MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS BRUNO FIGUEREDO ARCENO FLORIANÓPOLIS 5

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Trabalo de conclsão de crso apresenado ao crso de Maemáca Hablação em Lcencara do Deparameno de Maemáca Cenro de Cêncas Físcas e Maemácas da Unversdade Federal de Sana Caarna. Orenador: Prof. Marco Rodolfo Fernandes BRUNO FIGUEREDO ARCENO FLORIANÓPOLIS 5

Dedco ese rabalo a odos qe sempre acredaram em mna pessoa em especal a mes pas qe sem dúvdas são os grandes responsáves além de mm própro pelo êo em mna vda profssonal.

Agradecmenos A Des pelo dom da vda; Ao professor Márco Rodolfo Fernandes pela pacênca e nesmável orenação; Aos mes pas José Arceno Flo e Rose Helena Fgeredo Arceno pelo apoo e carno dedcados a mm prncpalmene neses anos de la acadêmca; Aos professores enconrados ao longo desa ornada pela pacênca comgo e pela dedcação em se rabalo a fm de ornar-se m bom profssonal; A odos os colegas qe enconre ao longo do crso qe propseram a dvdr comgo mos momenos nesqecíves; A mna namorada Arela Serafm da Slva por sa compreensão e apoo em momenos de dfcldade; E a odas as pessoas qe sempre acredaram em me poencal e sempre me esmlaram.

Smáro Inrodção... 7 Capílo - Classfcação das Eqações Dferencas Parcas de Segnda Ordem... 8 Capílo - Eqações Dferencas Parcas Elípcas... Capílo 3 - Eqações Dferencas Parcas Parabólcas... 8 Capílo - Eqação Dferencal Parcal Hperbólca... 6 Conclsão... 3 Bblografa... 33

Inrodção A prncpal razão para se resolver eqações dferencas é o enendmeno do processo físco qe al eqação modela. Uma das razões báscas da mporânca das eqações dferencas é qe mesmo as eqações mas smples correspondem a modelos físcos úes como o crescmeno e o decameno eponencas os ssemas massa-mola o os crcos elércos. A compreensão o consrção de modelos mas smples e báscos. Assm m conecmeno profndo desses modelos das eqações qe os descrevem e sas solções é o prmero passo ndspensável na dreção da solção de problemas mas compleos e realsas. As eqações dferencas parcas êm por ncógnas fnções de váras varáves. A varedade de eqações dese po qe se pode escrever é nconável. A orgem os obevos e os méodos maemácos das eqações dferencas parcas são lgados radconalmene a problemas de Físca Maemáca. Não sendo necessáro odava recorrer a eoras físcas mo sofscadas e eócas para obermos os eemplos mas represenavos das eqações dferencas parcas. Eqações dferencas parcas precsam em geral de ma varedade maor de ferramenas ano analícas qano nmércas. A mplemenação de m procedmeno nmérco efcene para as eqações se apóa em ma boa dose de análse prelmnar para deermnar as caraceríscas qalavas da solção o para nvesgar casos lmes o especas. Nese rabalo apresenamos ma nrodção aos méodos nmércos para eqações dferencas cas solções são saves aplcando-os aos problemas mas represenavos: eqação de calor eqações da onda e eqação de Posson. 7

Capílo : Classfcação das Eqações Dferencas Parcas de Segnda Ordem A maora dos fenômenos físcos é descra maemacamene aravés de eqações o ssemas de eqações qe envolvem dervadas parcas das fnções ncógnas. Iso ocorre porqe as endades físcas qe procramos como por eemplo dsrbção de pressão o de emperara em m meo são fnções de mas de ma varável. As aas de varação desas ndades são represenadas por sas dervadas parcas. Se elas esão presenes na modelagem maemáca do fenômeno o reslado poderá ser m conno de eqações dferencas parcas. Nese vaso campo das eqações dferencas parcas nós resrngremos às eqações dferencas de prmera e segnda ordens qe envolvem fnções de das varáves ndependenes. Para efeo de classfcação das eqações dferencas parcas lneares de segnda ordem pode-se sar a represenação geral a b c d e f g onde a b c d e f e g são consanes o fnções conecdas das varáves ndependenes e. As fnções a b c são as qe a b c e represena a fnção procrada. Se os coefcenes a b e c são consanes é úl sá-los nma classfcação básca das eqações dferencas parcas lneares de segnda ordem. Assm em analoga com as côncas pode-se dzer qe a eqação é Elípca se b ac < Parabólca se b ac Hperbólca se b ac >. Se esses coefcenes varam com esa classfcação é fea pono a pono. A segr apresenaremos algns eemplos de eqações dferencas parcas. Os rês são proópos das eqações caalogadas como elípcas parabólcas e perbólcas. Eemplo Consderaremos eqação dferencal defnda nma regão R do plano al qe f R. Comparando com a eqação geral vemos qe a c e b assm é ma eqação dferencal elípca. Esa é camada de eqação de poencal o eqação de Posson. No caso de f é mas comm camá-la de eqação de Laplace. 8

A eqação de Posson é o modelo maemáco de dversas aplcações: dsrbção de ensões em placas carregadas dsrbção de emperara no caso esaconáro poencal gerado por cargas elércas ec. A eqação será o proópo das eqações dferencas elípcas. Eemplo Sea I α β m nervalo na rea e a > se I e >. Consderaremos a eqação dferencal a f I >. Nesa rocamos a varável por movado pelos problemas de evolção nos qas ma das varáves é o empo. Na smlação nmérca neses problemas a varável empo merece em geral raamenos dferencados com relação às varáves espacas nese eemplo. Isso ocorre devdo ao fao da eqação ser na varável empo m problema de valor ncal e na varável o varáves espacal m problema de valor de conorno. Novamene a movação desa dferença esá nas aplcações prácas. Na eqação a > b c porano como b ac podemos classfcala como parabólca. Ela é camada de eqação de calor o da dfsão e será o proópo das eqações dferencas parcas parabólcas. As eqações de calor para problemas com das o rês varáves espacas são respecvamene e a f R > a f z z R > zz Nesas eqações a é ma fnção esramene posva conecda no domíno da eqação dferencal aq represenada por R. Eemplo 3 Anda com a > e I α β emos oro problema de evolção defndo pela eqação dferencal a f I >. 3 Como a > b e c - b ac > e porano emos o proópo das eqações perbólcas. A eqação 3 é o modelo maemáco para o fenômeno de propagação das ondas e por sso ela é camada de eqação da onda. A classfcação nos rês pos acma é mporane porqe respea a dferença esrral das eqações dferencas parcas. Enreano ela nem de longe esgoa o assno. 9

Os modelos maemácos qe smlam fenômenos reas se ornam mas compleos a cada da. Nos capílos segnes apresenaremos algns méodos nmércos para eqações dferencas com solções saves em cada m dos rês pos: elípcas parabólcas e perbólcas.

Capílo : Eqações Dferencas Parcas Elípcas A eqação dferencal parcal elípca qe esdaremos é a eqação de Posson Δ f em R { / a < < b c < < d} com g para S onde S ndca a fronera de R. Se f e g são conínas em ses domínos enão ese ma únca solção para essa eqação. Começamos seleconando os números neros n e m e defnndo os amanos de b a d c passo e em cada dreção respecvamene. Em segda deve-se n m realzar a parção do nervalo [ a b] em n pares gas de largra. O prómo passo é colocar ma rede no reânglo R ao raçar lnas vercas e orzonas pelos ponos com coordenadas onde a para odo... n c para odo... m Fgra : Mala de Dferenças Fnas As lnas da rede. Para cada pono neror e são as lnas da mala e sas nersecções são os ponos com... n- e com... m- samos a sére de Talor para gerar a fórmla das dferenças fnas cenras:

! 3! 3 ξ 3! 3 ξ onde ξ. Combnando essas epressões obemos ξ 5 De forma análoga na varável η 6 onde η. A lzação desas fórmlas na eqação perme epressar a eqação de Posson nos ponos como f η ξ para odo... n- e... m- e as condções de conorno como g e n n g para odo... m; g e m m g para odo... n-. Iso resla nm méodo de Dferenças Fnas com o erro local de rncameno da ordem de : O

f 7 para odo... n- e... m- e g e g para odo... n n g e m g m para odo... n-; 8 onde aproma. A eqação em 7 envolve apromações de nos ponos e conforme pode ser vso na fgra. Fgra : Reprodção dos ponos da Mala de Dferenças Fnas Se lzarmos a nformação das condções de conorno 8 sempre qe for convenene em 7 eremos m ssema lnear qadrado de ordem n m cas ncógnas são as apromações de. O ssema lnear qe coném essas ncógnas será epresso mas efcenemene em cálclos marcas se for nrodzda ma reenmeração dos ponos nerores da rede. Isso pode ser feo aravés de P e l l onde l m n para odo n e m. qe marca consecvamene os ponos de rede da esqerda para a drea e de cma para bao. Por 3

eemplo com n e m 5 reenmeração se obém ma rede cos ponos são mosrados na Fgra 3. Ao marcar os ponos desse modo se garane qe o ssema necessáro para deermnar sea ma marz de banda com ma largra de banda de no mámo n. Fgra 3: Reenmeração dos Ponos da Mala Eemplo Consderar o problema da deermnação do esado esaconáro da dsrbção do calor em ma placa qadrada meálca delgada com dmensões 5 m por 5 m. nas froneras e a placa é manda a ºC enqano nas demas froneras a emperara amena lnearmene de ºC em m cano para ºC no lgar onde ambos os lados se enconram. O problema pode ser epresso como para no conno R { / < < 5 < < 5} com as condções de fronera ;5 5;. 7 é Se n m o problema em a rede mosrada na fgra e a eqação de dferenças para odo 3 e 3.

P : P : 3 5 6 7 P : 8 9 P : As eqações para cada pono P reenmerados são dadas por: 3 P : P : 5 P : 6 P : 7 8 P : 9 3 5 6 5 8 9 8 6 3 7 6 3 5 7 9 5 3 3 8 onde o lado dreo da eqação é obdo a parr das condções de fronera. Fgra : Mala para o Eemplo De fao as condções de conorno mplcam em 3 3 5 5 e 75. O ssema lnear assocado a esse problema em a forma 3 3 5

5 5 5 5 5 9 8 7 6 5 3 Na abela são apresenados os valores de obdos ao se aplcar a essa marz o méodo de elmnação de Gass. 9 3 5 6 7 8 9 875 375 565 5 5 375 65 5 875 Tabela : Tabela para o Eemplo As resposas anerores são eaas porqe a verdadera solção em e porano o erro de rncameno é zero em odos os passos. Eemplo : Sea a eqação dferencal sen π π cos com as segnes condções: π senπ ;5 sendo < < e < < 5 Na fgra 5 apresenamos o gráfco da solção do problema acma obda aravés do méodo de dferenças fnas descro nese capílo. 6

Fgra 5: solção para o eemplo com mn3 Eemplo 3: Sea o problema: < < < < ln ln ln ln γ Na fgra 6 apresenamos o gráfco da solção do problema acma. 7

Fgra 6: solção para o problema 3 com mn3 Capílo 3: Eqações Dferencas Parcas Parabólcas Para nrodzr méodos nmércos desnados a problemas ransenes saremos ncalmene a eqação do calor qe represena o proópo das eqações parabólcas: α < < l > 9 sea às condções e l > f l. A eqação de calor ambém camada eqação da condção do calor srge em problemas de condção do calor aravés de ma barra rea de seção ransversal nforme e de maeral omogêneo. A consane α depende do maeral da barra e enconra-se abelada. Incamos seleconando m número nero m > e defnndo l/m. Depos escolemos o passo no empo. Os ponos de rede para esse caso são onde para... m e para... O méodo de dferenças fnas é obdo a sarmos sére de Talor em : onde. Assm μ para algm μ. Do capílo aneror á sabemos qe ξ onde ξ. 8

Desa forma so é a eqação dferencal parcal parabólca 9 mplca qe nos ponos nerores da rede so é para odo... m- e... eremos α e assm o méodo qe lza os qocenes de dferenças e é α onde aproma. O erro local de rncameno para essa eqação de dferenças é τ. μ α ξ 3 Podemos eplcar a eqação para obendo α α para odo... m- e 3... A condção ncal f para odo l mplca qe o f para... m. Podemos sar esses valores na eqação para calclar o valor de para odo 3... m-. As condções adconas e l mplcam qe e porano podemos deermnar odos os elemenos da forma. Se m volarmos a aplcar o procedmeno ma vez qando são conecdas odas as apromações podemos ober de manera smlar os valores. E assm por dane. Conecdos os valores de no passo de empo podemos calclar ses valores no empo. por sso al méodo é classfcado como eplíco. A nareza eplíca do méodo de dferenças mplca qe a marz de ordem m qadrada assocada a esse ssema pode ser escra da forma rdagonal λ λ A λ λ λ λ λ λ 9

onde λ α. Se fzermos e f f f m m para odo... enão a solção apromada é dada por A para odo... porano é obdo por ma mlplcação marcal. Essa écnca é conecda pelo nome de méodo de Dferenças Progressvas. Se a solção da eqação dferencal parcal em qaro dervadas parcas conínas em e das em enão a Eqação 3 mplca qe o méodo é da ordem de O. Eemplo Vamos consderar a eqação de calor < < l com as condções de conorno e as condções ncas l > sen π l. A solção dese problema é dada por π e sen π A solção em 5 será apromada por meo do méodo de Dferenças Progressvas prmero com 5 e λ 5 e depos com e λ. os reslados são apresenados na abela.

5 5 5 5 5 5 865 6. -5 89876. 7 899. 7 78 39 9. - -5579. 8 557. 8 3 58836 59869 678. - 3833. 8 38. 8 683989 7379 973. - -56. 8 56. 8 5 7988 73993 75. - 6685. 8 67. 8 6 683989 7379 973. - -95. 8 9. 8 7 58836 59869 678. -. 8. 8 8 78 39 9. - -5386. 8 53. 8 9 865 65. -5 836. 7 836. 7 Tabela : Tabela para o Eemplo apresenado No eemplo se espera m erro de rncameno da ordem de O. Anda qe sso sea obdo com e 5 o mesmo não ocorre qando e. Para eplcar essa dfcldade devemos observar a esabldade do méodo de Dferenças Progressvas. Se se comee m erro e e ao represenar os dados ncas e e m m erro de Ae se propaga em á qe f f f m A e A Ae n Esse processo conna. No enésmo passo de empo o erro de devdo a e é A n e. Em conseqüênca o méodo é esável precsamene qando esses erros não amenam lmadamene enqano n cresce. Mas sso é verdade se e somene se para qalqer erro ncal e vermos A n n e e para odo n. Isso sgnfca qe A n n condção qe reqer qe ρ A ρ A. Assm o méodo Dferenças Progressvas será esável apenas se ρ A. Pode-se demonsrar qe os aovalores de A são π μ λ sen para odo... m-. m Conseqüenemene a condção para esabldade se redz a deermnar o se.

π ρ A má λ sen m m qe é eqvalene a π λ sen para odo... m-. m Como a esabldade reqer qe essa condção de desgaldade se conserve qando o de forma eqvalene qando m o fao de qe m π lmsen m m sgnfca qe a esabldade ocorrerá somene se λ. Uma vez qe λ α essa desgaldade reqer qe se selecone e de modo qe α. No mesmo eemplo emos α de modo qe essa condção é sasfea qando e 5. Mas qando amenamos para sem m ameno correspondene de a razão fo > e os problemas de esabldade se ornam aparenes. Por sso o méodo de Dferenças Progressvas é do condconalmene esável so é o méodo converge para a solção da Eqação 9 com a aa de convergênca de O dada a condção de qe α e qe sasfaçam as condções de conndade reqerdas. Para ober m méodo qe sea ncondconalmene esável consderaremos m méodo de dferenças mplícas qe é obdo ao sarmos o qocene de dferenças regressvas para na forma

onde μ esá em μ. Ao sbsrmos essa eqação no com a Eqação para na eqação dferencal parcal obemos α μ α ξ para ξ. O méodo de Dferenças Regressvas reslane é α 5 para odo...m- e... O méodo de Dferenças Regressvas ncl em m passo ípco os ponos de rede e e coném apromações nos ponos mascados por na Fgra 5. Como as condções ncas e de conorno assocadas com o problema fornecem nformações nos ponos de rede marcados com m círclos a fgra mosra qe não é possível lzar procedmenos eplícos para resolver a Eqação 5. Lembramos de qe no méodo de Dferenças Progressvas vea fgra 6 apromações em e foram lzadas de modo qe m méodo eplíco para calclar as apromações baseado na nformação provenene das condções ncas e de conorno esvesse dsponível. 3

Fgra 7: Represenação do Méodo de Dferenças Regressvas Fgra 8: Represenação do Méodo de Dferenças Progressvas Se mas ma vez denoarmos por λ a qandade α o méodo de Dferenças Regressvas se converge em λ λ λ para odo... m- e.... Aplcando-se o fao de qe... m- e represenação marcal: m f para odo para odo... esse méodo de dferenças em a

λ λ λ λ λ λ λ m λ m 6 o A para odo.... Assm o méodo reqer a resolção de m ssema lnear para obermos a parr de. A marz A é rdagonal e esramene dagonalmene domnane. A razão pela qal o méodo de Dferenças Regressvas não apresena os problemas de esabldade do méodo de Dferenças Progressvas pode ser vsa ao se analsar os aovalores da marz A no méodo de dferenças Regressvas os aovalores são π μ λsen para cada... m- m e como λ > emos μ > para odo... m-. Isso mplca qe ese A - porqe zero não é aovalor de A. Um erro e nos dados ncas gera m erro A n e no enésmo passo. Como os aovalores de A - são os recíprocos dos aovalores de A o rao especral de A - é lmado sperormene por e o méodo é esável ndependenemene da seleção de λ α. Camamos de ncondconalmene esável o méodo de Dferenças Regressvas. O erro local de rncameno dessa écnca é da ordem de O o qal reqer qe se façam nervalos de empo mo menores qe os espacas. Um procedmeno ncondconalmene esável com erro local de rncameno de ordem de O sera mas adeqado. Ese é o caso do Méodo de CRANK-NICOLSON qe pode ser obdo a parr da méda arméca do Méodo de Dferenças Progressvas no -ésmo passo em e do méodo de Dferenças Regressvas no -ésmo passo em : α n n. 5

Capílo : Eqação Dferencal Parcal Hperbólca A segr esdaremos a solção nmérca para eqação de onda qe srge no esdo de fenômenos qe evolvem propagação de ondas nm meo coníno: ondas acúscas aqácas eleromagnécas e de vbrações mecâncas. Traa-se de m eemplo de eqação dferencal parcal perbólca. α < < > 7 l sea às condções l para > f e g para l onde α é ma consane. Seleconamos m número nero m > e o amano do passo de empo >. Com m l os ponos de rede são defndos por e para odo...m e... A eqação da onda se ransforma em α 8 se for m pono neror da rede. O méodo de dferenças é obdo sando o qocene de dferenças cenradas para as segndas dervadas parcas dadas por μ onde µ - e ξ onde ξ -. Sbsndo essas epressões na eqação 8 obemos 6

α. ξ α μ Desconsderando o ermo de erro ξ α μ τ obemos a eqação de dferenças α onde é ma apromação para. Fazendo α λ podemos escrever a eqação de dferenças como - λ λ λ - e resolver para para ober λ λ - - -. 9 Essa eqação é aplcável para odo...m- e... sandos as condções de conorno emos qe m para cada... Da condção ncal emos qe f para... m-. Escrevendo esse conno de eqações em forma marcal obemos 7

m m m λ λ λ λ λ λ λ λ As eqações 8 e 9 mplcam qe o -ésmo passo de empo reqer valores dos -ésmo e -ésmo passos. Isso prodz m peqeno problema porqe os valores de são dados pela eqação porém os valores de necessáros na Eqação 8 para calclar devem ser obdos a parr da condção ncal g l. Uma forma de conornar essa dfcldade consse em sbsr por ma apromação de dferenças progressvas μ 3 onde μ. Fgra 9: Represenação do -ésmo passo de empo 8

Desa forma obemos μ g. μ Como conseqüênca g para cada 3... m-. Condo sso gera ma apromação com erro de apenas apromação melor consderemos a eqação O. Para obermos ma 3 3 3 η 6 para deermnado η qe resla da epansão de por m polnômo de Maclarn de segndo gra em. Se f ese enão d f α α α f d e enão α g 3 3 f η 6 3 o qe prodz ma apromação com erro O 3 : α g f. Se f C [ ] mas não dspomos de f pode-se escrever f f f f f ξ para deermnado ξ em. Isso mplca qe 9

α g 3 [ f f f ] O. α Se λ enão λ g 3 [ f f f ] O f f f g O 3 λ λ λ. Assm pode-se sar a eqação de dferenças para calclar Eemplo: λ λ λ f f f g 5 para cada... m-. Vamos consderar o problema < < > com condções > senπ e. A solção dese problema é dada por senπ cos π. Na abela 3 enconramos os valores da apromação de qe esão correos para odas as casas decmas dadas. 3

39699 5877855 3 89699 955656 5 6 955656 7 89699 8 5877855 9 39699 Tabela 3: abela para o eemplo apresenado Como no caso do Méodo de Dferenças progressvas para a Eqação de Calor o Méodo de Dferenças Fnas Eplícas para a Eqação da Onda ambém apresena α problemas de esabldade. De fao a esabldade é angda se λ γ como pode ser verfcado em [3]. 3

Conclsão Ese rabalo conrb para além de aprofndar conceos volados às Eqações Dferencas proporconar novos conecmenos envolvendo Eqações Dferencas Parcas Elípcas Parabólcas e Hperbólcas bem como méodos nmércos para resolção deses pos de eqações. Eses conecmenos com cereza conrbrão para m bom desempeno de mnas avdades fras nesse campo. 3

Bblografa [] BURDEN RL. e FRAIRES J.D. Análse Nmérca. Tonson 3 [] CUNHA C. Méodos Nmércos. UNICAMP 3 [3] ISSACSON E e KELLER H.B. Analss of nmercal meods. Jon Wle & Sons Nova Iorqe 96 33