ESTATÍSTICA BÁSICA - Proº Marcos Nascmeto CÁPITULO I- Itrodução Atualmete a utlzação da Estatístca é cada vez maor em qualquer atvdade prossoal. Nos mas dverscados ramos, as pessoas estão requetemete epostas à Estatístca, utlzado-a com maor ou meor tesdade devdo às múltplas aplcações que o método estatístco proporcoa àqueles que dele ecesstam. Segue a segur algus deções ou cocetos mportates:. Estatístca: parte da Matemátca Aplcada que orece métodos para a coleta, orgazação, descrção, aálse e terpretação de dados e para a utlzação dos mesmos a tomada de decsões. Tem como objetvo prcpal proporcoar métodos erecas, que permtam coclusões que trascedam os dados obtdos calmete. A coleta, a orgazação e descrção dos dados estão a cargo da Estatístca Descrtva, equato a aálse e a terpretação desses dados cam a cargo da Estatístca Idutva ou Ierecal. Podemos dvdr a Estatístca em 3 grades áreas: Estatístca Descrtva: tem como objetvo descrever e resumr os dados para que possamos trar coclusões a respeto de característcas de teresse. Estatístca Idutva ou Ierecal: cojuto de métodos que permtem err o comportameto de uma população a partr de uma amostra. Probabldade: errameta matemátca que deduz a partr de um modelo as propredades de um eômeo aleatóro.. Fases do Método Estatístco: podemos subdvd-los em: Coleta de dados; Apuração de Dados; Apresetação de dados; Aálse, terpretação coclusão dos dados... Coleta de dados È dvdda em: Coleta de dados prmáros (Dreta: quado o pesqusador coleta os dados dretamete a ote orgára. A Coleta Dreta de dados pode ser classcada ao ator tempo da segute orma: - Cotíua: regstros etos cotuamete.e.reqüêca de aluos às aulas. - Peródcas: eta em tervalos costates de tempo. E. cesos. - Ocasoal: eta etemporaeamete, para ateder uma stuação de emergêca. E. praga em uma lavoura. Coleta de dados secudáros (Idreta: quado o pesqusador utlza de outras otes... Apuração de dados Após termarmos a coleta de dados é ecessáro azer sua apuração ou cotagem (tabulação. Devemos ordeá-los medate crtéros de classcação, que pode ser maual, mecâca ou eletrocamete...3 Apresetação de dados Depos de tabularmos esses dados, podemos apresetá-los em:
I Tabelas II Grácos.3 Varável É o cojuto de resultados possíves de um eômeo. Pode ser: Qualtatva: quado os valores orem epressos por atrbutos. E. cor da pele (braca, egra, amarela, seo (masculo, emo. Quattatva: quado os valores orem epressos em úmeros.e. saláros dos ucoáros de uma empresa, massa corporal dos aluos de uma turma. A varável qualtatva pode ser: omal (cor dos olhos, seo ou ordal (classe socal, grau de strução. Já a varável quattatva pode ser: cotíua (peso, altura, saláros, podedo assumr qualquer valor real postvo ou dscreta(úmero de lhos, quatdade de um rebaho, podedo assumr só valores teros..4 População e Amostra População: cojuto de elemetos em estudo que possuem pelo meos uma característca em comum. E. os estudates costtuem uma população, pos apresetam pelo meos uma característca comum: são os que estudam. Mutas vezes, por mpossbldade ou vabldade ecoômca ou temporal, lmtamos as observações reeretes a uma determada pesqusa a apeas uma parte da população. A essa parte proveete da população em estudo deomamos amostra. Amostra: qualquer subcojuto to, ão vazo, de uma população. A Estatístca Idutva tem como objetvo trar coclusões sobre as populações, com base em resultados vercados em amostras retradas dessa população.para que as erêcas sejam corretas, é ecessáro garatr que a mostra seja represetatva da população, ou seja, a amostra deve possur as mesmas característcas báscas da população. Assm é precso que a amostra ou amostras que vão ser usadas sejam obtdas por processos adequados. A técca especal que garate o sucesso esses processos é chamada de amostragem..5 Amostragem A amostragem garate, tato quato possível, o acaso a escolha. Assm, cada elemeto da população passa a ter a mesma chace de ser escolhdo, garatdo à amostra o caráter de represetatvdade, e sto é muto mportate, pos as coclusões relatvas à população vão estar baseadas os resultados obtdos as amostras dessa população. Veremos a segur três das prcpas téccas de amostragem..5. Amostragem casual ou aleatóra smples È equvalete ao sorteo de loteras. Pode ser realzada umerado-se a população de a e sorteado-se, a segur, por meo de um dspostvo aleatóro qualquer, úmeros dessa seqüêca, os quas correspoderão aos elemetos pertecetes à amostra..5. Amostragem proporcoal estratcada Mutas vezes a população está dvdda em subpopulações ou estratos. Como é provável que a varável em estudo apresete, de estrato em estrato, um comportameto heterogêeo e, detro de cada estrato, um comportameto homogêeo, covém que o sorteo dos elemetos da amostra leve em cosderação tas estratos. É eatamete sso que azemos quado empregamos a amostragem proporcoal estratcada, que além de cosderar a estêca dos estratos, obtém os elemetos da amostra proporcoal ao úmero de elemetos dos mesmos..5.3 Amostragem sstemátca Quado os da população já se acham ordeados, ão há ecessdade de costrur o sstema de reerêca. São eemplos, as casas de uma rua, as lhas de produção etc. Nestes casos, a seleção é dos elemetos que costturão a amostra pode ser eta por um sstema mposto pelo pesqusador. A esse tpo de amostragem deomamos
sstemátca. Assm, o caso de uma etrevsta em 00 casas de uma rua, podemos, a cada 0 escolher uma para pertecer a uma amostra. Fado o tamaho da amostra em 0% da população..6 REGRAS PARA ARREDONDAMENTO Quado o prmero algarsmo a ser abadoado é 0,,, 3 ou 4, ca alterado o últmo algarsmo a permaecer. Eemplos: 43,4 passa a 53, (décmo mas prómo,94 passa a,94 (cetésmo mas prómo 69, passa a 69 (udade mas próma Quado o prmero algarsmo a ser abadoado é 6, 7, 8 ou 9, aumeta-se de uma udade o algarsmo a permaecer. Eemplos: 3,87 passa a 3,9 (décmo mas prómo 46,77 passa a 46,73 (cetésmo mas prómo 6,6 passa a 7 (udade mas próma Quado o prmero algarsmo a ser abadoado é 5, há duas soluções: I Se ao 5 segur em qualquer casa um algarsmo derete de zero, aumeta-se uma udade ao algarsmo a permaecer. Eemplos:,35 passa a,4 (décmo mas prómo 5,650 passa para 5,7 (décmo mas prómo 74,5000 passa para 74,3 (décmo mas prómo II Se o 5 or o últmo algarsmo ou se ao 5 só se segurem zeros, o últmo algarsmo só será aumetado de uma udade se or ímpar. Eemplos: 34,75 passa a 34,8 (décmo mas prómo 34,65 passa a 34,6 (décmo mas prómo 8,55 passa a 8,6 (cetésmo mas prómo 67,5 passa a 68 (udade mas próma 8,5 passa a 8 (udade mas próma EXERCÍCIOS Arredode cada um dos úmeros abao, coorme a precsão pedda: a Para o décmo mas prómo: 73,4 48,8500,35 34, 783 9,98 78,85 b Para o cetésmo mas prómo: 36,77 53,654 38,455 3,64 99,95 47,485 c Para a udade mas próma: 39,49 36,6 8,5 78, 59,98 33,5.7 Somatóro e Produtóro Somatóro 3
4 Mutos processos estatístcos egem o cálculo da soma. Para smplcar a represetação da operação de adção as epressões algébrcas, utlza-se a otação, letra grega sgma maúscula. As prcpas represetações são:... SOMA SIMPLES... SOMA DE QUADRADOS 3... ( QUADRADO DA SOMA 4... SOMA DE PRODUTOS 5... (... ( PRODUTO DAS SOMAS Lê-se como: somatóro de ídce, com varado de até. Propredades dos Somatóros I a a a a a... II a a III ( IV O quadrado da soma é derete da soma dos quadrados : V O produto de duas somas é derete da soma dos produtos : VI O úmero de parcelas ou termos do somatóro a é dado pela segute epressão: a EX: 8 3 possu 6 parcelas pos 8-3 6. VII Somatóros Duplos: o somatóro duplo é gual ao produto dos somatóros tomados separadamete. j j Produtóro
O símbolo produtóro é utlzado para acltar a represetação dos produtos. Utlza-se a letra grega p maúsculo. Represetação: Propredades:... I b bb... b b II III c c IV 3! V log log CAPÍTULO II -DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA. Dados Brutos Feta a coleta, os dados orgas ada ão se ecotram protos para a aálse, por ão estarem umercamete orgazados.por essa razão, costuma-se chama-los de dados brutos. Na tabela a segur estão relacoados os valores correspodetes ao cosumo dvdual de eerga elétrca em um grupo de 50 cosumdores. Tabela. Cosumo Mesal de Eerga Elétrca (KWH 8 6 80 57 8 6 36 96 44 9 90 86 38 94 8 75 48 4 3 8 66 95 58 64 05 8 73 83 8 50 9 60 5 89 58 0 90 94 74 9 75 7 57 5 76 88 78 84 36 Nota-se que as cras estão dspostas de orma desordeada. Em razão dsso, pouca ormação se cosegue obter specoado os dados aotados. Mesmo uma ormação smples como a de saber os cosumos mámo e mímo requer um eame mucoso dos dados da tabela.. Rol O rol é uma lsta em que os valores estão dspostos em uma determada ordem, crescete ou decrescete. Apesar de o rol propcar ao aalsta mas ormações e com meos esorço de cocetração do que os dados brutos, ada assm persste o problema de a aálse ter que se basear as 50 observações. O problema se agravará quado o úmero de dados or muto grade. 5
Tabela. Cosumo Mesal de Eerga Elétrca, 8 58 75 89 8 9 58 76 90 0 60 78 90 5 9 6 80 9 6 8 64 8 94 3 36 66 8 94 36 38 7 83 95 44 50 73 84 96 48 5 74 86 05 57 57 75 88 4 58.3 Tabelas de reqüêcas As tabelas de reqüêcas são represetações as quas os valores se apresetam em correspodêca com suas repetções, evtado-se assm que eles apareçam mas de uma vez a tabela, como ocorre com o rol. Através de uma tabela de reqüêca obtemos estatístcas com meos cálculos e em meos tempo do que se esse trabalho osse realzado a partr de dados brutos. Podemos ter tabelas de reqüêca de dados tabulados ão-agrupados em classes ou de dados agrupados em classes..3. Dstrbução de reqüêca de dados tabulados ão-agrupados em classes Esse tpo de apresetação é utlzada para represetar uma varável dscreta (que só assume valores potuas ou descotíua. A tabela abao represeta o úmero de aparelhos deetuosos rejetados pela seção ecarregada do cotrole de qualdade de uma determada empresa. Tabela.3. Número Mesal de Aparelhos Deetuosos Números de Aparelho com deeto ( Número de Meses ( 0 3 4 3 5 4 7 5 8 6 9 7 4 8 3 9 0 48.3. Dstrbução de reqüêca de dados tabulados agrupados em classes Nesse tpo de apresetação os valores observados ão mas aparecerão dvdualmete, mas agrupados em classes. Quado a varável objeto do estudo or cotíua, será sempre coveete agrupar os valores observados em classes. Se, por outro lado, a varável or dscreta e o úmero de valores 6
represetatvos dessa varável or muto grade, recomeda-se o agrupameto dos dados em classes, evtado com sso grade etesão da tabela, aparecmeto de dversos valores com reqüêca ula e mpossbldade de vsualzação do eômeo como um todo. A tabela abao represeta um teste de estatístca cotedo 00 pergutas do tpo certo-errado uma turma de 500 estudates. Tabela.3. Resultado do Teste de Estatístca.4 Elemetos de Dstrbução de reqüêca Classes otas Freqüêcas ( 0 I 0 5 0 I 0 5 0 I 30 0 30 I 40 45 40 I 50 00 50 I 60 30 60 I 70 00 70 I 80 60 80 I 90 5 90 I 00 0 7 0 500 Para costrurmos uma tabela de reqüêcas, é ecessáro cohecermos algus termos própros e de uso reqüete, bem como o procedmeto técco mas adequado. I Freqüêca Smples Absoluta: a reqüêca smples absoluta de uma classe ou de um valor dvdual é úmero de observações correspodetes a essa classe ou a esse valor. Símbolo:. II Ampltude Total: a ampltude total ou tervalo total é a dereça etre o maor e o meor valor observado da varável em estudo. Símbolo: A. t III Classe: é cada um dos grupos de valores em que se subdvde a ampltude total do cojuto de valores observados da varável. Uma determada classe pode ser detcada por seus etremos ou pela ordem em que ela se ecotra a tabela. O úmero de classes em uma dstrbução de reqüêcas, é represetado por. Regra de Sturges para determação do úmero de classes: Essa regra estabelece que o úmero de classes é gual a: 3,3 log0, ode úmero de classes e º total de observações. IV Lmte Superor e Lmte Ieror: os lmtes de classes são valores etremos. A tercera classe da tabela.3. tem como lmte eror 0 e lmte superor 30. VI Ampltude do Itervalo de Classe(h: é o comprmeto da classe, sedo geralmete deda como a dereça etre os lmtes superor e eror ou: At h VII Poto Médo da Classe ( : poto médo ou valor médo de classe é o poto eqüdstate dos lmtes de classe. Para obter o poto médo de uma classe, basta acrescetar ao seu lmte eror a metade da ampltude do tervalo de classe. Eemplo: Classe: 0 -- 0 Ampltude do tervalo: 0
Metade da ampltude: 5 Poto médo dessa classe será: 0 5 5.5 Tpos de reqüêcas Freqüêca Smples: Absoluta ( Relatva ( r ou r % Freqüêca Acumulada: Absoluta ( F Relatva ( Fr ou.5. Freqüêca Smples Absoluta ( Fr % É o úmero de repetções de um valor dvdual ou de uma classe de valores da varável..5. Freqüêca Smples Relatva ( r ou r % Represeta a proporção de observações de um valor dvdual ou de uma classe, em relação ao úmero total de observações. r Desejado epressar o resultado em termos percetuas: r % 00.5.3 Freqüêca Absoluta Acumulada ( F A reqüêca acumulada abao de uma classe ou de um valor dvdual é a soma da reqüêca smples absoluta dessa classe ou desse valor com as reqüêcas smples absolutas das classes ou dos valores aterores..5.4 Freqüêca Relatva Acumulada ( Fr ou Fr % Apresetaremos duas maeras de calcular: a acumulado as reqüêcas smples relatvas de acordo com a deção de reqüêcas acumuladas. b calculado as reqüêcas relatvas dretamete a partr das reqüêcas absolutas, de acordo com a deção de reqüêcas relatvas. F Fr CAPÍTULO III GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 3. Itrodução O gráco estatístco é uma orma de apresetação dos dados estatístcos, tedo por objetvo prcpal, produzr ao letor ou vestgador, uma mpressão mas rápda do eômeo em estudo. Os grácos comucam as mesmas déas das tabelas, porém produzem uma mpressão e compreesão mas rápda, 8
mas vva, pos elmam os detalhes desecessáros, vsualzado somete as característcas mas mportates dos dados. Abragem três característcas: smplcdade, clareza e veracdade. Os mesmos descrevem o comportameto geral acltado a terpretação dos resultados de maera que haja clareza para a tomada de decsões. Os grácos devem sempre ser claros e objetvos, chamado a ateção para a ormação. 3. Prcpas Grácos Gráco de Coluas: esse gráco é ormado por retâgulos dspostos vertcalmete de mesma largura, arbtrára, e altura proporcoal às gradezas dos eômeos. Os retâgulos são separados por espaços da metade até /3 da largura da colua. Recomedado para quado o ome das categoras ão or eteso. Eemplo Matrículas a Escola Bom Estudo. Cuabá. 00-005 Aos Matrículas 00 40 003 60 004 740 005 80 Fote: Secretara da Escola Bom Estudo Matrículas a Escola X. Blumeau. 99-995. Matrículas 900 800 700 600 500 400 300 00 00 0 80 740 60 40 99 993 994 995 Aos Fote: Secretara da Escola Bom Estudo Gráco de Barras: esse gráco segue as mesmas ormas do gráco de coluas, porém os retâgulos ocupam posção horzotal. Idcado para séres geográcas ou especícas com omes etesos, depedetes do total. Eemplo Eportação Sul Braslera de Algus Produtos Produtos Toeladas Algodão 40000 Cera de Caraúba 050 Mamoa 4400 Matega de Cacau 4800 Fote: Porto de Eportação 9
Eportação Sul Braslera de Algus Produtos. 950. Matega de Cacau 4,8 Produtos Mamoa 4,4 Cera de Caraúba,05 Algodão 40 0 5 0 5 0 5 30 35 40 Toeladas Fote: Porto de Eportação (000 Gráco de Lha: esse gráco é utlzado prcpalmete para séres temporas, o eo colocam-se as épocas e o eo as gradezas udo-as com lhas tracejadas, os potos as são lgados com segmetos. Obedece-se a ordem croológca, depede do total. Adequado para represetar varáves quattatvas em que se teha teresse em acompahar sua evolução. Não deve ser utlzado para represetar varáves qualtatvas. Eemplo Dstrbução dos Aluos Desstetes da Escola Bom Estudo. Cuabá. semestre 004. Meses Aluos Jaero 55 Feverero 6 Março 74 Abrl 44 Mao 56 Juho 67 Fote: Secretara da Escola Bom Estudo cm Dstrbução dos Aluos Desstetes da Escola A. Blumeau. semestre 994. Aluos 80 70 60 50 40 30 0 0 0 6 55 56 67 74 44 jaero everero março abrl mao juho Meses Fote: Secretara da Escola Bom Estudo Gráco de Setores (pzza: esse gráco compara a parte com o todo, depede do total. Cada dado (quatdade represeta um setor do círculo, os âgulos são arredodados. Recomeda-se ão screver o círculo, utlzar legeda. Rao do círculo é arbtráro. Geralmete o rao do círculo é de cco cetímetros. 0
Adequado para represetar varáves qualtatvas com poucas categoras (poucas atas. A costrução do gráco de setores é bem smples. Requer duas trasormações a colua das quatdades. º Trasormar cada valor da sére em graus. Isto pode ser cosegudo através de uma regra de três smples. Total 360º Cada valor º Trasormar cada valor da sére em porcetagem. Isto pode ser cosegudo através de outra regra de três smples. Eemplo Total 00% Cada valor Dstrbução do Grupo Sagüíeo. Posto de Saúde. Cuabá. 006. Grupo Sagüíeo Número de Pessoas A 46 B 3 AB 7 O 4 Total 9 Fote: Secretara do Posto Dstrbução do Grupo Sagüíeo. Posto de Saúde. Cetro. Blumeau 00. 54% 0% 4% A B AB O % Fote: Secretara do Posto Hstograma: esse gráco represeta todos os elemetos da sére. É uma área ormada por coluas justapostas de maera cotíua, a qual cada classe é uma colua. No eo vão as classes de reqüêca e o eo a reqüêca. Eemplo Dstrbução de Potos obtdos Pelos Aluos Dscpla de Matemátca a Prova Fal. Escola Bom Estudo. 008. (potos (aluos 30 l 40 8 40 l 50 5 50 l 60 7 60 l 70 70 l 80 8 80 l 90 7 90 l 00 3 Total 00 Fote: Secretara da Escola Bom Estudo
Dstrbução de Potos obtdos Pelos Aluos da Dscpla de Matemátca a Prova Fal. Escola Bom Estudo. 008. 8 8 Número de Aluos 4 0 6 8 8 5 7 7 4 3 0 30 40 50 60 70 80 90 00 Potos Fote: Secretara da Escola Bom Estudo Polígoo de reqüêca: esse é um gráco que represeta um elemeto de cada classe. É a represetação gráca sob orma polgoal, a qual o eo vão os potos cetras ou médos de cada classe (clusve o ateror e o posteror e o eo vão as reqüêcas de classe. Eemplo Dstrbução de Potos obtdos Pelos Aluos da Dscpla de Matemátca a Prova Fal. Escola Bom Estudo. 008. (potos (aluos 30 l 40 8 40 l 50 5 50 l 60 7 60 l 70 70 l 80 8 80 l 90 7 90 l 00 3 Total 00 Fote: Secretara da Escola Bom Estudo Dstrbução de Potos obtdos Pelos Aluos da Dscpla de Matemátca a Prova Fal. Escola Bom Estudo. 008. Número de Aluos 30 7 4 8 5 9 6 3 0 5 35 45 55 65 75 85 95 05 Potos
Fote: Secretara da Escola Bom Estudo Comparado os dos grácos acma podemos observar que o cotoro que as duas reqüêcas produzem é o mesmo, pos os eemplos apresetam a mesma sére. De ato, sto sempre acotece quado costruímos os dos grácos de uma mesma sére. No etato, há dereças etre os dos grácos. O polígoo de reqüêca procura mostrar apeas o comportameto das reqüêcas da sére. O hstograma, além das reqüêcas procura comparar as reqüêcas etre s bem como as reqüêcas com o total das reqüêcas. 4. Itrodução CAPÍTULO IV Meddas de Posção ou de Tedêca Cetral Nos capítulos aterores vmos que através das dstrbuções de reqüêcas o possível descrever, de modo geral, os grupos de valores que uma varável pode assumr. Dessa orma, podemos localzar a maor cocetração de valores de uma dada dstrbução, sto é, se ela se localza o íco, o meo ou o al, ou ada, se há uma dstrbução por gual. Porém, para ressaltar as tedêcas característcas de cada dstrbução, soladamete, ou em coroto com outras, ecesstamos troduzr cocetos que se epressem através de úmeros, que os permtam traduzr essas tedêcas. Esses cocetos são deomados elemetos típcos da dstrbução e são as: I meddas de posção; III meddas de assmetra; II meddas de varabldade ou dspersão; IV meddas de curtose. Estudaremos esse capítulo, as meddas de posção, que são estatístcas que represetam uma sére de dados, oretado-os quato à posção da dstrbução em relação ao eo horzotal. De um modo geral, qualquer cojuto de dados estatístcos - agrupados ou ão - depededo do estudo a que se propõe, ocupam uma posção especíca detro de uma dstrbução. As meddas de posção mas mportates são as meddas de tedêca cetral, que recebem tal deomação pelo ato de os dados observados tederem, em geral, a se agrupar em toro dos valores cetras. As prcpas meddas de tedêca cetral são: I Méda (artmétca, geométrca, harmôca, quadrátca II Moda II Medaa IV Separatrzes 4. Meddas de Posção I- Méda Artmétca A méda artmétca de um cojuto de úmeros pode ser de dos tpos: smples ou poderada. Méda Artmétca Smples ( A méda artmétca smples de um cojuto de úmeros é gual ao quocete etre a soma dos valores do cojuto e o úmero total de valores. ode: 3
- méda artmétca smples; - valores da varável; - úmero de observações. A méda artmétca smples será calculada sempre que os valores verem represetados dvdualmete. Méda Artmétca Poderada ( p A méda artmétca é cosderada poderada quado os valores do cojuto tverem pesos deretes. No caso da méda artmétca smples, todos os valores possuem o mesmo peso. A méda artmétca poderada é o quocete etre o produto dos valores da varável pelos respectvos pesos e a soma dos pesos. p p p Em que: p - méda artmétca poderada; - valores da varável; p - pesos dos valores da varável (º de vezes que cada valor ocorre; p - úmero de observações; - úmero de classes ou de valores dvduas deretes da varável. Os pesos dos valores da varável correspodem ao úmero de vezes que cada valor ocorre. Méda Artmétca Poderada (Dados Agrupados em Classes O valor de passa a ser o poto médo do tervalo. Propredades da Méda p ª a soma algébrca dos aastametos (ou desvos, ou resíduos de um cojuto de úmeros tomados em relação à méda artmétca é zero. Smbolcamete: d ( 0 ou d p ( p 0 ª se multplcarmos ou dvdrmos todas as ormações por uma costate, a méda artmétca também cará multplcada ou dvdda por essa costate. 3ª somado-se ou subtrado-se uma costate a todos os valores de um cojuto de ormações, a méda artmétca cará somada ou subtraída dessa costate. 4ª a soma dos quadrados dos desvos tomados em relação à méda artmétca é um mímo. 4
Uso da Méda: é a mas utlzada dos valores médos, pela smplcdade e rapdez de seu cálculo. a quado se deseja obter um valor médo estável e sgcatvo que clu o seu cálculo todos os valores; b é usada a determação de ídces de grade mportâca estatístca; c quado se deseja maor precsão a determação de uma medda, realza-se váras duções e toma-se como resultado a méda artmétca. II- Méda Geométrca Smles( G ou M G A méda geométrca de valores é deda, geercamete, como a raz -ésma do produto de todos eles. Dados valores,,...,, a méda geométrca desses valores será:... ou g Π g ode: Π -Produtóro Méda Geométrca Poderada A méda geométrca poderada de um cojuto de úmeros dspostos em uma tabela de reqüêcas é calculada por termédo da segute epressão: g... ou g Π ode: Uso da Méda Geométrca a quado um dos valores é ulo ão se aplca a méda geométrca; b para o cálculo do ídce do custo de vda; c crescmeto demográco. III- Méda Harmôca ( h A méda harmôca de um cojuto de valores é o verso da méda artmétca dos versos dos valores. h... ou h Méda Harmôca Poderada ( h A méda harmôca poderada de um cojuto de úmeros, dspostos em uma tabela de reqüêcas, é dada pela segute epressão: ode: h 5
- úmero de observações; - valores da varável; p - pesos dos valores da varável. Uso da Méda Harmôca a muto utlzada em atores de ordem ísca (aceleração, velocdade b custo médo de artgos comprados com uma quata a IV-Méda Quadrátca ( q A méda quadrátca de um cojuto de valores é a raz quadrada da méda artmétca dos quadrados. ode: q - valores da varável; - úmero de observações. Méda Quadrátca Poderada Quado os valores da varável estverem dspostos em uma tabela de reqüêcas, a méda quadrátca será determada pela segute epressão: q ode: - valores da varável; p - pesos dos valores da varável; - úmero de observações. V-Moda (Mo A moda é outra medda de tedêca cetral, deda como o valor mas requete, quado comparado sua reqüêca com a dos valores cotíguos de um cojuto ordeado. Cosderado um cojuto ordeado de valores, a moda será o valor predomate, o valor mas requete desse cojuto. Esse cojuto de valores pode ser: - amodal: ão apreseta uma moda, sto é, todos os valores da varável em estudo ocorreram com a mesma tesdade (reqüêca. - plurmodal: quado houver mas de um valor predomate. E.: Calcular a moda dos segutes cojutos de valores: 6
A {4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8} Mo 6 B {4, 4, 5, 5, 6, 6} Amodal, pos seus três valores apareceram vezes cada um. C {,,,, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6} Mo e Mo 5, cojuto bmodal, pos tato o valor como o valor 5 apresetaram o maor úmero de ocorrêcas. D {,, 3, 4, 5} Amodal Moda para Dados Agrupados Os valores da varável dspostos em uma tabela de reqüêcas podem apresetar-se dvdualmete ou agrupados em classes. No prmero caso, a determação da moda é medata, bastado, para sso, cosultar a tabela, localzado o valor que apreseta a maor reqüêca. Esse valor será a moda do cojuto. Assm, a moda do cojuto apresetado a tabela abao é Mo 3, dcado que a rejeção de 3 peças deetuosas por mês o o resultado mas observado. E.: Número de Peças de Precsão Deetuosas devolvdas mesalmete pelo Cotrole de Qualdade N de Peças com Deeto N de meses 0 3 4 5 6 Tratado-se de uma tabela de reqüêcas com valores tabulados e agrupados em classes, o procedmeto ão é medato, sedo dspoíves algus métodos de cálculo dsttos. Qualquer que seja o método adotado, o prmero passo para determar a moda é localzar a classe que apreseta a maor reqüêca, comumete chamada de classe modal. Um dos métodos para o cálculo da Moda é o Método de Czuber. Método de Czuber O método de Czuber, para o cálculo da moda elaborada, leva em cosderação ão apeas as reqüêcas das classes adjacetes, mas também a reqüêca da classe modal. O poto que correspode à moda dvde o tervalo da classe modal em duas partes, as quas são proporcoas às dereças etre a reqüêca da classe modal e as das respectvas classes adjacetes. Assm: 7 4 6 8 4 7 ode: Mo at Mo L h Mo ( at post 7
L - lmte eror da classe modal; h - ampltude do tervalo de classe; Mo - reqüêca smples da classe modal; at - reqüêca smples da classe ateror à classe modal; post - reqüêca smples da classe posteror à classe modal. VI- Medaa (Md Medaa é um valor cetral de um rol, ou seja, a medaa de um cojuto de valores ordeados (crescete ou decrescete é a medda que dvde este cojuto em duas partes guas, cujo valor está suceddo de 50% e ateceddo de 50% desse cojuto de observações. A medaa também é cosderada uma medda separatrz, pos dvde a dstrbução (a sére ou cojuto de dados em partes guas. É uma medda muto utlzada a aálse de dados estatístcos, especalmete quado se atrbu pouca mportâca aos valores etremos da varável. A medaa é um valor que ocupa uma determada ordem ou posção a sére ordeada. Estado ordeados os valores de uma sére e sedo o úmero de elemetos da sére, o valor medao será: Se or ímpar: a medaa será o termo de ordem: Em que: P elemeto medao (Posção; úmero de elemetos do cojuto. P Se or par: a medaa será a méda artmétca dos termos de ordem / e / : P P Me P P Eemplos Para a sére {4, 5, 6, 8, 0, 4, 5, 6, 9} 9 A medaa será o termo de ordem Assm, M d 0 9 P 5 Para a sére {3, 5, 7, 0,, 4, 9, 0} 8 A medaa será o termo de ordem: 8 8 0 P 4 P 5 Me M d Obs.: a medaa depede da posção e ão dos valores dos elemetos a sére ordeada. Essa é uma das dereças marcates etre a medaa e a méda (que se dea luecar, e muto, pelos valores etremos. Medaa para Dados Agrupados em Classes Para o caso de uma dstrbução, a ordem, a partr de qualquer um dos etremos, é dada por: 8 F
passo: determa-se as reqüêcas acumuladas; passo: calcula-se a posção da medaa; 3 passo: marca-se a classe correspodete à reqüêca acumulada medatamete superor a Posção calculada e, em seguda, emprega-se a órmula: M d L F md at h Em que: L é o lmte eror da classe que cotém a medaa; F at reqüêca acumulada até a classe ateror à classe medaa; md reqüêca smples da classe medaa; h ampltude do tervalo da classe medaa. Uso da Medaa: a é usada em eômeos educacoas quado se quer torar objetva a avalação de uma classe; b quado se quer eatamete o valor que dvde a metade da dstrbução; c quado a dstrbução tem resultados dscrepates e param dúvdas sobre sua valdade e correção. CAPÍTULO V Meddas de Dspersão 5. INTRODUÇÃO Feômeos cuja aálse tervém o método estatístco, bem como os dados estatístcos a eles reeretes, caracterzam-se tato pela semelhaça quato pela sua varabldade. Dessa orma ão há razão alguma se calcular a méda de um cojuto de dados em que ão haja varação desses elemetos, e por outro lado, se a varabldade dos dados or muto grade, sua méda terá um grau de coabldade tão pequea que será útl calculá-la. Assm o estudo das médas, medaas e modas são váldos, mas ão são sucetes para estudos comparatvos ou coclusões qualtatvas. As meddas de dspersão ou varabldade servem etão para vercar a represetatvdade das meddas de posção. Cosderemos os segutes cojutos de valores: A{70; 70; 70; 70; 70}, B{ 68; 69; 70; 7; 7} e C{5; 5; 50; 0; 60}. Em todos eles a méda artmétca é: 70, porém ota-se claramete que o cojuto A é mas homogêeo que os cojutos B e C, e que o cojuto B é mas homogêeo que o cojuto C, já que há meor dverscação etre cada um de seus valores e a méda represetatva. 5. Meddas de Dspersão Absoluta Ampltude Total ( A t : é a dereça etre os valores etremos de um cojuto. Desvo Médo ( D m : é gual a méda artmétca dos valores absolutos dos desvos tomados em relação a uma das segutes meddas de tedêca cetral: méda ou medaa. Para dados ão agrupados tem-se: Para dados agrupados em classes: D m 9
0 m D em que é o poto médo do tervalo de classe. Varâca ( S e Desvo Padrão ( S O desvo padrão é a medda de dspersão mas usada, tedo em comum como desvo médo o ato de que os desvos são calculados em relação à méda artmétca. Só que, o cálculo do desvo padrão, em lugar de serem usados os valores absolutos dos desvos, calcula-se o quadrado desses. Para dados ão agrupados tem-se: Fórmula Normal Fórmula Desevolvda ( S (POPULAÇÃO S (POPULAÇÃO ( S (AMOSTRA S (AMOSTRA Para dados agrupados em classes tem-se: Fórmula Normal Fórmula Desevolvda ( S (POPULAÇÃO S (POPULAÇÃO ( S (AMOSTRA S (AMOSTRA Coecete de Varação de Pearso Bblograa CRESPO, A.A. Estatístca Fácl. Edtora Sarava, São Paulo, SP, 00. TOLEDO, G. L. e OVALLE, I. I.. Estatístca Básca. Edtora Atlas. São Paulo, SP, ª edção, 99. SPIEGEL, M. R. Estatístca. Edtora Maro Boos. São Paulo, 3ª Edção, 009.