Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Eemplo 9: Qual o valor aproimado de 4, 004? Agora temos a função y = f ( )=, o valor inicial = 4 e o acréscimo = 0,004. Então, y = 4, 004 4 = 4, 004. e, como dy = fʹ()., sendo f ( )=, para = 4, temos: 0, 004 dy = = 0, 0006 4 97 Logo, y pode ser aproimado por,0006. Assim, podemos entender a derivada como igual à razão entre a diferencial da função e a diferencial da variável. Por essa razão, frequentemente, chamamos a função derivada de coeficiente diferencial. Nesse conteto, diferenciar uma função é o mesmo que encontrar sua diferencial. A operação pela qual se diferencia é chamada diferenciação. A partir do cálculo das derivadas, podemos obter as diferenciais das funções. Assim, temos as seguintes diferenciais: d( a+ )= d, d( a )= d, d( a)= ad d a a d a a d a d = =, d( e )= ed π d( sen)= cos d = sen + d π d( cos)= sen d = cos + d 3.4 3.43 3.44 3.45 3.46 Ainda poderíamos, é claro, mostrar que a diferencial da soma de duas funções diferenciáveis é igual à soma das diferenciais dessas funções, bem como que a diferencial do produto y() = u().v() de duas funções diferenciáveis u e v é dada pela relação: dy = udv + vdu. Para verificar essa última afirmação, basta observar que: dy = y = ( uv + uv ) = uv + vu = udv + vdu
98 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo No caso da composição de duas funções: y = f ( u), u = u() e y = f ( u()), temos que, como dy d y f u u ( )= ( )= ( ) ( ) 3.47 então, dy = f ( u) u ( ) d 3.48 dy = f ( u) du 3.49 o que significa que a diferencial de uma função composta é epressa da mesma maneira como se a variável intermediária u fosse uma variável independente. Eemplo 0: Seja y = ln e vamos determinar sua diferencial dy. Temos: Então, y ( )= f ( u) u ( )= ( )= Logo, y = f ( u) = ln u e u = u() = u u. dy = d ou dy Eemplo : No caso de y = cos, vamos determinar sua diferencial. De modo análogo, temos: = d ( ) y = f ( u) = cos u e u = u() = Então, y ( )= f ( u) u ( )= senu u ( )= sen. Logo, dy sen d sen d = = ( ) 3 Técnicas de Diferenciação
Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 99 3.9 As regras de L Hospital Veremos aqui duas propriedades importantes para o cálculo de limites da forma 0 0 ou, que são ambas epressões indeterminadas. Muitas vezes, sabemos calcular limites desse tipo, utilizando alguma técnica apropriada, como a fatoração do denominador e do numerador, seguida da simplificação dos dois termos, ou a multiplicação de ambos os termos por algum fator adequado, e assim por diante. Entretanto, há situações em que tais técnicas não resolvem o e problema. É o caso, por eemplo, dos limites: lim ou lim ln +. 0 Primeira regra de L Hospital: Sejam f e g deriváveis num intervalo aberto I e seja a um ponto de I e suponhamos que gʹ() 0 numa vizinhança de a, contida em I. Nessas condições, f ( ) f ( ) se lim f a ( )= 0 e lim g a ( )= 0 e se eiste lim, sendo finito ou infinito, então, lim a g ( ) a g( ) eistirá e f ( ) f ( lim lim a g( ) = ) a g ( ) É importante notar que a propriedade continua válida se, em lugar de a, tivermos. 3.50 Eemplo : Seja o limite Observamos que: 0 L = lim cos 0 3 lim( cos )= cos0 = = 0 0 lim( 3 )= 3( 0) = 0 Portanto, temos que L é da forma 0, que é uma indeterminação. 0 Vejamos, então, se eiste o limite: L = lim (cos ) 0 ( 3 )
300 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Temos: (cos ) = sen e ( ) = 3 6 Assim: L ( ) = lim cos lim sen lim 0 0 0 3 6 6 ( ) = sen = 6 (atenção para o limite fundamental). Como L eiste, temos L = L : L = lim cos 0 = 3 6 Eemplo 3: 0 O limite lim também é da forma ln 0. Observamos que ( )ʹ = e que ln e que lim ( ) lim lim (ln ) = = = logo, eiste lim e lim =. ln ln Eemplo 4: lim lnsen π também é da forma 0 ( π ) 0. Observamos que e que ( ) = e que lim (lnsen ) lim cotg [( )] = ainda é da forma 0 π π π 4( π ) 0. (lnsen ) = cos = cotg sen [( π )]' = ( π ).( ) = 4( π ) 3 Técnicas de Diferenciação
Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Mas, aplicando novamente a propriedade, temos: (cotg )ʹ = cossec e [ 4(π )]ʹ = 8 e lim (cotg ) lim cossec [ ( )] = = π 4 π π 8 8 30 Logo, eiste lim (lnsen ) lim cotg [( )] = = π π π 4( π ) 8 e eiste lim lnsen π ( π ) e lim lnsen π ( π ) = 8. Segunda regra de L Hospital: Sejam f e g deriváveis num intervalo aberto I e seja a um ponto de I e suponhamos que gʹ() 0 numa vizinhança de a, contida em I. Nessas condições, f se lim f( ) = e lim g ( ) = e se eiste lim ( ) f, sendo finito ou infinito, então, lim ( ) a a a g ( ) a g ( ) eistirá e f lim ( ) f lim ( = ) a g ( ) a g ( ) 3.5 É importante notar que a propriedade continua válida se, em lugar de a, tivermos.
30 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Eemplo 5: ln tg3 Vejamos o limite: lim que é da forma 0 ln tg5. Observamos que (lntg 3) = 3 sec 3 = 3 tg3 sen 3.cos3 e que e que pois lim sen 5 sen = 5 ln tg3 ln tg3 (verifique!). Logo, eiste lim e lim =. 0 3 3 0 ln tg5 0 ln tg5 Eemplo 6: O limite lim + Observamos que e que e que e + também é da forma 0 +. (e )ʹ = e ( 0 )ʹ = 0. 9 ainda é da forma +. Aplicando a regra de L Hospital mais 9 vezes, chegaremos a + e lim =+ + 0! Logo, eiste lim + e e e lim 0 + (lntg 5) = 5 sec 5 = 5 tg5 sen 5.cos5 3 lim (lntg 3 ) lim sen.cos li (lntg ) = 3 3 = 3 sen 5.cos5 m 0 5 0 5 sen.cos = 0 5 3 3 sen 5.cos5 =+ 0. lim ( ) e e lim + ( ) = + 0 0 9 3 Técnicas de Diferenciação
Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 303 Uma observação adicional: é importante saber que as regras de L Hospital são úteis no sentido de que resolvem vários limites que satisfazem as hipóteses colocadas. Eiste, porém, um mas... Vejamos a seguir! Eemplo 7: O limite lim tg sec π Observamos que e que é da forma + +. (tg)ʹ = sec (sec)ʹ = tg.sec e que lim (tg ) lim sec (sec ) = ainda é da forma + π π tg +. Entretanto, não adianta aplicar novamente a regra de L Hospital... Agora, esse limite é quase imediato, ao ser calculado diretamente! lim tg lim sen cos = lim sen sec cos = = π π π