Elementos Finitos Isoparamétricos

Cpítulo 5 Elementos Finitos Isoprmétricos 5.1 Sistems de Referênci Globl e Locl Considere o elemento liner, ilustrdo n Figur 5.1, com nós i e j, cujs coordends são x i e x j em relção o sistem de referênci X dotdo. Desej-se encontrr um função F (t) que trnsforme um ponto x i x x j pr um ponto 1 1, pertencente o sistem de referênci. Como o elemento tomdo possui nós, trnsformção F (t) é dd pel equção de um ret, ou sej, F(t) xi x x j X -1 1 Figur 5.1: Mpemento entre os sistems de referênci X e. F (t) αt + β (5.1) Aplicndo-se equção (5.1) os pontos x i e x j vem que, { F (xi )αx i + β 1 F (x j )αx j + β 1 Resolvendo-se o sistem de equções nterior obtém-se s constntes α e β. Logo, α x j x i β x j + x i x j x i e substituindo em (5.1) tem-se que, F (t) x j x i t x j+x i x j x i (5.) Por exemplo, tomndo-se x i 10, x j 10e x 5, verific-se que, F ( x) (10 10) 5 10 ( 10) 10 ( 10) 0,5

CAPÍTULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMÉTRICOS 50 Y (x), (y), ζ (z) P(x,y,z) k (1,1,1) i X Z j ζ Figur 5.: Trnsformção entre os sistems de referênci globl e locl. No cso gerl de um elemento sólido, tem-se 3 coordends crtesins x,y,z s quis devem ser trnsformds pr s componentes,,ζ, respectivmente, como mostrdo n Figur 5.. O sistem crtesino xyz é denomindo sistem globl de referênci, enqunto ζ define o sistem locl. A vntgem de se utilizr um sistem locl está relciond à mudnç dos limites de integrção ns expressões pr o cálculo ds mtrizes de mss e rigidez dos elementos finitos, ssim como pr os vetores de crregmento. Neste cso, os limites inferior e superior de integrção pssm pr 1 e 1, respectivmente. Ddo um ponto P de coordends (x, y, z) segundo o sistem globl, verific-se que pr se obter este ponto no sistem locl, bst plicr equção (5.) pr cd um ds componentes, ou sej, (x) (y) ζ(z) x j x i t x j+x i x j x i y k y j t y k+y j y k y j z j z i t z j+z i z j z i onde (x i,y i,z i ), (x j,y j,z j )e(x k,y k,z k )são s coordends dos nós i,j,k, respectivmente, como pode ser visto n Figur 5.. No entnto, gerlmente, o elemento finito possui um form distorcid no sistem globl e desej-se obter um trnsformção pr um sistem locl onde os ldos do elemento permneçm retos, como presentdo n Figur 5.3. Est trnsformção está bsed ns funções de form, discutids seguir. 5. Funções de Form Considere o conjunto de pontos ( 1,,...,,..., b,..., n ) definidos num sistem locl de referênci. O polinômio de Lgrnge de ordem n 1 ssocido o ponto é ddo por, l (n 1) () nb1(b ) ( b ) nb1(b ) ( b ) ( 1)( )...( 1 )( +1 )...( n ) ( 1 )( )...( 1 )( +1 )...( n ) (5.3) Observ-se que o polinômio l () present seguinte propriedde, { l ( )1 b l ( b )0 b

CAPÍTULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMÉTRICOS 51 Y 3 (-1,1) 3 (1,1) 1 1 (-1,-1) (1,-1) X Figur 5.3: Trnsformção entre os sistems de referênci globl e locl utilizndo funções de form. Logo, l ( b )δ b (5.) onde δ b é tl que, { 1 se b δ b 0 se b Deve-se ssocir um função de form pr cd um dos nós de um elemento finito. Ests funções são tomds como polinômios de Lgrnge, cuj ordem depende do número de nós do elemento considerdo. Pr um elemento unidimensionl com m nós, tem-se m funções de form de ordens m 1. Logo, N (m 1) () l (m 1) () 1,...,m (5.5) Pr elementos bidimensionis, bst tomr o produto tensoril dos polinômios de Lgrnge. Portnto, pr um elemento com m e n nós ns direções e, tem-se um totl de mn funções dds por, N (,) l (m 1) b ()l c (n 1) () 1,...,mn (5.6) Anlogmente, pr o cso tridimensionl com m, n, p nós ns direções,, ζ, definem-se mnp funções d seguinte mneir, N (,,ζ) l n 1 b ()l m 1 c ()l p 1 d (ζ) 1,...,mnp (5.7) Ns expressões nteriores, os índices, b, c, d são escolhidos de mneir conveniente como será mostrdo ns seções seguintes.

CAPÍTULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMÉTRICOS 5 5.3 Elementos Unidimensionis 5.3.1 Elemento Liner Pr ilustrr o processo de obtenção ds funções de form considere o elemento liner mostrdo n Figur 5.. Como neste cso, o elemento possui pens dois nós, s funções são polinômios de primeiro gru, ou sej, equções de rets em. Assim, prtir de (5.3) e (5.5) vem que, 1 () l(1) 1 () 1 () l(1) () 1 1 1 1 ( 1) 1 (1 ) +1 1 ( 1) 1 (1 + ) N ( ) N ( ) 1 1 1-1 1 De form reduzid, tem-se que, Figur 5.: Elemento unidimensionl liner. 1 (1 + ) 1, (5.8) onde ±1. 5.3. Elemento Qudrático D mesm form, determinm-se s funções de form pr o elemento unidimensionl qudrático d Figur 5.5. Como são três nós, tem-se três funções de ordem e plicndo-se (5.3) e (5.5) vem que, N () 1 () l() 1 () ( )( 3 ) ( 0)( 1) ( 1 )( 1 3 ) ( 1 0)( 1 1) 1 (1 ) N () () l() () ( 1)( 3 ) ( 1)( +1) ( 1 )( 3 ) (0 + 1)(0 1) (1 ) N () 3 () l() 3 () ( 1)( ) ( +1)( 0) ( 3 1 )( 3 ) (1 + 1)(1 0) 1 (1 + ) ou ind, { () N 1 () 1 (1 + ) 1,3 N () () (1 ) (5.9)

CAPÍTULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMÉTRICOS 53 Figur 5.5: Elemento unidimensionl qudrático. 5.3.3 Elemento Cúbico Seguindo o mesmo procedimento, determinm-se s funções de form pr o elemento de terceiro gru, ilustrdo n Figur 5.6. Portnto, N (3) 1 () l(3) 1 () ( )( 3 )( ) ( 1 )( 1 3 )( 1 ) ( +1/3)( 1/3)( 1) ( 1+1/3)( 1 1/3)( 1 1) 1 16 (9 1)(1 ) N (3) () l(3) () ( 1)( 3 )( ) ( 1 )( 3 )( ) ( +1)( 1/3)( 1) ( 1/3+1)( 1/3 1/3)( 1/3 1) 9 16 (1 )(1 3) N (3) 3 () l(3) 3 () ( 1)( )( ) ( 3 1 )( 3 )( 3 ) ( +1)(+1/3)( 1) (1/3 + 1)(1/3+1/3)(1/3 1) 9 16 (1 )(1 + 3) N (3) () l(3) () ( 1)( )( 3 ) ( 1 )( )( 3 ) Logo, ( +1)(+1/3)( 1/3) (1 + 1)(1 + 1/3)(1 1/3) 1 16 (9 1)(1 + ) { (3) N () 9 16 (1 )(1 + 3),3 N (3) () 1 16 (9 1)(1 + ) 1, (5.10)

CAPÍTULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMÉTRICOS 5 5.3. Elemento Quártico Pr o elemento quártico, mostrdo n Figur 5.7, s funções de form são determinds de mneir nálog os elementos nteriores. Assim, N () 1 () l() 1 () ( )( 3 )( )( 5 ) ( 1 )( 1 3 )( 1 )( 1 5 ) ( +1/)( 0)( 1/)( 1) ( 1+1/)( 1+0)( 1 1/)( 1 1) 1 6 ( 1)(1 ) N () () l() () ( 1)( 3 )( )( 5 ) ( 1 )( 3 )( )( 5 ) ( +1)(+0)( 1/)( 1) ( 1/+1)( 1/ 0)( 1/ 1/)( 1/ 1) 3 ( 1)(1 ) N () 3 () l() 3 () ( 1)( )( )( 5 ) ( 3 1 )( 3 )( 3 )( 3 5 ) ( +1)(+1/)( 1/)( 1) (0 + 1)(0 + 1/)(0 1/)(0 1) (1 )(1 ) N () () l() () ( 1)( )( 3 )( 5 ) ( 1 )( )( 3 )( 5 ) ( +1)(+1/)( 0)( 1) (1/ + 1)(1/+1/)(1/ 0)(1/ 1) 3 (1 )(1 + ) N () 5 () l() 5 () ( 1)( )( 3 )( ) ( 5 1 )( 5 )( 5 3 )( 5 ) ( +1)(+1/)( 0)( 1/) (1 + 1)(1 + 1/)(1 0)(1 1/) 1 6 ( 1)(1 + ) Portnto, N () () 1 6 ( 1)(1 + ) 1,5 N () () 3 ( 1)(1 + ), N () () (1 )(1 ) 3 (5.11) 1 3-1 -1/3 1/3 1 x Figur 5.6: Elemento unidimensionl cúbico.

CAPÍTULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMÉTRICOS 55 1 3 5-1 -1/ 0 1/ 1 x Figur 5.7: Elemento unidimensionl quártico. 5. Elemento Bidimensionl Liner Considere o elemento qudrngulr ilustrdo n Figur 5.8. As funções de form deste elemento são obtids prtir de (5.6) e dos polinômios ddos em (5.8), onde relção entre os índices,b,c está presentd n Tbel 5.1 e pode ser observd n Figur 5.8. Portnto, 1 (,) l(1) 1 ()l(1) 1 () 1 (1 )(1 ) (,) l(1) ()l(1) 1 () 1 (1 + )(1 ) 3 (,) l(1) ()l(1) () 1 (1 + )(1 + ) (,) l(1) 1 ()l(1) () 1 (1 )(1 ) 3 1 1 X -1 1 1 Figur 5.8: Elemento qudrngulr liner. 1-1 1 3 b 1 1 c 1 1 Tbel 5.1: Relção entre os índices,b,c pr o elemento qudrngulr liner. Est relções podem ser resumids n seguinte expressão, N (,) 1 (1 + )(1 + ) 1,,3, (5.1) onde ±1 e ±1. Outros elementos plnos podem ser obtidos umentndo-se, progressivmente, um nó pr cd ldo do qudrdo, como ilustrdo n Figur 5.9. Neste cso, verific-se presenç de nós interiores,

CAPÍTULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMÉTRICOS 56 umentndo-se ssim o número de vriáveis do elemento. Este conjunto de elementos ssim obtidos pertencem àfmíli lgrngen. Pode-se evitr presenç destes nós interiores. Define-se, dest form os elementos finitos d fmíli Serendipity discutidos nos cpítulos seguintes. Figur 5.9: Elemento lgrngenos qudrngulres. 5.5 Elementos Isoprmétricos Ao se plicr o MEF n nálise de um estrutur, deve-se interpolr su geometri, ou sej, s coordends dos pontos, ssim como grndez ser clculd, como por exemplo os deslocmentos nodis. Pode-se plicr s funções de form pr efetur ests interpolções. Neste cso, s três possibiliddes ilustrds n Figur 5.10 pode ser dotds, ou sej, onúmero de nós usdos pr definir form do elemento é menor que quele plicdo pr interpolção d grndez de interesse; utiliz-se o mesmo número de nós pr interpolr geometri e grndez; dot-se um número de nós mior pr interpolção d geometri. coordends grndez ) b) c) Figur 5.10: Elemento finitos subprmétricos, isoprmétricos e superprmétricos. Ests três lterntivs definem s clsses dos elementos finitos subprmétricos, isoprmétricos e superprmétricos. Observ-se que os elementos subprmétricos são mis utilizdos, pois em gerl desej-se interpolr com mior precisão o cmpo d grndez ser clculd, tis como deslocmentos, tempertuts, dentre outrs. Neste texto, o interesse está no estudo dos elementos finitos isoprmétricos. Denotndo por x, y e z s coordends dos pontos em relção um sistem globl de referênci, pode-se escrever s seguintes relções:

CAPÍTULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMÉTRICOS 57 x(,,ζ) y(,,ζ) z(,,ζ) n N (,,ζ)x e 1 n N (,,ζ)y e (5.13) 1 n N (,,ζ)z e 1 onde n éonúmero de nós do elemento e X e, Y e, Z e são s coordends crtesins globis dos nós do elemento e. Anlogmente, os deslocmentos {u}, {v} e {w} dos pontos são ddos por, u(,,ζ) v(,,ζ) w(,,ζ) n N (,,ζ)u e 1 n N (,,ζ)v e (5.1) 1 n N (,,ζ)w e 1 sendo U e, V e, W e os deslocmentos nodis ns direções x,y,z, respectivmente, em relção o sistem globl de referênci. As trnsformções indicds em (5.1) e (5.15) são bseds ns funções de form dos elementos e podem ser utilizds pr efetur o mpemento de um elemento distorcido num sistem globl pr um form regulr no sistem locl. Pr exemplificr, considere o elemento qudrngulr ilustrdo n Figur 5.11. Aplicndo-se (5.1), obtém-se s coordends x,y dos pontos do elemento no sistem globl, ou sej, x(,) N 1 (,)X e 1 + N (,)X e + N 3 (,)X e 3 + N (,)X e y(,) N 1 (,)Y1 e + N (,)Y e + N 3(,)Y3 e + N (,)Y e Substituindo s expressões ds funções de form dds em (5.1) e s coordends do ponto i ( 1; 0) vem que, x i x( 1, 0) 1 5+0 30 + 0 0 + 1 10 7, 5 y i y( 1, 0) 1 15 + 0 10 + 0 30 + 1 5 0 Observ-se que s coordends do ponto i ssim clculds estão de cordo com Figur 5.11. Portnto, identificm-se no sistem globl s linhs de e constntes. Assim, s funções de form podem ser utilizds não pens pr interpolção d geometri e ds grndezs de interesse em estudo, ms tmbém pr definir um trnsformção entre os sistems de referênci globl e locl, fcilitndo o cálculo ds mtrizes dos elementos finitos.

CAPÍTULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMÉTRICOS 58 i 3 Y i 30 5 15 Y 1 i 3 1 1 10-1 -1 1 5 10 0 30 X X i Figur 5.11: Exemplo de trnsformção entre os sistems de referênci locl e globl utilizndo s funções de form. 5.6 Jcobino e Cálculo ds Derivds Globis A expressão gerl pr o cálculo d mtriz de rigidez dos elementos finitos, dd em (.37) envolve derivds ds funções de form em relção às coordends globis x,y,z, trvés d mtriz de deformção [B]. Como s funções de interpolção estão expresss em coordends locis,,ζ, deve-se plicr regr d cdei. Considerndo, então, o nó de um elemento vem que, + y y + z z + y y + z z + y y + z z ou em form mtricil, y y y z z z y z [J] y z (5.15) Amtriz[J] é denomind Jcobino d trnsformção. Assim, pr se obter s derivds ds funções de form em relção às coordends globis x,y,z deve-se inverter mtriz do Jcobino. Logo, y z [J] 1 Utilizndo-se s relções (5.1) cheg-se seguinte expressão pr mtriz do Jcobino, (5.16)

CAPÍTULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMÉTRICOS 59 [J] n1 X n1 Y n1 Z n1 N X n1 Y n1 Z n1 X n1 Y n1 Z N 1 N N... n X 1 Y 1 Z 1 N 1 N N... n X Y Z N 1 N N... n... X n Y n Z n (5.17) Demonstr-se ind que o diferencil de volume dv, presente ns expressões pr o cálculo ds mtrizes e vetores de crregmentos dos elementos finitos, pode ser escrito ns coordends locis,,ζ prtir do determinnte do jcobino d seguinte mneir, dv dd dζ det[j] (5.18) Logo, s integris de volume presentes ns relções pr o cálculo ds mtrizes e dos vetores de crregmento dos elementos finitos podem ser express em função ds vriáveis locis. Tomndo-se, por exemplo, mtriz de rigidez, observ-se que, [ K 1 1 1 e ] [B] T [D][B] dv [B] T [D][B] det[j] dd dζ (5.19) V 1 1 1 Em gerl, integrção indicd em (5.19) não pode ser efetud nliticmente. Dest form, deve-se empregr técnics de integrção numéric, s quis serão discutids posteriormente. Observ-se que o mpemento entre coordends locis e globis pode não ser único nos csos onde o elemento finito presentr-se muito distorcido. Pr que o mpemento sej único, o sinl do determinnte do jcobino deve permnecer inlterdo pr todos os pontos do domínio considerdo. Pr o elemento qudrngulr liner, os ângulos internos não devem ser superiorres 180 o pr evitr distorção excessiv do elemento. Pr o elemento qudrático, deve-se grntir ind que posição dos nós intermediários estejm no 1/3 centrl de cd um ds fces. Este csos estão ilustrdos n Figur 5.1. Pr s funções de form de mior gru, não épossível obter regrs semelhntes, devendo-se, então, checr o sinl do determinnte do jcobino. 5.7 Dedução d Mtriz de Rigidez de Brr Pln A mtriz de rigidez do elemento de brr pln, ilustrdo n Figur.5, foi obtid nos cpítulos nteriores considerndo coeficientes de influênci e plicndo-se expressão (.37). Neste último cso, s funções de interpolção dependim d vriável globl x, como indicdo em (.50). Pretende-se gor deduzir est mesm mtriz, considerndo, no entnto, s funções de form segundo o sistem locl de referênci. A prtir de (.8), observ-se que o cmpo de deslocmentos u do elemento de brr possui vrição liner. Como o elemento possui dois nós, geometri pode ser interpold por funções lineres. Assim, este elemento é isoprmétrico, podendo-se empregr então, s funções de form do elemento liner dds em (5.8). A prtir ds expressões (5.1) e (5.15), geometri e os deslocmentos são interpoldos como, x() N ()X e N 1() X 1 + N () X 1 (1 ) X 1 + 1 (1 + ) X (5.0) 1

CAPÍTULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMÉTRICOS 60 α < 180 α 1/3L 1/3L 1/3L Figur 5.1: Condição pr que os elementos qudrngulres liner e qudrático não presentem distorção. u() N ()U e N 1 ()Ū1 + N ()Ū 1 (1 )Ū1 + 1 (1 + )Ū (5.1) 1 onde X 1, X e Ū1,Ū denotm, respectivmente, s coordends e os deslocmentos dos nós1edo elemento de brr. A mtriz de rigidez, segundo o sistem de referênci locl, pode ser clculd prtir de (.37). Neste cso, tem-se que, [ K 1 e ] [B] T [D][B] dv [B] T [D][B] det[j] Ad (5.) V 1 sendo A áre d secção trnsversl. A mtriz de deformção será dd por, [ ] [B] N1 N (5.3) Pr determinção ds derivds globis n expressão nterior plic-se (5.16). Logo, ( ) [J] 1 1, (5.) Assim, trvés de (5.0) obtém-se, [J] [ 1 (1 ) X 1 + 1 ] (1 + ) X 1 ( X ) l 1 (5.5) Substituindo (5.5) em (5.), cheg-se `s derivds globis indicds n mtriz [B], N 1 N N 1 l 1 l N l 1 l

CAPÍTULO 5. ELEMENTOS FINITOS ISOPARAMÉTRICOS 61 Portnto, obtém-se mesm expressão pr mtriz [B] dd em (.51), ou sej, 1 [ ] 1 1 l A mtriz de elsticidde [D] consiste pens do módulo de elsticidde E, como pode ser verificdo em (.7). Assim, retornndo-se (5.) vem que, [ K e ] 1 1 [B] T [D][B] det[j] Ad 1 1 [ 1 1 l 1 ] E 1 l [ [ ] l EA 1 1 Ad l 1 1 1 1 Dest mneir, determin-se mesm expressão nterior. No entnto, este procedimento é gerl podendo serextendidovários tipos de elementos finitos, como será mostrdo nos próximos cpítulos. ]