Métodos de Resposta em Freqüência 1. Sistemas de fase mínima 2. Exemplo de traçado do diagrama de Bode 3. Medidas da resposta em freqüência 4. Especificações de desempenho no domínio da freqüência pag.1 Controle de Sistemas Lineares Aula 13
Sistemas de Fase Mínima Fase não-mínima? Um sistema pode ter zeros no semi-plano direito e pode ser também instável. FT com zeros no semi-plano direito são classificadas como de fase não-mínima. Se os zeros de uma FT são todos refletidos para o semi-plano oposto (de forma simétrica em relação ao eixo imaginário), não haverá mudança de módulo da FT original mas apenas de fase Quando se compara a variação de fase de dois sistemas, observa-se que a variação de fase de um sistema com todos os zeros no semi-plano esquerdo é sempre menor (com ω variando de zero a ). Portanto, a FT com todos os seus zeros no semi-plano esquerdo é dita de fase mínima A FT G 2 (s), com G 2 (s) = G 1 (s) e com todos os zeros de G 1 (s) refletidos de forma simétrica com o eixo imaginário no semi-plano direito, é chamada de FT de fase não-mínima pag.2 Controle de Sistemas Lineares Aula 13
Sistemas de Fase Mínima Uma FT é dita de fase mínima se todos os seus zeros estão no semi-plano esquerdo do plano-s. Ela é chamada de FT de fase não-mínima se algum zero estiver no semi-plano direito Nota Segundo alguns autores, sistema de fase não-mínima não é caracterizado apenas por zeros no semi-plano direito, mas também por pólos instáveis... pag.3 Controle de Sistemas Lineares Aula 13
Sistemas de Fase Mínima Exemplo Considere dois sistemas cujas FT são G 1 (jω) = 1 + jωt 1 + jωt 1, G 2 (jω) = 1 + jωt 1 + jωt 1, 0 < T 1 < T As duas FT têm a mesma magnitude, porém características de fase diferentes Particularmente, selecionando T = 2 e T 1 = 0.1, obtém-se para G 1 e G 2 a mesma curva de magnitude e duas curvas para a fase, como ilustrado a seguir pag.4 Controle de Sistemas Lineares Aula 13
Sistemas de Fase Mínima 30 Bode Diagram 25 Magnitude (db) 20 15 10 5 1800 135 G 2 Phase (deg) 90 45 G 1 0 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequency (rad/sec) pag.5 Controle de Sistemas Lineares Aula 13
Sistemas de Fase Não-Mínima Exemplo Retardo no tempo - ou atraso de transporte - caracterizado por e st, é um exemplo de sistema de fase não-mínima. Veja que uma simples expansão de ordem n usando pade gera n zeros no semi plano-direito... A magnitude é sempre igual a 1, pois G(jω) = cos ωt jsen ωt = 1 Portanto, a magnitude é igual a 0dB. O ângulo de fase do retardo é G(jω) = ωt pag.6 Controle de Sistemas Lineares Aula 13
Sistemas de Fase Não-Mínima Exemplo Como obter o diagrama de Bode para a FT de 1a. ordem (que representa uma vasta gama de processos reais) G(jω) = e jωl 1 + jωτ A magnitude é 20 log G(jω) = 20 log e jωl +20 log }{{} 0 1 1 + jωτ O ângulo de fase é G(jω) = e } jωl {{} tan 1 ωτ ωl Portanto basta combinar o efeito do retardo, ie, um decréscimo em fase... pag.7 Controle de Sistemas Lineares Aula 13
Sistemas de Fase Não-Mínima Pode-se usar o MATLAB c para avaliar o efeito da resposta em freqüência de um sistema de 1a. ordem com retardo no tempo. h=tf(1,[2 1]) g=tf(1,[2 1], iodelay,2) bode(h), hold on, bode(g) % h = 1/(2s + 1) - sem retardo % g = exp(-2s) * h - "h" com retardo Note que para freqüências específicas, considerando L = 2s, obtém-se o atraso em fase de ωl: freqüência (rad/s) Atraso na Fase (( ωl 180 o /π)) 1 114 o 2 229 o 10 1145 o pag.8 Controle de Sistemas Lineares Aula 13
Sistemas de Fase Não-Mínima DIAGRAMA DE BODE 0 5 g h Magnitude (db) 10 15 20 25 30 0 360 Fase (deg) 720 1080 1440 10 1 10 0 10 1 Frequencia (rad/sec) pag.9 Controle de Sistemas Lineares Aula 13
Exemplo de Traçado do Diagrama de Bode O diagrama de Bode de uma FT, G(s), composta de vários pólos e zeros é obtido adicionando-se a curva de cada pólo e zero individualmente Considera a FT G(jω) = 5(1 + j0.1ω) [ jω(1 + j0.5ω) 1 + j0.6 ( ) ( ) ] 2 ω 50 + jω 50 Ganho constante K = 5 (20 log 5 = 14dB) Um pólo na origem, um pólo em ω = 2rad/s, um par de pólos complexos em ω = ω n = 50rad/s Um zero em ω = 10rad/s pag.10 Controle de Sistemas Lineares Aula 13
MASTER 105 20 14 10 0 10 1 2 4 3 5 20 0.1 0.2 1 2 10 50 100 Figure 8.19 Magnitude asymptotes of poles and zeros used in the example 20 log G, db Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved.
MASTER 106 db 20 10 0 10 20 30 40 50 20 db/dec 40 db/dec Exact curve Approximate curve 20 db/dec 60 db/dec 0.1 1 10 100 Figure 8.20 Magnitude characteristic Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved.
90 Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved. 60 Zero at 10 30 0 30 Pole at 2 Complex poles 60 90 120 Pole at origin 150 180 Approximate ( ) 210 240 270 0.1 0.2 1.0 2.0 10 60 100 Figure 8.21 Phase characteristic MASTER 107
Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved. db and phase Max. mag 33.96906 db Max. phase 92.35844 deg The gain is 2500 0 db 180 deg Min. mag 112.0231 db Min. phase 268.7353 deg Mag: Phase: 0.1 1 10 100 1000 Frequency, rad/s MASTER 108 Figure 8.22 The Bode plot of the G(j ) of Eq. (8.42)
Medidas da Resposta em Freqüência É possível obter FT a partir da resposta em freqüência de um sistema obtido experimentalmente? Basta usar o procedimento inverso ao do traçado do diagrama de Bode... Potencialidades? Como exemplo, considere o diagrama de Bode apresentado na página seguinte pag.15 Controle de Sistemas Lineares Aula 13
Medidas da Resposta em Freqüência pag.16 Controle de Sistemas Lineares Aula 13
Medidas da Resposta em Freqüência Informações Relevantes? Tudo que possa identificar a presença de zeros, pólos (reais ou complexos) e ganho no traçado... Veja que o ganho cai a uma taxa aproximada de 20dB/década quando ω varia de 100 a 1000rad/s e que, quando a fase chega a 45 0 (em ω = 300rad/s), o ganho tem queda de 3dB, o que pode concluir que o sistema tem um pólo em 300rad/s Como o sistema apresenta uma mudança brusca de fase (de aproximadamente 180 0 ) passando por 0 0 quando ω = 2450rad/s (freqüência em que a variação de amplitude muda aproximadamente de -20dB para +20dB), pode-se concluir que o sistema possui um par de zeros complexos com ω n = 2450rad/s pag.17 Controle de Sistemas Lineares Aula 13
Medidas da Resposta em Freqüência A diferença entre a amplitude das assíntotas e do valor mínimo medido na freqüência de canto (ω n = 2450) que é de 10dB indica que M pω = 3.16 = 1 2ζ 1 ζ 2 e obtém-se o fator de amortecimento igual a ζ = 0.16 Note ainda que a amplitude retorna a 0dB quando ω excede 50000rad/s, o que pode-se concluir que há um pólo no ponto em que a amplitude atinge novamente 3dB e fase de +45 0, ou ω = 20000rad/s FT? T(s) = ( s 2450 ) ( ) 2 + 2(0.16) s + 1 2450 ( s 300 + 1) ( s 20000 + 1) pag.18 Controle de Sistemas Lineares Aula 13
Especificações de Desempenho no Domínio da Freqüência Como relacionar as especificações de desempenho no domínio do tempo com as em freqüência? Ou como especificar a resposta em freqüência a partir das características transitórias (temporais) especificadas? Foi mostrado que para um sistema de 2a. ordem genérico, o máximo da resposta em freqüência, M pω, ocorre na freqüência de ressonância, ω r A faixa de passagem, ω B, por outro lado, corresponde à freqüência em que a resposta reduziu-se em 3dB em relação ao seu valor em baixas freqüências (e que está relacionada à velocidade de resposta do sistema) A faixa de passagem, ω B, está relacionada, aproximadamente, à freqüência natural do sistema, como ilustrado na figura a seguir, para um sistema de 2a. ordem pag.19 Controle de Sistemas Lineares Aula 13
MASTER 109 R(s) 2 n s(s 2 n ) Y(s) Figure 8.24 A second-order closed-loop system 20 log M p 20 log T, db 0 3 0 r B Figure 8.25 Magnitude characteristic of the second-order system B n 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.7 Linear approximation B 1.19 1.85 n 0.6 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Figure 8.26 Normalized band-width, B / n, versus for a second-order system (Eq. 8.46) Copyright 1998 by Addison Wesley Longman. All rights reserved.
Especificações de Desempenho no Domínio da Freqüência Como a resposta do sistema de 2a. ordem a um degrau unitário é y(t) = 1 + Be ζω nt cos(ω n + θ) quanto maior o valor de ω n, com ζ constante, mais rapidamente a resposta se aproximará do valor estacionário. Portanto, as especificações no domínio da freqüência são: 1. Ganho na ressonância relativamente pequeno: eg, M pω < 1, o que gera um fator de amortecimento harmônico de ζ = 0.707 2. Faixa de passagem grande de forma que a constante de tempo do sistema, τ = 1/ζω n, seja suficientemente pequena São relações válidas se a resposta do sistema em estudo for dominada por um par de pólos complexos... pag.21 Controle de Sistemas Lineares Aula 13