DETERMINAÇÃO DE CARACTERÍSTICAS DE DESEMPENHO DE MANCAIS RADIAIS ELÍPTICOS UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA DETERMINAÇÃO DE CARACTERÍSTICAS DE DESEMPENHO DE MANCAIS RADIAIS ELÍPTICOS UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Frnando d Assis Gonçalvs Corria Blo Horizont, 30 d novmbro d 2007

2 DETERMINAÇÃO DE CARACTERÍSTICAS DE DESEMPENHO DE MANCAIS RADIAIS ELÍPTICOS UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS FERNANDO DE ASSIS GONÇALVES CORREIA Dissrtação aprsntada ao Programa d Pós-Graduação m Engnharia Mcânica da Univrsidad Fdral d Minas Grais, como rquisito parcial à obtnção do título d Mstr m Engnharia Mcânica, na ára d concntração d Proto Mcânico. Orintador: Prof. Marco Túlio Corrêa d Faria, Dr. Univrsidad Fdral d Minas Grais Blo Horizont Escola d Engnharia da UFMG 2007

3 iii Univrsidad Fdral d Minas Grais Programa d Pós-Graduação m Engnharia Mcânica Av. Antônio Carlos, 6627 Pampulha CEP Blo Horizont MG Tl.: Fax.: mail: cpgmc@dmc.ufmg.br DETERMINAÇÃO DE CARACTERÍSTICAS DE DESEMPENHO DE MANCAIS RADIAIS ELÍPTICOS UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS FERNANDO DE ASSIS GONÇALVES CORREIA Dissrtação submtida à Banca Examinadora dsignada plo Colgiado do Programa d Pós- Graduação m Engnharia Mcânica da Univrsidad Fdral d Minas Grais, como rquisito parcial à obtnção do título d Mstr m Engnharia Mcânica, na ára d concntração d Proto Mcânico. Prof. Marco Túlio Corrêa d Faria, Dr. Univrsidad Fdral d Minas Grais Orintador Prof. Horácio Valadars Duart, Dr. Univrsidad Fdral d Minas Grais - Examinador Prof. Prrin Smith Nto, Dr. Pontifícia Univrsidad Católica d Minas Grais - Examinador

4 iv Palavras não pagam dívidas como diss Shakspar, mas palavras, assim spro, são capazs d comunicar sntimntos d gratidão. É por isso qu ddico st trabalho à minha família. Plo apoio comprnsão a minha ausência durant as longas horas d studo, anális psquisa ncssárias à conquista do título d Mstr m Engnharia Mcânica.

5 v AGRADECIMENTOS Ao Prof. Marco Túlio Corrêa d Faria plos sus nsinamntos, comptência, profissionalismo, intrss, auda muita paciência m todos sts anos. À minha família, principalmnt à minha sposa filha, pla paciência, comprnsão auda. À minha mã plas suas oraçõs torcida. À Zollrn, na pssoa do su dirtor Eng. Ronaldo Fraga, pla oportunidad d podr conciliar o dsnvolvimnto do mstrado com minhas atividads da mprsa. Aos colgas d trabalho da Zollrn plo apoio sforço m tornar o mu tmpo fora da mprsa o mais dsprcbido possívl spcialmnt ao studant d ngnharia Carlos Magno. Aos colgas do Grupo d Dinâmica d Rotors, Luiz Flip Silva, Maurício Figuirdo, Olair Paulino, Frnando Olivira, Wdrly Miranda Luiz Hnriqu Jorg Machado pla acolhida, apoio, xplicaçõs troca d xpriências. A Dus, por tudo muito mais.

6 vi Procupação não é a donça qu a modrna psicologia acrdita sr. É o molho fort picant da vida. Max Gunthr in Os Axiomas d Zuriqu Expriência é aquilo qu lh prmit rconhcr um rro quando você o comt d novo Earl Wilson m Ensaios Torias

7 vii SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 21 2 ESCOPO 24 3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 25 4 MODELAGEM DE ELEMENTOS FINITOS DE MANCAIS RADIAIS ELÍPTICOS DEFINIÇÃO DO PROBLEMA Dscrição do problma d mancal radial líptico EQUAÇÕES GOVERNANTES EQUAÇÕES DO PROBLEMA DE LUBRIFICAÇÃO EQUAÇÕES DE ELEMENTOS FINITOS Discrtização do campo d prssão d ordm zro Discrtização do campo d prssão d primira ordm Dtrminação das Caractrísticas d Dsmpnho 47 5 RESULTADOS E ANÁLISES ANÁLISE NUMÉRICA DA SENSIBILIDADE DA MALHA E VALIDAÇÃO Tst d snsibilidad d malha Validação RESULTADOS Influência da gomtria do mancal da taxa d xcntricidad no númro d Sommrfld Influência da gomtria do mancal do númro d Sommrfld na spssura do film d ólo Influência da gomtria do mancal da razão d xcntricidad na capacidad d carga Influência da gomtria do mancal da capacidad d carga na spssura do film d ólo Influência da gomtria do mancal da capacidad d carga na spssura do film d ólo com o aumnto da vlocidad d rotação do ixo CONCLUSÕES 101

8 viii LISTA DE FIGURAS Figura Distribuição do campo d prssão hidrodinâmica m um mancal d film fluido (Lang Stinhilpr, 1978) 28 Figura Dsnho squmático dos coficints d força dinâmica dos mancais. 29 Figura Mancal radial d sapatas oscilants. Font: Zollrn Brasil 30 Figura Dsnho squmático dos principais parâmtros gométricos opracionais d um mancal líptico. 32 Figura Distribuição da prssão hidrodinâmica dntro do mancal d prfil cilíndrico. (Lang Stinhilpr, 1978) 33 Figura Dtalhs gométricos distribuição da prssão hidrodinâmica dntro do mancal líptico 33 Figura Dsnho squmático d um mancal radial líptico com sua gomtria básica 38 Figura Posicionamnto do ixo dntro do mancal sistmas d coordnadas. 39 Figura Rprsntação squmática dos nós no lmnto finito 43 Figura Rprsntação squmática dos campos discrtos d prssão no domínio Ω d um lmnto finito. 43 Figura 5.1 Variação da Capacidad d carga m rlação ao númro d lmntos. 51 Figura Variação da Capacidad d rigidz m rlação ao númro d lmntos. 51 Figura Variação do coficint d amortcimnto m rlação ao númro d lmntos. 52 Figura Curvas da razão d xcntricidad do ixo plo o númro d Sommrfld (L/D = 0,25) 54 Figura Curvas da razão d xcntricidad do ixo plo o númro d Sommrfld (L/D = 1,0) 54 Figura Curvas da capacidad d carga adimnsional plo o númro d Sommrfld para uma razão d sbltz (L/D) d 1,0 55 Figura Curvas da capacidad d carga adimnsional pla razão d xcntricidad do ixo para uma razão d sbltz (L/D) d 1,0. 56 Figura Gráfico do númro d Sommrfld pla Razão d Excntricidad para

9 ix taxa MP d 0,1 58 Figura Gráfico do númro d Sommrfld pla Razão d Excntricidad para taxa MP d 0,3 58 Figura Gráfico do númro d Sommrfld pla Razão d Excntricidad para taxa MP d 0,5 59 Figura Gráfico do númro d Sommrfld pla Razão d Excntricidad para taxa MP d 0,7 59 Figura Gráfico do númro d Sommrfld pla Razão d Excntricidad para razão L/D d 0,5 60 Figura Gráfico do númro d Sommrfld pla Razão d Excntricidad para razão L/D d 0,75 61 Figura Gráfico do númro d Sommrfld pla Razão d Excntricidad para razão L/D d 1,0 61 Figura Gráfico da Espssura Mínima do Film plo númro d Sommrfld para L/D d 0,25 63 Figura Gráfico da Espssura Mínima do Film plo númro d Sommrfld para L/D d 0,5 64 Figura Gráfico da Espssura Mínima do Film plo númro d Sommrfld para L/D d 0,75 64 Figura Gráfico da Espssura Mínima do Film plo númro d Sommrfld para L/D d 1,0 65 Figura Gráfico da Capacidad d Carga pla Taxa d Excntricidad para L/D d 0,25 67 Figura Gráfico da Capacidad d Carga pla Taxa d Excntricidad para L/D d 0,50 67 Figura Gráfico da Capacidad d Carga pla Taxa d Excntricidad para L/D d 0,75 68 Figura Gráfico da Capacidad d Carga pla Taxa d Excntricidad para L/D d 1,0 68 Figura Gráfico da capacidad d carga adimnsional pla altura do film mínimo para L/D d 0, Figura Gráfico da capacidad d carga adimnsional pla altura do film

10 x mínimo para L/D d 0, Figura Gráfico da capacidad d carga adimnsional pla altura do film mínimo para L/D d 1,0. 71 Figura 5.26 Gráfico da capacidad d carga adimnsional pla altura do film para MP d 0,1. 72 Figura Gráfico da capacidad d carga adimnsional pla altura do film para MP d 0,3. 72 Figura Gráfico da capacidad d carga adimnsional pla altura do film para MP d 0,5. 73 Figura Gráfico capacidad d carga pla alt. do film para MP d 0,1 vloc. priférica do ixo d 26,2 m/s 74 Figura Gráfico do Cof. d Amortcimnto C YY plo númro d Sommrfld para MP d 0,1 76 Figura Gráfico do Cof. d Amortcimnto C YY plo númro d Sommrfld para MP d 0,3 76 Figura Gráfico do Cof. d Amortcimnto C YY plo númro d Sommrfld para MP d 0,5 77 Figura Gráfico do Cof. d Amortcimnto C YY plo númro d Sommrfld para MP d 0,7 77 Figura Gráfico do Cof. d Rigidz Cruzada K XY plo númro d Sommrfld para MP d 0,1 79 Figura Gráfico do Cof. d Rigidz Cruzada K XY plo númro d Sommrfld para MP d 0,3 79 Figura Gráfico do Cof. d Rigidz Cruzada K XY plo númro d Sommrfld para MP d 0,5 80 Figura Gráfico do Cof. d Rigidz Cruzada K XY plo númro d Sommrfld para MP d 0,7 80 Figura Gráfico do Cof. d Amortcimnto Cruzado C XY plo númro d Sommrfld para MP d 0,1 82 Figura 5.39 Gráfico do Cof. d Amortcimnto Cruzado C XY plo númro d Sommrfld para MP d 0,3 82 Figura Gráfico do Cof. d Amortcimnto Cruzado C XY plo númro d

11 xi Sommrfld para MP d 0,5 83 Figura Gráfico do Cof. d Amortcimnto Cruzado C XY plo númro d Sommrfld para MP d 0,7 83 Figura Gráfico do Cof. d Amortcimnto Cruzado C YX plo númro d Sommrfld para MP d 0,1 85 Figura Gráfico do Cof. d Amortcimnto Cruzado C YX plo númro d Sommrfld para MP d 0,3 85 Figura Gráfico do Cof. d Amortcimnto Cruzado C YX plo númro d Sommrfld para MP d 0,5 86 Figura Gráfico do Cof. d Amortcimnto Cruzado C YX plo númro d Sommrfld para MP d 0,7 86 Figura Gráfico do Cof. d Rigidz Dirta K XX plo númro d Sommrfld para MP d 0,1 88 Figura Gráfico do Cof. d Rigidz Dirta K XX plo númro d Sommrfld para MP d 0,3 88 Figura Gráfico do Cof. d Rigidz Dirta K XX plo númro d Sommrfld para MP d 0,5 89 Figura Gráfico do Cof. d Rigidz Dirta K XX plo númro d Sommrfld para MP d 0,7 89 Figura Gráfico do Cof. d Rigidz Dirta K YY plo númro d Sommrfld para MP d 0,1 91 Figura Gráfico do Cof. d Rigidz Dirta K YY plo númro d Sommrfld para MP d 0,3 91 Figura Gráfico do Cof. d Rigidz Dirta K YY plo númro d Sommrfld para MP d 0,5 92 Figura Gráfico do Cof. d Rigidz Dirta K YY plo númro d Sommrfld para MP d 0,7 92 Figura Gráfico do Cof. d Amortcimnto C XX plo númro d Sommrfld para MP d 0,1 94 Figura Gráfico do Cof. d Amortcimnto C XX plo númro d Sommrfld para MP d 0,3 95 Figura Gráfico do Cof. d Amortcimnto C XX plo númro d Sommrfld

12 xii para MP d 0,5 95 Figura Gráfico do Cof. d Amortcimnto C XX plo númro d Sommrfld para MP d 0,7 96 Figura Gráfico do Cof. d Rigidz Cruzada K YX plo númro d Sommrfld para MP d 0,1 97 Figura Gráfico do Cof. d Rigidz Cruzada K YX plo númro d Sommrfld para MP d 0,3 98 Figura Gráfico do Cof. d Rigidz Cruzada K YX plo númro d Sommrfld para MP d 0,5 98 Figura Gráfico do Cof. d Rigidz Cruzada K YX plo númro d Sommrfld para MP d 0,7 99

13 xiii LISTA DE TABELAS Tabla Rsultados da anális d snsibilidad m mancais lípticos. 52

14 xiv LISTA DE QUADROS Quadro 5.1 Método d adimnsionalização das variávis 49 Quadro Dados do mancal para studo da snsibilidad da malha. 50 Quadro Influência dos parâmtros gométricos opracionais nas caractrísticas d dsmpnho státicas dinâmicas. 57 Quadro Dados usados para grar os gráficos mostrados nas figuras 5.8 a Quadro 5.5 Visualização simplificada dos fitos obsrvados com a variação dos parâmtros gométricos opracionais do mancal rlativa aos gráficos das figuras 5.8 a Quadro Dados usados para grar os gráficos mostrados nas figuras 5.15, 5.16, Quadro 5.7 Visualização simplificada dos fitos obsrvados com a variação dos parâmtros gométricos opracionais do mancal rlativa aos gráficos das figuras 5.15 a Quadro Dados usados para grar os gráficos mostrados nas figuras 5.19, 5.20, Quadro Dados usados para grar os gráficos mostrados nas figuras 5.23, 5.24; 5.25; 5.26; 5.27; Quadro 5.10 Visualização simplificada dos fitos obsrvados com a variação dos parâmtros gométricos opracionais do mancal rlativa aos gráficos das figuras 5.26 a Quadro Dados usados para grar os gráficos mostrados nas figuras 5.30 até Quadro 5.12 Visualização simplificada dos fitos obsrvados com a variação dos parâmtros gométricos opracionais do mancal para os gráficos dos grupos Quadro 5.13 Visualização simplificada dos fitos obsrvados com a variação dos parâmtros gométricos opracionais do mancal para os gráficos do grupo 3 100

15 xv NOMENCLATURA Símbolos m ltras latinas C Folga radial (C = R R ) [m] Cb C M Comprimnto do smi-ixo maior da lips Folga radial maior C XX, C YY Coficints d amortcimnto dirto adimnsionais C XY, C YX Coficints d amortcimnto cruzados adimnsionais c XX c XY D D, c YY Coficints d amortcimnto dirto (N.s/m), c YX Coficints d amortcimnto cruzado (N.s/m) Diâmtro intrno do mancal [m] Diâmtro xtrno do ixo [m] Excntricidad d posicionamnto do ixo no mancal (distância ntr cntros do mancal do ixo, quando o ixo stá na posição d quilíbrio) [], x0 y 0 Elmnto finito Proçõs vrtical horizontal d f i f σ Fx Fy { } Valors d f (xi) nos nós Coficints do vtor carrgamnto d primira ordm Componnt vrtical horizontal da força d ração do mancal f Vtor d fluxo no domínio h 0 h min i 1 Espssura mínima do film lubrificant stacionário[m] ou d ordm zro Espssura mínima do film lubrificant adimnsional K XX, K YY Coficints d rigidz dirta adimnsional vrtical horizontal rspctivamnt K XY, K YX Coficints d rigidz cruzadas adimnsionais k XX k XY [ ] L, k YY Coficints d rigidz dirta vrtical horizontal (N/m), k YX Coficints d rigidz cruzadas (N/m) Kp Matriz fluídica d ordm zro i Comprimnto do mancal

16 xvi L m& θ m& n m& z Comprimnto do lmnto Razão do fluxo mássico na dirção circunfrncial Razão do fluxo d lubrificant cruzando a frontira do domínio do lmnto finito Razão do fluxo mássico na dirção axial m& σ n Fluxo d lubrificant d primira ordm através do contorno MP N n r Ni(x) NNx NNy O s O w O Pré-carga MP (mdida da não cilindricidad do mancal) Vlocidad do ixo m Hrtz Valor normal unitário dircionado para fora do contorno Funçõs linars d intrpolação no lmnto () Númro d nós circunfrnciais Númro d nós axiais Posição do cntro do mancal Posição do cntro do ixo Posição d origm do ixo d coordnadas p, P Prssão aprsntada plo film lubrificant [Pa]; P = p prf Γ d um lmnto finito Γ do lmnto finito p a p o p σ p o Prssão ambint [Pa] Prssão stacionária d ordm zro [Pa] Campo d prssão hidrodinâmica d primira ordm Campo d prssão discrto d ordm zro no domínio Ω d um lmnto finito p x, p y Campo d prssão hidrodinâmica d primira ordm. p i Valors d prssão nodal, no nó i do lmnto Ω [Pa] { q } Vtor d fluxo dvido ao scoamnto d fluido através do contorno do lmnto R [R] R R L Raio mnor do mancal (ntr as bolsas d ólo) Rsíduo da função Raio do munhão ou raio do ixo Raio do lóbulo do mancal S o 2 Númro d Sommrfld; R N S o =. µ. 2 c P U Vlocidad suprficial do ixo (U = ωr); [m/s] W* Capacidad d carga adimnsional do mancal

17 xvii W Carga atuant no mancal [N] X, Y, Z Sistma d rfrência inrcial x, y, z Sistma rotativo solidário ao ixo x i y i Coordnadas nodais do lmnto () θ, z Coordnadas circunfrncial axial, rspctivamnt Símbolo m ltras grgas ε Γ Razão d xcntricidad, ε = /C Contorno do lmnto η, ψ Coordnadas no domínio do lmnto θ Ângulo da posição da spssura dsada a partir do ponto d maior spssura dntro do mancal (rad) µ Viscosidad absoluta do film lubrificant [Pa.s] ρ Φ Ψ ω ϖ Ω Massa spcífica do film lubrificant [kg/m3] Ângulo d posição do ixo dntro do mancal Função d intrpolação para o lmnto Rotação do ixo m rlação ao mancal [rad/s] Frqüência d prturbação Domínio do lmnto () Subscritos av Médio Rlativo ao lmnto 0, 1 Ordm zro primira ordm; instant d tmpo antrior atual Sobrscritos Rlativo ao lmnto

18 xviii LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS DIN MEF FEM UVA Dutschs Institut für Normung (Instituto Almão para Normalização) Método d Elmntos Finitos Finit Elmnt Mthod (Método d Elmntos Finitos) Univrsidad da Virgínia

19 xix RESUMO Ess trabalho aprsnta a dtrminação das caractrísticas d dsmpnho d mancais radiais hidrodinâmicos d gomtria fixa, com prfil líptico, lubrificados a ólo, usando-s o método d lmntos finitos. A partir da quação clássica d Rynolds para fluidos incomprssívis, dsnvolv-s uma formulação d lmntos finitos com bas no método d Galrkin, para a solução das quaçõs d lubrificação d ordm zro d primira ordm para mancais radiais lípticos. Obtém-s a distribuição d prssão hidrodinâmica no film lubrificant do mancal a partir daí a sua capacidad d carga. Um procdimnto basado no método d prturbação linar aplicado sobr a solução stacionária da Equação d Rynolds é implmntado para a obtnção dos coficints dinâmicos dos mancais. Utilizam-s lmntos isoparamétricos d quatro nós na modlagm da plícula do lubrificant. Estimam-s a força d ração, os coficints d rigidz os coficints d amortcimnto d mancais lípticos para divrsas condiçõs d trabalho. Curvas d caractrísticas d dsmpnho stático dinâmico, tais como capacidad d carga coficints dinâmicos d força, são obtidas m função d parâmtros opracionais do númro d Sommrfld. Os rsultados obtidos nss trabalho mostram qu os mancais radiais lípticos aprsntam rigidz suprior à dos mancais cilíndricos sob baixa carga, indicando qu a não cilindricidad tm influência positiva sobr a stabilidad do mancal. Palavras Chavs: Mancal líptico Mancal radial Lubrificação hidrodinâmica Elmntos finitos

20 xx ABSTRACT This work prsnts th dtrmination of th prformanc charactristics of hydrodynamic oil lubricatd ournal barings of fixd gomtry, with lliptical profil using th finit lmnt mthod. A finit lmnt procdur basd on th Galrkin wightd rsidual mthod is dvlopd from th classical Rynolds Equation for incomprssibl fluids. A linarizd prturbation schm is applid on th govrning quation to rndr th zro-th and first-ordr lubrication quations, which prmit to dtrmin th baring stady-stat and dynamic prformanc charactristics of intrst. Th hydrodynamic prssur distribution on th fluid film is obtaind by solving th zro-th ordr lubrication and is intgratd ovr th fluid domain to rndr th baring carrying-load capacity. Th fluid film domain is modld using four-nod isoparamtric finit lmnts. Th fluid film raction forc and stiffnss and damping cofficints ar valuatd for lliptical ournal barings at svral oprating conditions. Prformanc charactristic curvs, such as baring load capacity and dynamic forc cofficints, ar obtaind in rlation to oprating paramtrs and Sommrfld numbr. Th finit lmnt prdictions for lliptical ournal baring bhavior show that non-cylindrical ournal barings prsnt highr dirct stiffnss than that producd by cylindrical ournal barings, indicating that lliptical barings ar slightly mor stabl than cylindrical barings. Ky words: Elliptical baring Journal baring Hydrodynamic lubrication Finit lmnt mthod

21 1 INTRODUÇÃO Mancais dsmpnham três funçõs principais: suportam carga (dinâmica stática), forncm rigidz amortcimnto controlam a posição do rotor (Strnlicht Lwis, 1968). O movimnto rlativo ntr as suprfícis do ixo do mancal gra uma prssão hidrodinâmica no film fluido, dando ao mancal a capacidad d suportar o carrgamnto imposto plo ixo pod também produzir vibraçõs orbitais d alta amplitud. A crscnt tndência d s protarm máquinas d mnor pso com maior potência tm lvado a protos d rotors mais rápidos ixos mais flxívis, os quais aprsntam maiors chancs d tr problmas d vibração. Divrsos studos tsts ralizados sobr o comportamnto d ixos rotativos mostraram qu há uma fort influência dos mancais no quilíbrio dinâmico das máquinas na atnuação das vibraçõs xcssivas (Guntr, 1966). Milhars d psquisas vêm sndo fitas dsd ntão para atndr à dmanda das indústrias por mancais com maior capacidad d carga qu audm na stabilidad das máquinas. Os mancais hidrodinâmicos têm sido a mlhor rsposta para sta dmanda, pois aprsntam baixo custo, boa capacidad d sustntação do ixo, vida útil longa capacidad d amortcimnto. O aprofundamnto dos studos mostrou qu dtalhs construtivos caractrísticas d lubrificação dos mancais (prfil, folga diamtral, viscosidad do lubrificant, númro d bolsas d ólo, prssão tmpratura do lubrificant, rlação comprimnto/diâmtro, tc.) provocam variaçõs no dsmpnho das máquinas conform suas condiçõs d trabalho. A aplicação d mancais hidrodinâmicos m turbinas, gradors, rdutors multiplicadors d vlocidad, turbo-rdutors, vntiladors/xaustors, motors, bombas comprssors xigm cada vz mais dados, com maior prcisão studos d novos prfis qu tragam soluçõs conômicas para os novos limits alcançados pla indústria. Uma manira ficint d contra atacar a instabilidad é lvantar a vlocidad crítica mais baixa do sistma através da rdução da distância ntr mancais ou pla mudança no tipo do mancal (Knöss, 1980). Os mancais mais amplamnt usados são os d gomtria fixa com prfil cilíndrico.

22 22 Est modlo aprsnta baixa stabilidad, mas boa capacidad d carga. Mancais d gomtria móvl são usados quando s qur stabilidad do quipamnto suito a vibraçõs subsíncronas. As forças produzidas plo film não são capazs d lvar o ixo/rotor a um modo instávl, uma vz qu as sapatas stão livrs para sguir o movimnto do ixo. Mancais com gomtria móvl, comparativamnt aos d gomtria fixa, aprsntam custos d fabricação, montagm manutnção muito mais altos, dmandam vazão d ólo lubrificant m maior volum, têm maior prda d carga, mnor amortcimnto mnor capacidad d carga. Por stas razõs, a busca por prfis d gomtria fixa qu atndam às xigências cada vz mais lvadas dos quipamntos a otimização dos parâmtros d trabalho dos mancais continuam a nortar as psquisas. Na década d 1970, pod sr obsrvada uma tndência d s trocarm os mancais hidrodinâmicos d gomtria fixa d divrsas máquinas por mancais d gomtria móvl, m divrsos sgmntos das indústrias, dvido às suas vantagns m rlação à stabilidad. Contudo, á no final da década d 1980, obsrva-s um movimnto contrário, mostrando qu os mancais d gomtria móvl nm smpr rprsntam a solução idal para tubomáquinas d alta vlocidad (Zidan, 1992). Rcntmnt, máquinas programávis têm simplificado considravlmnt a fabricação d mancais multilobulars. Como rsultado, o uso dsts mancais tm aumntado, particularmnt na Europa (Lans t al., 1981). A maior font d amortcimnto na maioria dos casos são os mancais. Sm st amortcimnto do mancal sria muito difícil passar através da vlocidad crítica (Strnlicht Lwis, 1968). O papl crítico do amortcimnto é a rdução da rsposta vibratória do ixo quando sua rotação passa plas vlocidads críticas (Vanc, 1988). O amortcimnto m mancais hidrodinâmicos prmit a diminuição das forças transmitidas do sistma ixo/rotor aos mancais, a rdução do nívl d ruído, a diminuição do nívl d vibração não síncrona, o aumnto do campo d stabilidad do rotor o aumnto d vida útil do mancal (Engwall, 1991). Há muita litratura disponívl xprimntos rlacionados a mancais d prfil cilíndrico, mas há ainda grand carência com rlação a outros prfis (Singh Gupta, 1982). Para xmplificar sta lacuna d informação, o Instituto para Normalização Almão - Dutschs Institut für Normung (DIN), somnt m 2007, publicou matrial sobr mancais hidrodinâmicos multilobulars, nquanto qu há vint anos xist informação para dimnsionamnto d mancais

23 23 com prfil cilíndrico. Divrsos procdimntos computacionais vêm sndo dsnvolvidos para a anális d mancais hidrodinâmicos. Contudo, apsar dos constants dsnvolvimntos da disponibilidad cada vz maior dsss procdimntos, grand part da litratura clássica d protos mcânicos ainda s basia m dados obtidos por mio d soluçõs simplificadas da quação d Rynolds (Juvinall Marshk, 1991). Ainda mais raras são informaçõs sobr as caractrísticas dinâmicas d mancais, como os coficints d amortcimnto rigidz. Com o intuito d analisar o comportamnto d mancais d gomtria fixa, ss trabalho aprsnta o dsnvolvimnto d um procdimnto computacional basado no método d lmntos finitos (MEF) para a anális d mancais radiais lípticos lubrificados a ólo. Emprga-s um procdimnto d prturbação linarizado (Lund, 1987) sobr a quação clássica d Rynolds para fluidos incomprssívis para s obtrm as quaçõs d lubrificação d ordm zro d primira ordm associadas a mancais lípticos. A solução dssas quaçõs prmit obtr as caractrísticas státicas dinâmicas dsss mancais. A anális aprsntada nss trabalho considra qu os mancais d dslizamnto opram m rgim d lubrificação hidrodinâmica, com a prsnça contínua d um film fluido sparando totalmnt as suprfícis durant o funcionamnto do mancal. A scolha do prfil d dois lóbulos (líptico), para o dsnvolvimnto dss trabalho, stá basada m duas principais razõs: i. os custos d fabricação d mancais lípticos podm sr considrados baixos m rlação aos custos d outros mancais radiais não cilíndricos; ii. todo mancal radial prfitamnt cilíndrico sofr mudanças gométricas m su prfil dvido ao dsgast natural m opração, a dformaçõs produzidas ao longo do tmpo plas condiçõs advrsas d carrgamnto às dformaçõs gradas durant as montagns nos quipamntos. A anális do comportamnto dsmpnho d mancais radiais lípticos pod trazr dados importants para a avaliação critriosa d sus limits opracionais d suas potncialidads para divrsas aplicaçõs industriais. Ess trabalho faz uma contribuição para o dimnsionamnto d mancais hidrodinâmicos para uma grand faixa d quipamntos industriais qu funcionam com rotaçõs cargas qu inviabilizm a utilização d mancais com prfil cilíndrico, usando a opção d prfil d mlhor custo/bnfício d grand abrangência m trmos d aplicação.

24 24 2 ESCOPO O obtivo dst trabalho é a anális das caractrísticas d dsmpnho státicas dinâmicas d mancais radiais lípticos lubrificados a ólo. Foi dsnvolvido spcialmnt para st trabalho um procdimnto computacional basado no método d lmntos finitos para cálculo dstas caractrísticas, as quais são stimadas para várias condiçõs d opração para divrsas configuraçõs dntro da gomtria do mancal líptico. Os rsultados obtidos prmitm a anális d qual gomtria d mancal é mais adquada para uma dada aplicação qu podm auxiliar na scolha do sistma d suport d uma máquina rotativa. Esta dissrtação stá dividida m sis capítulos. O primiro capítulo aprsnta uma brv introdução da motivação o sgundo os obtivos para o su dsnvolvimnto. O trciro capítulo fornc a rvisão bibliográfica d publicaçõs na ára d anális proto d mancais radiais cilíndricos não cilíndricos na aplicação dsnvolvimnto d procdimntos computacionais para anális d mancais d film fluido. O dsnvolvimnto do procdimnto d lmntos finitos implmntado nss trabalho para a dtrminação das caractrísticas d dsmpnho d mancais radiais lípticos é aprsntado no quarto capítulo. No quinto capítulo são mostrados os rsultados obtidos para as caractrísticas státicas dinâmicas d mancais lípticos sob divrsas condiçõs d opração, por fim, as conclusõs mais rlvants tiradas a partir dos rsultados obtidos nst trabalho são aprsntadas no sxto último capítulo.

25 25 3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Os mancais dvm podr suportar a carga aplicada através do ixo prmitir qu as máquinas rotativas trabalhm stávis sguras. A slção apropriada do mancal é imprativa para a opração sgura d uma máquina. Máquinas rotativas apoiadas m mancais hidrodinâmicos stão frquntmnt submtidas a vibraçõs dvido ao dsbalancamnto outras fonts, tal como a instabilidad do film fluido. Normalmnt a modificação mais barata qu pod sr fita m uma máquina é a substituição do mancal. Assim, uma grand varidad d mancais tm sido dsnvolvida para combatr alguns dos difrnts tipos d problmas d vibração instabilidad. Mancais d rolamnto forncm a rigidz ncssária para suportar o pso da máquina, mas não tm praticamnt amortcimnto ou capacidad d absorvr choqu (Allair Flack, 1989). Assim, mancais hidrodinâmicos têm tido uma larga aplicação nas indústrias usinas gradoras d nrgia, m máquinas rotativas, dvido à sua capacidad d funcionamnto m altas vlocidads, à sua rsistência a oprar submtido a grands cargas a uma vida útil longa (Hamrock 1994, Childs 1993). A lubrificação hidrodinâmica rqur film lubrificant spsso, qu spara totalmnt as duas suprfícis uma da outra (mancal ixo). Est film é formado mdiant uma font contínua d lubrificant. Nos mancais hidrodinâmicos, a prssão d suport do fluido é produzida intrnamnt a partir do movimnto do ixo dpnd dirtamnt da viscosidad do fluido, da vlocidad d rotação do ixo, da gomtria do mancal da força xrcida plo ixo. O problma d vibração m rotors apoiados m mancais tornou-s ainda mais sério com o crscimnto constant das vlocidads dos ixos. Ho, há turbinas mais sbltas rápidas, qu tornam os mancais pças fundamntais para o bom dsmpnho gral do quipamnto. Há uma tndência no dsnvolvimnto d protos com a rlação potência/pso d turbo máquinas cada vz maior, lvando-s a rotors cada vz mais flxívis rápidos. Um problma grav m mancais cilíndricos d film fluido é o aparcimnto d vibraçõs auto-xcitávis m altas vlocidads (Childs, 1993). Essas vibraçõs são provocadas pla ação hidrodinâmica do film lubrificant podm atingir altos nívis d amplitud. O problma é ncontrado tanto m ixos vrticais lvmnt carrgados como m ixos

26 26 horizontais psadamnt carrgados. Quando lvmnt carrgados, é possívl postular qu o ixo vibra m uma órbita aproximadamnt circular cuo cntro coincid com o cntro do mancal (Parszwski Camron, 1962). Os mancais d suport rspondm aos divrsos tipos d xcitação do ixo, tais como dsbalancamnto, dsalinhamnto assimtrias lásticas. Prkins (1979) mostra qu rotors rígidos d alta vlocidad, apoiados m mancais hidrodinâmicos, podm star suitos a vibraçõs auto-xcitadas gradas plo film fluido m vlocidads d rotação próximas d duas vzs a primira vlocidad crítica do rotor. As tratórias do cntro do munhão, m rgim instávl, consistm m movimntos d prcssão violntos. A mlhoria constant dos protos d mancais hidrodinâmicos vm contribuindo para o dsnvolvimnto d turbo máquinas industriais d máquinas rotativas m gral, qu trabalham com margns d sgurança cada vz mnors cada vz mais próximas da admissibilidad. Na figura 3.1 pod sr visto no itm a um dsnho squmático d um mancal d sapatas oscilants radiais (gomtria móvl). No itm b, c d, aprsntam-s dsnhos squmáticos d mancais d gomtria fixa, d prfil cilíndrico, líptico líptico d lóbulos dslocados (off-st), rspctivamnt. 3.1 Numração ficou agora trocada. Configuração da gomtria dos mancais (móvl fixa) alguns prfis d gomtria fixa (a) Sapata móvl; (b) cilíndrico; (c) líptico; (d) líptico com lóbulos dslocados (off-st) Mancais hidrodinâmicos das mais divrsas gomtrias são protados para rspondr

27 27 às solicitaçõs oriundas da part rotativa da máquina, buscando otimizar a rlação custo/bnfício, uma vz qu mudanças no prfil intrno na gomtria do mancal altram a distribuição do film fluido dntro do mancal, mudando as suas caractrísticas d comportamnto. A amplitud da vibração síncrona d um sistma rotativo é conhcida por dpndr psadamnt do tipo do proto dos mancais. Assim, mancais d proto mal laborado podm lvar à instabilidad d um sistma dvido ao chicotamnto do ólo (Oil Whip), como mostrado toricamnt xprimntalmnt por divrsos autors (Lans Flack, 1982). Est chicotamnto é uma vigorosa forma d movimntação do ixo associada aos rotors, lvmnt carrgados, suportados por mancais hidrodinâmicos cilíndricos. Est fnômno ocorr quando a taxa d rotação do rotor alcança aproximadamnt duas vzs a primira vlocidad crítica do sistma rotor/mancal prmanc m rotaçõs maiors (Buss t al., 1980). Nssas condiçõs, o film do ólo causa uma transfrência d nrgia do movimnto rotacional da linha d cntro do ixo para o movimnto d translação dos ixos. A distribuição d prssão varia largamnt com o tmpo (Hashimoto t al., 1995). A anális d stabilidad d ixos rotativos apoiados m mancais d film fluido dpnd da dtrminação dos coficints dinâmicos dsss mancais (Vanc, 1988). A slção adquada dsts coficints podrá diminuir as forças dinâmicas transmitidas através dos mancais para as struturas fixas da máquina, prolongando a vida útil dos quipamntos mcânicos, rduzindo os problmas oriundos da vibração strutural diminuindo os fitos da ação hidrodinâmica do film lubrificant. O problma básico na anális stá m s dtrminar a distribuição do campo d prssão do film fluido para uma dada gomtria d mancal m s obtrm os valors prcisos dos coficints d amortcimnto rigidz capacidad d carga dos mancais (Tonnsn Lund, 1978). Assim, o bom dsmpnho do conunto rotativo stá intimamnt ligado às propridads do film lubrificant. El é font d amortcimnto, podndo inibir vibraçõs, ntrtanto pod grar um mcanismo d prcssão auto-xcitávl do rotor (Shapiro, 1987). A Figura 3.2 mostra o dsnho squmático da distribuição tridimnsional do campo da prssão hidrodinâmica na suprfíci intrna xplodida d um mancal radial d film fluido.

28 28 Figura Distribuição do campo d prssão hidrodinâmica m um mancal d film fluido (Lang Stinhilpr, 1978) Qualqur mancal d film fluido oprando a uma dada razão d xcntricidad (rlação ntr a distância do cntro do ixo ao cntro do mancal pla folga radial do mancal) stávl tm um único ogo d coficints dscrvndo sua rsistência à mudança d stado (McHugh,1986). O film fluido rprsnta um important componnt para as máquinas rotativas, porqu l s comporta como um arrano d molas amortcdors, qu influnciam fortmnt a vlocidad crítica do ixo (MongKolwongron t al., 1995). A figura 3.3 mostra os oito coficints d rigidz d amortcimnto associados ao film fluido do mancal para ixos prfitamnt alinhados. Os coficints d rigidz stão rprsntados por Ki os coficints d amortcimnto por Ci. Esss coficints são dpndnts da vlocidad d rotação (frqüência). Os coficints com índics iguais, K XX, K XY, C XX, C YY, rprsntam os coficints dirtos d rigidz d amortcimnto. Os coficints com índics difrnts rprsntam os coficints cruzados.

29 29 Figura Dsnho squmático dos coficints d força dinâmica dos mancais. As caractrísticas dinâmicas dos mancais radiais são componnts importants na anális d vibração m rotors. Elas smpr aftam a stabilidad do rotor, stando atuando ou não outro tipo d xcitação (Smith, 1980). O amortcimnto grado plos mancais controla a amplitud da vibração bm como a snsibilidad da máquina ao dsbalancamnto. A rigidz /ou o amortcimnto viscoso dado plos mancais podm aumntar a vlocidad inicial d instabilidad. A intração ntr amortcimnto dntro do mancal as influências dsstabilizadoras, tal como rigidz cruzada, dtrmina s o rotor srá stávl dinamicamnt. Dscobriu-s qu variaçõs pqunas tanto nos coficints d rigidz quanto no amortcimnto produzm grands variaçõs na vlocidad inicial d instabilidad do ixo (Adams Padovan, 1981). Dsd os primiros xprimntos d Nwkirk (1924; 1930), qu analisaram a instabilidad d rotors suportados m mancais d prfil cilíndrico, constata-s qu ss tipo d mancal é frqüntmnt inadquado para aplicaçõs m altas vlocidads, por causa da instabilidad. Essa instabilidad pod sr liminada por uma mudança na configuração dos mancais para prfis mais stávis como o líptico ou como o líptico com lóbulos dslocados (off-st) (Lifson Simmons, 1990). A indústria xig quipamntos cada vz mais vlozs ond mancais com prfil

30 30 cilíndrico são inadquados. Um xmplo atual é o caso dos rdutors d vlocidad, qu para acompanhar o aumnto da produção d álcool biodisl, trabalham cada vz com maiors vlocidads com variação maior d carrgamnto. Outro xmplo é a intrligação das usinas d gração d nrgia létrica, qu faz com qu a quantidad d nrgia produzida tnha d variar durant o dia conform normas do órgão rgulador. A variação na potência grada plo quipamnto, varia também o valor do carrgamnto sobr os mancais. Eixos com pouco carrgamnto oprando com mancais cilíndricos tndm a trabalhar cntrados (instávis). Muitos sforços têm sido gastos no dsnvolvimnto d outras formas d mancais d modo a aprimorar a capacidad stabilizadora dos msmos. Na atualidad, têm-s mancais divididos basicamnt m duas catgorias. A primira é formada plos mancais d sapatas oscilants, os quais são xcpcionalmnt stávis, mas complxos. Esss mancais são compostos por várias pças stão suitos a danos dsgasts na suprfíci do pivô d oscilação. Ests dsgasts gram aumnto da folga radial, provocando prda na rigidz do mancal consqünt diminuição na ficiência da maquina. Vid figura 3.4. Figura Mancal radial d sapatas oscilants. Font: Zollrn Brasil A sgunda é formada plos mancais d gomtria fixa, vid figura 3.1 acima, os quais são rlativamnt simpls, mas não são tão stávis como os d sapatas oscilants (Abdul-

31 31 Wahd t al., 1982). Mancais com pré-carga d gomtria fixa (não cilíndricos) alcançam caractrísticas dinâmicas mlhors do qu os mancais cilíndricos com a vantagm d tr o custo muito mnor do qu os d gomtria móvl. Mancais d sapatas oscilants radiais não causam instabilidad das máquinas, como o fazm mancais d gomtria fixa. Entrtanto, o amortcimnto m mancais d sapatas oscilants podm sr mnos ficints na suprssão d vibraçõs próximas a vlocidad crítica da máquina do qu mancais d gomtria fixa têm maior prda d carga do qu sts (Allair Flack, 1989). Divrsos autors (Pinkus, 1956; Glinick, 1966; Li Allair, 1979) têm studado as propridads státicas dinâmicas d mancais radiais d gomtria fixa. A maioria ficou procupada com a dtrminação dos fitos dos parâmtros qu acrditavam ou sabiam aftar a stabilidad. Dntr sts parâmtros, têm-s a pré-carga, a xcntricidad a xtnsão da bolsa. A figura 3.5 mostra os principais parâmtros gométricos opracionais d um mancal líptico. Os parâmtros gométricos são: o comprimnto do mancal L, o raio do mancal R, a folga radial C, sndo C = R D/2, ond D é o diâmtro xtrno do ixo, a pré-carga MP, dfinida como sndo MP = (Cb D) / D, ond Cb é o maior smi-ixo da líps o comprimnto da bolsa d ólo b. Os parâmtros opracionais são: a rotação do ixo (ω), spssura mínima do film d ólo (h o ) a razão d xcntricidad (ε), qu é dfinida como sndo ε = / C, ond é a distância do cntro do ixo ao cntro do mancal. A spssura do film d ólo mínima (h o ) é a mnor distancia ntr o mancal o ixo, quando st stá m movimnto. O ângulo da posição da spssura dsada a partir do ponto d maior spssura dntro do mancal (rad) é dfinido como θ o ângulo d posição do ixo dntro do mancal por Φ.

32 32 Figura Dsnho squmático dos principais parâmtros gométricos opracionais d um mancal líptico. Os mancais lípticos são os mais amplamnt usados m turbinas provavlmnt ntr os mancais não cilíndricos são os d fabricação mais fácil (Glinick, 1966; Smith, 1969). Enquanto o mancal off-st é suprior m stabilidad para opração d baixo carrgamnto, o mancal líptico aparnta sr o mais stávl para uma larga faixa d aplicaçõs d carrgamntos mio psados à rlativamnt lvs (Allair Flack, 1989). Assim, pla scassz d informaçõs na litratura técnica disponívl, por aprsntar custo d fabricação rlativamnt baixo por atndr a uma larga faixa d aplicaçõs, optamos pla anális dst prfil m particular nst trabalho. Esta anális mostrará como as variaçõs gométricas possívis dntro dst prfil, para uma msma condição d trabalho, altra o dsmpnho do mancal. Ess studo visa a obtnção d informaçõs importants para a mlhor comprnsão dos sus limits d sua adquação para inúmras aplicaçõs. Pod s tornar uma frramnta para ngnhiros protistas d campo para um pré-dimnsionamnto ou na avaliação do comportamnto gral do quipamnto rlacionado aos mancais. As figuras mostram o campo d prssão formado no intrior do mancal hidrodinâmico d prfil cilíndrico líptico rspctivamnt. Na figura 3.7 pod sr visto qu ocorr a formação do campo d prssão também na mtad suprior do mancal, nquanto qu no prfil cilíndrico (figura 3.6) o campo stá prsnt somnt na mtad infrior. A prssão na part suprior do mancal com prfil líptico mbora d valor rlativamnt pquno s

33 33 comparado com a grada na part infrior, auda no quilíbrio hidrodinâmico. Figura Distribuição da prssão hidrodinâmica dntro do mancal d prfil cilíndrico. (Lang Stinhilpr, 1978) Figura Dtalhs gométricos distribuição da prssão hidrodinâmica dntro do mancal líptico Pinkus (1956) stimou algumas caractrísticas státicas, tais como capacidad d carga, coficints d atrito parâmtros d fluxo, para divrsos valors d razão d xcntricidad lipticidad, razõs ntr comprimnto/diâmtro (L/D). Nl foi vrificado

34 34 qu m mancais lípticos, o cntro do ixo frqüntmnt s posiciona acima da linha d cntro do mancal qu quanto maior a pré-carga, maior é a capacidad do mancal d trabalhar com carrgamnto mnors mantr o cntro do ixo dslocado m rlação ao cntro do mancal, ou sa stávl. Strnlicht (1964) obtv caractrísticas státicas os coficints d amortcimnto rigidz d mancais lípticos, com razõs d lipticidad iguais a 0,25 0,50 razõs d sbltz L/D iguais a 0,5 1,0. Middlton (1973) aprsntou gráficos das caractrísticas státicas dinâmicas d mancais lípticos para razõs d lipticidad d 0,6 L/D d 0,5. Singh t al. (1977) incluíram caractrísticas dinâmicas dos mancais lípticos com uma razão d lipticidad d 0,5 d L/D d 1,0. Gardnr t al. (1980) aprsntam um studo sobr o comportamnto d mancais lípticos sugrm como valor ótimo uma pré-carga máxima d 0,6. Contudo pré-cargas d até 0,7 são bastant comuns para aumntar a stabilidad, mbora prudiqum os coficints horizontais xigm uma vazão d ólo lvada. Singh Gupta (1981) forncm rlaçõs ntr a flxibilidad do ixo, a razão d xcntricidad, razão d lipticidad L/D com a stabilidad m mancais com prfil líptico. Para analisar chcar o dsmpnho d mancais, várias técnicas stão disponívis na litratura. Essas técnicas podm sr xtrmamnt complxas, dvido a variávis hidrodinâmicas, ou podm star basadas m procdimntos bastant simpls. No tratamnto clássico do fluxo nos mancais, Rynolds (1886) dscrvu através d uma quação difrncial, o fnômno d lubrificação hidrodinâmica, considrando fluxo laminar d um fluido nwtoniano. Essa quação dfin o campo d prssão do mancal m função do movimnto, dss campo d prssão, são obtidas as forças dsnvolvidas no mancal atuants no rotor (Childs 1993). As prvisõs d tal aproximação s mostraram muito útis. Entrtanto, há uma ncssidad pla xpansão da toria clássica m divrsas outras dirçõs (Szri t al., 1987). A forma analítica mais simpls é basada m mancais curtos (L/D mnor do qu 0,25) ou longos (L/D maior do qu 2,0), os quais não s ncaixam m uma larga faixa d uso comum nos protos (0,4 a 1,0). Divrsos studos têm sido fitos para mlhorar a prcisão da solução d mancais. Warnr (1963) usou um fator para o vazamnto do fluxo latral, argumntando qu o rro na aproximação é pquno s comparado aos rros introduzidos por considrar-s a viscosidad

35 35 constant mancais alinhados. D manira similar, Ritchi (1975) para mlhorar a prcisão no cálculo dos mancais curtos introduziu a solução do mancal curto otimizado através do método d Galrkin. A chgada d novas técnicas prmitiu uma nova arrancada no dsnvolvimnto do studo d mancais hidrodinâmicos. Dntr las, dstaca-s spcialmnt o método d lmntos finitos (MEF). Dsd os primiros trabalhos d Rddi (1969), Fuino (1969), Argyris (1969), Wada Miita (1971), Wada Hayashi (1971), Bookr Hubnr (1972), passando por Allair t al. (1977), o MEF vm sndo usado frqüntmnt para a construção d procdimntos mais prcisos ficazs para a anális d difrnts tipos d mancais hidrodinâmicos das mais divrsas gomtrias. No trabalho pioniro d Rddi (1969), aprsntas uma mtodologia basada no método d lmntos finitos para a solução da Equação d Rynolds para mancais radiais d dslizamnto, com scoamnto d fluidos incomprssívis, tanto para condiçõs d contorno d fluxo quanto d prssão. A mlhoria na capacidad d prvr os problmas d vibração do quipamnto induzido plos mancais a solução dsts problmas ainda na fas d proto mostra a importância qu tm conquistado a modlagm computacional nsta aplicação. O MEF, quando comparado a outros métodos numéricos, tm divrsas vantagns. El cobr as variaçõs gométricas as condiçõs d contorno d prssão ou vazão sm maiors dificuldads (Rddi, 1969). Contudo, modlos tóricos atuais ainda não gram boas stimativas da volução da tmpratura no lóbulo dscarrgado do mancal. Dificuldads na modlagm tórica são maiors nos cálculos d vazão tmpratura próximas às bolsas d ólo (Fillon, 2007). Nss trabalho, utiliza-s o MEF para a anális do problma d lubrificação hidrodinâmica m mancais lípticos lubrificados a ólo. Um procdimnto d prturbação é mprgado sobr a quação clássica d Rynolds para a obtnção das quaçõs ncssárias para a prdição das caractrísticas d dsmpnho d mancais. D manira parcida, o trabalho d Faria t al. (2006) aprsnta um procdimnto d lmntos finitos para o cálculo dsts coficints dinâmicos para mancais radiais cilíndricos. São usados lmntos isoparamétricos linars para a formulação dos lmntos finitos, utilizando-s o método d Galrkin para s obtr o sistma d quaçõs d lmntos finitos para as quaçõs d lubrificação. Est trabalho tm como obtivo a anális das caractrísticas d dsmpnho státicas dinâmicas d mancais lípticos lubrificados a ólo. Essas caractrísticas são

36 36 stimadas para divrsas condiçõs d opração do mancal com prfil líptico para divrsas gomtrias. Um procdimnto computacional basado no método d lmntos finitos, para cálculo das caractrísticas dsadas do mancal líptico, é spcialmnt dsnvolvido para ss trabalho, forncndo dados técnicos (capacidad d carga, spssura do film d ólo, coficints dinâmicos) qu auxiliarão na scolha mais apropriada dos suports d máquinas rotativas.

37 37 4 MODELAGEM DE ELEMENTOS FINITOS DE MANCAIS RADIAIS ELÍPTICOS Nss capítulo, são aprsntados as quaçõs govrnants do comportamnto d mancais radiais lípticos todos os passos d drivação das quaçõs algébricas d lmntos finitos para dtrminação d suas caractrísticas státicas dinâmicas d dsmpnho. 4.1 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA Dscrição do problma d mancal radial líptico As figuras rprsntam dsnhos squmáticos d um mancal radial líptico. Na figura 4.1 o cntro gométrico do ixo stá posicionado sobr o cntro gométrico do mancal, nquanto qu na figura 4.2 o cntro do ixo stá dslocado, smlhant ao qu ocorr durant o funcionamnto da máquina após o ixo ncontrar a sua posição d quilíbrio dntro do mancal. A gomtria básica dss tipo d mancal é dfinida plos sguints parâmtros: - Diâmtro xtrno do ixo: D - Comprimnto do mancal: L - Pré carga: MP (mdida da não cilindricidad do mancal) qu é dada por: MP = (Cb D) / D ond Cb é o comprimnto do smi-ixo maior da lips. - Vlocidad d rotação do ixo m rlação ao mancal: ω - Vlocidad suprficial do ixo: U ond U = ωr - Excntricidad do mancal (distância ntr cntros do mancal do ixo): Proçõs vrtical horizontal d : x y. - Carga atuant no mancal: W - Excntricidad do lóbulo: ε - Folga radial mnor: C - Folga radial maior: C M /2 - Excntricidad d posicionamnto do ixo no mancal (distância ntr cntros do mancal do ixo, quando o ixo stá na posição d quilíbrio):

38 38 - Força d ração do mancal, grada pla ação hidrodinâmica do fluido: F - Componnt vrtical horizontal da força d ração do mancal: Fx Fy. - Ângulo d posição do mancal: Φ ond Φ = tan -1 (- Fy / Fx ) - Sistma d rfrência inrcial: X, Y, Z - Sistma rotativo solidário aos ixos: x, y, z - Raio do mancal: R - Raio do ixo: R - Raio do lóbulo: RL - Rotação do ixo m rlação ao mancal: ω (rad) Figura Dsnho squmático d um mancal radial líptico com sua gomtria básica

39 39 Figura Posicionamnto do ixo dntro do mancal sistmas d coordnadas. 4.2 EQUAÇÕES GOVERNANTES A quação d clássica d Rynolds qu dscrv o scoamnto d um film fluido incomprssívl, isotérmico isoviscoso pod sr scrita no sistma d coordnadas cilíndricas da sguint forma (Hamrock, 1994): 1 R² ρh³ p ρh³ p 1 + = θ 12µ θ z 12µ z 2 U R ( ρh) ( ρh) θ + t (4.1) Ond: - R = raio do ixo; - p = prssão hidrodinâmica; - ρ = massa spcífica do film fluido; - h = spssura do film fluido; - µ = viscosidad; - U = vlocidad suprficial do ixo (U = ωr);

40 40 O domínio do scoamnto do film fluido é dscrito por 0 θ 2π -L/2 z L/2. A viscosidad dinâmica, a prssão hidrodinâmica a massa spcífica do fluido são rprsntadas, por µ, p ρ, rspctivamnt. A distribuição d prssão hidrodinâmica é priódica ao longo da dirção circunfrncial, p(θ, z, t) = p(θ + 2π, z, t). As latrais do mancal stão à prssão atmosférica p a, p(θ, L/2, t) = p(θ, -L/2,t) = p a. A condição d Mio Sommrfld é utilizada no cálculo do campo d prssão (Hamrock, 1994). Condição Mio Sommrfld é o uso somnt do intrvalo d 0 θ π, concntrando-s a anális da prssão na rgião convrgnt, ou sa, não considrando a ára d cavitação ou prssão ngativa. A xprssão qu rprsnta a spssura do film fluido h é dada pla quação 4.2, ond c rprsnta a folga radial, x y rprsntam as xcntricidads do mancal MP a précarga. () t cos ( θ ) + ( t) sn( θ ) + c MP snθ h = c + (4.2) x y. 4.3 EQUAÇÕES DO PROBLEMA DE LUBRIFICAÇÃO Para o cálculo da capacidad d carga dos coficints dinâmicos d força do mancal são utilizadas as quaçõs d lubrificação d ordm zro d primira ordm, obtidas através da anális d prturbação do sistma (Lund,1987). A posição d quilíbrio do ixo ) é prturbada por movimntos d pquna amplitud ( x, y ) com uma frqüência d (, x 0 y0 xcitação (Faria t al., 2006). Dsta forma, a spssura do film é dada por: h iωt iωt ( h + h ) = h + h h0 σ σ ; σ = x, y (4.3) = + x x y y 0 ond: - h 0 = spssura do film stacionário ou d ordm zro - h x = cos (θ ); - h y = sn (θ );

41 41 - σ = x, y; - i = 1. Pqunas variaçõs na spssura do film causam altraçõs no campo d prssão hidrodinâmica. Est campo prturbado d prssão hidrodinâmica pod sr rprsntado pla quação 3.4, s considrarmos uma anális linar d prturbação. t i o t i Y Y X X o p p ) p p ( ),t ( p ),t p( ω σ σ ω θ θ + = + + = (4.4) ond: - 0 p = prssão stacionária, campo d prssão d ordm zro; - X p Y p = campo d prssão d primira ordm. Substituindo as quaçõs na quação 4.1, obtêm-s as quaçõs d lubrificação d ordm zro d primira ordm, conform rprsntado plas quaçõs , rspctivamnt. ( ) θ ρ µ ρ θ µ ρ θ = ² 1 h R U z p h z p h R (4.5) ( ) σ σ σ σ σ σ ωρ θ ρ µ ρ µ ρ θ µ ρ θ µ ρ θ h i h R U z p h z p h h z p h p h h R + = ² (4.6) A quação 4.5 é a quação clássica d Rynolds para rgim stacionário. Esta quação prmit a dtrminação do campo d prssão hidrodinâmica bidimnsional no intrior dos mancais radiais lubrificados a ólo. Não xist solução analítica m forma fchada para a grand maioria dos mancais radiais d uso industrial. Os coficints dinâmicos dos mancais são obtidos através da solução das quaçõs d lubrificação d ordm zro d primira ordm via procdimnto d lmntos finitos.

42 EQUAÇÕES DE ELEMENTOS FINITOS As quaçõs d lubrificação d ordm zro d primira ordm podm sr scritas na forma d balanço d massa, utilizando-s o concito d fluxo mássico. Dssa forma, a quação (3.5) pod sr rscrita na sguint forma: (4.7) sndo qu h R p h R m ρ θ µ ρ θ Ω + = rprsnta o fluxo mássico na dirção circunfrncial z p h m z = µ ρ o fluxo mássico na dirção axial. A quação (4.6) pod, da msma forma, sr rscrita na forma d balanço d fluxo, na sguint manira: σ θ ϖρ θ h i m z m R m z = + = r r (4.8) sndo qu os fluxos mássicos mostrados na quação (3.8) podm sr xprssos na sguint forma: σ σ σ θ ρ θ µ ρ θ µ ρ h R p h R p h h R m Ω + = (4.9) z p h z p h h m z + = σ σ µ ρ µ ρ (4.10) Discrtização do campo d prssão d ordm zro Elmntos isoparamétricos planos d quatro nós são utilizados na discrtização do domínio do film fluido. Funçõs d intrpolação bilinars, Ψ, =1,2,3,4, são mprgadas na dscrição do campo d prssão hidrodinâmica d ordm zro no domínio Ω d um lmnto 0. 1 = = + r r m m z m R z θ θ