Aula 9 Fun»c~osponnciaislogar ³tmicas. Uma rvis~ao o n umro Nsta aula farmos uma pquna rvis~ao das fun»c~os f() =a g() =log a, sndo a uma constant ral, a>0 a 6=. Farmos ainda uma aprsnta»c~ao do n umro, uma constant important da matm atica univrsit aria. 9. Pquna rvis~ao d pot^ncias Sabmos qu, sndo a um n umro ral positivo, a =n = np a a m=n = np a m s m; n Z, n>0. Assim d n-s a pot^ncia d bas a pontp, a p (l^-s \a lvado a p"), para todo p Q. S umn umro irracional, ist uma sqäu^ncia d n umros racionais qu tnd a (uma sqäu^ncia d aproima»c~os d por n umros racionais), ou sja, ist uma sqäu^ncia d n umros racionais ; ; 3 ;::: ; n ;::: tal qu n =. n!+ Por mplo, s = p ¼ ;44356, ist uma sqäu^ncia d aproima»c~os d p, cujos cinco primiros trmos s~ao dados na primira coluna da tabla abaio: 80
Func»~os ponnciais logar ³tmicas. Uma rvis~ao o n umro 8 =;4 ( =;96) j j ¼0;04356 < 0; =;4 ( =;988) j j ¼0;004356 < 0;0 3 =;44 ( 3 =;999396) j 3 j ¼0;000356 < 0;00 4 =;44 ( 4 =;9999664) j 4 j ¼0;0000356 < 0;000 5 =;44 ( 5 =;9999899) j 5 j ¼0;00000356 < 0;0000 Uma calculadora nos fornc uma aproima»c~ao d p p com casas dcimais: ¼ ;44356373. A sqäu^ncia acima, d aproima»c~os sucssivas d p, tal qu j n p j < 0 n,assim j n p j =0,nt~ao n = p (a sgunda n!+ n!+ coluna da tabla acima sugr qu n!+ n =). Sndo a R, a>0, sndo um n umro irracional, ; ; 3 ;::: uma sqäu^ncia d racionais com it, a d nido como o it da sqäu^ncia Por mplo, p o it da sqäu^ncia a ;a ;a 3 ;a 4 ;::: ; ;4 ; ;4 ; ;44 ;::: Uma calculadora nos fornc as aproima»c~os: = ;4 = 4=0 = 0p 4 ¼ ; 6390 ;4 = 4=00 = 00p 4 ¼ ; 6574 ;44 = 44=000 ¼ ; 6647 ;44 = 44=0000 ¼ ; 665 No qu diz rspito a pot^ncias d bas ral positiva pont ral, tmos as sguints boas propridads, qu acitarmos sm dmonstra»c~ao: S a R, a>0, ; R a a = a + (a ) = a a = a ; a = a a ; a0 = a b =(ab) ; s tamb m b>0
Func»~os ponnciais logar ³tmicas. Uma rvis~ao o n umro 8 9. A fun»c~ao ponncial Sndo a um n umro ral, positivo, a 6=, d n-s a fun»c~ao ponncial d bas a por f() =a ; para todo R Tomamos a 6= pla simpls raz~ao d qu =para todo R, o qu torna a constant no caso m qu a =(fun»c~os constants n~ao s~ao classi cadas como fun»c~os ponnciais). Al m disso, tomamos a>0 porqu, s a<0, a n~ao s d n para uma in nidad d valors rais d. Por mplo, s a = 4 nt~ao, para cada n N, n, a =n =( 4) =n = np 4 n~ao s d n como n umro ral. Assumirmos qu, s a>0 a 6=, a fun»c~ao ponncial dada por f() =a, cont ³nua m R, isto,! 0 a = a 0 ; para todo 0 R Assumirmos tamb m qu s a>, afun»c~ao f() =a crscnt, com +, s 0 <a< a fun»c~ao dcrscnt, com!+ a =0 + (= 0). Na gura 9. tmos sbo»cos dos gr a cos d f() = g() =.!+ a = (a) (b) 4 4 / / - - 0 - - 0 Figura 9.. Gr a cosd(a) =,(b) =(=). Tmos agora as sguints novidads na algbra d its: S a>, a + =+, a = a = + + =0+ (= 0) S 0 <a<, a + =0 + (= 0), a = a = + 0 =+ + Por mplo,!+ = + =+,! = =0, = +!+ =0, =!
Func»~os ponnciais logar ³tmicas. Uma rvis~ao o n umro 83 = + =+. 9.3 Logaritmos fun»c~os logar ³tmicas S a>0, a 6=,>0, ologaritmo d na bas a, dnotadoporlog a, o pont ao qual dvmos lvar a para obtrmos, ousja log a = s somnt s a = Assim sndo, a log a = Por mplo, log 8=3,pois 3 =8; log 9 7 = 3,pois93= = p 9 3 =3 3 =7; log =, pois 4 ==4; log = 6 = 4, pois 4 =6; log 5 ¼ ; 39, pois ;39 ¼ 4; 9999. log 5 n~ao umn umro racional, pois s log 5= m,commnintiros positivos, n nt~ao m=n =5. Da ³, m =( m=n ) n =5 n, o qu imposs ³vl pois m par5 n ³mpar. Listamos aqui, sm ddu»c~ao, algumas propridads lmntars dos logaritmos: Sndo rais positivos, z ral, a>0;a6=, log a () =log a +log a log a =log a log a log a z = z log a log a =z = log a z (s z 6= 0) log a = log b ; log b a (s b>0;b6= ) (mudan»ca d bas) Assim, por mplo, a passagm dos logaritmos dcimais (bas 0) para os logaritmosdbas dadapor log = log 0 log 0 = log log Sndo a fun»c~ao f() =a cont ³nua crscnt quando a>0, dcrscnt quando 0 <a<, tmos qu log a d nida para todo >0.
Func»~os ponnciais logar ³tmicas. Uma rvis~ao o n umro 84 Por mplo, f() = crscnt, =4 3 =8. Pla continuidad d f, a imagm do intrvalo [; 3], pla fun»c~ao f, ointrvalo[4; 8]. Eist nt~ao 0 [; 3] tal qu 0 =5. Assim, log 5= 0. Portanto, ralmnt ist o n umro ral log 5. Al m disso, s a>0, log a crscnt, s 0 <a<, log a dcrscnt. Na gura 9., tmos sbo»cos dos gr a cos d f() =log g() =log =. Admitirmos qu f() =log a cont ³nua no su dom ³nio ]0; +[, ousja, s 0 > 0 nt~ao!0 log a =log a 0 Al m disso, tmos ainda (con ra isto obsrvando os gr a cos da gura 9.). log!0 + a =log a (0 + )= ( s a>0 + s 0 <a< bm como tamb m (con ra obsrvando os gr a cos da gura 9.) ( log + s a>0 a =log a (+) =!+ s 0 <a< (a) (b) 0 - / 4 0 - / 4 - - Figura 9.. Gr a cos d (a) =log,(b) =log =. 9.4 O n umro Na matm atica univrsit aria, h a duas constants num ricas muito importants. S~ao las on umro pi, ¼ ¼ 3; 459,on umro, ¼ ; 788.
Func»~os ponnciais logar ³tmicas. Uma rvis~ao o n umro 85 On umro d nido como sndo o it = n!+ nn + n Pod sr dmonstrado qu o n umro irracional. Obsrv a tabla d valors (aproimados) d + n n,paran =, 0, 00, 000, 0000, 00000, dadaabaio. Tabla 9.. n =n + n + n n = 0 0; ; (; ) 0 ¼ ; 59374 00 0; 0 ; 0 (; 0) 00 ¼ ; 7048 000 0; 00 ; 00 (; 00) 000 ¼ ; 769 0000 0; 000 ; 000 (; 000) 0000 ¼ ; 785 00000 0; 0000 ; 0000 (; 0000) 00000 ¼ ; 788 n Not qu n!+ + n =+ =. + Assim, podmos nganosamnt intuir qu, quando n muito grand, + n n ¼ n =(msmo calculadoras d boa qualidad podm nos induzir a st rro). Nst caso, nossa intui»c~ao falha, pois pod sr dmonstrado qu o n umro a n = + n n crsc a mdidamqun crsc, sndo a =, <a n < 3 para cada n. Na tabla 9., ilustramos o fato d qu quando n muito grand, + n n ¼ ; 788 Assim sndo, tmos um novo s ³mbolo d indtrmina»c~ao:. Vamos admitir, sm dmonstra»c~ao, qu tamb m, para ral Nst caso, podmos dduzir: +!+ = Proposi»c~ao 9. + =!
Func»~os ponnciais logar ³tmicas. Uma rvis~ao o n umro 86 Dmonstra»c~ao. D fato, fazndo a mudan»ca d vari avl = ( +) tmos =, portanto! s somnt s! +. Assim, sndo! (+) + =!+ + (+) =!+ + + + =!+ = + +!+ = +!+!+ = = + Como consqäu^ncia, tmos tamb m Proposi»c~ao 9. ( + ) =!0 Dmonstra»c~ao. Mostrarmos qu!0 +( + ) =,!0 ( + ) =. Pondo ==, tmos qu! 0 + ssomnts! +. Da ³!0 +( + ) = + =!+ Al m disso,! 0 ssomnts!.da ³, pla proposi»c~ao 9.,!0 ( + ) = + =! S > 0, chama-s logaritmo natural ou logaritmo npriano d ao logaritmo ln =log Como ¼ ; 788 >, a fun»c~ao f() =ln crscnt su gr a co tm, qualitativamnt, a forma do gr a co d g() =log, gura 9. a.
Func»~os ponnciais logar ³tmicas. Uma rvis~ao o n umro 87 por A passagm dos logaritmos naturais para os logaritmos dcimais (bas 0) dada log 0 = log log 0 = ln ln 0 9.5 Problmas. Calcul os sguints its. Lmbr-s qu ums ³mbolo d indtrmina»c~ao. (a) +!+ Sugst~ao. Para contornar a indtrmina»c~ao +, fa»ca + =+ (b)!+ + Sugst~ao. Para contornar a indtrmina»c~ao +, fa»ca (c) ()!! +3 + + (d) 3+ +3 (f)! 3+!+ +3 3 + =+ Rspostas. (a) (b) = (c) (d) + () 0 (f) = 3p a. Mostr qu, sndo a>0, h =lna. h!0 h Sugst~ao: Trat o caso a =m sparado. Para a 6=, fa»ca a mudan»ca d vari avl a h =z, nt~ao h =ln(z +)= ln a. 3. Usando o rsultado do problma antrior, calcul (a) n a =n (sndo a>0, a 6= ) n!+ (b) a!0 Sugst~ao. a = (a a )=a!0!0 a!0 (c) a b!0 Sugst~ao. a b!0 ( = a ) ( b )!0 (d)!0 b Rspostas. (a) ln a (b) a (c) a b (d) a=b a a 4. Sndo f() =, calcul os its latrais f() f().!0 +!0 Rsposta. + 0, rspctivamnt. 5. Sndo g() = + a Rsposta. 0, rspctivamnt., calcul os its latrais!a g() g(). +!a