UNIVRSI O LGRV SOL SUPRIOR TNOLOGI Área epartamental de ngenharia ivil NÁLIS STRUTURS I IGRMS SORÇOS JOÃO MNUL RVLHO STÊVÃO RO 005/06
João M.. stêvão - ST - Ulg 1. onceitos básicos strutura - orpo ou conjunto de corpos adequados a resistir a acções. strutura reticulada - strutura constituída por peças lineares. Peça linear - orpo gerado por uma figura plana, de forma e dimensões não necessariamente constantes, durante o deslocamento do seu centro de gravidade ao longo de uma linha de grande raio de curvatura, à qual a figura se mantém perpendicular. O deslocamento é largamente superior às dimensões da figura. cção - ausa exterior capaz de produzir ou de alterar o estado de tensão ou de deformação de um corpo. eformação - Transformação que se traduz por uma variação da distância entre pontos de um corpo.. Ligações.1. Ligações exteriores (apoios) esignação usual Representação esquemática Reacções associadas eslocamentos permitidos poio simples poio fixo ncastramento deslizante ncastramento Nenhum - -
iagramas de esforços.. Ligações interiores esignação usual Representação esquemática sforços transmitidos eslocamentos permitidos Rótula N e V ncastramento deslizante N e M Pistão V e M ontinuidade N, V e M Nenhum 3. quações de equilíbrio estático Momentos 0 (qualquer ponto) orças 0 (resultante nula) 4. iagramas de esforços sforço numa secção - onjunto de forças estaticamente equivalentes às acções exercidas por uma parte dum corpo sobre a outra parte, através da secção que os separa. sforço axial (N) sforço transverso (V) Momento flector (M) NN VV x x x MM V p dx M V dx - 3 -
João M.. stêvão - ST - Ulg iagramas de esforços para cargas usuais Tipo de carga (p) p = 0 sforço Transverso (V) V = constante Momento lector (M) V > 0 V = 0 Linear V < 0 Linear Parábola Parábola q. do 3º grau Parábola q. do 3º grau Linear Parábola Parábola q. do 3º grau Parábola q. do 3º grau asos particulares: - O diagrama de esforços transversos apresenta uma descontinuidade quando existe uma força concentrada. - O diagrama de esforços transversos tem um extremo quando o carregamento p(x) se anula. - O diagrama de momentos flectores tem uma descontinuidade quando existe um momento concentrado. - O diagrama de momentos flectores tem um extremo quando o esforço transverso V(x) se anula. - 4 -
iagramas de esforços quilíbrio de uma barra uniformemente carregada M V x p L V M V( x) V p x p x M( x) M V x M 0 M L V p L L M V 1 L M M p L 0 V p L V V V p L V M max. V( ) 0 V p x M max. xmax x V p V p V Mmax M M V x max p p V Mmax M p p x M( x) M V x 0 x x 1 x x 1 V V p M p V V p M p, 0 x1 L, 0 x L se V p M 0 x x 0 sem zeros 1 0 x x 1 V (x) M (x) x 1 M max x max x - 5 -
João M.. stêvão - ST - Ulg PROLMS PROPOSTOS onsiderando as estruturas seguintes, calcule as reacções de apoio e desenhe os diagramas de esforços. 1) 50 knm 30 kn/m 0 kn 0.50 1.50.50 m.50 ) 40 kn/m 50 kn 0 kn 1.00 3.00 60 kn/m 4.00 m.00 1.00 1.00.00 3) 10 knm 40 kn/m 50 kn 3.00 m 1.00.00 1.50 1.50-6 -
iagramas de esforços 4) 36 kn/m 1.00 1.00 3 kn 50 kn 60 kn/m G H 1.00 1.00.00 m.00 1.00 1.00.00 5) 15 kn 30 knm 1.50 90 kn 80 kn G H 1.50 50 kn/m 1.00 3.00 m.00.00 1.00 1.00 1.00 1.00 6) 30 kn/m 60 kn.00 70 kn 10 kn/m.00 G 1.50.00.00 1.00 3.00 m 1.50-7 -
João M.. stêvão - ST - Ulg 7) 10 kn/m 40 kn G 1.50 94 kn 1.50.00.00.00 m.00.00 8) 100 kn 3 kn/m G H I J.00 140 kn 35 kn.00 15 kn/m 50 knm 0 kn/m 30 kn.00 1.50 1.50.00 m 1.50 1.50.00-8 -
iagramas de esforços 9) 50 kn 3.00 5 kn 48 kn/m 3.00 4.00 m 3.00 10) 60 kn/m 6 kn/m 30 kn/m 3.00.00 4.00 m - 9 -
João M.. stêvão - ST - Ulg 11) 63 kn 50. kn/m 4.00 30 kn/m 1.50 3.00 4.00 m 1.50 3.00 1) 60 kn 0 kn/m 3.00 13 kn 14 kn/m 3.00 30 kn/m.00 4.00 m 3.00-10 -
iagramas de esforços 13) 40 kn/m 70 kn 30 kn/m.00 50 kn.00 1.50 1.50 3.00 m 3.00 14) 40 kn 10 kn/m G H I 1.00 35 kn 40 kn/m.00 3.00.00 m.00.00.00-11 -
João M.. stêvão - ST - Ulg 15) 0 kn/m G 30 kn/m 10 kn 4.00.00 3.00 4.00 m 3.00.00 16) L 60 kn 3.00 G H I 100 kn J 60 kn 4.00 75 kn.00.00.00.00 3.00 m - 1 -
iagramas de esforços 17) I G H 1.50 1.50 40 kn/m 5 kn/m 40 knm 1.50 4.00 m.00.00 18) 40 kn 14 kn/m 1.00 G H I.00 5 knm 5 kn/m 90 kn.00 0 kn/m.00 1.50 1.50 4.00 m - 13 -
João M.. stêvão - ST - Ulg 19) J 30 kn 63 kn 3.00 30 kn/m 119 kn G H I 10 kn/m 18 kn/m.00.00.00 4.00 m.5 1.75 0) 7 kn/m.00 4 knm 8 kn/m 1.50 m 1.50 1.50 1.50-14 -
iagramas de esforços Soluções dos problemas propostos 1) m primeiro lugar vamos calcular as reacções de apoio, pois só existem três ligações ao exterior. H 0 RH 0 30 RH 40 kn 30 M 0 5 RV 50 15. 0 RV 4 kn V 0 RV RV 4 kn Reacções de apoio e orientação das barras 40 kn 4 kn 4 kn onhecidas as reacções de apoio podemos desenhar os diagramas de esforços. ado que a estrutura contém uma malha, o conhecimento das reacções de apoio não possibilita, com facilidade, o traçado dos diagramas de esforços. esta forma vamos separar a estrutura em quatro corpos (,, e ) e isolar os nós com forças concentradas (nós e ), representando todas as forças internas e externas (reacções de apoio) em jogo. - 15 -
João M.. stêvão - ST - Ulg 30 kn/m 1 8 50 knm 7 0 kn 1 1 11 M 1 10 9 4 M 6 5 3 M 4 6 5 3 1 11 10 9 R H M 1 R V R V ado que todos os corpos estão em equilíbrio estático, podemos estabelecer um conjunto de equações de equilíbrio que nos permitem obter as forças internas. M 0 5 50 10 V 0 10 1 1 kn 1 kn V 0 10 3 kn V 0 10 4 1 kn nó V 0 4 5 10 5 6 kn V 0 6 6 5 kn M 0 7 15. 0 7 15 kn H 0 15 8 7 kn - 16 -
iagramas de esforços H 0 15 0 5 9 9 kn nó H 0 10 9 5 kn H 0 5 11 10 kn H 0 15 30 45 1 1 kn M 0 M1 5 5 5 6 30 knm 30 M 0 M 15 M 30 knm Valores finais: 30 10 15 10 50 10 15 10 0 10 45 30 5 30 6 6 5 5 10 10 6 30 6 10 40 45 30 5 5 5 4 4 om os valores das forças internas conhecidos torna-se imediato o traçado dos diagramas de esforços. - 17 -
João M.. stêvão - ST - Ulg sforços axiais N 10 11 5 kn N 7 8 15 kn N 1 4 10 kn N 3 10 kn sforços transversos V 6 V 5 6 kn V 1 V 10 kn V 1 45 kn V 8 45 30 15 kn V 9 5 kn V 7 5 0 15 kn x V( ) 45 30 x 0 45 30 x x 15. m Momentos flectores M M m x esq M1 30 knm a... 5 1 5 knm Mmax. dir.. 5. 5 1 50 5 knm M M 15 30 30 15. 30 15 45 M max.. 30 knm 375. knm Mmax. 15. 9 05. 7 7. 5 knm - 18 -
iagramas de esforços iagrama de esforços axiais (kn) -15-10 10-5 iagrama de esforços transversos (kn) -15 10 15 45-6 -5 iagrama de momentos flectores (knm) -5 3.75-7.5 5-30 30-19 -
João M.. stêvão - ST - Ulg ) Neste problema o número de reacções é superior a três, logo será necessário estabelecer equações de equilíbrio interno de modo a que seja possível determinarmos o valor das reacções. esta forma vamos dividir a estrutura em quatro corpos distintos (,, e ). Sobre esses corpos actuam um conjunto de forças internas que correspondem às acções que uns corpos exercem sobre os outros, de forma a que se mantenha o equilíbrio estável. R V R H 40 kn/m 50 kn R V 1 1 3 4 0 kn 3 5 5 6 60 kn/m R H R V R M tendendo a que cada corpo está em equilíbrio estático, podemos estabelecer as seguintes equações: M 0 4 4 0 3 0 4 15 kn (mudar o sentido do vector) H 0 5 0 15 0 5 5 kn (mudar o sentido do vector) H 0 RH 5 kn - 0 -
iagramas de esforços H 0 15 kn (mudar o sentido do vector) H 0 RH 15 kn (mudar o sentido do vector) M 0 1 50 0 5 3 3 kn V 0 1 50 5 5 kn V 0 5 6 3 kn 60 V 0 RV 5 85 kn M 60 0 RM 5 130 knm 3 M 6 0 4 RV 40 6 6 5 0 RV 17. 5 kn V 0 RV 6 40 5 17. 5 47. 5 kn Valores finais: 47.5 40 5 50 15 15 5 5 17.5 15 0 5 5 5 5 60 5 130 85-1 -
João M.. stêvão - ST - Ulg Reacções de apoio e orientação das barras 15 kn 47.5 kn 17.5 kn 85 kn 5 kn 130 knm álculo dos esforços: sforços axiais N 0 kn N RH 15 kn N 4 15 kn N 3 6 5 kn N RH 5 5 kn sforços transversos V dir. R V 47. 5 kn V esq. V dir. 47. 5 40 4 11. 5 kn 11. 5 17. 5 105 kn V esq. 1 105 40 5 kn V dir. 1 5 kn V 3 5 50 5 kn V 5 5 kn - -
iagramas de esforços V 4 5 0 15 kn V 6 5 kn V esq. V 60 5 85 kn ( x). 47 5 40 x 0 47. 5 40 x x 11875. m Momentos flectores 40 11875. max. 11875. 47. 5 M M 4 47. 5 40 4 130 knm Mmax. 1 1 5 knm 8. knm Mmax. 1 4 15 knm M R M 130 knm iagrama de esforços axiais (kn) 15-5 -5-3 -
João M.. stêvão - ST - Ulg iagrama de esforços transversos (kn) 47.5 105 5-5 -15-11.5 5-5 -85 iagrama de momentos flectores (knm) -130 8. 5 15-130 - 4 -
iagramas de esforços 3) 10 40 40 50 40 40 40 40 30 10 50 150 quações de equilíbrio: H 0 RH 0 40 M 0 1 1 40 kn V 0 40 40 40 kn M 0 10 3 RV 40 4 RV 50 kn V 0 RV 40 50 RV 10 kn V 0 40 35. 50 10 50 RV RV 150 kn M 40 15. 0 50 3 RM 150 15. RM 30 knm M max. 40 8 0 knm Reacções de apoio e orientação das barras 30 knm 10 kn 50 kn 150 kn - 5 -
João M.. stêvão - ST - Ulg iagrama de esforços axiais (kn) iagrama de esforços transversos (kn) 40 50-10 -40-100 iagrama de momentos flectores (knm) -105-30 -40-30 0-6 -
iagramas de esforços 4) 36 5 5 47 40 47 1 40 5 161 70 3 5 47 33.3 33.3 17.68 5 17.68 50 40 5 5 5 40 G 60 100 5 H quações de equilíbrio: M GH 60 0 1 RVG 1 1 RVG 100 kn 3 GH 60 V 0 100 40 V 0 40 1 1 kn 3 1 kn M 0 1 50 5 H 0 5 kn 4 kn M 36 3 0 RV 3 40 R V 0 36 3 40 1 47 V 5 5 kn 1 kn - 7 -
João M.. stêvão - ST - Ulg H 0 5 6 4 kn H 0 RH 6 5 kn V 0 RV 3 47 70 kn M 0 RM 5 1 3 4 47 RM 161 knm H 0 RHG 5 50 RHG 5 kn x V( ) 47 36 x 0 47 36 x x 1. 30556 m M max.. 36 130556. 130556 47 30. 68 knm orpo, ponto : 47 cos 45º 47 sen 45º 33. 3 kn 5 cos 45º 5 sen 45º 17. 68 kn Reacções de apoio e orientação das barras 161 knm 5 kn 1 kn G H 5 kn 70 kn 100 kn - 8 -
iagramas de esforços iagrama de esforços axiais (kn) -5-50.91-40 5-5 iagrama de esforços transversos (kn) 47 70 47 15.56-5 -4-40 5 60-5 -40 iagrama de momentos flectores (knm) -161-91 -44 30.68 5-40 - 9 -
João M.. stêvão - ST - Ulg 5) 37.5.5 30 100 15 75 15 37.5 90 7 90 54 15 15 15 15 87.5 37.5 50 87.5 15 87.5 61.87 61.87 88.39 15 88.39 G 71 109.5 80 109.5 71 47 30 H 137.5 151 137.5 4 3 5 m arctan 3 36 4. 869898 o 90 cos 7 kn 90 sen 54 kn quações de equilíbrio: M 0 8 RV 7 1 RV 1 50 4 15 5 90 137 5. kn M 0 3 RH 50 1 3 1 RH 4 137. 5 15 kn H 0 1 RH 15 kn - 30 -
iagramas de esforços V 0 50 1 137. 5 87. 5 kn nó H 0 3 1 15 kn nó V 0 4 87. 5 15 4 37. 5 kn H 0 54 15 71 5 5 kn V 0 6 7 37. 5 109. 5 kn GH H 0 RHH 71 80 151 kn M GH 0 3 RVH 15. 80 30 3 151 1 109. 5 RVH 137. 5 kn V 0 RV 137. 5 137. 5 7 15 50 1 RV 47 kn orpo, ponto : 87. 5 cos 45º 87. 5 sen 45º 6187. kn 15 cos 45º 15 sen 45º 88. 39 kn orpo, ponto : 37. 5 cos 30 kn e 37. 5 s en. 5 kn 15 cos 100 kn e 15 sen 75 kn Reacções de apoio e orientação das barras G H 151 kn 137.5 kn 15 kn 137.5 kn 47 kn - 31 -
João M.. stêvão - ST - Ulg iagrama de esforços axiais (kn) -151-150.6-1.5-137.5-15 iagrama de esforços transversos (kn) -71 137.5 45 137.5 87.5-6.5 137.5-151 -45-109.5-71 iagrama de momentos flectores (knm) -305-167.5-137.5-305 -78.5-109.5 11.5 8 11.5 11.5 8-3 -
iagramas de esforços 6) 30 90 10 10 90 60 60 4.43 4.43 375 63.64 84.85 10 84.85 90 63.64 150 10 70 90 150 10 10 10 G 180 70 60 cos 45º 60 sen 45º 4. 43 kn quações de equilíbrio: H 0 1 30 4 10 kn H 0 10 3 1 kn M 0 4 60 4 10 90 V 0 RV 90 kn kn M 0 RM 15. 90 30 4 RM 375 knm - 33 -
João M.. stêvão - ST - Ulg V 0 4 90 60 150 kn M G 0 3 RV 1 150 4. 5 70 10 3 RV 70 kn V 0 RV 70 90 60 10 3 70 RV 180 kn orpo, ponto : 90 cos 45º 90 sen 45º 63. 64 kn 10 cos 45º 10 sen 45º 84. 85 kn Reacções de apoio e orientação das barras 375 knm 90 kn 180 kn 10 kn 70 kn G - 34 -
iagramas de esforços iagrama de esforços axiais (kn) -10-148.49 90-190.9-10 iagrama de esforços transversos (kn) -10-90 1.1-1.1 30 70-150 iagrama de momentos flectores (knm) 135 135 60-150 -105 375-35 -
João M.. stêvão - ST - Ulg 7) Reacções de apoio e orientação das barras G 114 knm 4 kn 15 kn 151 kn iagrama de esforços axiais (kn) -0 36-60 -5-4 -60 iagrama de esforços transversos (kn) 0-0 99 60-0 0 36-15 5-5 - 36 -
iagramas de esforços iagrama de momentos flectores (knm) 0-08 54 50-90 -10 144 114 8) Reacções de apoio e orientação das barras 400 kn 70 kn 46 knm 47.5 kn 194.5 kn G H I J iagrama de esforços axiais (kn) -194.5 00 100-70 -153.5-8.5-37 -
João M.. stêvão - ST - Ulg iagrama de esforços transversos (kn) 00 18-46 -47.5-00 -1 10 110 70-8.5-130 -160 iagrama de momentos flectores (knm) -300 46 95 30 15 60 65 80 90 90 60-38 -
iagramas de esforços 9) Reacções de apoio e orientação das barras 309 knm 336 kn 45 kn iagrama de esforços axiais (kn) 490 94 39 336-39 -
João M.. stêvão - ST - Ulg iagrama de esforços transversos (kn) 14 4 144 150 45 iagrama de momentos flectores (knm) 16 46 18.375 309-40 -
iagramas de esforços 10) 10 kn 195 kn 45 kn iagrama de esforços axiais (kn) 75 10 15 45 15 195-41 -
João M.. stêvão - ST - Ulg iagrama de esforços transversos (kn) 10 75 5 10 93 13 60 65 10 iagrama de momentos flectores (knm) 10 10.4 5 60 11) 434 kn ; R 60 kn ; R 5. 4 kn ; R M 66. knm R V H V - 4 -
iagramas de esforços 1) R H V V 117 kn ; R 08 kn ; R 66 kn 13) 14) R H 7 kn ; R 40 knm M R H V H R V 7. 5 kn ; R 100 kn ; R 17. 5 kn 85 kn ; R 30 kn V R H V. H 58 kn ; R 43 5 kn ; R 81 kn 15) 16) R V 76. 5 kn ; R 351 knm ; R 8 kn M R H V V HI 10 kn ; R 85 kn ; R 5 kn R H V H 60 kn ; R 340 kn ; R 115 kn 17) R V 0 kn ; R 690 knm M R H V HI VI 60 kn ; R 40 kn ; R 0 ; R 60 kn 18) R V H V HI 179 kn ; R 13 kn ; R 83 kn ; R 18 kn 19) 0) R R V HJ 1.75 kn ;R 67 knm ; R 68 kn 83 kn ;R VJ M 137.75 kn V R H V H V 45 kn ; R kn ; R 7 kn ; R 48 kn - 43 -