CONTEÚDO. XXIX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 2 Problemas e Soluções da Primeira Fase

CONTEÚDO XXIX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e Soluções da Primeira Fase XXIX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 5 Problemas e Soluções da Seguda Fase XXIX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 5 Problemas e Soluções da Terceira Fase XXIX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 57 Problemas e Soluções da Primeira Fase Nível Uiversitário XXIX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 6 Problemas e Soluções da Seguda Fase Nível Uiversitário XXIX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 7 Premiados AGENDA OLÍMPICA 77 COORDENADORES REGIONAIS 78

XXIX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e soluções da Primeira Fase PROBLEMAS NÍVEL 0) Observe as multiplicações a seguir: 0 = 0 = 0 = 0 = Qual é a soma dos algarismos do úmero obtido quado multiplicamos 0 pelo úmero? 007 algarismos A) 00 B) 007 C) 009 D) 4008 E) 404 0) Quatos úmeros iteiros positivos de três algarismos têm a soma de seus algarismos igual a 4? Observação: lembre-se de que zeros à esquerda ão devem ser cotados como algarismos; por exemplo, o úmero 0 tem dois algarismos. A) 4 B) 6 C) 7 D) 0 E) 0) Jutado dois retâgulos iguais lado a lado, sem sobreposição, podemos formar dois tipos de figura: um quadrado de área igual a 44 cm ou um retâgulo de largura diferete do comprimeto. Qual é o perímetro deste último retâgulo, em cm? A) B) 4 C) 48 D) 60 E) 7 04) A figura ao lado é formada por dois quadrados de área 00 cm cada um, parcialmete sobrepostos, de modo que o perímetro da figura (liha mais grossa) é igual 50 cm. Qual é a área da região comum aos dois quadrados, em cm? A) 0 B) 5 C) 0 D) 40 E) 50 EUREKA! N 8, 008

05) A soma de todos os úmeros positivos ímpares até 007 meos a soma de todos os úmeros positivos pares até 007 é igual a: A) 00 B) 004 C) 005 D) 006 E) 007 06) Sílvia pesou que seu relógio estava atrasado 0 mi e o acertou, mas a verdade o relógio estava adiatado 5 mi. Cristia pesou que seu relógio estava adiatado 0 mi e o acertou, mas a verdade o relógio estava atrasado 5 mi. Logo depois, as duas se ecotraram, quado o relógio de Sílvia marcava 0 horas. Neste mometo, que horas o relógio de Cristia idicava? A) 9h 0mi B) 9h 50mi C) 0h D) 0h 5mi E) 0h 5mi 07) A fração a, ode a e b são iteiros b positivos, represeta um úmero etre 0 e, a posição idicada o deseho ao lado. Qual é um possível valor para a soma a+ b? A) B) C) D) 4 E) 5 0 a b 08) Em uma prova de olimpíada, 5% dos estudates ão resolveram ehum problema, 5% resolveram pelo meos um problema, mas cometeram algum erro, e os restates, 56 estudates, resolveram todos os problemas corretamete. O úmero de estudates que participaram da olimpíada foi: A) 00 B) 60 C) 9 D) E) 00 09) Em uma certa cidade, a razão etre o úmero de homes e mulheres é : e etre o úmero de mulheres e criaças é 8 :. A razão etre o úmero de adultos e criaças é: A) 5 : B) 6 : C) : D) 40 : E) : 0) Na figura, o lado AB do triâgulo eqüilátero ABC é paralelo ao lado DG do quadrado DEFG. Qual é o valor do âgulo x? A) 80 o B) 90 o C) 00 o D) 0 o E) 0 o D A x G F B C E EUREKA! N 8, 008

) Uma loja de CD`s realizará uma liquidação e, para isso, o gerete pediu para Aderlaie multiplicar todos os preços dos CD`s por 0,68. Nessa liquidação, a loja está oferecedo um descoto de: A) 68% B) 6,8% C) 0,68% D),% E) % ) Esmeralda e Pérola estão uma fila. Faltam 7 pessoas para serem atedidas ates de Pérola e há 6 pessoas depois de Esmeralda. Duas outras pessoas estão etre Esmeralda e Pérola. Dos úmeros abaixo, qual pode ser o úmero de pessoas a fila? A) 9 B) C) D) 4 E) 5 ) Preechemos as casas vazias da tabela ao lado com o produto dos úmeros que estão sombreados a mesma liha e a mesma colua da casa vazia a ser preechida. Quatas dessas casas coterão úmeros primos? A) 6 B) 7 C) D) 4 E) 6 x 5 7 5 7 4) O coteúdo de uma garrafa de refrigerates eche três copos grades iguais e mais meio copo pequeo ou 5 desses copos pequeos iguais mais a metade de um daqueles grades. Qual é a razão etre o volume de um copo pequeo e o de um grade? A) 5 B) 7 C) 7 0 D) 5 9 E) 5 5) Um código de barras é formado por barras verticais pretas de três larguras diferetes. Duas barras pretas sempre são separadas por uma barra braca, também com três larguras diferetes. O código começa e termia com uma barra preta, como o exemplo ao lado. Cosidere um código S, formado por uma barra preta fia, duas médias e uma grossa, separadas por barras bracas fias. Quatos códigos S diferetes podem ser assim formados? A) 4 B) 6 C) D) 4 E) 6 EUREKA! N 8, 008 4

6) No quadriculado ao lado, cada quadradiho tem cm. Os segmetos icliados ligam potos médios dos lados dos quadradihos ou um vértice ao cetro de um quadradiho. Qual é a área ocupada pela sigla OBM, em cm? A) 8 B) C) D) 4 E) 5 7) Lia e Laa bricam da seguite maeira: a primeira a jogar pesa em um úmero de 0 a 99 e diz apeas a soma dos algarismos do úmero; a seguda tem etão que adivihar esse úmero. Qual é o maior úmero de tetativas erradas que a seguda pessoa pode fazer? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 8) Aita imagiou que levaria miutos para termiar a sua viagem, equato dirigia à velocidade costate de 80 km/h, uma certa rodovia. Para sua surpresa, levou 5 miutos. Com qual velocidade costate essa previsão teria se realizado? A) 90 km/h B) 95 km/h C) 00 km/h D) 0 km/h E) 0 km/h 9) O gráfico ao lado mostra o percetual de acertos uma prova de 60 testes de seis cadidatos fialistas de um cocurso. Qual foi o úmero médio de questões erradas por esses cadidatos essa prova? A) 4 B) 4 C) 0 D) E) 40 70% 60% 50% 40% 0% 0% 0% A B C D E F 006 007 0) Ao efetuar a soma + + + + + obtemos um úmero iteiro. Qual é o algarismo das uidades desse úmero? A) B) C) 5 D) 7 E) 9 EUREKA! N 8, 008 5

PROBLEMAS NÍVEL 0) Veja o problema No. do Nível. 0) Veja o problema No. 7 do Nível. 0) Veja o problema No. 0 do Nível. 04) Em uma certa cidade, a razão etre o úmero de homes e mulheres é : e etre o úmero de mulheres e criaças é 8 :. A razão etre o úmero de adultos e criaças é: A) 5 : B) 6 : C) : D) 40 : E) : 05) Veja o problema No. 8 do Nível. 06) Se N é o quadrado do quadrado de um úmero iteiro e tem como fator, o meor valor para N é: A) B) C) 6 D) 54 E) 08 07) O jardim da casa de Maria é formado por cico quadrados de igual área e tem a forma da figura abaixo. Se AB = 0 m, etão a área do jardim em metros quadrados é: A B A) 00 B) 0 5 C) 00 D) 500 E) 00 EUREKA! N 8, 008 6

08) Sejam abc,, e k úmeros reais diferetes de zero satisfazedo as relações a b c k = = =. Qual é o úmero de possíveis valores que k pode b+ c c+ a a+ b assumir? A) 0 B) C) D) E) 4 09) Doze potos estão sobre um círculo. Quatos polígoos covexos podemos formar com vértices esses potos? A) 407 B) 0 C) 4095 D) 66 E) 57 0) De quatas maeiras diferetes podemos escrever o úmero 007 como soma de dois ou mais úmeros iteiros positivos e cosecutivos? A) B) C) D) 4 E) 5 ) As equações do o grau 007x + 008x+ = 0 e x + 008x+ 007= 0 têm uma raiz comum. Qual é o valor do produto das duas raízes que ão são comus? A) 0 B) C) 007 D) 008 E) 007 ) Qual é o máximo valor que o úmero ab ( + c) ba ( + c) pode assumir se ab, e c, são iteiros satisfazedo a 0, b 0 e c 0? A) 80 B) 8 C) 84 D) 90 E) 00 ) A quatidade de iteiros x com três dígitos tais que 6x e 7x possuem a mesma quatidade de dígitos é: A) 767 B) 875 C) 876 D) 974 E) 975 4) A figura abaixo é formada por três quadrados de lado e um retâgulo que os cotora. A área do retâgulo é: A) B) 4 C) 6 D) 6 E) 8 EUREKA! N 8, 008 7

5) Se x é real positivo e + (x + x)(x + 5x + 6) = 8, etão o valor de x(x + ) é: A) 80 B) 50 C) 0 D) 8 E) 75 6) A figura abaixo mostra um retâgulo, um petágoo, um triâgulo e um círculo, com áreas respectivamete, 8, 49 e 5 cetímetros quadrados. A difereça etre a área preta e a área ciza, em cetímetros quadrados, é: A) 5 B) 6 C) 49 D) 64 E) 8 7) As seguradoras de automóveis A e B cobram um valor aual (prêmio) mais um valor que o usuário deve pagar em caso de acidete (fraquia). Jea quer fazer um seguro para seu automóvel e recebeu as seguites propostas das seguradoras: Seguradora A: Prêmio aual de R$ 500,00 e fraquia de R$ 400,00 Seguradora B: Prêmio aual de R$ 700,00 e fraquia de R$ 700,00 Para valer a pea Jea cotratar a Seguradora A, ele ão deve se acidetar com o carro por pelo meos N aos. O valor de N é: A) B) C) 4 D) 5 E) 6 8) O deseho abaixo mostra um dado comum cujas somas das potuações em faces opostas é sempre igual a 7. Ele é colocado em uma mesa horizotal com a face voltada para Leste. O dado é, etão, movido quatro vezes. Norte Leste EUREKA! N 8, 008 8

Um movimeto cosiste em uma rotação de 90 em relação a uma aresta. Depois do primeiro movimeto a face em cotato com a mesa passa a ser a, depois a, etão a e, fialmete, a face 5. Para que setido está voltada a face após esta seqüêcia de movimetos? A) Oeste B) Leste C) Norte D) Sul E) Cima 9) Uma aveida possui 00 prédios umerados de a 00, ode prédios com umeração par se situam do lado direito da rua e prédios com umeração ímpar se situam o lado esquerdo. A quatidade de adares de cada prédio é igual à soma dos algarismos do úmero correspodete ao prédio. Assim, podemos afirmar que: A) A quatidade de prédios com mais de 0 adares é maior do lado direito da rua. B) A quatidade de prédios com meos de 5 adares é maior do lado direito da rua. C) Pelo meos metade dos prédios possui 0 ou mais adares. D) Em ambos os lados da rua há a mesma quatidade de prédios com exatos 8 adares. E) Pelo meos 5% dos prédios possui meos de 5 adares. 0) Qual o meor perímetro iteiro possível de um triâgulo que possui um dos 5 lados com medida igual a? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) ) Determie em qual dos horários abaixo o âgulo determiado pelos poteiros de um relógio é o meor. A) 0h0 B) 06h0 C) 05h40 D) 08h50 E) 09h55 ) O máximo divisor comum etre os úmeros,, 44, 4554,..., 8998 é: A) B) C) 7 D) E) 0 ) Uma mesa de bilhar tem dimesões de metros por 6 metros e tem caçapas os seus quatro catos P, Q, R e S. Quado uma bola bate a borda da mesa, sua trajetória forma um âgulo igual ao que a trajetória aterior formava. EUREKA! N 8, 008 9

R Q S Uma bola, iicialmete a metro da caçapa P, é batida do lado SP em direção ao lado PQ, como mostra a figura. A quatos metros de P a bola acerta o lado PQ se a bola cai a caçapa S após duas batidas a borda da mesa? 6 A) B) C) D) E) 7 4 5 P 4) Cosidere todos os úmeros abc de três algarismos ode b = a + c e a 0. A difereça etre o maior e o meor destes úmeros é um úmero: A) Múltiplo de B) Primo C) Com último algarismo igual a 7 D) Cuja soma dos algarismos é 0 E) Múltiplo de 7 5) Seja {a } uma seqüêcia a qual cada termo é defiido como o dobro da soma dos algarismos do termo aterior, mais uma uidade. Por exemplo, se a = 4, etão a + = ( + + 4) +. Se, a = o valor de a + a + a + a 4 + a 5 é igual a: A) 44 B) 54 C) 64 D) 77 E) 84 PROBLEMAS NÍVEL 0) A figura mostra dois quadrados sobrepostos. Qual é o valor de x + y, em graus? x A) 70 B) 00 C) 0 D) 60 E) 90 y EUREKA! N 8, 008 0

0) Um úmero de quatro dígitos é dito peroba se possui pelo meos dois dígitos vizihos com a mesma paridade. Quatos úmeros perobas existem? A) 8999 B) 8874 C) 7875 D) 8000 E) 7750 0) Veja o problema No. 5 do Nível. 04) Veja o problema No. 8 do Nível. 05) Os úmeros 7, 8, 4, 0, 5, 45, 6, 5 são agrupados em duplas de modo que o produto de cada dupla é o mesmo. Qual úmero fica com o 0? A) 6 B) 45 C) 4 D) 5 E) 7 06) Titas pretas opacas absorvem 97% da luz, refletido o restate. Cietistas desevolveram uma ova cobertura superpreta que é dez vezes mais preta que titas pretas opacas, queredo dizer que ela reflete /0 da luz refletida pelas titas pretas opacas. Que porcetagem de luz a ova cobertura absorve? A) 9,7 B) 90, C) 99,7 D) 99,9 E) 970 07) Cosidere a seguite seqüêcia: 7 =, 07 =, 007 =, 0007 =,... Qual dos seguites iteiros é um múltiplo de 8? A) 00.007 B) 0.000.007 C).000.000.007 D) 00.000.000.007 E) 0.000.000.000.007 08) Qual dos iteiros positivos abaixo satisfaz a seguite equação: 4 4 4 4 5 6 6 5 4 + + + + + + = 09? 4 4 4 4 4 4 A) 007 B) 09 C) 55 D) 5 E) 5 09) O deseho abaixo mostra um semicírculo e um triâgulo isósceles de mesma área. Qual é o valor de tg x? x o EUREKA! N 8, 008

A) B) C) π D) π E) π 0) Um episódio muito cohecido a Matemática foi quado ao visitar o grade matemático Ramaujam o hospital, o outro grade matemático Hardy disse que o úmero do táxi que o trouxe, 79, era um úmero sem graça; Ramaujam respodeu protamete: Não diga isso, Hardy! 79 é o meor úmero iteiro positivo que pode ser escrito como soma de dois cubos perfeitos positivos de duas maeiras diferetes! De fato, 79 = 0 + 9 = +. Um outro episódio ão muito cohecido a Matemática foi quado o pequeo matemático Muralijam foi visitado pelo outro pequeo matemático Softy, que disse que o úmero do lotação que o trouxe era um úmero sem graça. Muralijam respode imediatamete: Não, Softy, ele é o meor iteiro positivo que pode ser escrito como soma de dois quadrados perfeitos positivos de duas maeiras diferetes! A que úmero Muralijam e Softy se referem? A) 8 B) 4 C) 45 D) 50 E) 65 ) Dizemos que uma palavra Q é quase-aagrama de outra palavra P quado Q pode ser obtida retirado-se uma letra de P e trocado a ordem das letras restates, resultado em uma palavra com uma letra a meos do que P. Um quase-aagrama pode ter setido em algum idioma ou ão. Por exemplo, RARO, RACR e ARCO são quase-aagramas de CARRO. Quatos são os quase-aagramas da palavra BACANA que começam com A? A) 48 B) 60 C) 7 D) 96 E) 0 ) As cidades Aópolis, Beópolis e Ceópolis são ligadas por estradas retas. Sabese a estrada que liga Aópolis e Beópolis é perpedicular à estrada que liga Aópolis e Ceópolis. Rubes mora em Beópolis e tem um compromisso em Ceópolis. Todavia, a estrada que liga Beópolis a Ceópolis está iterditada, de modo que Rubes é obrigado a fazer o trajeto Beópolis-Aópolis-Ceópolis. Para chegar ao compromisso a hora certa, Rubes trafega com uma velocidade 4% maior do que trafegaria se utilizasse a estrada iterditada. Se α é o meor âgulo do triâgulo determiado pelas três estradas, etão A) 0 < tgα < B) < tgα < 6 6 5 C) 5 < tgα < 4 D) 4 < tgα < E) < tgα < EUREKA! N 8, 008

) Todo úmero real a pode ser escrito de forma úica como a a + { a} que a é iteiro e 0 { a } <. Chamamos a parte iteira de a e { } fracioária de a. Se x + y + { z} = 4,, y + z + { x} =, 6 e + x + { y} = z? A) B) 0,5 C) 0 D) 0,5 E) =, em a parte z, quato vale x y + 4) Dizemos que um atural X é um repuit quado os seus algarismos são todos iguais a, ou seja, quado X é da forma. Sejam p, q e r iteiros, p > 0, tais que px + qx + r é um repuit sempre que X é um repuit. Qual dos valores a seguir é um possível valor de q? A) B) C) 0 D) E) 5) O cojuto dos valores de c para os quais a equação x = x + c possui solução real está cotido em: A) [ ; [ B) ] ;] C) [ ;] D) [ ;] E) Z 6) No triâgulo ABC, AD é a altura relativa ao lado BC. Se AB = DC =, assiale a alterativa que correspode à área máxima do triâgulo ABC. A) 8 B) C) D) E) 7) O úmero de pares (x, y) de iteiros positivos que satisfazem a equação 8 4 x + y = 4x y, com y 007, é igual a: A) 40 B) 4 C) 4 D) 4 E) 44 8) Sejam a, b e c úmeros tais que a ab = b bc = c ac = O valor de abc (a + b + c) é igual a: A) 0 B) C) D) E) 9) Veja o problema No. 9 do Nível. 0) Veja o problema No. 0 do Nível. ) Veja o problema No. do Nível. EUREKA! N 8, 008

) O máximo divisor comum etre os úmeros,, 44, 4554,..., 8998 é: A) B) C) 7 D) E) 0 ) Veja o problema No. do Nível. 4) Veja o problema No. 4 do Nível. 5) Veja o problema No. 5 do Nível. GABARITO NÍVEL (5ª. e 6ª. Séries) ) E 6) A ) E 6) D ) D 7) E ) B 7) B ) D 8) B ) C 8) C 4) E 9) D 4) D 9) D 5) B 0) E 5) C 0) E NÍVEL (7ª. e 8ª. Séries) ) E 6) E ) B 6) D ) E ) E 7) C ) D 7) B ) D ) E 8) C ) C 8) A ) B 4) D 9) A 4) C 9) B 4) Aulada 5) B 0) E 5) A 0) B 5) Aulada NÍVEL (Esio Médio) ) A 6) C ) B 6) A ) E ) C 7) E ) D 7) E ) D ) A 8) E ) B 8) D ) B 4) A 9) E 4) E 9) B 4) Aulada 5) A 0) D 5) A 0) B 5) D EUREKA! N 8, 008 4

XXIX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e Soluções da Seguda Fase PROBLEMAS Nível PARTE A (Cada problema vale 5 potos) 0. O úmero N = 0000000... cotém somete os algarismos 0 e, de modo que o úmero de algarismos 0 etre dois algarismos é um ou dois, alteradamete. O úmero N tem exatamete 0 algarismos. Qual é a soma de todos os algarismos do úmero N? 0. Uma folha de papel tem 0 cm de comprimeto por 5 cm de largura. Dobramos essa folha ao meio, paralelamete à sua largura. Em seguida, dobramos a folha retagular dupla, de modo que dois vértices opostos coicidam. Ao desdobrar a folha, as marcas da seguda dobra dividem a folha em duas partes, coforme mostrado a figura ao lado. Qual é a área da parte escura, em cm? 0. Observe as igualdades a seguir: + + = 4 + + + + = 9 + + + 4+ + + = 6 + + + + 006+ 007+ 006+ + + = A Qual é o valor de A? 04. Uma folha retagular de cartolia foi cortada ao logo de sua diagoal. Num dos pedaços restates, a forma de um triâgulo retâgulo, foram feitos dois cortes, paralelos aos lados meores, pelos meios desses lados. Ao fial sobrou um retâgulo de perímetro 9 cm. O deseho abaixo idica a seqüêcia de cortes. EUREKA! N 8, 008 5

Em cetímetros, qual era o perímetro da folha ates do corte? 05. Um reservatório cúbico iteramete tem metros de lado e cotém água até a sua metade. Foram colocados o reservatório 5 blocos retagulares de madeira, que ão absorvem água, de dimesões 0 0 60 cetímetros. Sabedo que 80% do volume de cada bloco permaece submerso a água, calcule, em cetímetros, a altura atigida pela água, o reservatório. 06. A adição ao lado está icorreta. Etretato, se substituirmos somete um certo algarismo a, toda vez que ele aparece, por um certo algarismo b, a b cota fica correta. Qual é o valor de a? PARTE B (Cada problema vale 0 potos) PROBLEMA A área do quadrado ABCD é 00 cm. Na figura, M é poto médio de CD e o poto F pertece à reta BC. a) Qual é a área do triâgulo ABF? b) Qual é a área do triâgulo ADF? M PROBLEMA Esmeralda comprou seis discos de ferro para usar um aparelho de giástica. Esses discos têm massas,,, 4, 5 e 6 quilogramas, respectivamete. Esmeralda pode combiá-los e obter outras massas, como por exemplo: disco de kg + disco de 6 kg = 8 kg. Qual a maior quatidade de massas diferetes que ela pode obter? EUREKA! N 8, 008 6

PROBLEMA Observe como o quadriculado ao lado é preechido. a) Qual é a soma dos elemetos da diagoal 9? b) Qual é o resto da divisão por 00 da soma dos elemetos da diagoal 007? PROBLEMAS Nível PARTE A (Cada problema vale 4 potos) 0. Ludmilso descobriu que o produto da idade que tiha há 55 aos atrás pela idade que terá daqui a 55 aos é igual ao cubo de um úmero primo. Qual é a idade atual de Ludmilso? f (0 ) f (0 ) 0. Sedo f(x) = 00x +, calcule o valor de f ( ). 8 0 0 0. Na figura abaixo temos um petágoo regular, um quadrado e um triâgulo eqüilátero, todos com a mesma medida de lado. 8 Q C R P E B S T A Determie a medida, em graus, do âgulo QCE. D 04. Um iteiro positivo K tem algarismos e é igual a 608.. Determie a soma dos algarismos de K 05. Em 949 o matemático idiao D. R. Kaprekar, ivetou um processo cohecido como Operação de Kaprekar. Primeiramete escolha um úmero de EUREKA! N 8, 008 7

quatro dígitos (ão todos iguais), em seguida escreva a difereça etre o maior e o meor úmero que podem ser formados a partir de uma permutação dos dígitos do úmero iicial. Repetido o processo com cada úmero assim obtido, obtemos uma seqüêcia. Por exemplo, se o primeiro úmero for 007, o segudo será 700 007 = 77. O terceiro será 77 77 = 654. Começado com o úmero 998, qual será o 007-ésimo termo da seqüêcia? PROBLEMAS Nível PARTE B (Cada problema vale 0 potos) PROBLEMA O triâgulo ABC é retâgulo em B. Sejam I o cetro da circuferêcia iscrita em ABC e O o poto médio do lado AC. Se AOI = 45, quato mede, em graus, o âgulo ACB? PROBLEMA Sejam α e β as raízes da equação quadrática (x )(x ) + (x )(x + ) + (x + )(x ) = 0. Determie o valor de + +. ( α + )( β + ) ( α )( β ) ( α )( β ) PROBLEMA a) Determie a quatidade de divisores do úmero N = 5. b) Mostre que para todo úmero atural, 5 é múltiplo de 0. PROBLEMA 4 Um quadrado 4 4 é dividido em 6 quadrados uitários. Cada um dos 5 vértices desses quadrados deve ser colorido de vermelho ou azul. Ache o úmero de colorações diferetes tais que cada quadrado uitário possua exatamete dois vértices vermelhos. PROBLEMAS Nível PARTE A (Cada problema vale 4 potos) 0. Quatos divisores positivos do úmero 456 são meores que 007? EUREKA! N 8, 008 8

0. Cosidere o cojuto A dos pares ordeados (x;y) de reais ão egativos tais que x + y =. Se a probabilidade de um elemeto de A escolhido aleatoriamete estar a uma distâcia da origem meor ou igual a 5 é p, quato vale 5 5 p? 0. Qual é a soma dos algarismos do iteiro mais próximo de...? 04. Veja o problema da parte B do ível. 05. Veja o problema 4 da parte B do ível. 000 us PROBLEMAS Nível PARTE B (Cada problema vale 0 potos) PROBLEMA Ache todos os pares (x, y) de iteiros positivos tais que (x + y) + xy = x + y. PROBLEMA Ecotre todos os úmeros de seis algarismos da forma AAABBB, em que A e B são algarismos diferetes e ão ulos e + é um quadrado perfeito. PROBLEMA No quadrilátero covexo ABCD, A + B = 0, AD = BC = 5 e AB = 8. Exteramete ao lado CD, costruímos o triâgulo eqüilátero CDE. Calcule a área do triâgulo ABE. PROBLEMA 4 Em um certo país há cidades e o govero pretede costruir estradas (todas de mão dupla), sedo que cada estrada liga exatamete duas das cidades do país. Qual o meor valor de para que, idepedete de como as estradas sejam costruídas, seja possível viajar etre quaisquer duas cidades (passado, possivelmete, por cidades itermediárias)? EUREKA! N 8, 008 9

Soluções Nível Seguda Fase Parte A Problema 0 0 0 04 05 06 Resposta 4 50 8 58 48 64. [4] O úmero é formado por blocos iguais, de 5 algarismos a forma 000. Como o úmero tem 0 algarismos, cocluímos que é formado por 0 desses blocos iteiros mais o primeiro algarismo de um bloco, que é. A soma dos algarismos de cada bloco é + 0 + + 0 + 0 =, portato a soma dos algarismos de N é 0 + = 4.. [50] O deseho abaixo à esquerda mostra como fica a folha após a primeira dobra. À direita, mostra como fica a folha após as duas dobras. Observamos que CE = EA e que CF = FA. Por uma propriedade da dobra, sabemos que o segmeto FE é perpedicular ao segmeto AC e esses segmetos se cruzam em seus potos médios. Portato, os quatro triâgulos que compõem o quadrilátero AECF são cogruetes; são cogruetes também os triâgulos EBC e FDA. Portato, a dobra FE divide o retâgulo ABCD em dois trapézios, EBCF e AEFD, de mesma área. Desdobrado iteiramete a folha, obtemos duas metades iguais. Portato, a área do petágoo covexo BEFE B é igual à área do petágoo ão covexo AA E FE, ou seja, a área da parte escura é metade da área 5 0 da folha, portato igual a 50 cm =. EUREKA! N 8, 008 0

. [8] Pelo padrão observado, as somas são iguais ao quadrado da parcela cetral (aquela cujo úmero de parcelas à esquerda é igual ao úmero de parcelas à direita). Portato, A = 007 e, assim, A 007 007 = = = = 9 8 4. [58] O retâgulo que sobra após os cortes tem lados iguais às metades dos lados da cartolia origial, cujo perímetro, etão, é o dobro do perímetro desse retâgulo. Logo, o perímetro da cartolia ates do corte é 9 = 58 cm. 5. [48] O volume de cada bloco de madeira é 0, 0,,60= 0,096 m ; o volume de cada bloco que fica submerso o líquido é 0,80 0,096 m. O volume de líquido deslocado pelos 5 blocos é igual a 5 0,80 0,096 =,9 m. Como o reservatório é um cubo de m de lado, sua base é um quadrado de área 4 m. Podemos pesar o líquido deslocado como se fosse um bloco cuja base é igual à base do reservatório, de altura h e volume acima.,9 Portato 4h=,9 h= = 0,48 m= 48 cm. Como a altura iicial 4 do líquido era 00 cm, a ova altura será 48 cm.. EUREKA! N 8, 008

6. [64] À primeira ispeção, podemos admitir que os três algarismos à direita de todos os úmeros estão corretos, isto é, estão corretamete escritos os algarismos 0,,, 4, 5, 6 e 8. Portato, detre os algarismos, 7 e 9, um deles está escrito icorretamete. O 9 está escrito corretamete, pois se o mudarmos, a soma com ão estará certa. Logo ou ou 7 está errado. Se o 7 estiver errado, etão estará correto, mas isso ão é possível pois a soma de com 4 mais ão estaria certa. Logo, o é que deve ser substituído; olhado ovamete a soma de com 4 mais resultado vemos que o resultado só dará certo se o lugar de colocarmos 6. Fazedo a substituição, b 6 verificamos que o resto se ecaixa. Teremos, etão, a = = 64. Soluções Nível Seguda Fase Parte B. Temos mfmc ( ˆ ) = mamd ( ˆ ) (âgulos opostos pelo vértice), madm ( ˆ ) = mfcm ( ˆ )(pois ABCD é quadrado, logo esses âgulos são retos) e MC = MD (pois M é poto médio de CD). Logo, os triâgulos AMD e FMC são cogruetes. EUREKA! N 8, 008

a) Vemos que a área ABF = área FMC + área ABCM. Como área FMC = área AMD, temos: área ABF = área AMD + área ABCM = área do quadrado ABCD = 00 cm. b) área ADF= área AMD+ área DMF = = área FMC+ área DMF = área FCD Como AD = FC, CD é lado comum e os âgulos Cˆ e D ˆ são retos, cocluímos que os triâgulos FCD e ADC são cogruetes, área ABCD logo área FCD= área ADC =. Portato, a área do triâgulo 00 ADF é igual a 50 cm =.. Dadas as massas de a 6, podemos adicioar a 6, a 6, etc, até obter todos os pesos de 7 a ; podemos adicioar + 5 a 6, + 5 a 6, etc, até obter todos os pesos de a 5; podemos adicioar + 4 + 5 a 6, etc, obtedo os pesos de 6 a 8; somado + + 4 + 5 a 6 obtemos 9; + + 4 + 5 a 6 obtemos 0 e, fialmete, somado + + + 4 + 5 a 6 obtemos. Portato, a quatidade de massas diferetes que Esmeralda pode obter é.. Pode-se cocluir, examiado a tabela, que a soma dos elemetos da diagoal é igual a + ( )k, ode k é o algarismo das uidades do úmero. Por exemplo, a diagoal de úmero 4 a soma dos úmeros é EUREKA! N 8, 008

4 + ( 4 ) 4= 0, a diagoal de úmero 0 a soma dos úmeros é 0 + (0 ) 0= 0, etc. a) Na diagoal de úmero 9, a soma dos elemetos é 9 + ( 9 ) 9= 90. De outra forma, a diagoal 9 há 0 úmeros 9; portato a soma é 0 9 = 90. b) Na diagoal 007 a soma será 007 + 007 7= 404+ 404= 8056. ( ) O resto da divisão desse úmero por 00 é 56. Soluções Nível Seguda Fase Parte A Problema 0 0 0 04 05 Resposta 66 97 74 8 674 0. Seja x a idade de Ludmilso. Logo, ( x 55)( x+ 55) = p, ode p é primo. Temos etão, duas possibilidades: i) x 55= x + 55 = p Nesse caso teríamos x = 56 e p =, absurdo, pois ão é primo. ii) x 55 = p x + 55 = p Com isso, 0 = p p = p( p ) =.0. E assim teremos p = e x = 66. Logo, a idade de Ludmilso é 66 aos. 0. (00.0-8 + 00.0 ) / (0 8 0 ) 00.( ) = 00(0 8 0 ) / (0 8 0 ) + 97 = 00 + 97 = 97. 0. Note que os triâgulos PTA, ABD, BCE, e PQC são todos isósceles. Como STP = 08, PTA = PAT = 7. Assim, temos que TPA = 6 e BAD = BDA = 8. Além disso, ABD = 44 e CBE = 66. Como QPC = 6, temos que QCP = 7 e ECB = 57. Logo, QCE = 74. EUREKA! N 8, 008 4

04. Tete,,... e perceba que, somete com = 5, K terá 5 algarismos. Assim, K = 608. 5 = 040. Com isso, a soma dos algarismos de K é 8. 05. A partir do sétimo termo, todos serão iguais a 674. Soluções Nível Seguda Fase Parte B SOLUÇÃO DO PROBLEMA : Como ABC é um triâgulo retâgulo, etão AO = BO = CO. Se o ABI = AOI = 45 e BAI = OAI, etão? ABI =? AOI (ALA). Com isso, AB = AO = BO, e portato, triâgulo ABO é eqüilátero. Assim, o ACB = 0. SOLUÇÃO DO PROBLEMA : É fácil ver que ( x )( x ) + ( x )( x+ ) + ( x+ )( x ) = ( x α)( x β). Fazedo x =, e, esta igualdade, temos que, 4 ( α + )( β + ) = 4, ( α )( β ) =, ( α )( β ) =. Com isso, + + = + = 0. ( α + )( β + ) ( α )( β ) ( α )( β ) 4 4 SOLUÇÃO DO PROBLEMA : a) 4 N = ( ) = ( + )( ) = ( + )(+ )( ) = EUREKA! N 8, 008 5

5 50 4 = 5 5 O úmero de divisores (positivos) de N é 6 = 9. 5 b) N = = ( + )( + )( ). Necessariamete, ou + é par. Logo, divide N. Do mesmo modo, um dos úmeros, ou + é múltiplo de. Logo também divide N. Fialmete, se ehum dos úmeros, ou + é múltiplo de 5, etão é da forma 5k + ou 5k +. No primeiro caso, temos + = 5k + 0k+ 5 e, o segudo, + = 5k + 5k+ 0, ambos múltiplos de 5. Portato, um dos úmeros,, + ou + é múltiplo de 5. Assim N é, simultaeamete, múltiplo dos úmeros primos etre si, e 5, o que prova que N é múltiplo de 0. SOLUÇÃO DO PROBLEMA 4: Vamos começar colorido a primeira liha de vértices. Cada coloração dessa liha é uma seqüêcia de letras A e V, por exemplo, A V V A V. Observe que, uma vez colorida a primeira liha, se aparecerem duas letras cosecutivas iguais, o restate dos vértices do tabuleiro já estão determiados. De fato, ao aparecer dois V s cosecutivos, os dois vértices imediatamete abaixo deles deverão ser coloridos com dois A s, os que estão mais abaixo deverão ter dois V s, e assim por diate. Isto completa a coloração dessas duas coluas. Dessa forma, cada colua viziha também estará determiada, pois em cada retâgulo teremos três vértices previamete coloridos, o que obriga o quarto vértice a ter sua cor determiada. Etão, para cada seqüêcia de A s e V s a primeira liha que cotém pelo meos duas letras iguais cosecutivas, há exatamete uma maeira de colorir o tabuleiro. Como há 5 = 0 de tais seqüêcias, cotamos 0 colorações possíveis. A V V A V A A V V A A V V Falta-os aalisar um segudo caso, em que ão há duas letras cosecutivas iguais a primeira liha. Há duas possibilidades de seqüêcias: começado com A ou começado com V. EUREKA! N 8, 008 6

A V A V A V Para cada uma dessas seqüêcias, há duas maeiras de escolhermos a primeira letra da seguda liha. Uma vez escolhida esta letra, a seguda liha iteira também estará determiada. Para a primeira letra da terceira liha também há possibilidades. Com este raciocíio, cada vez que escolhemos a primeira letra de uma liha, determiamos a coloração desta liha. Logo, como há duas maeiras de escolhermos a primeira letra de cada liha, há 5 = maeiras de colorirmos o tabuleiro, este segudo caso. Logo, o total de colorações é igual a 0 + = 6. Observação: Veja que, o caso geral, para um quadrado, o raciocíio é aálogo. No primeiro caso, teremos + colorações; o segudo caso, mais +. Logo, teremos + = + colorações. Soluções Nível Seguda Fase Parte A Problema 0 0 0 04 05 Resposta 7 04 500 0 6 6 0. Seja a fatoração de 456 = 64 e seja d um de seus divisores meores do que 007. Podemos aalisar dois casos: - d ão é múltiplo de 64: etão d é um divisor de 6 = 9 < 007. Portato podemos cotar todos os divisores de 9, que são ( 6 + )( + ) = 4 divisores. - d é múltiplo de 64: 64 = 64, 64 = 86 e 64 = 99 são meores que 007, mas a partir de 4 64 = 57, eles são maiores que 007. Portato há divisores este caso. Portato o total de divisores d de 456 meores do que 007 é 4 + = 7. 0. Seja B o cojuto dos potos de A cuja distâcia à origem é meor do que 5 e seja P = ( x ; y) um poto de B. Sabe-se que P está sobre o segmeto EUREKA! N 8, 008 7

x + y = ; x, y 0 e que a distâcia 5. Portato: x + y = x y = x x + y de P à origem é meor ou igual a y = x 5 ( 5 ) x + 4 4x + x x 4x + 0 + y 4 ± 6 8 As raízes de 4 x 4x + = 0 são x 9 0 = = ±, que os dá os 9 4 6 potos extremos 4 4 P = ; + e 4 4 P = 6 6 + ; de B. Pela 6 6 iequação, temos que os potos de B estão a reta x + y =, delimitados pelos potos P e P, logo B é o segmeto de reta P P. Queremos a probabilidade p de escolher um poto do cojuto A estar cotido o segmeto P P, que é a razão etre P P e o comprimeto de A. Como A está delimitado pelos potos ( 0;) e ( ;0), seu comprimeto vale (0 ) + ( 0) = 9. O comprimeto de B vale 4 4 4 4 4 7 + + + = =, portato 6 6 6 6 7 4 p 5 5 5 5 4 4 = = e p = = 7 = 04. 6 6 000 oves 000 99 9 0 0. Iicialmete, temos = = 9 9. Portato 000 0 = 9. 000 us Com isso, observado que 0 000 9 = (0 500 )(0 9 500 + ) > 000 us (0 500 )(0 9 500 9 500 ) 0 = e EUREKA! N 8, 008 8

0 000 9 < 000 0 9 500 0 = 0, temos 500 500 0 < <. 000 us 0 500 0 500 + 0 500 Como é iteiro e seu cosecutivo,, é maior do que, o 500 oves 500 iteiro mais próximo de 0 99 9 é = =, cuja soma dos 000 us 500 três dígitos é 500 = 500. 04. Veja a solução do problema da parte B do ível. 05. Veja a solução do problema 4 da parte B do ível. Soluções Nível Seguda Fase Parte B SOLUÇÃO DO PROBLEMA : Uma solução: Multiplicado a equação dada por, obtemos x + y xy 4x 4y = 0, ou aida, (x 4x + 4) + (y 4y + 4) + (x xy + y ) = 8. Daí, (x ) + (y ) + (x y) = 8. A úica maeira de escrevermos 8 como a soma de três quadrados é 8 = 0 + 4 + 4, em alguma ordem. Logo (x, y ) = (0, ), (, 0) ou (, ), de ode cocluímos que as soluções são (x, y) = (, 4), (4, ) ou (4, 4). Outra solução: Escrevedo a equação dada como uma equação do segudo grau em x, temos: x (y + )x + (y y) = 0. O discrimiate desta equação é = (y + ) 4(y y) = y + y + 4. 4 4 Resolvedo a iequação 0, aida obtemos y +. Como y é iteiro positivo, as úicas possibilidades são y =,, ou 4. Se y =, ficamos com =, que ão é quadrado perfeito. Logo, este caso ão tem solução. EUREKA! N 8, 008 9

4 ± 4 Se y =, obtemos = 6 e x = = 0 ou 4. Como x é iteiro positivo, a úica solução este caso é (x, y) = (4, ). Se y =, ficamos com =, absurdo! 6 ± Se y = 4, obtemos = 4. Neste caso, x = = ou 4. Logo, (x, y) = (, 4) ou (4, 4). Portato, o cojuto solução é {(, 4), (4, ), (4, 4)}. Mais uma solução: Observe que 8(x + y) = 4x 4xy + 4y = (x + y) + (x y) (x + y), de modo que 8(x + y) (x + y), ou seja, x + y 8. Além disso, ote que x xy + y = (x + y) é par, e portato ao meos uma das parcelas do primeiro membro é par (se todos forem ímpares, x xy + y é ímpar), o que implica que x ou y é par. Supoha, sem perda de geeralidade, que x é par. Etão y = (x + y) + xy x é par e, assim, y também é par. Logo, dos dois fatos acima, coclui-se que as úicas possibilidades para os pares (x, y) são (, ), (, 4), (, 6), (4, ), (4, 4) e (6, ). Substituido os pares, vemos que as úicas soluções são (, 4), (4, ) e (4, 4). SOLUÇÃO DO PROBLEMA : Seja k iteiro positivo tal que k = +. Primeiro, otemos que o algarismo das uidades dos quadrados perfeitos são 0,, 4, 5, 6 e 9, de modo que B é igual a 9,, 4, 5 ou 8. Porém, podemos elimiar algus casos: Se B = 9, pois esse caso k = AAABBB + termiaria com exatamete três zeros (ote que A ão pode ser igual a 9, pois é diferete de B); Se B =, k termiaria com 4, e seria par e ão múltiplo de 4, já que os dois últimos algarismos de todo múltiplo de 4 formam outro múltiplo de 4, um absurdo. Se B = 4, k termiaria com 45, e seria múltiplo de 5 mas ão de 5, já que os dois últimos algarismos de um múltiplo de 5 são 5, 50, 75 ou 00. Outro absurdo. EUREKA! N 8, 008 0

Sobram somete os casos B = 5 e B = 8. Sociedade Brasileira de Matemática Observe que = k = (k )(k + ) = AAABBB = (000A + B) é múltiplo de = 7 e, portato, os primos e 7 dividem k + ou k, de modo que k é da forma x ± ou x ± 8. Além disso, 556 k < 000000 00 < k < 000, de modo que x 9. k = x ± : Temos AAABBB = k = x ± x 000A + B = x ± x. O dígito das uidades de 000A + B é B. Note que x ± x = (55x ± x) + x tem a mesma paridade que x. Assim, se B = 5, x é ímpar, ou seja, é, 5, 7 ou 9. Se x =, 5, 7, 9, o algarismo das uidades de x + x é 5, 5,, 9, respectivamete, de modo que x = ou x = 5, para o qual 000A + B iguala 9 + 6 = 005 e 5 + 0 = 785, o que gera a solução x =, A = e = 555. Além disso, se x =, 5, 7, 9, o algarismo das uidades de x x é, 5, 5,, respectivamete, de modo que as úicas possibilidades são x = 5 ou x = 7, para os quais 000 A + B iguala 765 e 49 4 = 545 respectivamete, o que também ão é possível. Se B = 8, x é par, ou seja, é 4, 6 ou 8. Se x = 4, 6, 8, o algarismo das uidades de x + x é 4, 8, 0, respectivamete, de modo que obtemos x = 6 e 000A + B = 6 + = 4008, ou seja, A = 4. Obtemos assim a solução = 444888. Além disso, se x = 4, 6, 8, o algarismo das uidades de x x é 8, 4, 8 respectivamete, de modo que obtemos x = 4 ou x = 8, para os quais 000A + B igual a 6 8 = 768 e 64 6 = 7088, respectivamete, o que ão é possível. k = x ± 8 : Temos AAABBB = k = x ± 8x + 8 = x ± 76x + 7 9 = (x ± 76x + ) 000A + B = x ± 76x +. Estudemos, como o caso aterior, o dígito das uidades de x ± 76x +. Se B = 5, x é par, ou seja, é igual a 4, 6 ou 8. Se x = 4, 6, 8, o algarismo das uidades de x + 76x + é, 5, 5, respectivamete, de modo que x = 6 ou 8, para os quais 000A + B iguala respectivamete 6 + 76 6 + = 4465 e 64 + 76 8 + = 775, ehum dos dois gerado solução. Além disso, se EUREKA! N 8, 008

x = 4, 6, 8, o algarismo das uidades de x 76 x + é 5,, 9, respectivamete, de modo que x = e 000A + B igual a 6 76 4 + = 485, o que ão é possível. Se B = 8, x é ímpar, ou seja, é igual a, 5, 7 ou 9. Se x =, 5, 7, 9 o algarismo das uidades de x + 76x + é 0, 8, 4, 8, respectivamete, de modo que x = 5 ou x = 9, para os quais 000A + B = 5 + 76 5 + = 68 e k = 9 + 8 > 000, o que ão é possível. Além disso, se x =, 5, 7, 9 o algarismo das uidades de x 76x + é 4, 8, 0, 0, respectivamete, de modo que x = 5, para o qual 000A + B = 5 76 5 + = 408, o que ão é possível. Portato os úicos úmeros que satisfazem o euciado são 555 e 444888. SOLUÇÃO DO PROBLEMA : Uma solução: F E D C A Prologue AD e BC até se ecotrarem o poto F. Veja que AFB = 60 = DEC. Com isso, o quadrilátero FECD é iscritível. Temos: (i) FDE = FCE = α ADE = BCE = 80 α. (ii) AD = BC e ED = EC. De (i) e (ii), cocluímos que ADE BCE. Portato, EA = EB. B EUREKA! N 8, 008

EUREKA! N 8, 008 Além disso, DEA = CEB, de ode cocluímos que AEB = DEC = 60. Dessa forma, o triâgulo ABE é eqüilátero de lado 8 e sua área é igual a 6 4 8 = cm. Outra solução: Cosidere os potos o plao complexo. Represetaremos o úmero complexo correspodete ao poto X com a letra correspodete miúscula x. Fixemos o poto médio de AB como origem e sejam a = 4 e b = 4. Assim, sedo = BAD α e ABC = β, ambos o setido ati-horário, podemos ecotrar as coordeadas de C e D: ) 5cis( 4 ) ) cis( ( 8 5 β β = = c b a b c α cisα 5 4 ) cis ( 8 5 + = = d a b a d Sedo cis π ω = a raiz sexta da uidade e raiz da equação 0 = + x x, i i e i e i e e d c c d e d c d e 4 cis cis 5 4 cis cis 5 4 cis cis 5 4 cis cis 5 ) 4( cis 5 4 ) cis( 5 4 ) ( ) ( = + + + = + + + + = + + + + = + + + = + = = + = = α π α π α π π α π α π α π π α π β π ω ω α ω ω β ω ω ω ω ω ω ω Assim, o triâgulo ABE, com potos de coordeadas A = ( 4, 0), B = (4, 0) e ) = (0,4 E, é eqüilátero e tem área 6 4 8 = cm.

SOLUÇÃO DO PROBLEMA 4: Escolha 0 das cidades do país. Ligado duas quaisquer delas por uma estrada, 0 0.9 utilizaremos = = 90 estradas, e a cidade restate ão poderá ser alcaçada de automóvel. Logo se deve costruir pelo meos 9 estradas. Vamos mostrar que com essa quatidade é possível atigir osso objetivo. Supoha que = 9, mas que seja possível dividir as cidades do país em dois grupos A e B, digamos com a e b cidades, respectivamete, de tal sorte que ehuma cidade de A possa ser alcaçada de automóvel a partir de qualquer a b cidade de B. Etão o úmero de estradas o país é o máximo +, de a b modo que + 9, ou aida, (a + b ) (a + b) 9 = 8. Como a + b =, segue da iequação acima que a + b 8 + = 40. Logo ( a + b) ( a + b ) 44 40 ab = = 9. Mas, como a + b = e a e b são aturais, temos ab 0 = 0, uma cotradição. Logo, se = 9, sempre é possível viajar etre quaisquer duas cidades. EUREKA! N 8, 008 4

XXIX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e Soluções da Terceira Fase PROBLEMAS NÍVEL PROBLEMA Parte das casas de um quadriculado com o mesmo úmero de lihas (fileiras horizotais) e coluas (fileiras verticais) é pitada de preto, obedecedo ao padrão apresetado pelo deseho ao lado. a) Quatas casas serão pitadas um quadriculado com 4 lihas e 4 coluas, de acordo com esse padrão? b) Quatas lihas tem um quadriculado com 99 casas pitadas? PROBLEMA Uma sala quadrada com 8 m de área tem o seu piso iteiramete coberto por dois tapetes retagulares A e B, que ão se superpõem, coforme mostrado a figura () abaixo. Em certo mometo, o tapete B é deslocado, o tapete A é girado de 90 o e colocado sobre o tapete B, coforme idicado a figura (). Sabedo que a área do tapete B é o dobro da área do tapete A, calcule a área da parte do piso que ficou descoberta. PROBLEMA Em uma face de cada um de três cartões foi escrito um úmero iteiro positivo. Em seguida, os cartões foram colocados lado a lado sobre uma mesa, com a face umerada para baixo. EUREKA! N 8, 008 5

Araldo, Beraldo e Ceraldo sabem que: I. Os úmeros escritos os cartões são todos diferetes. II. A soma dos três úmeros é. III. Os úmeros crescem da esquerda para a direita. a) Cosiderado as codições I, II e III, escreva todas as possibilidades de umeração dos cartões. b) Agora é hora de descobrir os úmeros que foram escritos os cartões. Primeiramete, Araldo olha o úmero do primeiro cartão à esquerda e diz que ão tem iformações suficietes para descobrir os outros dois úmeros sem levatar os outros cartões. Depois, Beraldo levata o último cartão à direita, olha o úmero e diz também que ão cosegue descobrir os dois úmeros à esquerda, sem levatar todos os cartões. E o mesmo acotece com Ceraldo, que levata o cartão do meio, olha seu úmero e afirma que ão cosegue descobrir os úmeros os outros dois cartões. Sabedo que todos ouvem o que os demais dizem, mas ão vêem o cartão que o outro olhou, qual úmero está escrito o cartão do meio? PROBLEMA 4 Cosidere a tabela a seguir com quatro lihas (fileiras horizotais) e quatro coluas (fileiras verticais) a qual está preechida com úmeros aturais, ocorredo repetições de úmeros: 0 0 5 4 6 4 0 Ao somarmos os úmeros de cada uma de suas lihas (L, L, L e L4) e coluas (C, C, C e C4) obtemos 8 úmeros distitos:, 4, 7, 8, 0,,,. Veja: C C C C4 Soma da liha L 0 0 4 L 5 4 L 7 L4 6 4 0 Soma da colua 8 0 EUREKA! N 8, 008 6

Apresete, se for possível: a) uma tabela com 4 lihas e 4 coluas, formada por úmeros aturais, podedo ocorrer repetições de úmeros, a qual apareçam como somas de lihas ou coluas os úmeros de a 8. b) uma tabela com 8 lihas e 8 coluas, formada por úmeros aturais, podedo ocorrer repetições de úmeros, a qual apareçam como somas de lihas ou coluas os úmeros de a 6. c) uma tabela com 9 lihas e 9 coluas, formada por úmeros aturais, podedo ocorrer repetições de úmeros, a qual apareçam como somas de lihas ou coluas os úmeros de a 8. Ateção: caso seja impossível motar alguma tabela, você deve explicar porque. PROBLEMA 5 Sedo A = 555555 5, calcule a soma dos algarismos de 007 cicos 007 dois 9 A. Não se esqueça de justificar a sua resposta. PROBLEMAS NÍVEL PROBLEMA Seja ABC um triâgulo e O seu circucetro. Seja aida P a itersecção das retas BO e AC e S a circuferêcia circuscrita a AOP. Supoha que BO = AP e que a medida do arco OP em S que ão cotém A é 40. Determie a medida do âgulo OBC. Obs: A circuferêcia circuscrita de um triâgulo é a circuferêcia que passa pelos seus vértices e seu cetro é chamado de circucetro. EUREKA! N 8, 008 7

PROBLEMA Cosidere a tabela a seguir com quatro lihas (fileiras horizotais) e quatro coluas (fileiras verticais) a qual está preechida com úmeros aturais, ocorredo repetições de úmeros: 0 0 5 4 6 4 0 Ao somarmos cada uma de suas lihas (L, L, L e L4) e coluas (C, C, C e C4) obtemos 8 úmeros distitos:, 4, 7, 8, 0,,,. Veja: C C C C4 Soma da Liha L 0 0 4 L 5 4 L 7 L4 6 4 0 Soma da 8 0 Colua Apresete, se for possível: a) uma tabela com 4 lihas e 4 coluas, formada por úmeros aturais, podedo ocorrer repetições de úmeros, a qual apareçam como somas de lihas ou coluas os úmeros de a 8. b) uma tabela com 8 lihas e 8 coluas, formada por úmeros aturais, podedo ocorrer repetições de úmeros, a qual apareçam como somas de lihas ou coluas os úmeros de a 6. c) uma tabela com 9 lihas e 9 coluas, formada por úmeros aturais, podedo ocorrer repetições de úmeros, a qual apareçam como somas de lihas ou coluas os úmeros de a 8. Ateção: caso seja impossível motar alguma tabela, você deve explicar porque. PROBLEMA Mostre que existe um iteiro positivo a tal que fatores primos distitos. 9 a a tem pelo meos 007 EUREKA! N 8, 008 8

SEGUNDO DIA PROBLEMA 4 Prove que ão existem soluções iteiras e positivas para a equação m + + = t. PROBLEMA 5 Seja ABC um triâgulo retâgulo isósceles. K e M são potos sobre hipoteusa AB, com K etre A e M, e o âgulo KCM = 45. Prove que AK + MB = KM. PROBLEMA 6 Quadradihos iguais estão arrumados formado um tabuleiro. Ludmilso e Edalva jogam o seguite estraho jogo. Cada jogada de Ludmilso cosiste em retirar 4 quadradihos que formem um quadrado. Cada jogada de Edalva cosiste em retirar apeas quadradiho. Ludmilso e Edalva jogam alteradamete, sedo Ludmilso o primeiro a jogar. Quado Ludmilso ão puder fazer sua jogada, etão Edalva fica com todas as peças restates do tabuleiro. Gaha o jogo aquele que possuir mais quadradihos o fial. Diga se é possível que Edalva gahe o jogo, ão importado como Ludmilso jogue, em cada um dos seguites casos: a) = 0. b) Caso geral ( qualquer). TERCEIRA FASE NÍVEL (Esio Médio) PRIMEIRO DIA PROBLEMA Seja f(x) = x + 007x +. Prove que, para todo iteiro positivo, a equação ( ( ( ( )) )) = 0 f f x tem pelo meos uma solução real f vezes PROBLEMA Para quatos úmeros iteiros c, 007 c 007, existe um iteiro x tal que x + c é múltiplo de 007 EUREKA! N 8, 008 9

PROBLEMA São dados potos o plao, os quais são os vértices de um polígoo covexo. Prove que o cojuto das medidas dos lados e das diagoais do polígoo tem pelo meos / elemetos distitos. Observação: x deota o maior úmero iteiro que ão excede x. Por exemplo,,5 =, = e, =. SEGUNDO DIA PROBLEMA 4 Arrumam-se 007 quadradihos iguais, formado um tabuleiro 007 007. Araldo e Beraldo disputam o seguite jogo: cada jogada de Araldo cosiste em retirar 4 quadradihos que formem um quadrado. Cada jogada de Beraldo cosiste em retirar apeas quadradiho. Os jogadores jogam alteradamete, sedo Araldo o primeiro a jogar. Quado Araldo ão puder fazer sua jogada, Beraldo fica com todas as peças restates do tabuleiro. Gaha o jogo aquele que possuir mais quadradihos o fial. É possível que Beraldo gahe o jogo, ão importado como Araldo jogue? PROBLEMA 5 Seja ABCD um quadrilátero covexo, P a iterseção das retas AB e CD, Q a iterseção das retas AD e BC e O a iterseção das diagoais AC e BD. Prove que se POQ é um âgulo reto etão PO é bissetriz de AOD e QO é bissetriz de AOB. PROBLEMA 6 Dados úmeros reais x < x < < x, supoha que todo úmero real ocorre o máximo duas vezes etre as difereças x j x i, com i < j. Prove que há pelo meos / úmeros reais que ocorrem exatamete uma vez etre tais difereças. Observação: caso você teha se esquecido da prova de otem, x deota o maior úmero iteiro que ão excede x. Por exemplo,,5 =, = e, =. EUREKA! N 8, 008 40

SOLUÇÕES NÍVEL SOLUÇÃO DO PROBLEMA : LIARA GUINSBERG (SÃO PAULO SP) Cosiderado a figura, coseguimos ver um padrão (de cima para abaixo e da esquerda para a direita). Número de quadrados pitados: : : 7 4 4 : 8 5 5 : 7 6 6 : 8 7 7 : 8 8 : Podemos perceber que, do (7 pitados) para o 4 4 (8 pitados) que o úmero aumetou uidade pitada. O fato se deve à seqüêcia de quadrados pitados, do para o, o úmero de quadrados pretos cresceu em 5 uidades equato o braco permaeceu igual, mas do para o 4 4, o úmero de bracos aumetou 6, equato o preto somete. Em geral, se é par, do para o ( + ) ( + ) o úmero de quadrados pretos cresce em + uidades, mas se é ímpar cresce em apeas uidade. Para o caso do quadrado, com par, como a quatidade de casas pretas é igual à quatidade de casas bracas, a quatidade de casas pretas será. Para o caso do quadrado, com ímpar, percebemos que, a quatidade de casas ( + ) pretas será (devido às descobertas ateriores). Com efeito, para par, ( + ) + + =, e, para ímpar, ( + ) + + =. Usado estes fatos: 4 a) Num quadriculado de 4 4, usamos o padrão para pares: = úmero de 96 casas pretas = = 98 casas pretas. b) Para descobrirmos quado o quadrado tem 99 casas pitadas, vamos testar os casos: EUREKA! N 8, 008 4

Usado o padrão para par, temos: solução iteira. Usado o padrão para ímpar, vemos que: = 99 = 98, mas e equação ão tem ( + ) ( + ) = 99 = 00, achamos ( + ) = 0, dode = 9, portato o úmero de lihas será igual a 9. SOLUÇÃO DO PROBLEMA : CAROLINA RODRIGUES SILVA (FORTALEZA CE) () () B A A B Na figura chamamos a área de A de x e a de B de x. Teremos etão x = 8 m e x = 7 m, etão a área de A = 7 m e seus lados são: e 9; área de B = 54m e seus lados 6 e 9. Na figura, vemos que se jutarmos as áreas descobertas teremos como largura e altura 9 = 6. Obtemos assim como área do piso que ficou descoberta o seguite valor: 6 = 8m. SOLUÇÃO DO PROBLEMA : FELIPE BELLIO DA NÓBREGA (RIO DE JANEIRO RJ) xyz,, : úmeros os cartões vamos supor x< y < z x+ y+ z= a) + + 0 + + 8 + 4 + 6 + + 9 + 4 + 7 + 4 + 8 + 5 + 6 + 5 + 7 b) Quado Araldo olha, pode-se elimiar o + 4 + 6, pois ele saberia, já que é o úico que começa com. EUREKA! N 8, 008 4

Quado Beraldo olha, pode-se elimiar o + + 0, o + + 9 e o + 5 + 6. O primeiro porque é o úico que acaba com 0. O segudo com 9. E o último, já que ão pode ser o + 4 + 6 graças a Araldo é o úico que acaba com 6. Quado Ceraldo olha, pode-se elimiar o + 5 + 7 e o + + 8. Já que o + 5 + 6 foi elimiado por Beraldo, o + 5 + 7 é o úico com 5 o meio. E já que Beraldo também elimiou o + + 9, o + + 8 é o úico com o meio. Resposta: Assim sobraram apeas o + 4 + 8 e o + 4 + 7. Etão o 4 está o cartão do meio. SOLUÇÃO DO PROBLEMA 4: RAFAEL KAZUHIRO MIYAZAKI (SÃO PAULO SP) a) C C C C4 Soma da liha L 0 0 0 L 5 0 0 0 5 L 4 8 L4 0 0 4 Soma da colua 7 6 b) C C C C4 C5 C6 C7 C8 Soma da liha L 0 0 0 0 0 0 0 L 0 0 0 0 4 0 0 5 L 0 0 0 0 0 0 4 L4 0 0 0 0 0 8 L5 0 0 0 0 9 L6 0 0 0 0 7 L7 0 0 0 7 6 L8 0 0 0 0 0 0 Soma da colua 7 0 5 6 4 c) Não é possível. Para que seja possível motar uma tabela, a soma das somas das coluas e das somas das lihas deve ser igual ao dobro da soma dos úmeros iteros (úmeros preechedo a tabela, exceto os de soma). + + +...+ 6 + 7 + 8 = 7 EUREKA! N 8, 008 4

7 = 7 =, ode é a soma dos úmeros iteros e estes devem ser aturais, mas 7 ão é atural. Portato ão podemos motar a tabela pedida. SOLUÇÃO DO PROBLEMA 5: SOLUÇÃO DA BANCA Observamos iicialmete que 9 5 = 9 0= 90 9 55 = 9 0= 0890 9 555 = 9 0= 08890 9 5555 = 9 40= 088890 9 55555 = 9 4540= 0888890 Isso os leva a cojecturar que 9 A = 9 555...555... =...0888...8890 007 cicos 007 dois 006 us 006 oitos Para mostrar que ossa cojectura é verdadeira, devemos garatir que, ao cotiuar as multiplicações acima, o padrão se repete. Digamos que você já teha feito multiplicações e teha obtido 9 555...555... =...0888...8890. Etão cicos dois - us - oitos 9 555...555... = 9 555...55550 + 5...0 + = + cicos + dois cicos dois 9 555...55550...0 + 9 555...55550 + 9 5...0 + 9 5 = cicos dois cicos dois 9 555...5555...00 + 9...00 + 9...00 + 90 = cicos dois us us...0888...889000 + 999...9900 + 90 = us oitos oves...0888...889000 + 999...9800 + 90 = us oitos oves...0888...8890 us oitos Portato, ossa cojectura é verdadeira. Logo, a soma dos algarismos de 9 A é igual a 006 + 006 8+ 9= 006 9+ 9= 007 9= 806. EUREKA! N 8, 008 44