UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Antiderivadas e Integrais Indefinidas Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Antiderivadas e Integrais Indefinidas 1.Antiderivadas 2.Notação para antiderivadas e integrais indefinidas 3.Cálculo de antiderivadas 4.Soluções particulares 5.Aplicação
1. Antiderivadas Até aqui, tem-nos preocupado essencialmente o problema: dada uma função, achar a sua derivada. Muitas aplicações importantes do cálculo envolvem o problema inverso: dada a derivada de uma função, achar a função. Suponha, por exemplo, dadas f ( x) = 2, g ( x) = 3 x 2, e s ( t) = 4t
1. Antiderivadas Nosso objetivo é determinar as funções f, g e s. Formulando hipóteses adequadas, poderemos chegar ao seguinte: f ( x) = 2 x porque d [ 2x] = 2 dx d g( x) = x porque x = 3x dx 3 3 2 2 d 2 s( t) = 2 t porque 2t = 4t dx
1. Antiderivadas Esta operação, que consiste em determinar a função original a partir de sua derivada, é a operação inversa da diferenciação. É chamada antidiferenciação. OBS: Neste texto utilizamos a expressão F (x) é uma antiderivada de f (x) como sinônima de F é uma antiderivada de f.
1. Antiderivadas Definição de Antiderivada Uma função F é uma antiderivada de uma função f se, para todo x no domínio de f, temos F (x) = f (x).
1. Antiderivadas Se F (x) é uma antiderivada de f (x), então também o é F (x) + C, onde C é uma constante arbitrária. Por exemplo, 3 3 3 F( x) = x, G( x) = x 5, e H( x) = x + 0,3 são antiderivadas de 3x 2 porque a derivada de cada uma delas é 3x 2. Acontece que todas as antiderivadas de 3x 2 são da forma x 3 + C. Assim, o processo de antidiferenciação não define uma função única, e sim uma família de funções, que diferem entre si por uma constante.
2. Notação para antiderivadas e integrais indefinidas O processo de antidiferenciação é também chamado integração e é indicado pelo símbolo Sinal de Integral chamado sinal de integral.
2. Notação para antiderivadas e integrais indefinidas O símbolo f ( x ) dx Integral Indefinida é a integral indefinida de f (x), e representa a família de antiderivadas de f (x); isto é, se F (x) = f (x) para todo x, então podemos escrever f ( x) dx = F( x) + C Sinal de integral Integrando Diferencial Antiderivada
2. Notação para antiderivadas e integrais indefinidas Onde f (x) é o integrando e C é a constante de integração. A diferencial dx na integral indefinida identifica a variável de integração. Ou seja, o símbolo f ( x) dx = F( x) + C denota a antiderivada de f em relação a x, da mesma forma que o símbolo dy/dx a derivada de y em relação a x.
2. Notação para antiderivadas e integrais indefinidas A notação Notação de Integral para Antiderivadas f ( x) dx = F( x) + C onde C é uma constante arbitrária, significa que F é uma antiderivada de f. Isto é, F (x) = f (x) para todo x no domínio de f.
2. Notação para antiderivadas e integrais indefinidas Exemplo 1: Utilizando a notação de integral, podemos escrever como se segue as três antiderivadas dadas no início desta aula. a. 2dx = 2x + C 2 3 b. 3x dx = x + C 2 c. 4t dt = 2t + C
3. Cálculo de antiderivadas O relacionamento inverso entre as operações de integração e diferenciação pode ser apresentado simbolicamente a seguir. d dx = f ( x) dx f ( x) A diferenciação é o inverso da integração f ( x) dx = f ( x) + C A integração é o inverso da diferenciação
3. Cálculo de antiderivadas Este relacionamento entre integração e diferenciação permite obtermos fórmulas de integração diretamente a partir de fórmulas de diferenciação. A seguir são apresentadas as fórmulas de integração que correspondem a algumas fórmulas de diferenciação já estudadas.
3. Cálculo de antiderivadas Regras Básicas de Integração 1. Regra da Constante k dx = kx + C, k é uma constante 2. Regra do Múltiplo Constante k f ( x) dx = k f ( x) dx, k é uma constante 3. Regra da Soma [ ] f ( x) dx + g( x) dx = f ( x) dx + g( x) dx
3. Cálculo de antiderivadas 4. Regra da Diferença [ ] f ( x) dx g( x) dx = f ( x) dx g( x) dx 5. Regra Simples da Potência n+ 1 n x x dx = + C, n 1 n + 1
3. Cálculo de antiderivadas OBS 1: A Regra Geral da Potência será estudada na Aula 37, e as Regras Exponencial e Log serão abordadas na Aula 38. OBS 2: Não esqueça que a Regra Simples da Potência tem a restrição de que n não pode ser igual a -1; não podemos aplicá-la para calcular a integral 1 dx x Para calcular esta integral, devemos aplicar a Regra Log (Aula 38).
3. Cálculo de antiderivadas Exemplo 2: Calcule as integrais indefinidas a. 2dx = 2x + C b. 1dx = x + C c. 5dt = 5t + C No Exemplo 2b, costuma-se escrever a integral 1dx simplesmente dx.
3. Cálculo de antiderivadas Exemplo 3: Calcule a integral indefinida 3x dx
3. Cálculo de antiderivadas Solução: 3x dx = 3 x dx Regra do Múltiplo Constante = 3 x 1 dx Escrever x como x 1 2 x = 3 + 2 C Regra da Potência com n = 1 = + 2 3 2 x C Simplificar
3. Cálculo de antiderivadas No cálculo de integrais indefinidas, a aplicação estrita das regras básicas de integração tende a gerar constantes de integração pouco cômodas. Por exemplo, no Exemplo 3, poderíamos ter escrito 2 x 3 = 2 3x dx 3 x dx = 3 + C = x + 3C 2 2
3. Cálculo de antiderivadas Todavia, como C representa uma constante arbitrária, é desnecessário escrever a constante de integração como 3C. Basta escrevermos 3 2 + 2 x C
3. Cálculo de antiderivadas No Exemplo 3, note que o padrão geral de integração é análogo ao da diferenciação. Dado: 3x dx Escrever como: 1 3 x dx 2 + Integrar: x 3 2 Simplificar: C 3 2 + 2 x C
3. Cálculo de antiderivadas Exemplo 4: Escreva sob nova forma antes de integrar 1 a. dx 3 x b. x dx
3. Cálculo de antiderivadas Exemplo 4: Escreva sob nova forma antes de integrar Integral dada 1 a. dx 3 x Escrever como x 3 dx Integrar Simplificar x 2 2 1 + C + 2 2x C
3. Cálculo de antiderivadas Exemplo 4: Escreva sob nova forma antes de integrar Integral dada b. x dx Escrever como Integrar 3 2 Simplificar 1 x x 2 2 3 dx + C 2 + 3 3 x C 2
3. Cálculo de antiderivadas Nota: Recorde que podemos verificar por diferenciação a resposta de um problema de antidiferenciação. Assim é que, no Exemplo 4b, podemos constatar, diferenciando, que 2 3 x 3 2 é a antiderivada correta; obtemos d dx 2 3 2 3 1 2 2 x = x = x 3 3 2
3. Cálculo de antiderivadas Com as cinco regras básicas de integração, podemos integrar qualquer função polinomial, conforme demonstramos no próximo exemplo.
3. Cálculo de antiderivadas Exemplo 5: Determine as seguintes integrais indefinidas ( x + ) a. 2 dx ( 4 2 + ) b. 3x 5x x dx
3. Cálculo de antiderivadas a. Aplique a Regra da Soma para integrar cada parte separadamente 2 x x + 2 dx = x dx + 2dx = + 2x + C 2 ( )
3. Cálculo de antiderivadas b. Procure identificar cada regra básica de integração utilizada para o cálculo desta integral 5 3 2 x x x 3x 5x + x dx = 3 5 + + C 5 3 2 ( 4 2 ) 3 5 5 3 1 2 = x x + x + C 5 3 2
3. Cálculo de antiderivadas Exemplo 6: Determine a integral indefinida x + 1 dx x
3. Cálculo de antiderivadas Inicialmente, escreva o quociente no integrando como uma soma. Em seguida, escreva cada termo com expoentes racionais. x + 1 x 1 dx = + dx x x x Escrever como uma soma ( 1 1 ) 2 2 = + x x dx Usar expoentes racionais
3. Cálculo de antiderivadas 3 1 2 2 x x = + + 3 1 2 2 C Aplicar a Regra da Potência 2 3 1 2 2 = + 2 + 3 x x C Simplificar
3. Cálculo de antiderivadas Nota: Ao integrar quocientes, não cometa o erro de integrar numerador e denominador separadamente. Assim é que, no Exemplo 6, x ( + 1) + 1 x dx dx x x dx
4. Soluções particulares Já vimos que a equação y = f ( x) dx tem infinitas soluções, cada uma das quais difere das outras por uma constante. Isto significa que os gráficos de duas antiderivadas quaisquer de f são translações verticais uma da outra. A figura a seguir mostra os gráficos de várias antiderivadas da forma ( ) = = 2 3 y F( x) 3x 1 dx = x x + C
4. Soluções particulares
4. Soluções particulares Cada uma solução de dy dx dessas antiderivadas é uma 2 = 3x 1 Em muitas aplicações da integração, dispomos de informação suficiente para determinar uma solução particular. Para tanto, basta conhecermos o valor de F (x) para um valor de x.
4. Soluções particulares Por exemplo, na figura anterior há apenas uma curva que passa pelo ponto (2, 4). Para determinar esta curva, lançamos mão da informação abaixo F( x) = x 3 x + C F(2) = 4 Solução geral Condição inicial
4. Soluções particulares Levando esta condição inicial na solução geral, verificamos que ( ) 3 F(2) = 2 2 + C = 4 C = 2 Assim, a solução particular é 3 F( x) = x x 2
4. Soluções particulares Exemplo 7: Determine a solução geral de F ( x) = 2x 2 e a solução particular que satisfaz a condição inicial F(1) = 2
4. Soluções particulares Inicialmente, integremos para determinar a solução geral. ( ) F( x) = 2x 2 dx 2 = x 2x + C Integrar F (x) para obter F (x) Solução geral
4. Soluções particulares Com a condição inicial F (1) = 2, podemos escrever ( ) 2 F(1) = 1 2 1 + C = 2 C = 3 Assim, a solução particular é F( x) = x 2 2x + 3 Solução particular
4. Soluções particulares A figura a seguir exibe graficamente esta solução. Note que cada uma das curvas representa uma solução da equação F ( x) = 2x 2 A curva em destaque, entretanto, é a única solução que passa pelo ponto (1, 2), o que significa que 2 F( x) = x 2x + 3 é a única solução que satisfaz a condição inicial.
4. Soluções particulares
5. Aplicação Exemplo 8: Joga-se uma bola para cima, de uma altura inicial de 80 pés, com uma velocidade inicial de 64 pés por segundo, conforme a figura a seguir. Deduza a função posição que dê a altura s (em pés) como função do tempo t (em segundos). Em que instante a bola atinge o solo?
5. Aplicação
5. Aplicação Representemos por t = 0 o tempo inicial. Então, as duas condições dadas podem ser escritas como a seguir: s(0) = 80 s (0) = 64 A altura inicial é de 80 pés A velocidade inicial é de 64 pés por segundo
5. Aplicação Como a aceleração devida à gravidade é de 32 pés por segundo por segundo, temos: s ( t) = 32 Aceleração devida à gravidade s ( t) = 32dt Integrar s (t) para obter s (t) s ( t) = 32t + C Função velocidade 1
5. Aplicação Levando em conta a velocidade inicial, concluímos que C 1 = 64 s ( t) = 32t + 64 Função velocidade ( ) s( t) = 32t + 64 dt Integrar s (t) para obter s(t) 2 s( t) = 16t + 64t + C Função posição 2
5. Aplicação Utilizando a altura inicial, temos que C 2 = 80. Assim, a função posição é 2 s( t) = 16t + 64t + 80 Função posição
5. Aplicação Para determinar o instante em que a bola atinge o solo, igualemos a zero a função posição e resolvamo-la em relação a t. 2 16t + 64t + 80 = 0 ( t )( t ) 16 + 1 5 = 0 Igualar s (t) = 0 Fatorar t = 1, t = 5 Resolver em relação a t Como o tempo deve ser positivo, concluímos que a bola atinge o solo 5 segundos após ter sido lançada.