MATEMÁTICA FINANCEIRA COM MICROSOFT EXCEL

MATEMÁTICA FINANCEIRA COM MICROSOFT EXCEL

2 OBJETIVO Trasmitir ao participate as formas de evolução do diheiro com o tempo as aplicações e empréstimos e istrumetos para aálise de alterativas de ivestimetos, efatizar também aspectos teóricos para desevolver a capacidade de resolução de ovos problemas. Capacitar o participate a utilizar o Microsoft Excel a solução de problemas que evolvam a Matemática Fiaceira. RENATO BECKER Formação:- Matemática, Ecoomia, ós-graduação em Admiistração de Empresas e Cotroladoria. Experiêcia:- 10 aos como Aalista de Sistemas a Idústria de Fudição Tupy Ltda. 2 aos como Chefe de laejameto de Materiais a Idústria de Fudição Tupy Ltda. 4 aos como Assessor Técico do C a Idústria de Fudição Tupy Ltda. 4 aos como Coordeador do rojeto MR II a Idústria de Fudição Tupy Ltda. 9 aos como Gerete de Iformática a Idústria de Fudição Tupy Ltda. 6 aos como Gerete de Tecologia da Iformação a Termotécica Ltda. rofessor Uiversitário da cadeira de Matemática Fiaceira a FURJ desde 1978. 8 aos como Istrutor do SENAC para os semiários de Matemática Fiaceira e Calculadora H-12C. Istrutor da ABAM, FAE e FEJ.

3 R O G R A M A FUNDAMENTOS Coceituação Simbologia Fuções fiaceiras do Excel JUROS COMOSTOS.Caracterização Fórmulas.ricipal.Motate.Taxa de juros.numero de períodos RESTAÇÕES Caracterização restações iguais Taxa de juros.quatidade de parcelas restação atecipada restação com carêcia (diferida).restações com parcelas adicioais.saldo devedor FLUXO DE CAIXA Valor presete líquido Taxa itera de retoro Taxa Itera de retoro modificada TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Coceituação Fórmulas e exemplos Exercícios

4 INTRODUÇÃO A Matemática Fiaceira é utilizada em fução de valor emprestados ou aplicados e o mudo dos egócios o processo de aquisição de bes e serviços pode produzir duas trasações, a comercial e a fiaceira. A primeira é o ato de compra e veda e a seguda é gerada quado a compra/veda ão é quitada itegralmete e existe a ecessidade da iterveção de um agete fiaceiro (formal ou ão) GERAÇÃO DE UMA TRANSAÇÃO FINANCEIRA Todo produto ou serviço possui um valor de referêcia, que quado vamos a uma loja poderíamos comparar com o preço da ETIQUETA; Normalmete este primeiro valor é alvo de uma egociação, que pode ser reduzido através de um descoto, resultado o que chamamos de preço À VISTA; Quado o preço à vista ão é pago itegralmete, chamamos este valor parcial de ENTRADA, resultado um plao de pagametos acordado etre as partes para a difereça; O plao de pagametos é que gera a TRANSAÇÃO FINANCEIRA ode juros e motate serão calculados a partir da quatia fiaciada (). Em resumo: Trasação Comercial Valor de referêcia ou etiqueta Valor de referêcia - Descoto = Valor à Vista Valor À Vista - Etrada = Valor Fiaciado () Trasação Fiaceira Valor Fiaciado + Juros - agametos = agameto da dívida. JUROS CONCEITUAÇÃO A fim de produzir os bes de que ecessita, o homem combia os fatores produtivos - recursos aturais, trabalho e capital. Assim orgaizado a produção temos a geração de bes e serviços. A sua veda gera a reda que é distribuída a forma de salários, alugueis, lucros e juros, este último destiado aos proprietários do capital. No cálculo fiaceiro JURO é uma compesação em diheiro pelo uso de um capital fiaceiro, por um determiado tempo, a uma taxa previamete combiada. Diheiro que se paga pelo uso de diheiro emprestado

5 SIMBOLOGIA DA MATEMÁTICA FINANCEIRA (V) = ricipal, valor do capital o iício de uma trasação fiaceira, ou seja, é a quatia trasacioada, também chamada de valor atual, valor presete, capital, etc.. i (TAXA) = Taxa de juros por período de capitalização, expresso a forma decimal (%/100), também cohecida como taxa uitária de juros. (NER)= Número de uidades de tempo do ivestimeto, ou seja, é a duração da trasação fiaceira, (represeta a quatidade de capitalizações). j = Valor dos juros produzidos (recebidos/pagos) durate uma trasação fiaceira. S (VF) = Motate, valor do capital o fial do ivestimeto acrescido de juros, também cohecido como valor omial, valor futuro, valor fial, etc.. R (GTO) = Valor de uma parcela de pagameto, quado uma dívida é paga de forma parcelada. TIR = Taxa itera de retoro Diagrama de Fluxo de Caixa $ $ receitas 0 1 2 3 4-1 +---+---+---+---+...---+---+---+---> período despesas $ $ $ $ Cuidados os cálculos com Juros A taxa de juros deve sempre ser trasformada para o seu período de capitalização. A taxa de juros e o úmero de períodos de uma trasação fiaceira devem sempre ser expressos a uidade de tempo da taxa de juros.

6 SALDO MÉDIO O cálculo do saldo médio de um saldo bacário é o resultado da soma dos saldos diários dividido pelo úmero de dias de observação. $ + $ 2 + $ 3 + L saldo _ médio = 1 + $ $ 1 1 + $ 2 2 + $ 3 3 + L + $ saldo _ médio = 1 + 2 + 3 + L + Exemplo Saldo D/C Dias de Saldo Saldo x Dias Saldo Médio 600,00 C 5 710,00 C 4 280,00 C 12 110,00 C 9 TOTAL

7 FUNÇÕES FINANCEIRAS DO EXCEL Neste trabalho somete serão abordados cálculos de Matemática Fiaceira que evolvam Juros Compostos. ara se fazer cálculos fiaceiros, se pode escrever a fórmula ou etão utilizar a caixa de diálogo de auxílio para a composição da fórmula. ara ativar a caixa d diálogo de auxílio, a barra de Meus clicar em Iserir e escolher a opção Fução ou de forma rápida clicar em fx coforme idicado pela seta a figura abaixo. Uma caixa de diálogo e escolher a opção Fiaceira e selecioar a fução desejada. O Excel trasforma os dados a fórmula desejada. O Excel trabalha com o coceito de fluxo de caixa, ou seja, a resposta retorará com o sial cotrário do valor iformado isto quer dizer que ao iformar um valor positivo a resposta será um valor egativo e viceversa. ara a determiação da taxa de juros e do úmero de períodos os valores evolvidos devem se iformados com o sial trocado. Os valores iformados os cálculos podem ser: valores, fórmulas ou refereciar células. A taxa de juros deve ser iformada a forma uitária (%/100) ou o valor acompahado com o símbolo de porcetagem (%). Exemplo: 10 % a.m. = 0,1 ou 10%

8 FORMAS DE AGAMENTO OR JUROS COMOSTOS - agameto Simples (úico) - Série Uiforme de agametos (prestações) - Mistos AGAMENTO SIMLES No sistema de pagameto simples sempre estão evolvidos um pricipal e um motate, além de evidetemete da taxa de juros e do tempo do ivestimeto. ara sempre atribui-se o tempo (período) zero e para S o período. 0 1 2 3 4...... +---+---+---+---+---+---+---+---+----> S FÓRMULAS S ( 1+ i) = =VF(Taxa;Número de eríodos;;ricipal) S = =V(Taxa;Número de eríodos;;motate) ( 1 + i) + juros - juros Capitalização Descapitalização I

9 Exemplos 1. Um ivestimeto paga 5% a.m. de juros, quato é possível resgatar após 6 meses, se aplicarmos UM$ 35.000,00? 0 1 2 3 4.5.. 6 +---+---+---+---+---+---+----> S 2. Qual o pricipal, que aplicado a juros de 11% a.a. produz um motate de US$ 35.000,00 após 12 aos? 3. Um ivestimeto de UM$ 25.000,00 produz UM$ 36.600,00 ao fial de 4 meses. Qual a taxa de juros? S i = 1 =TAXA(;Número de eríodos;;ricipal;motate) 4. Durate quato tempo um capital de UM$ 100.000,00 deve ser aplicado a juros de 10% ao mês para produzir juros de UM$ 61.000,00? S log = =NER(Taxa;;ricipal;Motate) log 1 ( + i) 5. Um baco remuera as aplicações com juros de 3% a.m.. Se aplicarmos hoje UM$ 8.500,00 e UM$ 10.000,00 daqui a 3 meses qual será o resgate daqui a 6 meses?

10 RESTAÇÕES (ou Redas) Os sistemas de prestações são casos particulares de juros compostos e devido a sua freqüêcia e características foram desevolvidas fórmulas para a determiação dos valores. O pricipio do sistema de prestações é o de que cada parcela é composta por dois valores, amortização e juros. Os pricipais sistemas são:- - restações Iguais - restações Atecipadas - restações com carêcia ou diferidas - restações com pagametos adicioais (balão) RESTAÇÕES IGUAIS OU SÉRIE UNIFORME DE AGAMENTOS É o caso mais comum de sistema de prestações e serve como base para a maioria dos demais sistemas. 0 1 2 3 4...... +---+---+---+---+---+---+---+---+----> R R R R R R R R S R - parcela de pagameto ou prestação Ates de usarmos qualquer fórmula ou o Excel para cálculos que evolvam um sistema de prestações iguais é ecessário que sejam observadas as suas características. Características 1- O primeiro pagameto de um sistema de prestações iguais ocorre um período após o iicio da trasação fiaceira, ou seja, o período 0 é o iício da trasação fiaceira e a ele fica desigado o pricipal. 2- O valor da parcela (R) é costate durate toda a trasação fiaceira. 3- Não existem iterrupções de pagametos durate a trasação fiaceira. 4- O úmero de períodos a ser cosiderado como é igual a quatidade de prestações. 5- A taxa de juros e o itervalo de tempo etre pagametos de parcelas, devem ser expressos a uidade tempo da taxa de juros. 6- O motate (S) é obtido juto com o pagameto da última prestação. Isto sigifica dizer que a trasação fiaceira termia com o pagameto da última parcela. 7- O motate (S) de uma série uiforme de pagametos é igual ao motate do pricipal que deu origem a ela.

11 FÓRMULAS S = R ( 1 + i) 1 i =VF(Taxa;Nr. arcelas;arcela) R = S i ( ) 1 + i 1 =GTO(Taxa; Nr. arcelas;;motate) ( 1 + i) 1 ( ) i 1 + i = R =V(Taxa; Nr. arcelas;arcela) R = i ( 1 + i) ( ) 1 + i 1 =GTO(Taxa; Nr. arcelas;ricipal) Exemplos 1. Se depositarmos mesalmete UM$ 2.000,00 em uma cota que rede 5% a.m. de juros, quato teremos ao fial de 8 depósitos? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 +---+---+---+---+---+---+---+---+----> R R R R R R R R S 2. osso pagar mesalmete de UM$ 1500,00 durate os próximos 10 meses. Que quatia é possível fiaciar se cosiderarmos uma taxa de juros de 6% a.m.? 3. Uma compra de UM$ 72.000,00 será paga em 7 prestações mesais e iguais. Qual o valor da prestação, se a taxa de juros é de 11% a.m.?

12 4. A loja Vede Fácil diariamete distribui aos seus vededores os coeficietes para determiar o valor das prestações o caso de vedas a prazo. Hoje ela determiou que a taxa de juros a ser praticada é de 4,2% ao mês. Ajude o gerete determiar os coeficietes para os plaos de 4, 7 e 12 meses. TAXA DE JUROS DE UM SISTEMA DE RESTAÇÕES IGUAIS A taxa de juros de um sistema de prestações iguais ormalmete é determiada por meio de calculadoras fiaceiras ou etão por aproximações sucessivas com o uso de iterpolação liear. Exemplo Um fiaciameto de UM$ 40.000,00 será pago em 24 prestações mesais de UM$ 2.360,00 cada. Qual a taxa de juros usada o fiaciameto? =TAXA(;úmero de períodos;arcela;ricipal) odemos obter a taxa de juros, de forma aproximada, através da formula de Karppi R Q = 1 200 r = Q ( 3 + Q) ( 3 + 2 Q) + 3

13 NÚMERO DE ARCELAS DE UM SISTEMA DE RESTAÇÕES IGUAIS O úmero de parcelas de um fiaciameto a partir do valor fiaciado e do valor da prestação é determiado por:- R log = R i =NER(Taxa;arcela;ricipal) log 1 ( + i) Exemplo Um fiaciameto de UM$ 20.000,00 será pago em prestações mesais de UM$ 2.256,00 cada. A juros de 5% a.m qual a duração do fiaciameto? Obs. Quado o valor de for um úmero ão iteiro, será ecessário recalcular o valor da parcela pois, este tipo de trasação fiaceira ão existem períodos fracioários.

14 RESTAÇÕES ANTECIADAS Neste caso a primeira prestação é paga o dia da tomada do empréstimo, podemos dizer que estamos pagado uma etrada de valor igual ao da prestação. Este tipo de plao de pagametos é muito usado o comércio. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 +---+---+---+---+---+---+---+---+----> R R R R R R R R S FÓRMULA R = i 1 ( 1 + i) ( ) 1 + i 1 =GTO(Taxa;Nr. de arcelas;ricipal;;1) Exemplo Foram fiaciados UM$ 5.000,00, em 10 (1 + 9) prestações iguais, ode o primeiro pagameto ocorre o ato do fiaciameto. Qual o valor das prestações se a taxa aplicada é de 8% a.m.?

15 RESTAÇÕES COM CARÊNCIA OU DIFERIDAS Este tipo de plao de pagametos prevê que o pagameto da primeira prestação ocorre um certo úmero de períodos após a cotratação do empréstimo, ou seja existe uma carêcia. 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 +---+---+---+---+---+---+---+---+----> R R R R R Aqui devemos cosiderar dois períodos distitos q - úmero de períodos sem pagametos (3) - úmero de parcelas (5) FÓRMULA R = i + q ( 1 + i) ( ) 1 + 1 1 Exemplo ara fazer uma promoção de veda, será ecessário elaborar um plao de 6 prestações iguais, ode a primeira prestação vece 4 meses após a veda. Determiar o valor das prestações de uma veda de UM$ 5.000,00 e uma taxa de juros de 5,4% a.m.? 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 +---+---+---+---+---+---+---+---+---+-> R R R R R R 5000?

16 RESTAÇÕES COM ARCELAS ADICIONAIS São plaos de pagametos ode um ou mais pagametos são maiores ou meores que a prestação a ser paga ormalmete. q 0 1 2 3 4...... +---+---+---+---+---+---+---+---+----> R R R R R R R R ± Adic. odem ocorrer duas situações: - é cohecido o valor do adicioal - é cohecido o valor da prestação com o adicioal RESTAÇÕES ONDE É CONHECIDO O VALOR DO ADICIONAL Neste caso calcular primeiramete o valor atual () do adicioal S ADIC = + ( 1 i) Em seguida calcular a difereça etre o valor atual da dívida e o valor atual do adicioal, obtedo-se o saldo. SALDO = ADIC R Fialmete calcular o valor da prestação tomado-se o SALDO por pricipal. i ( 1+ i) ( ) 1+ i 1 R = R R = SALDO

17 Exemplos Uma compra de UM$ 9.000,00 será paga em 7 prestações, todas iguais, meos a quarta prestação que será UM$ 1.000,00 maior que as demais. Calcular valor das prestações com uma taxa de juros de 10% a.m.. q 0 1 2 3 4 5 6 7 +---+---+---+---+---+---+---+----> R R R R R R R 90000 +1000 - valor atual do adicioal - valor do saldo - valor da prestação Uma compra de UM$ 40.000,00 será paga em 9 prestações, todas iguais, meos a quita prestação que será UM$ 1.200,00 meor que as demais. Calcular valor das prestações com uma taxa de juros de 6% a.m.. Observação: ara plaos de pagametos ode é cohecido o valor da parcela com adicioal ão existe fórmula específica para resolver.

18 SALDO DEVEDOR DE UM SISTEMA DE RESTAÇÕES Cosiste em determiar a parcela do pricipal, aida ão paga em determiada ocasião. = 20000 r = 10% a.m. = 12 parcelas R =? Saldo devedor o vecimeto da 5 a prestação Mês Juros Saldo Devedor arcela Saldo Devedor Amortização ates do pgto após pgto 0 20.000,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Exemplos Uma compra esta sedo paga através de 17 prestações de UM$ 5.000,00. Cosiderado uma taxa de 6% a.m., qual o saldo devedor ates e após o pagameto da sétima prestação?

19 Uma compra esta sedo paga através de 20 prestações de UM$ 8.000,00. Cosiderado uma taxa de 14% a.m., determiar: a- Qual o valor à vista da compra? b- Qual o saldo devedor ates e após o pagameto da oa prestação? c- Quato deveria ser dado de etrada para liquidar a dívida em 12 prestações de UM$ 8.000,00? À vista Saldo Devedor 9 a restação Valor Etrada JUROS/AMORTIZAÇÃO DE UMA ARCELA Juros de uma parcela IGTO(Taxa;eríodo;Nr. arcelas;ricipal) Amortização de uma parcela GTO(Taxa;eríodo;Nr. arcelas;ricipal) Quais os juros e a amortização da oitava parcela de um fiaciameto de UM$ 10.000,00 com juros de 5% em 24 parcelas.

20 FLUXO DE CAIXA Quado um plao de pagametos ão é um lao covecioal (agameto Simples ou Série Uiforme de agametos), dizemos que se trata de um Sistema Misto e para determiar o ricipal ou a Taxa de Juros o Excel utiliza um recurso deomiado Fluxo de Caixa represetado. Quado um ou mais períodos ão apresetarem valor, para eles deve-se iformar o valor zero tatas vezes quato ele se repete. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+----> 100 200 300 300 300 300 400 500 500 500 400 VALOR RESENTE LÍQUIDO =VL(Taxa;{Valor1;Valor2;...}) =VL(Taxa;Itervalo) Receitas e despesas devem ter sial cotrário Exemplo Determiar o valor atual (pricipal) do fluxo de caixa abaixo, com uma taxa de 5% a.m. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+----> 100 200 300 300 300 300 400 500 500 500 400 =? TAXA INTERNA DE RETORNO =TIR({ricipal;arcela1;arcela3;...}) =TIR(itervalo) Receitas e despesas devem ter o sial cotrário Determia a taxa itera de juros do fluxo de caixa. Obs. Receitas e despesas devem ser iformadas com siais cotrários.

21 Exemplo Determiar a taxa itera de retoro do fluxo de caixa abaixo. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+----> 100 200 300 300 300 300 400 500 500 500 400 2100 TAXA INTERNA DE RETORNO MODIFICADA Retora a taxa itera de retoro modificada para uma série de fluxos de caixa periódicos. MTIR cosidera o custo do ivestimeto e os juros recebidos o reivestimeto do capital. =MTIR({ricipal;parcela1;parcela3;...};Taxa do fiaciameto;taxa de reivestimeto) Receitas e despesas devem ter o sial cotrário Obs. Receitas e despesas devem ser iformadas com siais cotrários. Exemplo Determiar taxa itera de retoro modificada do fluxo de caixa abaixo, com uma taxa do fiaciameto igual a 7,87% a.m. e a taxa de reivestimeto de 9% a.m. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+----> 100 200 300 300 300 300 400 500 500 500 400 2100

22 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Quado uma taxa de juros é paga em parcelas proporcioais, os juros obtidos o fial de um úmero de períodos são maiores do que os calculado pela taxa oferecida. or exemplo, se um pricipal de UM$ 10.000,00 for aplicado a 20% ao ao capitalizados trimestralmete, temos:- i = 20 / 4 = 5% ao trimestre = 10000,00 = 1 ao = 4 trimestres S = 10000 1 ( + 4 0,05 ) = 12.150, 00 Assim os juros realmete pagos são de 21,5%. Com isto 20% ao ao capitalizados trimestralmete, represeta a taxa omial e 21,5% ao ao represeta a taxa efetiva. FÓRMULAS ie = ( 1 + i) 1 i = i = úmero de capitalizações a acumular Exemplos 1. Quais as taxas omial e efetiva aual equivalete a 11% ao bimestre? 2. ara 10% a.m. calcular as taxas efetiva equivalete a:- 1 trimestre 1 semestre 1 ao 2 aos 5 aos

23 3. Sedo a taxa aual de 381,7% ao ao, qual a taxa mesal equivalete? i e = 381,7% ao ao = 12 meses i = ( 1 + i ) 1 e 4. Um baco cobra juros de 4% a.m.. Qual a taxa de juros para uma operação de 48 dias? 5. Uma operação fiaceira de 66 dias cobrou juros equivaletes 7,2%. Qual a taxa mesal correspodete?