PROVA DE MATEMÁTICA a FASE DEZ/04 Questão 1 a)o faturameto de uma empresa esse ao foi 10% superior ao do ao aterior; obteha o faturameto do ao aterior sabedo-se que o desse ao foi de R$1 40 000,00 b)um comerciate compra calças a um custo de R$6,00 a uidade. Ele pretede veder cada uidade com um gaho líquido (gaho meos os impostos) igual a 0% do preço de veda. Sabedo-se que, por ocasião da veda, ele tem que pagar um imposto igual a 18% do preço de veda, qual deve ser esse preço? a)seja x o faturameto do ao aterior. Devemos ter: x + 1, x = 140 000 Portato,, x = 1 40 000 x = 650 000 b)seja p o preço de veda. Devemos ter: p = 50 Resposta: a)r$650 000,00 p 6 0, 18p = 0, p. Portato, 0, 5 p = 6 b)r$50,00
Questão Chama-se custo médio de produção ao custo total dividido pela quatidade produzida. a)uma fábrica de camisetas tem um custo total mesal dado por C = F +8 x, em que x é a quatidade produzida e F o custo fixo mesal. O custo médio de fabricação de 500 uidades é R$1,00. Se o preço de veda for R$15,00 por camiseta, qual o lucro mesal de se fabricar e veder 600 uidades? b)esboce o gráfico do custo médio de produção de x uidades, em fução de x, se a fução custo total for C = 000+ 10 x. a)de acordo com o euciado, temos: F + 8.( 500) 1 = F = 000. 500 Assim, o lucro a veda da produção de 600 uidades é: [ ] L = 15.( 600) 000 + 8.( 600) = 00. b)o custo médio C me é dado por: x C = 000 + 10 000 = + 10 me x x O gráfico do custo médio em fução de x é dado abaixo: Cme 10 x Resposta: a)r$ 00,00 b)gráfico.
Questão a)obteha a área de um triâgulo equilátero em fução da medida h da altura. b)cosidere um poto P situado o iterior da região triagular determiada por um triâgulo equilátero com lado de medida m.sejam h, h, e h as distâcias de P a cada 1 um dos lados. Mostre que h + h + h é costate para qualquer posição de P, e 1 determie essa costate em fução de m. a)num triâgulo equilátero de lado l, a altura h é dada por h = Cosequetemete, l h =. Portato, a área do triâgulo vale: l. h h A l h.. h h = = = =. b)seja ABC um triâgulo equilátero de lado com medida m e P um poto iterior qualquer, como idicado a figura abaixo: A P B C A soma das áreas dos triâgulos PAB, PBC e PAC é igual a área do triâgulo ABC. Assim: m. h m. h m. h 1 + + = m. m. Portato,
h + h + h = m.. 1 Etão, a soma h + h + h é costate e vale m. 1. Resposta: a) h b)demostração.
Questão 4 a)um capital C foi aplicado a juros simples durate 10 meses gerado um motate de R$10 000,00; esse motate, por sua vez, foi também aplicado a juros simples durate 15 meses à mesma taxa da aplicação aterior, gerado um motate de R$1 750,00. Qual o valor de C? b)um capital C é aplicado a juros compostos à taxa de % ao mês. Três meses depois, um outro capital igual a C é aplicado também a juros compostos, porém à taxa de % ao mês. Durate quatos tempo o 1 o capital deve ficar aplicado para dar um motate igual ao do o capital? Você pode deixar idicado o resultado. a)o juro da a aplicação é R$ 750,00. Chamado de i a taxa mesal, podemos escrever: 750 = 10 000. i. 15 i = 0, 05 =, 5% am. Cosiderado agora a 1 a aplicação, podemos escrever: C + C.( 0, 05). 10 = 10 000 15, C = 10000 C = 8 000. b)seja o prazo ( em meses) que o 1 o capital ficará aplicado. O prazo do o capital será ( ). Assim, C( 10, ) = C( 10, ) log( 1, 0) log( 1, 0) = log( 1, 0) = ( ) log( 1, 0) log( 1, 0) =.(log( 1, 0) log( 1, 0)) log( 1, 0) = log( 1, 0) log( 1, 0) log( 1, 0) Resposta: a)r$8 000,00 b) = log( 1, 0) log( 1, 0).
Questão 5 a)mostre que existem ifiitas triplas ordeadas ( x, y, z ) de úmeros que satisfazem a equação matricial: 1 1 0 x. + y. 0 + z. 10 = 0 1 1 7 0 b)resolva o sistema liear abaixo, as icógitas x e y, usado o coceito de matriz iversa: x + y = a 5x + y = b Use o fato de que a iversa da matriz A = 1 5 é A 1 1 = 5. a)a equação matricial dada é equivalete ao sistema liear: x + y z = 0 x 10z = 0 x + y + 7z = 0 Tal sistema é homogêeo e portato admite a solução trivial (0,0,0). Por outro lado, o determiate da matriz dos coeficietes: 1 1 0 10 1 1 7 vale 0. Logo, o sistema é idetermiado e admite ifiitas soluções. b)o sistema dado pode ser escrito sob a seguite forma matricial: 1 5 x = a y b ou seja A x a. y = b Multiplicado ambos os membros pela matriz A 1, obteremos: A A x a x a A I y = b y = 1.. 1.. 1. 5 b Portato,
x a b y = 5a + b x = a b y = 5a + b x = a b Resposta: a)demostração b) y = 5a + b Questão 6 a)num triâgulo isósceles ABC, em que AB = AC,o âgulo A ^ mede o dobro da soma dos outros dois. O lado BC mede 10cm. Obteha o perímetro desse triâgulo. b)cosiderado que se x + cos x = k, calcule em fução de k, o valor da expressão se x + cos x. a) A B H C Chamado de x a medida do âgulo B, a do âgulo C também será x. Como o âgulo A mede o dobro da soma dos outros dois, temos que a medida de A é 4x. Portato: x + x + 4x = 180 x = 0 0 0. Sedo AH a altura relativa ao lado BC, e pelo fato do triâgulo ser isósceles, cocluímos que BH = 5, e a medida do âgulo B A H Assim, o triâgulo ABH, teremos: ^ é x = 60 0. 5 5 5 10 cos B = cos0 = AB = = AB AB 0.
O perímetro do triâgulo ABC vale: 10 10 AB + AC + BC = + + = + 10 0 10 b)temos: se x + cos x = (se x + cos x)(se x se x.cos x + cos x) (I) Por outro lado: se x + cos x = 1 (se x + cos x) = se x + se x.cos x + cos x k = 1 + se x.cos x se x.cos x = k 1 Levado esses resultados em (I), obtemos: k 1 k se x + cos x = k. 1 k. = Resposta: a) 0 k + 10 b) k.
Questão 7 a)um grupo de 40 pessoas plaeja espalhar um boato da seguite forma: Cada uma das 40 pessoas telefoa para 0 pessoas iformado o boato. Cada uma das 0 acima referidas é solicitada a telefoar para 0 pessoas, iformado o boato. Qual o úmero máximo de pessoas que ficam sabedo do boato? b)um dado é laçado vezes. Para que valores de a probabilidade de que o úmero apareça ao meos uma vez é maior que 0,95?(o resultado pode ser deixado idicado) a) Na 1 a etapa, 40 pessoas sabem do boato. Na a etapa, mais (40).(0)=1 00 pessoas ficam sabedo do boato Na a etapa, mais (1 00).(0)=4 000 pessoas ficam sabedo do boato. Assim, o total de pessoas que ficam sabedo do boato é: 40 + 1 00 + 4 000 = 5 40. b)a probabilidade de que em laçametos, o úmero apareça ao meos uma vez é igual a 1 meos a probabilidade de o ão apareça os laçametos. Portato: 5 1 ( ) > 0, 95 6 5 ( ) < 0, 05 6 5.log( ) < log( 0, 05) 6 > log( 0, 05 ) 5 log( ) 6 Observemos essa última passagem que houve mudaça o sial da desigualdade 5 5 porque log( ) < 0, pois é meor que 1. 6 6 Resposta :a) 5 40 b) > log( 0, 05 ) 5 log( ) 6
Questão 8 a)cosidere úmeros reais ão ulos x 1, x, x,..., x. Em que codição a variâcia desses úmeros é ula. Justifique. b)dados três úmeros reais x x e x, qual o valor de m que miimiza a expressão 1 ( x m) i = 1 i? a)temos: dados. ( x x) + ( x x) +... ( x x) 1 = 0 em que x é a média dos valores Como o 1 o membro dessa relação é uma soma de quadrados de úmeros reais, ela só será igual a zero quado todas as parcelas forem ulas; esta evetualidade sucede quado x = 1 = x x x... x x isto é, quado x 1 = x =... x. Esta última relação garate que xi x = x, x = x,..., x = x, pois x = = x 1 1, e cosequetemete, x = x =... x = x. 1 b)a somatória dada vale: ( x m) + ( x m) + ( x m) = m m( x + x + x ) + x + x + x 1 1 1 Como são dados os valores de x, x e x a expressão acima é uma fução quadrática de 1 m. O valor de m que miimiza a f ução é a abscissa do vértice da parábola ( com cocavidade voltada para cima ) que é o gráfico da fução. Portato: b m = = a x + x + x x + x + x =.( ) 1 1. Resposta: a)demostração b)m x + = x + x 1.
Questão 9 No plao cartesiao, cosidere o feixe de paralelas x + y = c em que c R. a)qual a reta do feixe com maior coeficiete liear que itercepta a região determiada pelas iequações: x + y 10 x 0 y 0 b)quais as retas do feixe que tageciam a circuferêcia de equação x + y = 1? a)as iequações dadas determiam a região triagular da figura abaixo. A reta do feixe com maior coeficiete liear é a que passa pelo poto (10,0). 10 10 Assim, impodo que a reta x + y = c passe pelo poto (10,0), teremos:.( 10) + 0 = c c = 0. Portato, a reta procurada tem equação x + y = 0. b)o cetro da circuferêcia é C(0,0) e o raio vale 1. Para que a reta do feixe tagecie a circuferêcia é ecessário que a distâcia do cetro à reta seja igual ao raio; isto é:
.( 0) + ( 0) + c + 1 = 1 e portato, c = 5, ou seja, c = 5 ou c = 5. Assim, as retas procuradas são: x + y = 5 e x + y = 5. Resposta: a) x + y = 0 b) x + y = 5 e x + y = 5.
Questão 10 Dado o poliômio P( x) = x 4 + x 6x 4 x + k : a)resolva a equação P( x) = 0, para k = 8. b)determie o valor de k de modo que as raízes estejam em progressão aritmética de razão igual a. a)a equação pode ser escrita sob a forma: 4 x + x x 4x 4x + 8 = 0 e portato x ( x + x ) 4( x + x ) = 0 Logo: ou ( x + x )( x 4) = 0 x + x = 0 ( raízes 1 e ) x 4 = 0 ( raízes e ) Em resumo, o cojuto solução é S = {, 1, }. b)idiquemos as raízes em PA de razão por: r, r +, r + 6, r + 9. O valor de r deve satisfazer as relações de Girard dadas abaixo: r + r + + r + 6 + r + 9 = 1 ( I) r( r + ) + r( r + 6) + r( r + 9) + ( r + )( r + 6) + ( r + )( r + 9) + ( r + 6)( r + 9) = 6 ( II) ( r + )( r + 6)( r + 9) + r( r + 6)( r + 9) + r( r + )( r + 9) + r( r + )( r + 6) = 4 ( III) r( r + )( r + 6)( r + 9) = k ( IV ) De (I), obtemos r = 19 4. Substituido em (IV), obtemos k = 11 05 56 Porém ao substituirmos o valor de r em (II), o 1 o membro dá 54 6. 16
Assim, o sistema acima é impossível e portato ão existe k de modo que as raízes estejam em PA de razão. Resposta: a) S = { 1 } dada.,, b)não existe valor de k satisfazedo a codição