ANÁLISE DE ROTORES FLEXÍVEIS APOIADOS EM MANCAIS RADIAIS ELÍPTICOS E CILÍNDRICOS UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ANÁLISE DE ROTORES FLEXÍVEIS APOIADOS EM MANCAIS RADIAIS ELÍPTICOS E CILÍNDRICOS UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS WÉDERLEY MENDES MIRANDA Blo Horizont, 31 d agosto d 2012

ii Wédrly Mnds Miranda ANÁLISE DE ROTORES FLEXÍVEIS APOIADOS EM MANCAIS RADIAIS ELÍPTICOS E CILÍNDRICOS UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Ts aprsntada ao Programa d Pós-Graduação m Engnharia Mcânica da Univrsidad Fdral d Minas Grais, como rquisito parcial à obtnção do título d Doutor m Engnharia Mcânica. Ára d concntração: Projto Mcânico. Orintador: Prof. Marco Túlio Corrêa d Faria, Dr. Univrsidad Fdral d Minas Grais Blo Horizont Escola d Engnharia da UFMG 2012

iii Univrsidad Fdral d Minas Grais Programa d Pós-Graduação m Engnharia Mcânica Av. Antônio Carlos, 6627 Pampulha CEP 31.270-901 Blo Horizont MG Tl.: +55 31 34995145 - Fax.: +55 31 3443-3783 www.dmc.ufmg.br - -mail: cpgmc@dmc.ufmg.br ANÁLISE DE ROTORES FLEXÍVEIS APOIADOS EM MANCAIS RADIAIS ELÍPTICOS E CILÍNDRICOS UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS WÉDERLEY MENDES MIRANDA Ts dfndida aprovada m 31 d agosto d 2012, pla Banca Examinadora dsignada plo Colgiado do Programa d Pós-Graduação m Engnharia Mcânica da Univrsidad Fdral d Minas Grais, como part dos rquisitos ncssários à obtnção do título d Doutor m Engnharia Mcânica, na ára d concntração d Projto Mcânico. Prof. Dr. Marco Túlio Corrêa d Faria Univrsidad Fdral d Minas Grais Orintador Prof. Dr. Eduardo Bauzr Mdiros Univrsidad Fdral d Minas Grais - Examinador Prof. Dr. Lazaro Valntim Donadon Univrsidad Fdral d Minas Grais - Examinador Prof. Dr. Rogério José Marczak Univrsidad Fdral do Rio Grand do Sul - Examinador Prof. Dr. Pdro Américo Almida Magalhãs Júnior PUC Minas - Examinador

iv AGRADECIMENTOS Em primiro lugar a Dus, por m mostrar o caminho m dar forças durant sts anos d muita ddicação. À minha família, principalmnt à minha sposa filhos, plo apoio, comprnsão paciência m todos os momntos m qu não pud lhs dar a dvida atnção. Ao Prof. Marco Túlio Corrêa d Faria pla orintação dst trabalho também plas aulas d Dinâmica d Rotors d Toria da Lubrificação, qu m fizram dsprtar o intrss pla ára, o qu rsultou nst trabalho. À amiga Ana Paula Ladira, pla valiosa contribuição durant a rvisão final dst trabalho, nos aspctos d mtodologia d normalização. Aos profssors Ricardo Luiz Utsch d Fritas Pinto Maria Lúcia Machado Duart, pla acolhida quando rtorni à UFMG para fazr o doutorado. Ao Dpartamnto d Engnharia Mcânica da UFMG, pla strutura física do laboratório d Dinâmica d Rotors, pla qualidad d nsino plo apoio na participação d vntos.

v SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 19 1.1 Escopo 21 1.2 Objtivos 22 1.2.1 Objtivo gral 22 1.2.2 Objtivos spcíficos 22 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 23 2.1 Modlagm d sistmas rotor-mancal 23 2.2 Anális da stabilidad através d problma d autovalor 31 2.3 Mancais hidrodinâmicos 33 2.4 Sistmas rotativos com lmntos adicionais 35 2.5 Mancais lípticos 37 3 METODOLOGIA 40 3.1 Modlagm do Rotor Flxívl 41 3.2 Modlagm do Mancal Radial Elíptico 44 3.2.1 Equaçõs d Lubrificação 47 3.2.2 Equaçõs d Elmntos Finitos para Mancais Elípticos 50 3.2.3 Discrtização do campo d prssão d ordm zro 50 3.2.4 Discrtização do campo d prssão d primira ordm 53 3.2.5 Dtrminação dos Coficints d Força dos Mancais Elípticos 55 3.3 O Sistma Rotor-Mancal 56 3.4 Diagrama do Procdimnto Computacional 58 4 RESULTADOS E ANÁLISE 61

vi 4.1 Exmplos d validação 61 4.1.1 Rotor com disco m balanço 61 4.1.2 Rotor apoiado nas xtrmidads com disco no cntro 65 4.1.3 Rotor d uma bancada d tsts 69 4.1.4 Sgundo rotor d uma bancada d tsts 75 4.2 Anális dos coficints d força dos mancais lípticos 77 4.2.1 Coficints d força m função da folga radial dos mancais lípticos 78 4.2.2 Coficints d força m função da razão d sbltz dos mancais lípticos 83 4.2.3 Coficints d força m função da pré-carga dos mancais lípticos 85 4.3 A influência dos parâmtros gométricos dos mancais lípticos na rsposta dsbalancada 87 4.3.1 A razão d amplificação da rsposta dsbalancada m função da pré-carga 87 4.3.2 A rsposta dsbalancada m função da razão d sbltz dos mancais lípticos 91 4.3.3 A rsposta dsbalancada m função da folga radial dos mancais lípticos 96 5 CONCLUSÕES 100 6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 103 ANEXO A - FUNDAMENTOS DA TEORIA DE VIGA 112 A.1. Toria d Viga d Eulr-Brnoulli 112 A.2. Toria d Viga d Rayligh 113 A.3. Toria d Viga d Timoshnko 113 ANEXO B FUNÇÕES DE INTERPOLAÇÃO 115 B.1 - Funçõs d Intrpolação para o dslocamnto linar unitário no primiro nó 115 B.2 - Funçõs d Intrpolação para o dslocamnto angular unitário no primiro nó 117 B.3 - Funçõs d Intrpolação para o dslocamnto linar unitário no sgundo nó 118 B.1 - Funçõs d Intrpolação para o dslocamnto angular unitário no sgundo nó 119 ANEXO C MATRIZES DE ELEMENTOS FINITOS DO ROTOR 122

vii C.1 Matriz d inércia d translação 122 C.2 Matriz d inércia d rotação 123 C.3 Matriz d fitos giroscópicos 124 C.4 Matriz d rigidz 125 ANEXO D MÉTODO NUMÉRICO DE NEWMARK 127

viii LISTA DE FIGURAS Figura 3.1 Sistma rotor-mancal 40 Figura 3.2 Rprsntação d um lmnto finito do ixo 42 Figura 3.3 Dsnho squmático do mancal líptico sus parâmtros gométricos 45 Figura 3.4 - Dsnho squmático do prfil d um mancal radial líptico 46 Figura 3.5 - Distribuição da prssão hidrodinâmica no mancal cilíndrico (LANG STEINHILPER, 1978) 46 Figura 3.6 - Distribuição da prssão hidrodinâmica no mancal líptico (Adaptado d CORREIA, 2007) 47 Figura 3.7 - Rprsntação squmática dos nós no lmnto finito 51 Figura 3.8 Rprsntação dos 4 graus d librdad 57 Figura 3.9 Diagrama do procdimnto computacional 58 Figura 4.1 Dsnho squmático do rotor d Sinou (2005) 61 Figura 4.2 Curvas da primira sgunda frquências naturais (FN1, FN2) vrsus o númro d lmntos finitos da malha para o rotor d Sinou (2005) a 10rpm 62 Figura 4.3 Primira vlocidad crítica progrssiva (FWD1) rgrssiva (BKWD1) vrsus incrmnto no tmpo 63 Figura 4.4 Espctro d frquência obtido plo MEF para o rotor d Sinou(2005) a 10 rpm 64 Figura 4.5 Diagrama d Campbll para o rotor m balanço analisado por Sinou(2005) 64 Figura 4.6 Dsnho squmático do rotor d Hong Park(1999) 66 Figura 4.7 Espctro d frquência obtido para o rotor d Hong Park (1999) oprando a 6000rpm 67 Figura 4.8 Forma d onda obtida para o rotor d Hong Park (1999) 68 Figura 4.9 Dsnho squmático do rotor da bancada d tsts. 69 Figura 4.10 Snsibilidad da malha d lmntos finitos do mancal cilíndrico no

ix cálculo dos parâmtros d dsmpnho F x K xy 71 Figura 4.11 Espctro d frquência xprimntal tst d batida 72 Figura 4.12 Espctro d frquência obtido plo MEF para rotação d 750 rpm 72 Figura 4.13 Espctro d frquência obtido plo MEF para rotação d 3200 rpm 73 Figura 4.14 Espctro d frquência xprimntal para o rotor da bancada oprando a 8900rpm 74 Figura 4.15 Espctro d frquência obtido plo MEF para o rotor da bancada oprando a 8900rpm 74 Figura 4.16 Espctro d frquência obtido plo MEF para o rotor do xmplo 4 oprando a 3200rpm 76 Figura 4.17 Espctro d frquência xprimntal para o rotor d Machado(2006) 76 Figura 4.18 Snsibilidad da malha d lmntos finitos do mancal líptico no cálculo dos parâmtros d dsmpnho F x K xy 78 Figura 4.19 - Posicionamnto do ixo dntro do mancal xcntricidad 79 Figura 4.20 Excntricidad adimnsional do ponto d quilíbrio stático dos mancais lípticos m função da folga radial 79 Figura 4.21 Coficints d rigidz dirta adimnsionais m função da folga radial dos mancais lípticos 80 Figura 4.22 Coficints d rigidz cruzada adimnsional modificado m função da folga radial dos mancais lípticos 81 Figura 4.23 Razão C xy /K xx m função da folga radial dos mancais lípticos 82 Figura 4.24 Amortcimnto ftivo m função da folga radial dos mancais lípticos 82 Figura 4.25 Excntricidad adimnsional do ponto d quilíbrio stático dos mancais lípticos m função da razão d sbltz 83 Figura 4.26 Variação do amortcimnto ftivo m função da razão d sbltz dos mancais lípticos 84 Figura 4.27 Variação do amortcimnto cruzado adimnsional m função da razão d sbltz dos mancais lípticos 84 Figura 4.28 Excntricidad adimnsional do ponto d quilíbrio stático dos

x mancais lípticos m função da pré-carga 85 Figura 4.29 Variação da rlação d ajust ntr Mp, k xx k xy m função da précarga dos mancais lípticos 86 Figura 4.30 Variação do amortcimnto ftivo m função da pré-carga dos mancais lípticos 86 Figura 4.31 Dsnho squmático do rotor sm disco massivo 88 Figura 4.32 Rsposta dsbalancada calculada no mancal 1 do rotor apoiado m mancais lípticos com pré-carga 0,45 (MIRANDA FARIA, 2012) 89 Figura 4.33 Rsposta dsbalancada para difrnts valors d pré-carga dos mancais lípticos (MIRANDA FARIA, 2012) 89 Figura 4.34 Razão d amplificação da rsposta dsbalancada na primira vlocidad crítica para o rotor apoiado m mancais lípticos (MIRANDA FARIA, 2012) 90 Figura 4.35 Dsnho squmático do rotor com disco massivo m posição assimétrica 91 Figura 4.36 Amplitud d vibração na primira VC m função da razão d sbltz dos mancais lípticos 92 Figura 4.37 Curvas d ajust da xcntricidad adimnsional do ponto d quilíbrio stático m função da razão d sbltz dos mancais lípticos 94 Figura 4.38 Razão d ajust d L/D m função da xcntricidad adimnsional do ponto d quilíbrio stático dos mancais 95 Figura 4.39 Erros rlativos da razão d ajust d L/D m função da xcntricidad adimnsional do ponto d quilíbrio stático dos mancais 95 Figura 4.40 Amplitud d vibração na primira VC m função da folga radial dos mancais 97 Figura 4.41 Razão d ajust da folga radial m função da xcntricidad adimnsional do ponto d quilíbrio stático dos mancais 98 Figura 4.42 Erros rlativos da razão d ajust da folga radial m função da xcntricidad adimnsional do ponto d quilíbrio stático dos mancais 98

xi Figura A.1 - Viga d Eulr-Brnoulli sob carrgamnto distribuído (Boru, 2010) 112 Figura B.1 Dslocamnto linar unitário no primiro nó 116 Figura B.2 Dslocamnto angular unitário no primiro nó 117 Figura B.3 Dslocamnto linar unitário no sgundo nó 118 Figura B.4 Dslocamnto angular unitário no sgundo nó 120 LISTA DE TABELAS Tabla 4.1- Parâmtros do rotor com disco m balanço (SINOU, 2005) 62 Tabla 4.2- Valors comparativos da primira frquência natural para o rotor d Sinou(2005) a 10 rpm 64 Tabla 4.3- Comparação da primira vlocidad crítica 65 Tabla 4.4- Parâmtros do rotor d Hong Park(1999) 66 Tabla 4.5- Comparação da primira frquência natural progrssiva rgrssiva para o rotor d Hong Park (1999) 67 Tabla 4.6- Comparação das Frquências d Batimnto para o rotor d Hong Park(1999) 69 Tabla 4.7 Parâmtros do rotor da bancada d tsts 70 Tabla 4.8 Rsultados da anális da snsibilidad da malha dos mancais 71 Tabla 4.9 Valors comparativos d frquências naturais obtidas plo MEF xprimntalmnt plo tst d batida (bump tst) 73 Tabla 4.10 Valors comparativos d frquências naturais obtidas plo MEF xprimntalmnt para o rotor da bancada oprando a 8900rpm 75 Tabla 4.11 Parâmtros do rotor da bancada d tsts xmplo 2 75 Tabla 4.12 Valors comparativos das frquências naturais obtidas xprimntalmnt por Machado(2006) plo MEF 77 Tabla 4.13 Parâmtros do mancal líptico slcionado 77 Tabla 4.14. Parâmtros do sistma rotor-mancal líptico utilizado na anális 88 Tabla 4.15 Parâmtros do rotor com mancais lípticos 92

xii SIMBOLOGIA Símbolos m ltras latinas A Ára da sção transvrsal do ixo [m 2 ] Ampl Amplitud adimnsional da rsposta dsbalancada c Folga radial mnor (c = R R ) [m] C b Folga radial maior C XX, C YY Coficints d amortcimnto dirto [N.s/m] c XX, c YY Coficints d amortcimnto dirto adimnsionais C XY, C YX Coficints d amortcimnto cruzados [N.s/m] c XY, c YX Coficints d amortcimnto cruzados adimnsionais D d E x, y, x0 y 0 x, y Diâmtro intrno do mancal [m] Diâmtro xtrno do ixo [m] Módulo d lasticidad [Pa] Excntricidad do cntro do munhão no mancal (distância ntr cntros do mancal do munhão/ixo) [m] Projçõs d nos ixos d coordnadas cartsianas x,y posição d quilíbrio do ixo prturbação na posição d quilíbrio do ixo vtors unitários nas dirçõs circunfrncial axial, rspctivamnt f F Fx Fy fito d cisalhamnto Força d ração do mancal, grada pla ação hidrodinâmica do fluido Componnt da força d ração do fluido do mancal nas dirçõs x y { f j } Vtor d fluxo G h Módulo d lasticidad ao cisalhamnto [Pa] Espssura do film lubrificant, ou film fluido

xiii h 0 I I dm I p K K x, K y Espssura mínima do film lubrificant stacionário [m] ou d ordm zro Momnto médio d inércia d ára da sção transvrsal Momnto diamtral d inércia d massa por unidad d comprimnto Momnto polar d inércia d massa por unidad d comprimnto Fator d forma do cisalhamnto transvrsal Coficints d cisalhamnto K XX, K YY Coficints d rigidz dirtos [N/m] k xx k yy Coficints d rigidz dirtos adimnsionais K XY, K YX Coficints d rigidz cruzados [N/m] k xy k yx Coficints d rigidz cruzados adimnsionais Coficint d rigidz adimnsional modificado [ K ] Matriz fluídica d ordm zro ji L l L ixo m d m m n m z Comprimnto do mancal Comprimnto do lmnto Comprimnto do ixo Massa dsbalancada Fluxo mássico na dirção circunfrncial Fluxo mássico d lubrificant cruzando a frontira do domínio do lmnto finito Fluxo mássico na dirção axial m Fluxo d lubrificant d primira ordm plo contorno n do lmnto finito n. Mp n O L O p p a Pré-carga (mdida da lipsidad do mancal): Mp = (C b c) / c Valor normal unitário dircionado para fora do contorno do lmnto finito Posição do cntro dos lóbulos Posição do cntro do ixo Prssão aprsntada plo film lubrificant [Pa] Prssão ambint [Pa]

xiv p o p Prssão stacionária d ordm zro [Pa] Campo d prssão hidrodinâmica d primira ordm p o p x, p y Campo d prssão discrto d ordm zro no domínio Campo d prssão hidrodinâmica d primira ordm. d um lmnto finito p i Valors d prssão nodal, no nó i do lmnto [Pa] q(x,t) Carrgamnto distribuído [N/m] { q j} Vtor d fluxo dvido ao scoamnto d fluido plo contorno do lmnto R R R L U V f u d v(x,t) W W f x,y z Raio mnor do mancal [m] Raio do munhão ou raio do ixo [m] Raio do lóbulo do mancal [m] Vlocidad suprficial do ixo (U = ωr); [m/s] Contribuição da flxão no dslocamnto linar do cntro da sção do lmnto Excntricidad da massa dsbalancada Dflxão latral da viga Carga atuant no mancal [N] Contribuição da flxão no dslocamnto linar do cntro da sção do lmnto Coordnadas cartsianas Coordnada axial Símbolo m ltras grgas Contorno do lmnto Dformação por cisalhamnto Razão d xcntricidad, ou xcntricidad adimnsional ( ε = /c) o Excntricidad adimnsional no ponto d quilíbrio stático, ψ Coordnadas no domínio do lmnto Fator d forma da sção transvrsal da viga Viscosidad absoluta do film lubrificant [Pa.s]

xv Coficint d Poisson Massa spcífica [kg/m 3 ] Massa spcífica do film lubrificant [kg/m 3 ] Ângulo da posição angular do munhão a partir do ponto d maior spssura dntro do mancal [rad], z Coordnadas circunfrncial axial, rspctivamnt Φ Ângulo d posição do munhão dntro do mancal: Φ = tan -1 ( Fy / Fx ) j Função d intrpolação para o método d lmntos finitos para o lmnto Rotação do ixo [rad/s] Domínio do lmnto finito Subscritos av Médio Rlativo ao lmnto 0, 1 Ordm zro primira ordm; instant d tmpo antrior atual x y Coordnada cartsiana vrtical Coordnada cartsiana horizontal Coordnadas x,y combinadas no domínio do lmnto finito Coordnadas no domínio do lmnto finito Sobrscritos Rlativo ao lmnto

xvi LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS MEF FEM VC Método d Elmntos Finitos Finit Elmnt Mthod (Método d Elmntos Finitos) Vlocidad Crítica

xvii RESUMO Est trabalho aprsnta um procdimnto computacional basado no método d lmntos finitos dsnvolvido spcialmnt para prdizr o comportamnto dinâmico d sistmas rotativos apoiados m mancais hidrodinâmicos. O procdimnto computacional proposto prmit simular difrnts tipos d rotors compostos por ixo flxívl, discos massivos mancais rígidos ou hidrodinâmicos, com prfis circulars ou lípticos. São usados lmntos finitos d viga basando-s na toria d vigas d Timoshnko no modlo do ixo, o qu prmit incluir os fitos d dformação por cisalhamnto, inércia rotatória fito giroscópico. Um procdimnto basado no método d lmntos finitos é aplicado para rsolvr a quação d Rynolds para fluidos incomprssívis, junto a um procdimnto d prturbação linar para s calcular os coficints dinâmicos d força dos mancais cilíndricos lípticos. As quaçõs d movimnto para rotors dsbalancados apoiados m mancais hidrodinâmicos são intgradas usando-s o Método d Nwmark para s obtr a rsposta no tmpo. Os rsultados são validados pla comparação com valors xprimntais coltados m uma bancada d tst também com valors publicados na litratura. São aprsntadas algumas rlaçõs algébricas qu prmitm prdizr os parâmtros d dsmpnho dos mancais a rsposta dsbalancada do sistma rotormancal m função dos parâmtros gométricos dos mancais, tais como pré-carga, razão d sbltz, folga radial. É idntificada uma faixa opracional dos mancais ond stas rlaçõs algébricas aprsntam uma boa aproximação com os rsultados computacionais. Os rsultados dst trabalho srvm d bas para o projto d máquinas rotativas, uma vz qu prmitm prdizr su comportamnto dinâmico para divrsas condiçõs opracionais. Palavras-chavs: Mancal líptico Rotors flxívis Mancal radial Lubrificação hidrodinâmica Método d lmntos finitos

xviii ABSTRACT This work prsnts th dvlopmnt of a finit lmnt procdur spcially dvisd to prdict th dynamic rspons of flxibl rotors running on fluid film barings. Th proposd procdur can simulat many diffrnt typs of rotor-baring systms, with a flxibl shaft, massiv disks and rigid or fluid film circular or lliptical barings. Th shaft finit lmnt modl is basd on Timoshnko Bam Thory, which includs shar ffcts, rotary inrtia and gyroscopic momnts. A finit lmnt procdur for solution of th classical Rynolds quation for incomprssibl fluid films, in conjunction with a linarizd prturbation procdur, is implmntd to allow th computation of th dynamic forc-cofficints of cylindrical and lliptical journal barings. Th finit lmnt quations of motion for an unbalancd rotor supportd on fluid film barings ar intgratd by using th Nwmark mthod, and th tim-domain unbalanc rspons is obtaind. Th rsults ar validatd by comparison with xprimntal data collctd from a tst rig as wll as from rsults obtaind from th litratur. Som algbraic xprssions rlating th baring paramtrs and th unbalanc rspons with th baring gomtric paramtrs (prload, Slndrnss ratio, radial claranc) ar prsntd. A rang of oprating conditions is idntifid, whr ths xprssions ar supposd to b clos to th computational rsults obtaind by th numrical procdur. Th rsults prsntd in this work ar valuabl for rotating machin dsignrs sinc it can proprly prdict its dynamic rspons undr svral opration conditions. Kywords: Elliptical baring Journal baring Hydrodynamic lubrication Finit lmnt mthod

19 1 INTRODUÇÃO O projto o comissionamnto d máquinas rotativas rqurm um cuidado spcial para s garantir condiçõs sguras, stávis ficints d opração. Divrsos studos basados m procdimntos xprimntais, analíticos computacionais são utilizados com o objtivo d s analisar vários aspctos dinâmicos rlacionados a rotors d máquinas d alta vlocidad. Esss studos s tornam d xtrma importância na anális d quipamntos como turbinas a gás a vapor, comprssors, vntiladors industriais, bombas, xaustors, ntr outros. Com o dsnvolvimnto da tcnologia na ára d projtos mcânicos, é notávl a tndência m s projtarm máquinas cada vz mais lvs com maior potência, qu normalmnt stão mais sujitas a problmas d vibração d instabilidad. A influência dos mancais no comportamnto dinâmico d máquinas rotativas na capacidad d atnuar vibraçõs é studada há vários anos m divrsos trabalhos da litratura spcializada (GUNTER, 1966; CORREIA, 2007). Os mancais hidrodinâmicos têm sido amplamnt aplicados m máquinas rotativas dvido à sua grand capacidad d carga, habilidad d opração m altas vlocidads longvidad (HAMROCK, 1994; CHILDS, 1993). Est tipo d mancal tm uma capacidad d amortcimnto qu não xist nos mancais d rolamnto, o qu possibilita qu a máquina pass por uma vlocidad crítica com mnors riscos (STERNLICHT LEWIS, 1968; VANCE, 1988). O amortcimnto proporcionado por mancais hidrodinâmicos prmit a atnuação das forças transmitidas do sistma ixo/rotor aos mancais, a rdução do nívl d vibração, o aumnto da faixa d opração stávl do rotor o aumnto d vida útil do mancal (ENGWALL, 1991). Os mancais hidrodinâmicos aplicados m máquinas rotativas industriais podm sr divididos basicamnt m dois grupos: mancais d gomtria fixa mancais d gomtria variávl (ALLAIRE FLACK, 1981). Os mancais d gomtria fixa são mais simpls possum um mnor custo d fabricação, montagm manutnção do qu os d gomtria variávl (HAMROCK, 1994). Os mancais mais amplamnt usados na indústria são os d gomtria fixa com prfil cilíndrico, aprsntando baixa stabilidad, mas boa capacidad d carga (CORREIA, 2007). Mancais d gomtria móvl são usados quando s dsja stabilidad do quipamnto sujito a vibraçõs subsíncronas, isto é, abaixo da frquência d rotação. No final da década d

20 1980, st tipo d mancal passou a sr mais amplamnt usado nos projtos d turbomáquinas d alta vlocidad (ZEIDAN, 1992). A litratura cintífica aprsnta divrsos trabalhos sobr mancais cilíndricos, mas poucos sobr mancais lípticos (CORREIA, 2007). As intraçõs ntr o ixo rotativo da turbomáquina com o fluido d trabalho, com os mancais, com os slos, com o suport com todos os sus lmntos acoplados, tais como as palhtas discos, dvm sr incluídas na anális dinâmica d rotors para s obtr confiabilidad acitávl nas prdiçõs d su comportamnto. O studo prliminar do comportamnto d sistmas rotativos prmit dtrminar as suas faixas d opração stávl avaliar as influências qu componnts do sistma xrcm sobr a rsposta dinâmica do conjunto. Os mancais s tornam componnts vitais no projto d turbomáquinas, pois dvm grar forças d ração capazs d suportar adquadamnt o ixo rotativo propiciar mios d atnuação da rsposta dinâmica do conjunto rotativo m rgims d opração xtrmos. Ess trabalho tm como proposta principal a anális do comportamnto dinâmico d rotors flxívis apoiados m mancais radiais hidrodinâmicos d gomtria fixa. A modlagm do rotor, qu inclui o ixo rotativo com discos rígidos acoplados, é ftuada utilizando-s o método d lmntos finitos basado na toria d vigas d Timoshnko (CLOUGH PENZIEN, 1975). Inclum-s no modlo do rotor os fitos d cisalhamnto, os momntos giroscópicos a inércia rotatória do ixo rotativo. A quação clássica d Rynolds (PINKUS, 1987; HAMROCK, 1994) um procdimnto linarizado d prturbação (LUND,1987) são a bas da modlagm dos mancais radiais hidrodinâmicos cilíndricos não cilíndricos considrados na anális. O método d lmntos finitos é ntão mprgado para stimar as caractrísticas dinâmicas não linars dos mancais radiais finitos incluídos na anális do sistma rotativo. O modlo dos mancais admit divrsas gomtrias d mancais cilíndricos lípticos, não são adotadas hipótss rstritivas ao modlo dos mancais, como nas torias d mancal longo (HAMROCK, 1994) ou d mancal curto, qu aprsntam dficiências na anális dinâmica d sistmas rotor-mancal (KALITA KAKOTY, 2004). O txto dst trabalho é dividido m cinco capítulos. O capítulo 1 aprsnta a introdução do trabalho, su scopo objtivos. No capítulo 2 é aprsntada a rvisão bibliográfica. Em sguida, é dscrita a mtodologia do procdimnto computacional proposto no capítulo 3, ond são aprsntados os procdimntos adotados para s modlar o sistma rotor-mancal composto plo ixo flxívl, disco rígido mancais hidrodinâmicos. No final do capítulo 3 é aprsntado um diagrama rprsntando as tapas do procdimnto computacional proposto. No capítulo 4

21 são aprsntados os rsultados obtidos através do procdimnto computacional, incluindo xmplos d validação. No capítulo 5 são aprsntadas as conclusõs do trabalho no capítulo 6 são listadas as rfrências bibliográficas. São incluídos ainda três anxos. No Anxo A são aprsntados os fundamntos da toria d vigas d Eulr-Brnoulli, d Rayligh d Timoshnko. No Anxo B aprsnta-s a formulação das funçõs d intrpolação. No Anxo C são listadas as matrizs d lmntos finitos do ixo flxívl usadas no modlo implmntado, no Anxo D é aprsntado o algoritmo do Método Numérico d Nwmark. 1.1 Escopo Ess trabalho dscrv a anális do comportamnto dinâmico d rotors flxívis suportados m mancais radiais hidrodinâmicos d gomtria fixa utilizando-s o método d lmntos finitos. Na modlagm dos mancais radiais inclum-s mancais cilíndricos não cilíndricos d gomtria fixa. As condiçõs d opração do sistma rotativo utilizadas nss trabalho stão basadas m condiçõs opracionais comumnt ncontradas na prática. O ixo é modlado por lmntos finitos d viga basando-s na toria d vigas d Timoshnko, qu prmit analisar a rsposta da vibração orbital nos dois planos ortogonais d flxão. A formulação prmit incluir os fitos d inércia rotatória, fito giroscópico dformação por cisalhamnto. O cálculo dos coficints dinâmicos d força dos mancais é fito basando-s na quação d Rynolds nas quaçõs d lubrificação d ordm zro d primira ordm, obtidas através da anális d prturbação (LUND,1987). A rsposta dsbalancada do sistma é obtida por mio d procdimnto d intgração numérica implmntado sobr a sua quação d quilíbrio dinâmico. É studada a influência dos parâmtros construtivos d mancais lípticos cilíndricos nos sus coficints d força na rsposta dsbalancada do sistma rotor-mancal. Aprsnta-s uma anális crítica sobr a faixa ond o modlo computacional implmntado fornc rsultados considrados confiávis, basando-s nas condiçõs opracionais do sistma. Embora não sja objtivo dst trabalho obtr valors absolutos para os coficints d força ou para os nívis d vibração na rsposta dsbalancada, é invstigada a forma como sts valors variam m função das caractrísticas construtivas opracionais do sistma.

22 1.2 Objtivos 1.2.1 Objtivo gral Est trabalho tm como objtivo dsnvolvr um procdimnto computacional basado no método d lmntos finitos (MEF) para a anális da rsposta d sistmas rotativos apoiados m mancais radiais hidrodinâmicos d gomtria fixa. O ixo é modlado por lmntos d viga basando-s na Toria d Viga d Timoshnko. Os mancais hidrodinâmicos são modlados também por lmntos finitos, utilizando-s o método da prturbação aplicado na quação d Rynolds. 1.2.2 Objtivos spcíficos i. Dsnvolvr implmntar um procdimnto computacional ficint basado no MEF para rprsntar rotors flxívis sujitos a cargas d dsbalancamnto, apoiados m suports flxívis. ii. iii. iv. Dsnvolvr implmntar um procdimnto computacional ficint basado no MEF para a dtrminação dos coficints dinâmicos dos mancais hidrodinâmicos d gomtria fixa, sm o uso d torias simplificadas, como os modlos d mancal curto ou d mancal longo. Comparar os rsultados do procdimnto computacional proposto com rsultados publicados na litratura spcializada com dados xprimntais, coltados m uma bancada d tsts, através da anális das frquências naturais. Analisar a influência dos parâmtros gométricos dos mancais lípticos (pré-carga, razão d sbltz, folga radial) nos coficints d força dos mancais na rsposta dsbalancada do sistma. v. Establc rlaçõs algébricas ntr alguns parâmtros d dsmpnho dos mancais cilíndricos lípticos, a rsposta balancada, com os parâmtros gométricos dos mancais. Idntificar as faixas opracionais ond stas rlaçõs algébricas são válidas.

23 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA As rfrências aprsntadas a sguir são divididas m sçõs, para facilitar a xposição dos tmas nvolvidos no trabalho. Inicialmnt são aprsntadas as publicaçõs qu abordam os procdimntos computacionais para a modlagm d sistmas rotor-mancal, dstacando-s o uso do método d lmntos finitos a volução dos modlos d lmntos d vigas aplicados aos ixos flxívis. Em sguida dstacam-s os trabalhos qu fazm a anális da stabilidad d sistmas rotor-mancal através d problma d autovalor. Sgu-s com a citação das publicaçõs qu aprsntam procdimntos d modlagm d mancais hidrodinâmicos. As últimas sçõs aprsntam trabalhos sobr sistmas rotativos com lmntos adicionais, ond s dstacam, no final, os modlos d mancais lípticos. Obsrva-s qu a litratura aprsnta divrsos trabalhos dntro dsta linha, porém muitos aplicam o modlo d mancal curto, qu é bastant limitado, principalmnt para mancais oprando com grands xcntricidads. A toria d mancal curto é mais aplicávl na prdição d carga, mas é muito limitada na dtrminação d coficints d força ou no studo da stabilidad do sistma. Outros trabalhos aprsntam uma abordagm dtalhada do modlo dos mancais, mas ao aprsntar os rsultados, fazm divrsas simplificaçõs (mancais isotrópicos, por xmplo). Em alguns casos, a modlagm dos mancais a aplicação do procdimnto numérico é dtalhada rigorosa, porém aplica-s o modlo d ixo rígido, o qu também rprsnta uma limitação. A toria não-linar para mancais hidrodinâmicos é aprsntada por divrsos autors, porém os trabalhos possum uma abordagm mais matmática, não focando m aspctos práticos d condiçõs opracionais d máquinas rotativas. Dsta forma, obsrva-s uma lacuna na litratura ond raramnt são analisados sistmas rotormancal hidrodinâmico d manira dtalhada, vitando-s hipótss simplificadoras tanto no modlo dos mancais quanto no modlo do ixo flxívl. 2.1 Modlagm d sistmas rotor-mancal A anális do comportamnto dinâmico d máquinas rotativas tm fomntado o dsnvolvimnto d procdimntos computacionais ficints prcisos para as tapas prliminars d projto.

24 Os modlos d máquinas rotativas d alta vlocidad gralmnt inclum rotors flxívis apoiados m mancais hidrodinâmicos é fundamntal analisar a stabilidad do sistma (GUNTER, 1970; BUSSE t al.,1980; VANCE, 1988; KRAMER, 1993; CHILDS, 1993; ABDULJABBAR t al.,1997; HU t al., 2000; GANESAN, 2000; ZHAO t al.,2005; WENHUI t al., 2007). Os studos dinâmicos basados m modlos computacionais s tornam d xtrma importância m divrsas aplicaçõs industriais d turbomáquinas, como turbinas a gás a vapor, comprssors, vntiladors industriais, bombas, xaustors, ntr outros (STERNLICHT LEWIS, 1968). A partir da década d 70, o método d lmntos finitos comçou a sr usado com xtrma frquência para o dsnvolvimnto d modlos d rotors flxívis para a anális d balancamnto, stabilidad vibração torcional d máquinas rotativas (ZORZI NELSON, 1977; VANCE, 1988; CHILDS, 1993; ALMEIDA Jr. FARIA, 2003; MIRANDA t al., 2005). A aplicação do método d lmntos finitos na modlagm simulação d sistmas rotativos é muito ampla na anális dinâmica d rotors. Os primiros trabalhos nsta ára são aprsntados por Ruhl (1970) Ruhl Bookr (1972), ond s aplica o método d lmntos finitos na anális dinâmica d um sistma rotativo com parâmtros distribuídos. São usados lmntos d viga incluindo a inércia translacional rigidz à flxão, mas não são considrados os fitos d inércia rotatória, momntos giroscópios, dformação por cisalhamnto, carga axial, torqu axial amortcimnto intrno. Kirk Guntr (1972) analisam a rsposta transint prmannt do rotor d Jffcott com mancais lásticos montados m apoios flxívis amortcidos, ainda dsconsidrando a flxibilidad do rotor o fito giroscópico do disco rotativo nas quaçõs d movimnto. Na msma época, Thorkildsn (1972) dsnvolvu um modlo mais complto ond incluiu os fitos d inércia rotatória momntos giroscópios. Polk (1974) aprsnta um studo sobr vlocidad crítica vlocidad limit utilizando lmnto finito d viga d Rayligh. Polk ainda aprsnta nst msmo trabalho o dsnvolvimnto dos lmntos finitos d viga d Timoshnko, mbora sm nnhum rsultado numérico. Diana t. al.(1975) aprsntam sus rsultados da anális d um ixo rotativo usando o método d lmntos finitos, com lmntos smlhants aos d Ruhl (1970). No msmo ano, Dimaragonas (1975) aprsnta um dsnvolvimnto gral d lmnto d viga, mas ainda xcluindo o cisalhamnto, carga torqu axiais. Gasch (1976) aprsntou importants rsultados m um artigo smlhant ao d Dimaragonas, porém incluindo o fito d

25 xcntricidad distribuída. São analisados ixos rotativos d grands turbomáquinas através d lmntos finitos introduzida a dinâmica da fundação nas quaçõs d movimnto, usando anális modal tst modal. No msmo ano, Nlson McVaugh (1976) aprsntam uma formulação para modlar o sistma rotor-mancal usando parâmtros distribuídos lmntos finitos d viga d Rayligh, smlhants aos d Polk (1974), incluindo os fitos d inércia rotatória, fito giroscópico, cargas axiais. Est trabalho é ampliado postriormnt m Zorzi Nlson (1977), incluindo-s o amortcimnto viscoso intrno do ixo. Nlson (1980) gnraliza os modlos aprsntados m 1976 1977, usando a toria d vigas d Timoshnko, para stablcr as funçõs d forma do ixo flxívl, incluindo o fito d cisalhamnto, mas sm incluir o amortcimnto intrno. São obtidas as quaçõs d lmntos através do Princípio d Hamilton das intgrais qu dfinm as nrgias potncial cinética d cada lmnto. A nrgia cinética lva m considração a nrgia rotacional translacional, a nrgia potncial considra a nrgia potncial lástica dvida à flxão, a nrgia potncial do cisalhamnto a nrgia dvida à carga axial. Para modlar os mancais são considrados apoios isotrópicos sm fito d amortcimnto. O autor aprsnta vários rsultados qu validam o método, comparando-os com outros obtidos na litratura. É aprsntada uma comparação ntr as frquências naturais d uma viga stática obtidas com lmntos d viga d Eulr-Brnoulli, d Rayligh, d Timoshnko. Postriormnt são aprsntados rsultados d vlocidads críticas calculadas para ixos rotativos apoiados plas xtrmidads. Özgüvn Özkan (1984) aplicam também o método d lmntos finitos considrando os fitos da inércia rotatória, carga axial, fito giroscópico, dformaçõs por cisalhamnto amortcimnto viscoso intrno no msmo modlo. Vanc t. al.(1987) aprsntam comparaçõs d dados xprimntais com rsultados numéricos obtidos m uma bancada d sistma rotormancal, incluindo os fitos d impdância da fundação no modlo usando o método d matriz d transfrência. Ji L (1988) analisam o comportamnto dinâmico d rotors assimétricos apoiados m mancais hidrodinâmicos utilizando o método d lmntos finitos. O sistma rotativo é composto por um ixo assimétrico discos rígidos os fitos da inércia rotatória, do cisalhamnto transvrsal, dos momntos giroscópicos do amortcimnto histrético são incluídos na modlagm do sistma. As quaçõs d vibração latral do conjunto rotativo são

26 compactadas via técnica d rdução modal d coordnadas. Na modlagm dos mancais radiais, os autors dsprzam a assimtria dos coficints cruzados d rigidz d amortcimnto não dscrvm claramnt como foram obtidos os dmais coficints d força. O problma d autovalor do sistma giroscópico amortcido é obtido para a dtrminação das vlocidads críticas d instabilidad do sistma rotativo. As simplificaçõs ftuadas plos autors na modlagm dos mancais aftam a dtrminação prcisa das vlocidads d instabilidad do rotor assimétrico suportado m mancais hidrodinâmicos, qu dpnd fortmnt dos coficints cruzados d rigidz. Stphnson Rouch (1992) aplicam o método d lmntos finitos para analisar um sistma rotor-mancal fundação, usando também anális modal, qu prmit obsrvar os fitos dinâmicos da strutura da fundação. Mais rcntmnt, divrsos trabalhos têm sido publicados aplicando-s o método d lmntos finitos para a anális da stabilidad da rsposta no tmpo d sistmas rotativos. Sundararajan (1996) invstiga a rsposta não-linar a stabilidad d um sistma rotor-mancal, m rgim prmannt, sujito a dsbalancamnto. São considrados rotors rígidos apoiados m mancais hidrodinâmicos planos squz-film damprs (amortcdors por smagamnto d film fluido). Analisa-s a influência dos coficints d força cruzados da inércia do fluido na rsposta não-linar na stabilidad do sistma. Na modlagm por lmntos finitos são drivadas as matrizs d massa, d rigidz d amortcimnto do sistma é aprsntado um procdimnto numérico qu rduz o númro d graus d librdad do sistma. O autor aplica a toria d bifurcação d Hopf (HOLLIS TAYLOR, 1986) para calcular os rgims d bifurcação d mancais hidrodinâmicos finitos, mostrando qu os mancais podm ntrar m rgim d instabilidad msmo abaixo das vlocidads limits, o qu não é obsrvado nos modlos linars. Na modlagm do squz film dampr do mancal plano é adotado o modlo d mancal curto. Postriormnt, o autor propõ uma anális d stabilidad d mancais planos finitos, usando uma formulação qu faz uma soma pondrada das soluçõs analíticas do mancal curto do mancal longo para s obtr os coficints d força. Os rsultados para mancais planos finitos não são validados xprimntalmnt. Embora comnt-s sobr o carátr nãolinar do fito das folgas nos mancais d rolamnto, st tipo d mancal não é modlado plo autor. O modlo do sistma rotor-mancal considra o rotor o ixo rígidos, usa o modlo d mancal curto, o qu torna o modlo bastant limitado. Chn L (1997) aplicam o método d lmntos finitos m um problma d rotors flxívis para obtr a rsposta dsbalancada no tmpo para idntificar os coficints d força d

27 mancais d rolamnto. Armntrout (1998) aprsnta o dsnvolvimnto d uma anális transint d rotors flxívis suportados m mancais d film fluido basada no método das matrizs d transfrência. Os fitos d cisalhamnto, os momntos giroscópicos a inércia rotatória são incluídos na modlagm do ixo do rotor. A solução unidimnsional aproximada da quação d Rynolds é a bas do modlo d mancais cilíndricos radiais d sapatas móvis contmplados na anális. O procdimnto computacional dsnvolvido por Armntrout (1998) utiliza técnica d compactação modal d coordnadas mprgando os modos d vibração não amortcidos do sistma rotor-mancal-fundação. As quaçõs d quilíbrio do sistma rotativo m coordnadas modais são intgradas utilizando-s um algoritmo d intgração implícita prditor-corrtor. Tiwari t al. (2000) aprsntam uma invstigação tórico-xprimntal da dinâmica não-linar d rotors rígidos horizontais apoiados m mancais d rolamnto d sfras. Um modlo discrto d massa concntrada com dois graus d librdad é mprgado na rprsntação do rotor rígido. As não linaridads da anális stão associadas aos fitos da folga radial do mancal do modlo d contato d Hrtz para as sfras dss mancal. As quaçõs d quilíbrio do sistma são intgradas utilizando-s um algoritmo implícito d intgração. A anális xprimntal do trabalho consist na dtrminação da rsposta dsbalancada na avaliação da stabilidad dinâmica d um rotor horizontal apoiado m mancais d rolamnto anisotrópicos. Os autors mostram rsultados tóricos xprimntais para as rgiõs d instabilidad do rotor, qu aprsntam boa concordância. A considração d rotor rígido rprsnta uma limitação do modlo. Elmadany t. al. (2001) aprsntam um modlo d lmntos finitos para um sistma rotativo composto por um ixo flxívl, um rotor rígido vários mancais, incluindo no modlo do rotor os fitos d inércia rotativa, momntos giroscópicos, amortcimnto intrno, dformaçõs por cisalhamnto torqu axial. São usados lmntos finitos d viga d Timoshnko para grar as quaçõs dos lmntos do ixo. Os oito coficints d força dos mancais hidrodinâmicos são aprsntados m função do númro d Sommrfld, considrando mancais curtos. O método computacional proposto prmit obtr importants informaçõs do comportamnto dinâmico do sistma, tais como a prcssão, as vlocidads críticas, as rgiõs d stabilidad a rsposta dinâmica dsbalancada. As vlocidads d instabilidads são obtidas através do problma d autovalor. Os autors aprsntam divrsos rsultados numéricos comparados com outros

28 xtraídos da litratura. Em um dls dstaca-s a comparação das vlocidads d instabilidad (thrshold spd of instability) os autors fazm ainda uma comparação ntr o modlo usando lmntos d viga d Rayligh d Timoshnko. Conclui-s qu ao s incluir o fito d cisalhamnto na anális d vibração livr, os valors das vlocidads d instabilidad são rduzidos. Hong t al.(2001) invstigam os fitos da dformação inicial d ixos na rsposta dinâmica d sistmas rotor-mancal. Analisa-s a vibração síncrona provocada pla dformação inicial plo dsbalancamnto, sndo incluído o fito giroscópico. O modlo d lmntos finitos tm dois graus d librdad, corrspondnts aos dslocamntos transvrsais, o rotor tm três discos rígidos dois mancais. São simuladas algumas configuraçõs d rotor, incluindo mancais hidrodinâmicos d sapatas móvis. Os rsultados mostram qu o fito da dformação inicial influncia fortmnt a rsposta síncrona m baixas vlocidads, nquanto o fito do dsbalancamnto afta m altas vlocidads d rotação. É obsrvado ainda qu a prsnça d ambos fitos pod causar dificuldad no diagnóstico d vibraçõs d máquinas rotativas. Os autors usam coficints d força pré-calculados por outros autors, não aprsntando a modlagm dos mancais. Não fica claro também o tipo d lmnto finito usado no modlo do ixo. Guo Kirk (2003) fazm um studo dos limits d stabilidad d um sistma rotor-mancal hidrodinâmico basado no modlo d Jffcott (1919) incluindo o amortcimnto xtrno, um studo para rotors vrticais horizontais. Os autors dstacam a fort influência qu o amortcimnto xtrno tm na anális da stabilidad do sistma rotativo. É proposto um método analítico qu faz várias considraçõs qu simplificam as quaçõs d movimnto do sistma, por xmplo, rotor vrtical com opração cntrada m mancais curtos idênticos. É mostrado qu xist uma vlocidad limit (thrshold spd) para o rotor vrtical, nquanto para o rotor horizontal há uma rgião d opração stávl, limitada ntr duas rgiõs instávis. Nst caso do rotor horizontal, é conduzido um procdimnto numérico, sm as hipótss simplificadoras usadas no modlo vrtical, usando anális d autovalors obtidos das quaçõs matriciais d movimnto do sistma. Obsrva-s qu, no rotor horizontal, o fito do amortcimnto xtrno aumnta a rgião d opração stávl do sistma, para alguns valors mais lvados d amortcimnto xtrno, é possívl liminar a rgião d instabilidad, garantindo opração stávl para o sistma rotativo m toda faixa d vlocidad d rotação analisada. Guo Kirk (2003) inclum ainda m su trabalho uma anális do modlo xtndido

29 do rotor d Jffcott, ond são considradas as massas dos mancais nas xtrmidads do rotor. Conclui-s qu ao s incluírm as massas dos mancais, surg uma outra vlocidad limit(thrshold spd). E msmo qu várias rgiõs d instabilidad possam sr rduzidas ou liminadas com o aumnto do amortcimnto xtrno, st amortcimnto tm pouco fito nas últimas vlocidads d instabilidad (thrshold spd of instability), uma vz qu stas vlocidads dpndm da massa do mancal. Assim, a mlhor forma d s obtr amplas faixas d opração stávl é combinar-s os fitos do amortcimnto xtrno ao das massas dos mancais, obtndo-s uma combinação adquada no dimnsionamnto do rotor d Jffcott. Em (GUO KIRK, 2003b) a anális é ampliada incluindo-s o fito da flxibilidad dos mancais, ond mostra-s como mlhorar a rsposta dinâmica a rsposta dsbalancada do sistma, assim como a stabilidad a transmissão d forças. Novamnt são considradas as msmas hipótss simplificadoras, qu rstringm bastant a abrangência dos rsultados obtidos. Os próprios autors admitm qu os rsultados são válidos para um caso spcial. Nos rsultados são aprsntadas as rgiõs d stabilidad a influência do amortcimnto da rigidz dos mancais na stabilidad do sistma. Comnta-s ainda qu os coficints d força d mancais hidrodinâmicos têm naturza não-linar, qu cab um studo mais dtalhado sobr o fito dsta não-linaridad. Balantrapu (2004) aprsnta um procdimnto computacional d idntificação d parâmtros para idntificar os coficints d força d mancais m um sistma rotativo com ixo flxívl, através da rsposta dsbalancada mdida próximo aos mancais. É proposta também uma formulação qu prmit usar o procdimnto d idntificação a partir d mdiçõs fitas long dos mancais, m spcial no ponto médio ntr ls. O ixo flxívl é modlado por lmntos finitos, incluindo-s os fitos d inércia rotatória fito giroscópico para os mancais são considrados coficints d força linars. São aprsntados vários xmplos, incluindo mancais hidrodinâmicos d dois lóbulos. Obsrva-s qu a massa dsbalancada ncssária para s fazr as mdiçõs do dslocamnto do ixo, assim como a xatidão dos rsultados d mdição, influnciam os rsultados obtidos para os coficints d força. Outro fator qu influncia mais considravlmnt é a rigidz do ixo, qu tm grand influência nas amplituds d vibração mdidas no sistma. Kalita Kakoty (2004) dstacam o método d lmntos finitos como o mais popular para anális d vibração d sistmas rotor-mancal. É studado o comportamnto dinâmico d um

30 rotor apoiado m mancais hidrodinâmicos, ond usam-s lmntos d viga d Timoshnko para o ixo, qu inclui os fitos d inércia rotatória, fito giroscópico, amortcimnto intrno dformação por cisalhamnto. O modlo tm 4 graus d librdad, dois dslocamntos transvrsais duas rotaçõs. São aprsntados os diagramas d Campbll para difrnts valors d coficints d força dos mancais, incluindo anális da influência dos coficints d amortcimnto d rigidz cruzada dos mancais nas vlocidads d instabilidad. É mostrada ainda a limitação do uso da aproximação d mancais curtos no cálculo dos coficints dinâmicos d mancais hidrodinâmicos. Bod Mnzs (2005) aprsntam uma anális dinâmica d um sistma rotor-mancal plo método d lmntos finitos, ond são dtalhadas todas tapas da modlagm do sistma. O ixo flxívl é xcitado por forças d dsbalancamnto apoiado nas xtrmidads por mancais hidrodinâmicos, cujas forças d ração são produzidas pla prssão dinâmica do lubrificant. Os coficints d rigidz d amortcimnto dos mancais são obtidos através da solução numérica da quação d Rynolds. Para modlar o ixo flxívl é usada a toria d vigas d Timoshnko, incluindo o fito giroscópico d cisalhamnto. Adota-s o método d lmntos finitos com lmntos d viga com 4 graus d librdad m cada nó, 2 dslocamntos 2 vlocidads. As quaçõs d movimnto são obtidas plas quaçõs d Lagrang, dscrvndo o movimnto m dois planos. A rsposta no tmpo é obtida plo método d Nwmark (RAO, 1995), intgrando-s numricamnt as quaçõs d movimnto. Os autors obtêm uma solução numérica qu prmit dscrvr as condiçõs dinâmicas d stabilidad do sistma rotor-mancal. Chng t al. (2008) invstigam o comportamnto dinâmico não-linar d um sistma rotormancal-slo, aprsntando rsultados m forma d trajtórias, mapas d Poincaré, xponts d Liapunov, spctros d frquência diagramas d bifurcação. São dstacadas as caractrísticas não-linars dos coficints d rigidz d amortcimnto d mancais hidrodinâmicos d slos mcânicos. Considram-s mancais curtos. Para o slo adota-s o modlo não-linar d Muszynska (1986). O modlo do rotor considra apnas a vibração transvrsal, dsprzando a vibração torcional o fito giroscópico, sndo adotado o modlo d rotor d Jffcott. A solução numérica é obtida através do método d Rung-Kutta d quarta ordm, sguida d uma anális gráfica do comportamnto não-linar do sistma m função da vlocidad d rotação, da xcntricidad, da folga no slo, da prssão no slo. Os autors nfatizam a modlagm do slo, mas simplificam muito o modlo do ixo. O modlo dos mancais é limitado a mancais curtos a anális numérica considra apnas um xmplo d mancal.

31 Rzvani (2009) faz uma anális d um sistma rotor mancal com vários graus d librdad apoios não-linars. São modlados sistmas apoiados m mancais d rolamnto m suports amortcidos (squz film damprs), considrando o modlo d mancais curtos. São mostrados os fitos do amortcimnto do fito giroscópico do sistma m sua stabilidad. Elhibir (2009) aprsnta um modlo computacional d um altrnador afixado m uma viga oca m balanço, apoiada m uma xtrmidad por dois mancais d rolamnto. O modlo usa o método d lmntos finitos com lmntos sólidos ttraédricos. É analisada a rsposta dsbalancada do sistma obtidas as frquências naturais usada anális modal. São aprsntados divrsos rsultados numéricos imagns ilustrando as dformaçõs do sistma m cada modo d vibração. Karlbrg (2010) faz uma anális dinâmica d máquinas rotativas apoiadas por mancais d rolamnto com folgas. O trabalho s dstaca pla forma dtalhada como é analisada a influência das folgas dos mancais nos sus coficints d rigidz, próximo da posição d quilíbrio. É obsrvado qu as frquências naturais rduzm significativamnt com o aumnto das folgas. Para o modlo do rotor é adotada a toria d vigas d Brnoulli-Eulr, usado o modlo d Jffcott com disco rígido. 2.2 Anális da stabilidad através d problma d autovalor A anális da stabilidad d sistmas rotor-mancal pod também sr fita através do problma d autovalor. Gupta (1974) aprsnta uma anális basada no problma d autovalors, aplicando quaçõs qu considram o fito giroscópico amortcido do sistma. A formulação do problma d autovalor associados a sistmas giroscópicos amortcidos é d grand importância para a dtrminação d vlocidads críticas para a anális d snsibilidad d parâmtros m máquinas rotativas (PLAUT HUSEYIN, 1972; MEIROVITCH RYLAND, 1979; LUND, 1980; PALAZZOLO t al., 1983; RAJAN t al., 1986; FARIA BARCELLOS, 1991; EHRICH, 1992; LUND, 1994). A quação do sistma rotor-mancal flxívl, com fito giroscópico amortcido é rscrita na forma d variávis d stado (MEIROVITCH,1974; MEIROVITCH,1980; CHILDS GRAVISS,1982) para a dtrminação dos autovalors complxos. Rao t al. (1996) analisam a stabilidad os autovalors d sistmas rotor-mancal usando a técnica d lmntos finitos considrando coficints distribuídos d força d

32 amortcimnto nos mancais. São considradas distribuiçõs uniforms parabólicas, para difrnts tipos d mancais hidrodinâmicos. Os coficints distribuídos são obtidos através d uma mtodologia qu usa o princípio do trabalho virtual (CRAGGS, 1993; TAYLOR CRAGGS, 1994), mas qu considra apnas uma distribuição uniform ao longo da largura do comprimnto do mancal. Esta considração é válida quando o mancal é razoavlmnt longo. Porém, quando é curto, é válido considrar a distribuição parabólica (RAO t al.,1996). Assim, o msmo princípio do trabalho virtual é aplicado, dsta vz para s obtrm as matrizs d lmntos finitos dos coficints d força com distribuição parabólica. Estas matrizs são incluídas nas matrizs do sistma rotor-mancal, obtndo-s a quação d movimnto do sistma, m forma matricial. A modlagm do rotor é fita usando-s lmntos d viga finitos, como propostos por Nlson McVaugh (1976), incluindo-s o fito giroscópico o amortcimnto intrno. Os rsultados são analisados comparando-s os autovalors frquências naturais do sistma com coficints d rigidz d amortcimnto distribuídos, àquls obtidos considrando-s os coficints d força concntrados, para mancais isotrópicos com razão L/D=0,5 L/D=1,0. Obsrva-s qu, para mancais longos, quando os coficints d rigidz são baixos (10 4 a 10 7 N/m), a difrnça ntr os rsultados para os modlos d coficints distribuídos concntrados é dsprzívl, ntr os modlos d coficints distribuídos uniformmnt parabólico também é pquna. Prcb-s um aumnto nas frquências naturais para o modlo d coficints distribuídos somnt para valors mais lvados d rigidz. Por fim, os autors analisam a stabilidad do sistma rotativo para difrnts tipos d mancais hidrodinâmicos, cujos coficints d força são obtidos d Lund Thomsn (1978). Conclui-s qu as rgiõs d stabilidad mudam ntr as duas formulaçõs. O modlo d coficints distribuídos fornc rgiõs d stabilidad mais amplas, quando comparado com o modlo d coficints concntrados. Dsta forma, o modlo concntrado é mais consrvativo, do ponto d vista d stabilidad, o modlo distribuído é mais prciso. Santana (2009) aprsnta a anális da rsposta complxa d um sistma rotor-mancais-fundação, ond studa a influência do grau d anisotropia dos mancais da strutura d suport na rsposta do modo rtrógrado d prcssão. É formulado também um problma d autovalors, porém, associado à anális modal adaptada para sistmas rotativos (NORDMANN, 1982). A anális dos modos d vibração associados ao ixo rotativo aos mancais d apoio fornc importants dados para o dsnvolvimnto d métodos computacionais d anális d vibração, técnicas d

33 balancamnto d monitoramnto d máquinas d alta rotação (BUSSE t al., 1980; BOEDO BOOKER, 1997). O msmo problma pod ainda incluir as propridads dissipativas do sistma (MEIROVITCH RYLAND, 1979; PALAZZOLO t al., 1983; FARIA BARCELLOS, 1991). 2.3 Mancais hidrodinâmicos A litratura aprsnta divrsos studos sobr o cálculo dos coficints d força nos mancais hidrodinâmicos. Ocvirk (1952) propôs a solução da quação d Rynolds para mancais curtos, dsprzando o gradint circunfrncial d prssão. Pinkus (1987) faz uma rvisão histórica da toria d lubrificação hidrodinâmica da aplicação da quação d Rynolds m tribologia, dsd suas origns até o stado atual. Lund (1978, 1987) faz uma rvisão do concito d coficints dinâmicos aplica o método d prturbação infinitsimal m torno da posição d quilíbrio, para calcular os coficints d rigidz d amortcimnto d mancais hidrodinâmicos. Lund (1987) acrscnta qu sta prturbação m torno da posição d quilíbrio é válida para até 40% da folga do mancal. Childs (1993) Vanc (1988) aprsntam m sus livros difrnts modlos d mancais hidrodinâmicos, obtêm os valors dos sus coficints dinâmicos. Os coficints são obtidos a partir d cálculos m torno da posição d quilíbrio do ixo no mancal. Rajalingham Prabhu (1987) analisam a influência da tmpratura nas caractrísticas físicas dos mancais hidrodinâmicos, conclum qu a variação da tmpratura do ólo na dirção axial pod sr dsprzada sm aftar a prcisão dos rsultados hidrodinâmicos para o film d ólo. Choy t al. (1991) calculam os coficints d rigidz não-linars dos mancais, para prturbaçõs d dslocamnto m vários locais m torno da posição d quilíbrio. Els mostram qu para dslocamntos distants da posição d quilíbrio, a não-linaridad das forças do film fluido é significant, pod sr modlada por coficints d força d amortcimnto d ordm suprior. Choy t al. (1992) analisam o fito não-linar no comportamnto dinâmico d mancais hidrodinâmicos, quando sujitos a divrsas condiçõs opracionais, tais como alta baixa xcntricidad, altas vlocidads, dsalinhamnto. Zhang Luo (1991) utilizam técnicas d ajust d curvas usando dados xprimntais da rsposta m frquência para idntificação dos coficints d rigidz amortcimnto d mancais hidrodinâmicos. Capon t al. (1994) propõm uma solução analítica aproximada para

34 a distribuição d prssão do film d ólo m um mancal d comprimnto finito. São aprsntadas aproximaçõs d primira sgunda ordm, com divrsas rlaçõs d largura diâmtros, sndo qu o modlo d sgunda ordm mostra uma boa aproximação m rlação o modlo d mancal finito calculado numricamnt. Qiu Tiu (1996) calculam os coficints dinâmicos m difrnts valors d prturbação. Els conclum qu as prturbaçõs nas vlocidads dslocamntos dvm star ntr 5% 4%, rspctivamnt, para s garantir uma difrnça d 2,5% ntr os valors d coficints obtidos plos métodos d prturbação finita infinita. Furukawa t al. (1996) studam os coficints d força nos mancais hidrodinâmicos conclum qu a não linaridad do film fluido produz grands difrnças ntr os valors calculados os mdidos xprimntalmnt, m spcial na rgião d alta xcntricidad. Chu t al. (1998) analisam a não-linaridad do film fluido obsrvam qu os coficints linars dos mancais hidrodinâmicos modlados são válidos para prturbaçõs d dslocamnto da ordm d 0,06. Bachschmid Vania (2002) obsrvam vibraçõs m uma frquência duas vzs maior qu a rotação da máquina, na prsnça d fitos não-linars m mancais hidrodinâmicos. Os autors dstacam a importância d s monitorar o sgundo harmônico para s diagnosticarm falhas m turbo-máquinas. Sawicki Rao (2004) analisam o carátr não-linar dos coficints d força d mancais hidrodinâmicos para difrnts númros d Sommrfld (SOMMERFELD, 1904) razõs d sbltz do mancal L/D. São aprsntadas as difrnts formas d s aplicar o método d prturbação para a obtnção dos coficints d força linars não-linars. Os autors dstacam ainda qu os coficints d força linars aprsntam prcisão acitávl até uma xcntricidad d 0,4 vzs o valor da folga do mancal (LUND, 1987). Hirani (2005) aplica técnicas d algoritmos gnéticos na modlagm d lubrificação hidrodinâmica para o projto otimizado d mancais. Couto (2006) faz um studo tórico-xprimntal qu invstiga o comportamnto d mancais radiais hidrodinâmicos sujitos a carrgamntos státicos, dinâmicos a dsalinhamntos. É aplicado o método d volums finitos para a intgração da quação d Rynolds qu govrna o problma d lubrificação. Faria t al. (2006) aprsntam um procdimnto basado no método d lmntos finitos para a solução das quaçõs d lubrificação m mancais radiais cilíndricos hidrodinâmicos, obtidas a partir da quação clássica d Rynolds. Os rsultados mostram as limitaçõs da aplicabilidad da toria d mancais curtos, spcialmnt quando opram com

35 grands xcntricidads. Mostram-s também os limits da aplicação da toria d mancais longos (HAMROCK, 1994), ond L/D=2. Yan t al., (2010) aprsntam um modlo analítico um método d cálculo dos coficints d rigidz d amortcimnto d mancais hidrodinâmicos d sapata móvl, fazm uma comparação com rsultados xprimntais da litratura (KOSTRZEWSKY FLACK, 1990). Su modlo inclui um rotor rígido simétrico apoiado m dois mancais d sapata móvl idênticos, d cinco sapatas cada. É usado o método d Nwton Raphson para s calcular a posição d quilíbrio do ixo das pás. Aprsnta-s também um modlo rduzido qu s mostra ficint para o cálculo dos coficints dinâmicos, mas qu não aprsnta bons rsultados para a anális d stabilidad das frquências naturais amortcidas. Obsrva-s nos rsultados qu o momnto d inércia das pás, a vlocidad o fator d pré-carga têm grand influência na stabilidad do sistma, qu a faixa d opração stávl pod sr aumntada ao s aumntar o fator d pré-carga. 2.4 Sistmas rotativos com lmntos adicionais A anális d stabilidad d sistmas mancal-rotor é bastant variada na litratura spcializada. É comum ncontrar trabalhos cuja originalidad rcai na inclusão d alguns parâmtros ou lmntos spcíficos no conjunto, como mancais híbridos, mancais d matriais viscolásticos, acoplamntos, slos mcânicos. Um trabalho a dstacar sobr a anális d stabilidad do sistma rotor-mancal d mancais híbridos é o d Gomz-Mancilla t al. (2005), ond é modlado um sistma composto por um rotor d Jffcott apoiado m mancais hidrodinâmicos cilíndricos híbridos. São considrados ambos modlos rígido flxívl d Jffcott, comparados os nívis d vibração, a stabilidad do sistma quando sujito a difrnts nívis d prssão d alimntação do lubrificant nos mancais. Os autors mostram como s pod mlhorar a stabilidad do sistma com o aumnto da prssão d alimntação, provocando uma rdução no ângulo d posição um aumnto da xcntricidad nos sistmas modlados, qu inclui mancais hidrodinâmicos longos cilíndricos. Est fito também favorc a faixa d opração stávl do sistma, lvando a vlocidad limit d opração stávl (thrshold spd of instability). Os rsultados obtidos mostram qu o fito da prssão d alimntação nos mancais na stabilidad do sistma é considrávl para

36 rotors rígidos ou com lvada rigidz. À mdida m qu a rigidz rduz, não s prcb muita variação na stabilidad com o aumnto da prssão d alimntação. Outro rsultado important dst trabalho é qu o aumnto da prssão d alimntação do lubrificant não é intrssant quando o sistma stá cruzando uma vlocidad crítica. Apnas m casos particulars é possívl obtr alguma rdução na amplitud d vibração, msmo assim, quando a vlocidad d opração stivr fora da faixa d vlocidads críticas. Portanto, um sistma d control ativo d prssão é rcomndado, para s obtr os mlhors rsultados m função dos parâmtros opracionais do sistma rotativo. Comnta-s também qu outros modlos d mancais, como os lípticos, d múltiplos lóbulos, d sapata móvl, são intrinscamnt mais stávis do qu os mancais cilíndricos, analisados no trabalho. A anális d stabilidad do sistma com mancais d matriais viscolásticos é aprsntada m Espíndola Floody (1999), Saldarriaga (2007) Bavastri t al.(2008). Tapia Cavalca (2002) Tado (2003) analisam os fitos d alguns modlos d acoplamntos flxívis rígidos, insrindo-os m modlos d lmntos finitos do sistma rotativos. Al-Hussain (2003) analisa o fito do dsalinhamnto angular na stabilidad d dois rotors rígidos ligados por um acoplamnto flxívl. O modlo contmpla ainda um disco rígido m cada rotor, qu s apóia m mancais hidrodinâmicos. O autor aprsnta as rgiõs d stabilidad do sistma sua rlação com a rigidz do acoplamnto com o ângulo d dsalinhamnto. Wang t al. (2010) fazm uma anális d um comprssor cntrífugo d alta vlocidad, com mancais hidrodinâmicos a ar, com slo mcânico d labirinto. É usado o modlo d rotor rígido d Jffcott para modlar o ixo o disco qu rprsntam o comprssor, além do modlo d Muszynska (1986) para as forças do slo. Faria Miranda (2012) aprsntam um procdimnto d lmntos finitos aplicado na anális dos parâmtros d dsmpnho d slos a gás. Lavainn (2003) Vincnt (2003) fazm uma anális dtrminística probabilística da snsibilidad d dsmpnho d um comprssor às variaçõs gométricas das suas pás. Ambos aprsntam os rsultados m trmos d altraçõs na ficiência d comprssão do quipamnto. Lazarus t al. (2010) fazm uma anális dinâmica da vibração m máquinas rotativas assimétricas, utilizando lmntos finitos tridimnsionais (3D), basando-s na toria modal. São incluídos no modlo um stator um acoplamnto, prmitindo uma anális dtalhada da stabilidad do sistma sua rlação com os autovalors. Os rsultados tóricos são comparados

37 com mdiçõs xprimntais ralizadas m uma bancada d tsts com um rotor assimétrico apoiado m mancais anisotrópicos. 2.5 Mancais lípticos A litratura aprsnta divrsos trabalhos sobr modlagm d mancais cilíndricos, mas há poucos trabalhos qu invstigam dtalhadamnt os mancais lípticos (SINGH GUPTA,1982). As primiras publicaçõs sobr mancais lípticos qu s dstacam são Pinkus (1956; 1956b), ond o autor aprsnta uma anális dtalhada sobr mancais lípticos, incluindo parâmtros como capacidad d carga, coficint d atrito vazão, para difrnts valors d xcntricidad, fator d carga razão L/D. Outro trabalho important na época foi aprsntado por Wilcock (1961), qu analisa vários tipos d mancais dslocados ortogonalmnt, incluindo mancais lípticos. Su trabalho é limitado plo fato d não trm sido considrados os coficints d amortcimnto. Strnlicht (1964) aprsnta uma anális d rgim prmannt para mancais lípticos, usando coficints d rigidz d amortcimnto d mancais lípticos com fators gométricos variados. Middlton (1973) aprsnta diagramas d capacidad d carga, ângulo d atitud coficints d rigidz d amortcimnto para mancais lípticos com fators d 0,6 L/D=0,5. Singh (1978) faz uma anális stática dinâmica d mancais lípticos com L/D=1, considrando rotors rígidos flxívis. Kumar t al. (1980) aprsntam dados dtalhados para o projto d mancais hidrodinâmicos lípticos (dois lóbulos). É usado o método d prturbação linar para o cálculo dos coficints do mancal, aplicando-s a quação d Rynolds para film fluido, com algumas simplificaçõs nas condiçõs d contorno. São aprsntados rsultados para os coficints d rigidz d amortcimnto do mancal, além d dados sobr parâmtro d atrito, d aumnto d tmpratura, rgião d quilíbrio. Singh Gupta (1982) aprsntam um studo analítico dos fitos do fator d carga, da razão L/D da flxibilidad do ixo nos limits d stabilidad d mancais lípticos, dstacam qu os mancais lípticos são adquados para rotors rígidos modradamnt flxívis. Nst trabalho, os autors aplicam a quação d Rynolds a cada lóbulo do mancal líptico, rsolvm a quação sparadamnt, por lóbulo, usando o método d difrnças finitas. Os rsultados são válidos para mancais alinhados, ond o prfil d prssõs é simétrico. São lvados m

38 considração todos os coficints d força dos mancais, isto é, os coficints d rigidz d amortcimnto, incluindo os coficints cruzados. Zhang t al. (1999) analisam os fitos da não-linaridad das forças do film fluido na rsposta dsbalancada d um rotor d Jffcott apoiado m mancais lípticos. É dstacado o carátr nãolinar das forças do film fluido. Os autors comparam os rsultados da rsposta dsbalancada grada pla toria linar não-linar para avaliar a aplicabilidad da toria linar. Obsrva-s a grand influência do dsbalancamnto nos rsultados comparados, mostrando a importância d s considrar as não-linaridads quando o dsbalancamnto do sistma é lvado. Nas últimas décadas tm-s publicado pouco sobr mancais lípticos, os trabalhos rcnts qu mrcm dstaqu são comntados a sguir. Shn t al.(2006) aprsntam um modlo rápido prciso qu calcula as forças d um mancal hidrodinâmico, usando o método variacional. O modlo analisa o comportamnto dinâmico nãolinar d um rotor rígido apoiado m mancais lípticos, considrando tanto o rotor balancado como o não-balancado. Os autors fazm uma rvisão histórica dos trabalhos qu invstigam st carátr apriódico caótico da vibração m sistmas dinâmicos d alta rotação, ond s comnta ainda qu os coficints dinâmicos linars trazm informaçõs d stabilidad válidas apnas para rotors balancados. São dstacados os métodos numéricos d lmntos finitos d difrnças finitas como os mais prcisos, mas ao msmo tmpo, os qu mais xigm rcursos computacionais tmpo d procssamnto. Dsta forma, os autors propõm um novo modlo numérico para calcular as forças do film fluido, para invstigar a dinâmica não-linar d um sistma rotor-mancal. O mancal modlado é formado por dois lóbulos d 150 cada, considra-s apnas o movimnto radial do rotor. O novo modlo proposto basia-s na toria variacional (ROHDE MALLISTER, 1975), grando um problma d minimização d nrgia, o qu rduz o problma bidimnsional para unidimnsional, rduzindo considravlmnt o custo computacional. Como as forças do film fluido são calculadas para cada lóbulo, o método proposto é ficint tanto para mancais cilíndricos quanto para mancais d vários lóbulos, incluindo os mancais lípticos. O método é válido não apnas para mancais curtos longos, mas também para mancais finitos. São aprsntados rsultados numéricos gráficos qu mostram órbitas, ciclos limits, diagramas d bifurcação (HOLLIS TAYLOR, 1986) mapas d Poincaré.

39 Yan-Jun t al.(2006) analisam o comportamnto dinâmico não-linar d um rotor apoiado m mancais hidrodinâmicos finitos, incluindo mancais lípticos. Para o cálculo dos coficints d força dos mancais usa-s o método d lmntos finitos com uma abordagm variacional, qu prmit rduzir o custo computacional mlhorar a xatidão numérica do método, sgundo os autors. São considrados os fitos não-linars das forças produzidas plo film fluido sua influência na não-linaridad do movimnto do sistma. Aplica-s o método d prdição corrção juntamnt com o método d Nwton-Raphson para s calcular a posição d quilíbrio as vlocidads críticas. A limitação do modlo stá na considração d ixo rígido sua modlagm não é dtalhada plos autors. Corria (2007) aprsnta uma anális d dsmpnho d mancais hidrodinâmicos lípticos usando o método d lmntos finitos. São obtidos os coficints d rigidz d amortcimnto para divrsas condiçõs d trabalho, além d obtr curvas d caractrísticas d dsmpnho stático dinâmico, tais como capacidad d carga coficints dinâmicos d força, m função d parâmtros opracionais do númro d Sommrfld. O autor dstaca qu para um númro d Sommrfld alto, os mancais cilíndricos são inadquados. Raghunandana (2007) propõ um método invrso para s calcular os coficints d força d amortcimnto d mancais lípticos, a partir d um banco d dados grado para uma crta razão d xcntricidad, é fito um ajust d curva para grar uma função contínua dsts dados. É aprsntada a quação d Rynolds modificada (DIEN ELROD, 1983), qu considra a variação da viscosidad do fluido m função da prssão, isto é, fluido não-nwtoniano. A quação é adimnsionalizada rsolvida numricamnt usando o método d difrnças finitas, considrando o rgim prmannt condiçõs d contorno simplificadoras.

40 3 METODOLOGIA Nss capítulo é aprsntada a mtodologia adotada na implmntação do procdimnto computacional qu prmit obtr os rsultados do comportamnto dinâmico d sistmas rotormancal hidrodinâmico. Inicialmnt aprsnta-s a formulação por lmntos finitos do ixo rotativo, utilizando-s a toria d vigas d Timoshnko. Em sguida, é aprsntada a dscrição do problma d mancal hidrodinâmico radial líptico as quaçõs d lubrificação da Toria da Lubrificação, qu prmitm obtr a formulação por lmntos finitos dos coficints d força dsts mancais. Postriormnt é dscrito o procdimnto para s modlar o sistma rotormancal hidrodinâmico por lmntos finitos, obtndo-s a quação do movimnto. Aprsnta-s o método numérico d intgração no tmpo adotado para s obtr a solução numérica da quação do movimnto do sistma. Finalmnt, é aprsntado um diagrama dscrvndo as principais tapas do procdimnto computacional complto. O modlo do sistma rotor-mancal é ilustrado squmaticamnt na Figura 3.1, ond obsrva-s um ixo circular flxívl apoiado nas xtrmidads com um disco massivo acoplado. Os apoios são rprsntados plos coficints d rigidz K d amortcimnto C dos mancais. Figura 3.1 Sistma rotor-mancal Os modlos adotados para o rotor flxívl para os mancais hidrodinâmicos cilíndricos

41 lípticos são basados m torias qu aprsntam algumas hipótss simplificadoras. Estas hipótss são listadas a sguir: i) Modlo do Eixo flxívl não inclui fitos d torção ou d amortcimnto intrno; considra o ixo homogêno, isotrópico inicialmnt alinhado; carrgamnto transvrsal; sm carga axial; dsconsidrado o movimnto axial das sçõs transvrsais ii) Modlo do disco massivo considra o disco rígido homogêno; a linha d cntro do disco coincid com a linha d cntro do ixo (condição inicial) iii) Modlo dos mancais hidrodinâmicos considra mancais d gomtria fixa, com prfil cilíndrico ou líptico; a linha d cntro coincid com a linha d cntro do ixo (condição inicial) Film fluido - scoamnto m rgim laminar, bidimnsional nas dirçõs axial circunfrncial; - fluido nwtoniano, isotérmico, isoviscoso, incomprssívl; - dsconsidrada a inércia do fluido; iv) Modlo do sistma rotor-mancal Dsconsidrados os fitos d vibração provocados por dsalinhamnto d montagm, folgas, roçamnto, rompimnto do film fluido, cavitação 3.1 Modlagm do Rotor Flxívl O modlo do rotor flxívl implmntado nst trabalho adota o método d lmntos finitos (MEF), através d lmntos d ixo (NELSON, 1980) d Timoshnko. Nlson (1980) utiliza a toria d vigas d Timoshnko para obtr as quaçõs d quilíbrio para um ixo circular flxívl suportado m apoios lásticos, considrando o fito do cisalhamnto, momnto giroscópico inércia rotatória. Os dtalhs sobr a toria d vigas d Eulr-Brnoulli, Rayligh Timoshnko são aprsntados no Anxo A. O dsnvolvimnto da formulação através d

42 lmntos finitos é aprsntado a sguir, as matrizs d lmntos finitos obtidas por sta formulação são listadas no Anxo C. Considr um lmnto finito d comprimnto l com oito graus d librdad (Figura 3.2). Figura 3.2 Rprsntação d um lmnto finito do ixo A variávl q rprsnta o vtor dslocamnto gnralizado, ond q 1 q 2 rprsntam o movimnto d translação d um nó do lmnto finito, nas dirçõs dos ixos d coordnadas rtangulars, nquanto q 3 q 4 rprsntam as rotaçõs m torno dos ixos d coordnadas. As dmais componnts são análogas, rprsntando os msmos movimntos para o nó oposto. Para rprsntar a translação a rotação d uma sção qualqur do lmnto, dfinm-s (V,W) como o dslocamnto linar do cntro da sção do lmnto, ond são incluídas as contribuiçõs da flxão (V f, W f ) do cisalhamnto (V c,w c ). Aplicam-s funçõs d intrpolação clássicas para vigas d Timoshnko na flxão (ANEXO B)., ond,

43 as funçõs d intrpolação, i=1,2,3,4, rprsntam os modos d dslocamntos, sndo qu cada função stá associada ao dslocamnto unitário d uma das coordnadas, com todas as dmais coordnadas com dslocamnto rstringido a zro. [D] [E] rprsntam as matrizs das funçõs d intrpolação d dslocamntos linars d dslocamntos angulars, rspctivamnt. Para s considrar os fitos d cisalhamnto transvrsal, considra-s o ixo com sção transvrsal circular, o fator d forma do cisalhamnto transvrsal médio pod sr dtrminado pla xprssão (COUPER, 1966): ond é o coficint d Poisson. Aplicando-s o Princípio d Hamilton, obtém-s as quaçõs do movimnto d um lmnto finito do ixo. Fazndo-s a primira variação funcional ond T, V rprsntam, rspctivamnt, a nrgia cinética, a nrgia potncial lástica o trabalho das forças xtrnas, obém-s a rlação A nrgia cinética do lmnto considra as parclas d translação d rotação do movimnto. ond l é o comprimnto do lmnto; M rprsnta a massa por unidad d comprimnto; I dm é o momnto diamtral médio d inércia d massa por unidad d comprimnto; I p é o momnto polar d inércia por unidad d comprimnto; é a vlocidad d rotação do rotor. A nrgia d dformação lástica dvido à flxão ao cisalhamnto é dscrita como

44 ond V f W f são as contribuiçõs da flxão no dslocamnto linar do cntro da sção transvrsal do lmnto; V c W c são as contribuiçõs do cisalhamnto nst dslocamnto; K x K y são os coficints d cisalhamnto; E G são os módulos d lasticidad longitudinal transvrsal; Iy Iz são os momntos d inércia d ára; A é a ára da sção transvrsal. O sinal d apóstrofo indica difrnciação m rlação à posição. As quaçõs do movimnto são obtidas plo Princípio d Hamilton através da rlação ond é o trabalho virtual das forças xtrnas {F } é o vtor força gnralizada. Substituindo-s as funçõs d intrpolação (ANEXO B) nas xprssõs da nrgia d dformação lástica d nrgia cinética do lmnto lva às matrizs d lmntos finitos (ANEXO C). Uma vz obtidas as matrizs do sistma, a quação do movimnto obtida pla aplicação do Princípio d Hamilton trá a forma ond [M ], [N ], [G ] são as matrizs locais da inércia d translação, rotação d fito giroscópico, rspctivamnt. Para o modlo do rotor flxívl, composto plo ixo flxívl o disco massivo rígido (Figura 3.1), basta usar as propridads gométricas do disco nas matrizs d inércia [M ] [N ], d fito giroscópico [G ] no lmnto corrspondnt à posição do disco no rotor. 3.2 Modlagm do Mancal Radial Elíptico A Figura 3.3 aprsnta d manira squmática um mancal hidrodinâmico líptico sus parâmtros gométricos.

45 Figura 3.3 Dsnho squmático do mancal líptico sus parâmtros gométricos O munhão é a part rotativa do mancal, normalmnt corrspond ao próprio ixo, no trcho apoiado no mancal. O tamanho do mancal é dfinido plo comprimnto L plo diâmtro D. O cntro do munhão stá na intrsção das linhas traço-ponto, o cntro do mancal stá na intrsção das linhas pontilhadas. A xcntricidad do mancal é dfinida como a distância ntr o cntro do mancal o cntro do munhão, rprsntada por. A folga radial do mancal, dfinida como a difrnça ntr o raio do mancal o raio do munhão é rprsntada por c (Figura 3.4). A razão d xcntricidad é o adimnsional dfinido como, podndo variar d zro a um. O ângulo d posição do mancal,, pod sr calculado pla xprssão, ond F y F x são, rspctivamnt, as componnts vrtical horizontal da força d ração F do mancal, grada pla ação hidrodinâmica do film fluido. O mancal radial d prfil líptico, ou mancal líptico, possui um prfil formado por dois arcos d circunfrência, chamados d lóbulos, qu não são concêntricos (Figura 3.4). Nsta figura, o cntro gométrico dos lóbulos (ponto O L ), stá posicionado sobr o cntro gométrico do ixo (ponto O), o qu a difr basicamnt da Figura 3.3, ond o cntro do ixo stá dslocado, como ocorr quando o ixo stá girando s dsloca para uma posição d quilíbrio. R rprsnta o raio mnor do mancal; R rprsnta o raio do munhão ou raio do ixo; R L rprsnta o raio do lóbulo do mancal, ou sja,o raio d cada lóbulo qu compõ o mancal líptico. A pré-carga (Mp) do mancal líptico indica o grau d lipsidad do mancal, é dada pla

46 xprssão Mp=(C b c)/c. O caso particular ond Mp=0 rprsnta o mancal cilíndrico. Figura 3.4 - Dsnho squmático do prfil d um mancal radial líptico A Figura 3.5 mostra o campo d prssão no mancal hidrodinâmico cilíndrico, girando no sntido anti-horário. Prcb-s qu as maiors prssõs são formadas na rgião infrior, ligiramnt dslocadas para a dirita, para sustntar a carga do ixo, rprsntada por W. A distância mínima ntr o ixo o mancal é rprsntada por h o. Figura 3.5 - Distribuição da prssão hidrodinâmica no mancal cilíndrico (LANG STEINHILPER, 1978)

47 Na Figura 3.6 é rprsntado o msmo campo d prssão, porém para o mancal d prfil líptico. Obsrva-s qu há a formação do campo d prssão também na mtad suprior do mancal qu, mbora tnha um valor rlativamnt pquno s comparado com o campo grado na part infrior, ajuda no quilíbrio hidrodinâmico (CORREIA, 2007). A ação dos dois campos d prssão dos mancais lípticos aumnta a rigidz, mlhora o amortcimnto rduz o aqucimnto do lubrificant d manira mais ficint do qu nos mancais cilíndricos (SEHGAL, 2010). Figura 3.6 - Distribuição da prssão hidrodinâmica no mancal líptico (Adaptado d CORREIA, 2007) 3.2.1 Equaçõs d Lubrificação A quação clássica d Rynolds qu dscrv o scoamnto d um film fluido incomprssívl, isotérmico isoviscoso pod sr scrita no sistma d coordnadas cilíndricas da sguint forma (HAMROCK, 1994): 1 R² ond: L h³ p Lh³ p 1 U ( Lh) ( Lh) 12 z 12 z 2 R t (3.1)

48 R = raio do ixo; p = prssão hidrodinâmica; = massa spcífica do lubrificant; h = spssura do film fluido; = viscosidad absoluta do lubrificant; U = vlocidad suprficial do ixo (U = ωr); O domínio do scoamnto do film fluido é dscrito por 0 θ 2π -L/2 z L/2. A distribuição d prssão hidrodinâmica é priódica ao longo da dirção circunfrncial, p(θ, z, t)= p(θ + 2π, z, t). As latrais do mancal stão à prssão atmosférica p a, p(θ, L/2, t)=p(θ, -L/2,t)= p a. A condição d Mio Sommrfld é utilizada no cálculo do campo d prssão do mancal cilíndrico (HAMROCK, 1994), ond usa-s somnt do intrvalo d 0 θ π, concntrando-s a anális da prssão na rgião convrgnt, ou sja, não considrando a ára d cavitação (ou prssão ngativa). No mancal líptico é dsconsidrada apnas a rgião d cavitação. A xprssão qu rprsnta a spssura do film fluido h é dada pla quação (3.2), ond c rprsnta a folga radial, x y rprsntam as xcntricidads do mancal Mp a pré-carga. h c ( t)cos( ) ( t) sn( ) c Mp sn (3.2) x y. Para o cálculo dos coficints dinâmicos d força do mancal são utilizadas as quaçõs d lubrificação d ordm zro d primira ordm, obtidas através da anális d prturbação do sistma (LUND,1987). A posição d quilíbrio do ixo (, x 0 y ) é prturbada por movimntos 0 d pquna amplitud (, ) com uma frquência d xcitação w (FARIA t al., 2006). x y Dsta forma, a spssura do film é dada por: i t i t h h0 ( xhx yhy ) h0 h ; = x, y (3.3) ond: h 0 = spssura do film stacionário ou d ordm zro

49 h x = cos( ); h y = sn ( ); = x, y; i = 1. Pqunas variaçõs na spssura do film causam altraçõs no campo d prssão hidrodinâmica. Est campo prturbado d prssão hidrodinâmica pod sr rprsntado pla quação (3.4), s considrarmos uma anális linar d prturbação. p(,t ) p o (,t ) ( X p X Y p Y ) i t p o p i t (3.4) ond: p 0 = prssão stacionária, campo d prssão d ordm zro; p X p Y = campo d prssão d primira ordm. Substituindo as quaçõs (3.3) (3.4) na quação (3.1), obtêm-s as quaçõs d lubrificação d ordm zro d primira ordm, conform rprsntado plas quaçõs (3.5) (3.6), rspctivamnt. R² 3 3 L h0 p0 Lh0 p0 1 U ( Lh ) (3.5) 12 z 12 z 2 R 1 0 1 R² 3 Lh 12 2 0 h p 0 Lh 12 3 0 p z 3 Lh 12 2 0 h p0 z Lh 12 3 0 p z 1 U 2 R ( L h ) i L h (3.6) A quação (3.5) é a quação clássica d Rynolds para rgim stacionário. Esta quação prmit a dtrminação do campo d prssão hidrodinâmica bidimnsional no intrior dos mancais radiais lubrificados a ólo. Não xist solução analítica m forma fchada para a grand maioria dos mancais radiais d uso industrial. Os coficints dinâmicos dos mancais são

50 obtidos através da solução das quaçõs d lubrificação d ordm zro d primira ordm via procdimnto d lmntos finitos. 3.2.2 Equaçõs d Elmntos Finitos para Mancais Elípticos As quaçõs d lubrificação d ordm zro d primira ordm podm sr scritas na forma d balanço d massa, utilizando-s o concito d fluxo mássico. Dssa forma, a quação (3.5) pod sr rscrita na sguint forma: 1 R m z m z. m 0 (3.7) 3 1 L h0 p0 sndo qu m R Lh0 rprsnta o fluxo mássico na dirção circunfrncial R 12 2 m z Lh 12 3 0 p z 0 o fluxo mássico na dirção axial. A quação (3.6) pod, da msma forma, sr rscrita na forma d balanço d fluxo, na sguint manira:. m 1 1 R m 1 z m 1z i sndo qu os fluxos mássicos mostrados na quação (3.8) podm sr xprssos na sguint forma: m1 2 3 1 3 Lh0 h p0 1 Lh0 p R Lh R 12 R 12 2 (3.9) m1 z 2 3 3 Lh0 h p0 Lh0 p 12 z 12 z (3.10) L h (3.8) 3.2.3 Discrtização do campo d prssão d ordm zro Elmntos isoparamétricos planos d quatro nós são utilizados na discrtização do domínio do film fluido. Funçõs d intrpolação bilinars, j, j=1,2,3,4, são mprgadas na dscrição do

51 campo d prssão hidrodinâmica d ordm zro no domínio d um lmnto finito. A Figura 3.7 ilustra d manira squmática os quatro nós no lmnto finito usados na discrtização do domínio do film fluido, ond a coordnada y rprsnta a dirção axial do mancal a coordnada indica a dirção circunfrncial. Figura 3.7 - Rprsntação squmática dos nós no lmnto finito Os campos discrtos d prssão d ordm zro d primira ordm, no domínio lmnto finito, são scritos na sguint forma: d um p i p0i 0 ; i=1,2,3,4 (3.11) p i p i ; i=1,2,3,4 (σ = x,y) (3.12) Sobr um lmnto finito do domínio, o método d Galrkin é utilizado para a obtnção da quação do campo d prssão d ordm zro. A quação (3.7) é pré-multiplicada plas funçõs d intrpolação j o produto é intgrado sobr o domínio. j. m d j. m. n d m. j d 0 (3.13) ond n rprsnta o valor normal unitário dircionado para o lado d fora do contorno do

52 lmnto finito. Pod-s scrvr qu: R z j z j j 1 (3.14) m z z m m (3.15) A sgunda intgral do lado dirito da quação (3.13) pod sr xpandida na sguint forma. j i j i j i j z j z i i i i d h p d z z R h d R z p z h z R p h R 0 0 2 3 0 0 3 0 0 3 0 2. 1 12 1. 12 12 1 (3.16) Então, a quação (3.13) pod sr rscrita na forma a sguir: n j j i j i j i d m d h p d z z R h. 2. 1 12 0 0 2 3 0 (3.17) ond n m rprsnta o fluxo d lubrificant cruzando a frontira do lmnto finito. A quação (3.17) pod sr rprsntada por um sistma d quaçõs algébricas, qu rprsnta a forma stacionária da quação d Rynolds, para um lmnto finito, na sguint forma: j j i ji q f P K 0 (3.18) ond a matriz fluídica ji K pod sr obtida por mio d procdimnto d intgração basado no método da quadratura d Gauss (BATHE, 1982), utilizando-s quatro pontos d intgração. Essa matriz é dada pla sguint xprssão

53 j i j i ji d z z R h K ² 1 12 3 0. O vtor d fluxo, no domínio d um lmnto finito, é dtrminado por j j d h f 0 2 O balanço d fluxo, através do contorno do domínio, é dado por n j j d m q O contorno d um lmnto finito qualqur é rprsntado por o fluxo d lubrificant d ordm zro através dssa frontira por n m. 3.2.4 Discrtização do campo d prssão d primira ordm O método d Galrkin é mprgado novamnt para a obtnção da quação d lmntos finitos para dtrminação do campo d prssão prturbada d primira ordm. A quação (3.8) é prémultiplicada plas funçõs d intrpolação o produto é intgrado sobr o domínio do lmnto finito, produzindo a sguint quação intgral. j j j j d h i d m nd m d m... 1 1 1 (3.19) O sgundo trmo do lado dirito da quação (3.19) pod sr rscrito na forma sguint: j i j i j o j z j j d R h R P R h p R h h d z m R m d m 2 ² 1 12 ² 1 12 3 1. 3 0 2 0 1 1 1

54 i j i j d P z z h z z p h h 12 12 3 3 0 0 2 0 (3.20) A quação (3.20) pod, ntão, sr rscrita na forma d um sistma d quaçõs algébricas na sguint manira: j j j j n j i j i j i d h i h z z p p R h h d m P d z z R h 2 ² 1 12 3.. ² 1 12 0 0 2 0 1 3 0 (3.21) Para facilitar a rprsntação da quação algébrica (3.21), pod-s rscrvê-la na forma matricial como sgu. j j i ji f q p K. ; y x,, (3.22) A matriz fluídica d primira ordm, o balanço do fluxo através do contorno o vtor d fluxo no domínio são dtrminados rspctivamnt por: j i j j ji d z z R h K ² 1 12 3 0 (3.22.1) n j j d m q.. (3.22.2) j j j j j d h i h z z p p R h h f 2 ² 1 12 3 0 0 2 0 (3.22.3) O fluxo d lubrificant d primira ordm através do contorno d um lmnto finito é rprsntado por n m. O sistma d quaçõs algébricas complxas dado plas quaçõs (3.22) prmit dtrminar o

55 campo complxo d prssão hidrodinâmica d primira ordm. Os coficints do vtor carrgamnto d primira ordm, f j, dpndm do campo d prssão d ordm zro. Por consguint, primiro rsolv-s o sistma d quaçõs d ordm zro aprsntada na quação (3.18) para a dtrminação do campo d prssão stacionária p 0. Então, dtrmina-s o campo d prssão prturbada por mio do sistma d quaçõs dado plas quaçõs (3.22). As caractrísticas státicas d dsmpnho d mancais, tais como capacidad d carga, torqu d atrito vazão d ólo, são dtrminadas a partir da quação d lubrificação d ordm zro. Já as caractrísticas dinâmicas d dsmpnho, tais como os coficints d rigidz d amortcimnto, são stimadas a partir da solução da quação d lubrificação d primira ordm. As quaçõs d lmntos finitos são suprpostas para todo o domínio do film fluido Ω. 3.2.5 Dtrminação dos Coficints d Força dos Mancais Elípticos A solução do sistma d quaçõs algébricas linars é obtida por mio d um procdimnto basado no método da dcomposição LU (CHAPRA CANALE, 2002). Um programa computacional foi dsnvolvido spcialmnt para dtrminar a solução das quaçõs d ordm zro d primira ordm utilizando o método d lmntos finitos (FARIA t al., 2006). As forças d ração do film lubrificant podm, ntão, sr stimadas a partir da sguint xprssão, na qual p a rprsnta a prssão atmosférica. F o L 2 0 0 ( p o p a )h R.d. dz ; = X,Y. (3.23) A dtrminação do campo prturbado, ou d primira ordm, d prssão hidrodinâmica para o mancal é ralizada por mio do sistma d quaçõs complxas d primira ordm, obtido pla suprposição para todo o domínio do fluido das quaçõs dadas plas quaçõs (3.22). A intgração do campo d prssão d primira ordm sobr o domínio do film fluido lva à stimativa das impdâncias complxas linarizados d rigidz, { Z. Os coficints } o, { K }, X, Y, d amortcimnto, C }, X, Y hidrodinâmica do film fluido, podm sr calculados na sguint forma. X, Y {, associados à ação

56 Z K i C L 2 0 0 p h R.d.dz,, X, Y (3.24) ou K K XX YX K K XY YY i. C. C XX YX C C XY YY L 2 0 0 p p X X h h X Y p p Y Y h h X Y.R.d.dz. (3.25) Ests coficints d força, [ K ] [C ] corrspondm à rsistência qu o mancal ofrc ao dslocamnto à vlocidad, rspctivamnt. Els srão sobrpostos às matrizs d lmntos finitos do ixo, nas linhas colunas corrspondnts aos dois primiros graus d librdad, qu são translacionais. 3.3 O Sistma Rotor-Mancal O sistma rotor-mancal é composto por um ixo flxívl, um disco massivo mancais. Nst trabalho o sistma foi modlado através do método d lmntos finitos (MEF), como dscrito a sguir, aplicando modlos distintos para o ixo flxívl para os mancais. O disco massivo é considrado rígido, portanto, insrido no modlo do ixo simplsmnt através d suas propridads físicas (massa, fito giroscópico inércia rotatória). Para a modlagm do dslocamnto latral dos ixos flxívis, são utilizados lmntos d ixo com dois nós com oito graus d librdad. A influência dos mancais nos coficints d rigidz amortcimnto do rotor também é considrada na modlagm. A quação global do movimnto para o sistma rotor-mancal é dscrita como: (3.26) ond, [M] rprsnta a matriz global d inércia translacional, [N] é a matriz global d inércia rotatória, [K] a matriz d rigidz do ixo [C] a matriz gnralizada d amortcimnto, qu é xprssa como [ C] [C 1 ].[G], ond [G] é a matriz d fito giroscópico do ixo. Estas matrizs são aprsntadas dtalhadamnt no Anxo C. A matriz [C 1 ] é a matriz global com os coficints d amortcimnto dos mancais, lançados nos dvidos nós ond os mancais stão

57 posicionados. D manira análoga os coficints d rigidz dos mancais são somados à matriz [K] a massa dsbalancada é somada na matriz [M]. Os vtors d aclração, vlocidad dslocamnto são dados, rspctivamnt, por { U},{U},{U } Ω é a vlocidad d rotação do ixo (rad/s). Cada nó possui 4 graus d librdad, ond o dslocamnto do i-ésimo lmnto é rprsntado plo vtor {U i } composto plas sguints componnts: U i y x i i, ond y x i i i i i i dslocamnto horizontal dslocamnto vrtical rotaçãom torno do ixo y rotaçãom torno do ixo x A Figura 3.8 aprsnta simbolicamnt sts 4 graus d librdad através dos movimntos d translação (dslocamnto) d rotação nos ixos x,y. Figura 3.8 Rprsntação dos 4 graus d librdad A xcitação dvida à massa dsbalancada do rotor é rprsntada plo vtor {R} na Eq. (3.26). Um disco rotativo rígido dsbalancado é montado m uma posição axial pré-dtrminada do ixo, prmitindo a aplicação d carga. Um fasor rotatório com amplitud d F 0 = m d.u d. Ω², rprsnta a carga da massa dsbalancada, ond m d é a massa dsbalancada (kg) u d é a xcntricidad da massa dsbalancada (m). As sçõs a sguir aprsntam as formulaçõs qu prmitm obtr as matrizs da quação (3.26), qu postriormnt srá intgrada numricamnt plo método d Nwmark (BATHE, 1982).

58 3.4 Diagrama do Procdimnto Computacional O procdimnto computacional proposto nst trabalho foi dsnvolvido m ambint Matlab, produzido pla Th MathWorks, suas principais tapas são aprsntadas na Figura 3.9. 1) Entrada d Dados 2) Cálculo das matrizs d lmntos finitos do rotor 3) Cálculo dos coficints d força dos mancais plo MEF 4) Montagm das matrizs d lmntos finitos dos mancais 5) Suprposição das matrizs d lmntos finitos 6) Equação do movimnto 7) Intgração numérica da quação do movimnto 8) Slção dos dados d saída 9) Saída d rsultados Figura 3.9 Diagrama do procdimnto computacional Na tapa 1 são rgistrados os parâmtros físicos gométricos do sistma, além dos parâmtros dos métodos numéricos (númro d nós da malha, tmpo d intgração, incrmnto no tmpo, rotação tc.). Na tapa 2 são calculadas as matrizs d lmntos finitos do ixo, usando-s os dados

59 rgistrados na tapa 1, através das quaçõs dscritas no Anxo C. Como o disco massivo é considrado rígido, portanto, só possui os lmntos das matrizs d massa, d inércia d momnto giroscópico, stas matrizs são calculadas sparadamnt sobrpostas com as do ixo, nos pontos ond o disco massivo stá posicionado. O método prmit qu o disco stja posicionado m qualqur nó da malha do ixo. Na tapa 3 são calculados os coficints d força dos mancais, basando-s na sua posição d quilíbrio stático. Esta posição é ncontrada plo MEF implmntado, qu calcula a força rsultant da ação hidrodinâmica do film-fluido, para qu la sja igual à carga stática qu o rotor aplica m cada mancal. Uma vz ncontrado o ponto d quilíbrio stático, são calculados os coficints d rigidz d amortcimnto dos mancais, conform Eq.(3.25). Cab rssaltar qu o cálculo dsts coficints não usa as torias simplistas d mancais curtos ou longos, nm faz simplificaçõs quanto aos coficints cruzados. Na tapa 4 os rsultados ncontrados na tapa 3 são rgistrados nas matrizs d lmntos finitos dos mancais, qu são as matrizs d rigidz d amortcimnto. Em sguida, na tapa 5, é fita a suprposição das matrizs d lmntos finitos do rotor dos mancais, com os rsultados obtidos nas tapas 2, 3 4. O método prmit qu os mancais stjam posicionados m qualqur nó da malha do ixo. Esta suprposição é fita apnas com as linhas colunas corrspondnts aos dslocamntos translacionais, ou sja, não são considrados fitos d rigidz ou d amortcimnto rotacionais no modlo dos mancais hidrodinâmicos. Uma vz montadas as matrizs, sgu-s para as tapas 6 7 ond a quação do movimnto é stablcida, m formato matricial, conform Eq.(3.26) intgrada numricamnt plo Método d Nwmark, dscrito no Anxo D. Na tapa 8 são rgistrados os dados qu srão usados para a anális do sistma. Na vrdad, sta tapa stá insrida no algoritmo d Nwmark, dntro das itraçõs no tmpo, para qu sjam rgistrados os dados d intrss a cada itração no tmpo. Os dados normalmnt slcionados são xtraídos do vtor {U}, (Eq.3.26), qu rgistra todos os dslocamntos latrais rotaçõs dos pontos da malha do ixo ao longo do tmpo. Finalmnt, na tapa 9 são gradas as saídas d rsultados. Dpndndo do tipo d anális dsjada, sta saída pod passar por outro cálculo numérico, como é fito no caso da gração do spctro d frquência, ond é usado o FFT (Fast Fourir Transform). Os rsultados numéricos

60 são xibidos na forma d arquivo d dados também na forma gráfica, através d spctros d frquência, formas d onda, curvas d dflxão, curva d rsposta dsbalancada ou através d uma animação tridimnsional xibindo a dflxão do rotor ao longo do tmpo. Cab rssaltar qu, para o cálculo da rsposta dsbalancada, é ncssário fazr a intgração no tmpo para várias rotaçõs do ixo. Assim, para cada rotação, é rgistrada a máxima amplitud d vibração do ixo m um dtrminado ponto. Normalmnt é scolhido o lmnto ond stá um dos mancais, para st ponto. Em sguida, é grado o gráfico da rsposta dsbalancada qu prmit idntificar m qual rotação o sistma aprsntou a máxima amplitud, quando xcitado pla força d dsbalancamnto. Est é o concito d vlocidad crítica (VC).

61 4 RESULTADOS E ANÁLISE Os rsultados do procdimnto computacional proposto são validados com rsultados aprsntados na litratura spcializada com dados xprimntais. São aprsntados inicialmnt alguns xmplos d validação, sguindo-s para a anális dos coficints d força dos mancais lípticos da rsposta dsbalancada do sistma rotor-mancal. 4.1 Exmplos d validação A validação do procdimnto computacional é ralizada através d alguns xmplos slcionados na litratura spcializada, aprsntando modlos d rotors flxívis apoiados m difrnts tipos d mancais. É incluída uma comparação dos rsultados numéricos com rsultados xprimntais coltados m uma bancada d tsts horizontal composta por um rotor flxívl apoiado m mancais hidrodinâmicos. 4.1.1 Rotor com disco m balanço Um xmplo d rotor flxívl (SINOU, 2005) é scolhido para validar os rsultados do procdimnto computacional. O rotor é composto por um ixo flxívl, dois mancais um disco massivo m balanço (Figura 4.1). Figura 4.1 Dsnho squmático do rotor d Sinou (2005)

62 Eixo Disco Mancais Tabla 4.1- Parâmtros do rotor com disco m balanço (SINOU, 2005) Comprimnto Diâmtro Módulo d Young Massa spcífica Massa Diâmtro Espssura Rigidz Translacional Rigidz Rotacional Amortcimnto 1,70m 40mm 200 GN/m 2 8000 kg/m 3 20 kg 400 mm 20 mm K xx = 3,78 MN/m K xy = 0 MN/m K yx = 0 MN/m K yy = 3,78 MN/m K ff = 8,0x10 4 Nm/rad K QQ = 8,0x10 4 Nm/rad C xx = 0 Ns/m C xy = 0 Ns/m C yx = 0 Ns/m C yy = 0 Ns/m São calculadas a primira frquência natural (FN1) a sgunda frquência natural (FN2) para o rotor d Sinou (2005), aplicando-s o procdimnto computacional proposto, para s avaliar a influência do tamanho da malha d lmntos finitos no cálculo dstas frquências naturais. Os valors obtidos para FN1 FN2 com difrnts malhas são mostrados na Figura 4.2. Figura 4.2 Curvas da primira sgunda frquências naturais (FN1, FN2) vrsus o númro d lmntos finitos da malha para o rotor d Sinou (2005) a 10rpm Constata-s qu a variação dos valors d FN1 d FN2 fica abaixo d 2% para uma malha d 80 lmntos. Assim, adota-s uma malha d 80 lmntos finitos para st xmplo.

63 A intgração das quaçõs do movimnto é fita plo método d Nwmark (ANEXO D). Nsta implmntação são adotados os parâmtros qu garantm a convrgência do método, conform dscrito no Anxo D. Porém, é important considrar qu à mdida qu s rduz o incrmnto no tmpo usado na intgração numérica, mais xatos são os rsultados, por s tornarm mais convrgnts. Assim, aprsnta-s na Figura 4.3 a anális dsta convrgência, m função do incrmnto no tmpo. A curva contínua rprsnta a primira vlocidad crítica progrssiva (FWD1) a curva tracjada rprsnta a primira vlocidad crítica rgrssiva (BKWD1). Obsrva-s qu as vlocidads críticas convrgm suficintmnt para um incrmnto no tmpo d aproximadamnt 5,0x10-4 s, ond a variação rlativa é mnor qu 1%. Est valor é adotado nos dmais rsultados calculados para st xmplo. Figura 4.3 Primira vlocidad crítica progrssiva (FWD1) rgrssiva (BKWD1) vrsus incrmnto no tmpo A Figura 4.4 aprsnta o spctro d frquência obtido plo MEF com o rotor a 10 rpm. Na Tabla 4.2 são comparados os valors da primira sgunda frquências naturais (FN1 FN2) calculadas por Sinou (2005), com os valors obtidos plo MEF aqui proposto, obsrva-s qu o dsvio máximo é mnor qu 3%. Os valors aprsntados por Sinou(2005) foram obtidos usando uma malha d 184 lmntos d viga d Timoshnko.

64 Figura 4.4 Espctro d frquência obtido plo MEF para o rotor d Sinou(2005) a 10 rpm Tabla 4.2- Valors comparativos da primira frquência natural para o rotor d Sinou(2005) a 10 rpm Sinou(2005) MEF Erro rlativo (%) FN 1 2430 rpm 2495 rpm 2,7% FN 2 3840 rpm 3780 rpm -1,6% As frquências naturais do rotor m balanço são calculadas plo MEF proposto também para outros valors d rotação. Na Figura 4.5 é ilustrado o diagrama d Campbll obtido plo MEF comparado com os valors aprsntados por Sinou (2005). Figura 4.5 Diagrama d Campbll para o rotor m balanço analisado por Sinou(2005)

65 O fito giroscópico faz com qu fiqum nítidas as frquências d prcssão rgrssiva (backward) progrssiva (forward). Estas frquências são rprsntadas na Figura 4.5, sguidas das siglas BKWD FWD, rspctivamnt. A linha chia a traço-ponto rprsntam os rsultados obtidos plo MEF proposto nst trabalho, nquanto os pontos idntificados por marcadors são os rsultados aprsntados por Sinou(2005). A linha tracjada rprsnta as frquências síncronas (syncr), qu prmitm idntificar as vlocidads críticas na sua intrsção com as curvas das frquências naturais. As duas primiras vlocidads críticas foram obtidas através do gráfico comparadas na Tabla 4.3 com aqulas calculadas por Sinou(2005). Obsrva-s um rro rlativo mnor qu 5% nsta comparação, fita para fins d validação. Tabla 4.3- Comparação da primira vlocidad crítica Sinou(2005) MEF Erro rlativo(%) BKWD 2225 rpm 2210 rpm -1% FWD 2580 rpm 2680 rpm 4% As difrnças ntr os rsultados do MEF proposto para os rsultados numéricos d Sinou s dvm principalmnt ao númro d lmntos finitos usados. O modlo d Sinou usa 184 lmntos, nquanto nst trabalho foram adotados 80 lmntos. Outros rros rlativos podm tr sido causados por pqunas difrnças gométricas ntr os dois modlos, m função d alguma informação qu não tnha sido dtalhada no trabalho d Sinou. Cab rssaltar qu st xmplo d validação s aplica ao MEF do rotor ao procdimnto d suprposição dos coficints d força dos mancais. Porém, o modlo d Sinou usa apnas dois coficints d força nos apoios (rigidz à rotação), não considra mancais hidrodinâmicos. Para a validação dos modlos d mancais srão aprsntados outros xmplos. 4.1.2 Rotor apoiado nas xtrmidads com disco no cntro Um sgundo xmplo d validação é slcionado através do modlo d rotor (HONG PARK, 1999) composto por um ixo com dois diâmtros difrnts, como mostrado na Figura 4.6. Na primira mtad o ixo tm 2,5cm d diâmtro na outra mtad tm 4,0cm d diâmtro.

66 Figura 4.6 Dsnho squmático do rotor d Hong Park(1999) O ixo é apoiado plas xtrmidads por mancais idênticos no cntro do ixo há um disco massivo. Os parâmtros do modlo são aprsntados na Tabla 4.4. Eixo Disco Mancais Tabla 4.4- Parâmtros do rotor d Hong Park(1999) Comprimnto Diâmtro (trcho 1) Diâmtro (trcho 2) Módulo d Young Massa spcífica Massa Momnto polar d inércia Momnto diamtral d inércia Rigidz Amortcimnto 1,20m 2,5cm 4,0cm 200 GN/m 2 8000 kg/m 3 20 kg 0,163 kg.m 2 0,085 kg.m 2 K xx = 20 MN/m K xy = -1,5 MN/m K yx = -1,5 MN/m K yy = 25 MN/m C xx = 60 Ns/m C xy = 0 Ns/m C yx = 0 Ns/m C yy = 70 Ns/m É fita uma comparação ntr as frquências naturais, também aprsntada uma anális da forma d onda obtida pla intgração numérica, qu prmit obsrvar o fnômno d batimnto. São aprsntados os concitos básicos do fnômno, fita a comparação ntr as frquências naturais obtidas através do spctro d frquência a frquência d batimnto obsrvada na forma d onda. Inicialmnt são validadas as frquências naturais através da obsrvação dos picos no spctro, como pod sr visto na Figura 4.7. São dstacados os dois picos (808 rpm; 848 rpm) rlativos à primira frquência natural rgrssiva (backward) progrssiva (forward), rspctivamnt, com o rotor oprando a 6000rpm.

67 Figura 4.7 Espctro d frquência obtido para o rotor d Hong Park (1999) oprando a 6000rpm Os rsultados numéricos obtidos plo MEF são comparados com os da litratura (HONG PARK, 1999), na Tabla 4.5, ond pod-s obsrvar um rro rlativo máximo d 2%. Tabla 4.5- Comparação da primira frquência natural progrssiva rgrssiva para o rotor d Hong Park (1999) Hong Park (1999) MEF Erro rlativo (%) Backward (rgrssiva) 804 rpm 808 rpm 0,5% Forward (progrssiva) 865 rpm 848 rpm -2,0% Em sguida, é fita a anális da forma d onda obtida após a intgração no tmpo da quação do movimnto plo Método d Nwmark. Obsrva-s pla forma d onda (Figura 4.8) qu xist um padrão d flutuação do sinal, dstacado pla linha tracjada plo sombramnto. Est padrão d flutuação é smlhant ao fnômno d batimnto, da toria d intrfrência d ondas, qu ocorr quando há duas frquências d vibração próximas. O fnômno não foi invstigado profundamnt nst trabalho, mas é dstacado como um xmplo d validação, ond foi possívl ncontrar frquências naturais bm próximas às aprsntadas na litratura (HONG

68 PARK, 1999), ainda stablcr uma rlação ntr o padrão d flutuação da forma d onda com as frquências rgistradas no spctro. Figura 4.8 Forma d onda obtida para o rotor d Hong Park (1999) Uma vz idntificado um ciclo complto do padrão d flutuação, dstacado na Figura 4.8 pla linha tracjada, é possívl obtr os instants d tmpo inicial final dst ciclo: 2,75s 5,70s, rspctivamnt. Est intrvalo corrspond a um príodo d 2,95s, qu quival a uma frquência d 0,339Hz = 20,3rpm. Est padrão d flutuação pod sr xplicado plo fnômno d batimnto, qu stablc qu quando duas ondas com frquências muito próximas (w 1 ; w 2 ) intrfrm uma na outra, flutuaçõs d batimnto são prcbidas na forma d onda, a frquência d batimnto (w b ) é dada por Obsrvando-s novamnt o spctro d frquência na Figura 4.7, pod-s calcular a frquência d batimnto (w b ) sprada para st sistma, através das frquência natural rgrssiva (backward) progrssiva (forward):