Volume - Módulo 3ª edição Cálculo II Dimérico Pereir Pombo Jr. Pulo Herique C. Gusmão Apoio:
Fudção Cecierj / Cosórcio Cederj Ru Viscode de Niterói, 364 Mgueir Rio de Jeiro, RJ CEP 943- Tel.: () 334-569 Fx: () 568-75 Presidete Msko Oy Msud Vice-presidete Miri Crpez Coordeção do Curso de Mtemátic UFF - Regi Moreth UNIRIO - Luiz Pedro S Gil Jutuc Mteril Didático ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO Dimérico Pereir Pombo Jr. Pulo Herique C. Gusmão COORDENAÇÃO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL Cristie Cost Brreto DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL E REVISÃO A Mri Osbore A Terez de Adrde Je Cstelli Leordo Villel Nilce P. Rgel Del Rio COORDENAÇÃO DE LINGUAGEM Mri Agélic Alves Deprtmeto de Produção EDITORA Terez Queiroz COORDENAÇÃO EDITORIAL Je Cstelli REVISÃO TIPOGRÁFICA Equipe Cederj COORDENAÇÃO DE PRODUÇÃO Jorge Mour PROGRAMAÇÃO VISUAL Mrcelo Freits ILUSTRAÇÃO Equipe Cederj CAPA Edurdo Bordoi Fábio Muiz PRODUÇÃO GRÁFICA Ptrici Sebr P784c Copyright 5, Fudção Cecierj / Cosórcio Cederj Nehum prte deste mteril poderá ser reproduzid, trsmitid e grvd, por qulquer meio eletrôico, mecâico, por fotocópi e outros, sem prévi utorizção, por escrito, d Fudção. Pombo Júior, Dimérico P. Cálculo II. v. / Dimérico P. Pombo Júior -- 3.ed.-- Rio de Jeiro: Fudção CECIERJ,. 8p.; x 9,7 cm. ISBN: 85-7648-45-X. Cálculo.. Técics de itegrção. 3. Cálculo itegrl. I. Gusmão, Pulo Herique C. II. Título. / CDD: 55.43 Referêcis Bibliográfics e ctlogção fote, de cordo com s orms d ABNT.
Govero do Estdo do Rio de Jeiro Goverdor Sérgio Cbrl Filho Secretário de Estdo de Ciêci e Tecologi Alexdre Crdoso Uiversiddes Cosorcids UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO Reitor: Almy Juior Cordeiro de Crvlho UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Reitor: Aloísio Teixeir UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitor: Ricrdo Vieirlves UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO Reitor: Ricrdo Mott Mird UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Reitor: Roberto de Souz Slles UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitor: Mlvi Ti Tuttm
Cálculo II Volume SUMÁRIO Módulo : A itegrl defiid 7 Aul A itegrl defiid. Motivção. 9 Dimérico Pereir Pombo Jr. Aul A itegrl defiid. 7 Dimérico Pereir Pombo Jr. Aul 3 O Teorem Fudmetl do Cálculo. 7 Dimérico Pereir Pombo Jr. Aul 4 O Teorem Fudmetl do Cálculo. Cotiução. 33 Dimérico Pereir Pombo Jr. Aul 5 Cálculo de áres. O teorem do vlor médio pr itegris. 43 Dimérico Pereir Pombo Jr. Aul 6 Exercícios resolvidos. 55 Dimérico Pereir Pombo Jr. Aul 7 A fução logrítmic. 6 Dimérico Pereir Pombo Jr. Aul 8 A fução logrítmic. Cotiução. 7 Dimérico Pereir Pombo Jr. Aul 9 A fução expoecil. 79 Dimérico Pereir Pombo Jr. Aul A fução expoecil. Cotiução. 87 Dimérico Pereir Pombo Jr. Aul Exercícios resolvidos. 93 Dimérico Pereir Pombo Jr. Aul Outrs idetermições d regr de L'Hôpitl. Pulo Herique C. Gusmão Aul 3 Gráficos de fuções. 7 Pulo Herique C. Gusmão Aul 4 Exercícios resolvidos. 5 Pulo Herique C. Gusmão Aul 5 Exercícios resolvidos. 3 Pulo Herique C. Gusmão
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Módulo A Itegrl Defiid O pricipl objetivo deste módulo é o estudo d itegrl defiid de fuções reis defiids em itervlos fechdos e itdos, com êfse o cso em que s fuções cosiderds são cotíus. O resultdo cetrl qui presetdo é o Teorem Fudmetl do Cálculo pr fuções cotíus, o qul permite obteção d itegrl defiid de certs fuções de meir utomátic. Eftizmos tmbém como itegrl defiid é um ferrmet importte pr o cálculo de áres de regiões pls. Usmos itegrl defiid pr itroduzir, de meir rigoros, fução logrítmic, cujs proprieddes básics são discutids detlhdmete. Filmete, defiimos fução expoecil como ivers d fução logrítmic e discutimos detlhdmete s sus proprieddes básics. 7 CEDERJ
A itegrl defiid. Motivção. MÓDULO - AULA Aul A itegrl defiid. Motivção. Objetivos Compreeder um rgumeto, de cráter geométrico, que permitirá clculr áre de certs regiões pls. Referêcis: Auls e de Cálculo I. Cosideremos um fução f :[, b] R cotíu em [, b] etlque f(x) prtodox [, b]. Vmos discutir seguite pergut: Como clculr áre d região R compreedid etre o gráfico de f, o eixo ds bscisss e s rets x = e x = b? (Ver Figur.). R b Figur. Por exemplo, se f : [, ] R é defiid por f(x) =prtodo x [, ], etão os ossos cohecimetos de Geometri Pl os dizem que áre d região compreedid etre o gráfico de f, o eixo ds bscisss e s rets x =ex =é(verfigur.). Figur. Os ossos cohecimetos de Geometri Pl tmbém os grtem que se f :[, ] R é defiid por f(x) = x pr todo x [, ], etão 9 CEDERJ
A itegrl defiid. Motivção. áre d região compreedid etre o gráfico de f, o eixo ds bscisss e s rets x = ex =é (ver Figur.3). Figur.3 No etto, Geometri Pl é isuficiete pr respoder oss pergut o cso gerl. Por exemplo, sej f : [, ] R defiid por f(x) =x pr todo x [, ] e cosideremos região compreedid etre o gráfico de f, o eixo ds bscisss e ret x = (ver Figur.4). Figur.4 Não há, Geometri Pl, ferrmet que os permit clculr áre d região idicd. Pr tetr tcr o problem, vmos usr o procedimeto que pssremos descrever prtir de gor. Pr cd iteiro, dividmos o itervlo [, ] em subitervlos iguis, obtedo ssim os itervlos [ [, ],, [ ],...,, ] [ e, ], cd um deles possuido comprimeto. Observemos que se =terímos os itervlos [ [, ] e, ],se =3terímos os itervlos [ [, 3],, 3 3] e [, ],se =4terímos os itervlos [ ] [, 3 4,, ] [ 4 4,, ] [ 3 4 4 e 3, ], e ssim 4 por dite. CEDERJ
A itegrl defiid. Motivção. MÓDULO - AULA Pr cd iteiro, vmos defiir três úmeros, T, U e V,d seguite form: e T = f() U = f ( ) + f ( ) + + f ( ) + f ( ) + + f() = = k= k= f ( ) k, f ( ) k V = f(t ) + f(t ) + + f(t ) + f(t ) = k= f(t k ), ode t [, ], t [, tomdos de meir rbitrári. ],..., t [, ] e t [, ] são Ates de prosseguir, observemos que os úmeros T, U e V têm um sigificdo geométrico bstte simples. De fto, pr cd k =,...,, oúmero f ( ) k represet áre do retâgulo de bse [ k, ] k eltur f ( ) f ( ) k k,oúmero represet áre do retâgulo de bse [ k, ] k e ) eoúmero f(t k ) ltur f ( k k represet áre do retâgulo de bse [, k ]e ltur f(t k ). Assim, cd um dos úmeros T, U e V represet som ds áres dos retâgulos que cbmos de mecior. Por exemplo, os úmeros T 4, U 4 e V 4 represetm s áres ds regiões hchurds s Figurs.5,.5b e.5c, respectivmete, equto os úmeros T 8, U 8 e V 8 represetm s áres ds regiões hchurds s Figurs.6,.6b e.6c, respectivmete. Éfácil observr que T 8, U 8 e V 8 são um melhor proximção pr o vlor d áre procurd do que T 4, U 4 e V 4. Veremos, seguir, que est firmção é meos igêu do que poss precer. CEDERJ
A itegrl defiid. Motivção. /4 / 3/4 /4 / 3/4 () (b) t /4 t / t 3/4 t 3 4 (c) Figur.5 /8 /8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 /8 /8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 () (b) /8 3/8 5/8 7/8 t t t t t t t t /8 4/8 6/8 3 4 5 6 7 8 (c) Figur.6 CEDERJ
A itegrl defiid. Motivção. MÓDULO - AULA Notemos que, como t k [ k, k ] pr k =,..., ecomof écrescete, etão ( ) ( ) k k f f(t k ) f pr k =,...,.Coseqüetemete, k= f ( ) k k= f(t k ) k= f ( ) k, isto é, T V U. Notemos id que, pr cd iteiro, T = k= f ( ) k = (k ) k= 3 = 3 ( ) (k ) k= e U = k= f ( ) k = k= k 3 = 3 ( ) k. k= Fçmos gor um prêteses pr provr que k = + + + = k= ( + )( +) 6 pr todo iteiro. Pr isto, vmos usr o pricípio de idução fiit. Éclroque firmção cim éválid pr =. Sejm um iteiro positivo e dmitmos firmção verddeir pr m, ou sej, supohmos que + + + m = m(m + )(m +). 6 3 CEDERJ
A itegrl defiid. Motivção. Etão + + + m +(m +) = m(m + )(m +) 6 ( m(m +) = (m +) 6 +(m +) = ) +(m +) = ( ) m + m +6m +6 = (m +) = 6 ( ) m +7m +6 = (m +) = 6 ( ) (m + )(m +3) = (m +) = 6 = (m +)((m +)+)((m +)+). 6 Isto mostr que firmção éválid pr m +. Pelo pricípio de idução fiit oss firmção éválidprtodoiteiro. Em vist do que cbmos de provr, segue que T = ( ) (k ) = ( + +( ) ) = 3 3 k= = = ( )(( ) + )(( ) + ) 6 3 = ( )( ) 6 3 = e ( ) U = k = 3 k= pr todo iteiro. Logo, e = 3 3 + 6 3 ( + )( +) 6 3 T 3 3 + = = 6 3 6 = 3 = 3 +3 + 6 3 U 3 +3 + = = 6 3 6 = 3. CEDERJ 4
A itegrl defiid. Motivção. MÓDULO - AULA E, como T V U pr todo, podemos tmbém firmr que V = 3. Em resumo, cbmos de mostrr que T = U = V = 3. Isto sigific que, pr suficietemete grde, os úmeros T, U e V estão bem próximos de. Ou, em outrs plvrs, se dividirmos o itervlo 3 [, ] em subitervlos de comprimeto bem pequeo, s soms ds áres dos retâgulos obtidos ds três meirs meciods teriormete, que são precismete os úmeros T, U e V,estrão bem próxims de 3.Seri turl dmitir que áre procurd vlesse 3.Npróximulveremosque é este precismete o cso e que, bem d verdde, o rgumeto utilizdo se plic qulquer fução cotíu f :[, b] R tl que f(x) pr todo x [, b]. Filmete, cbe mecior que est ul tmbém tivemos oportuidde de preprr o terreo pr itroduzir oção de itegrl defiid, ser estudd prtir d próxim ul. Resumo Nest ul você foi presetdo um rgumeto que permitirá clculr áre de certs regiões pls. Exercícios. Mostre, por idução, que pr todo iteiro. 3 + 3 + + 3 = 4 4 + 3 + 4. Sej f(x) =x 3 pr todo x [, ] e cosidere s seqüêcis (T ), (U ) e(v ), ode ( t [, T = k= f ( ) k ], t [,, U = k= ],..., t [ f ( ) k e V = k= f(t k ), ] e t [, ]). 5 CEDERJ
A itegrl defiid. Motivção. Mostre que T = U = V = 4. Sugestão: Rciocie como fizemos pr fução f(x) =x. Auto-vlição Nestuldiscutimosidéi qul repous oção de itegrl defiid. Como est oção desempeh um ppel cetrl em tudo o que veremos seguir,só psse pr próxim ul pós fzer o segudo exercício proposto. CEDERJ 6
Objetivos A itegrl defiid. Aul A itegrl defiid. Compreeder oção de itegrl defiid. MÓDULO - AULA Referêcis: Auls de Cálculo I e de Cálculo II. Estudr lgums proprieddes d itegrl defiid. Nest ul, poidos o germe lçdo ul pssd, vmos itroduzir oção de itegrl defiid de um fução rel cujo domíio éum itervlo fechdo e itdo e cuj imgem é um cojuto itdo. Iicilmete, lembremos que um subcojuto ão vzio T R é itdo qudo existem m, M m t M pr todo t T. R (ão ecessrimete em T ) tis que O teorem de Weierstrss, visto ul 7 de Cálculo I, os grte que se f :[, b] R écotíu em [, b], etão su imgem f([, b]) = {f(x); x [, b]} é um cojuto itdo. Defiição. Supohmos < b esejf : [, b] R tl que f([, b]) é um cojuto itdo. Pr cd iteiro, cosideremos os potos = x <x <x < <x <x <x = b tis que x k x k = b pr k =,..., e tomemos rbitrrimete potos t,t,...,t e t tis que t [x,x ], t [x,x ],..., t [x,x ]et [x,x ]. Cosideremos etão som S = f(t )(x x )+f(t )(x x )+ + + + f(t )(x x )+f(t )(x x )= = f(t k )(x k x k )= f(t k ) b = b ( ) f(t k ), k= usulmete cohecid como um som de Riem de f em [, b]. k= k= Georg Friedrich Berhrd Riem (86-866), otável mtemático lemão, professor em Göttige, foi um ds figurs cetris d Mtemátic o século XIX. Riem foi um dos fuddores d Teori ds Fuções Alítics, ms tmbém fez importtes cotribuições à Geometri,à Teori dos Números e à Físic Mtemátic. Ele formulou hipótese de Riem, cojectur respeito d fução zet que cotiu em berto té hoje eque,seprovd,dri iformções importtes sobre distribuição dos úmeros primos. Notemos que, se f(x) prtodox [, b], etão S represet som ds áres de retâgulos (o primeiro de bse [x,x ] e ltur f(t ), o segudo de bse [x,x ] e ltur f(t ),..., o peúltimo de bse [x,x ] elturf(t )eoúltimo de bse [x,x ] e ltur f(t )), como idicmos Figur.. 7 CEDERJ
A itegrl defiid. x t x t x t x t b Figur. Pode-se provr que S, cso exist, éúico. As otções R b f(t)dt, f(u)du,... são R b f(s)ds, R b tmbém usds pr represetr itegrl de f em [, b]. Se existir um úmero rel S tl que S = S, pr tod seqüêci (S ) ssim costruíd, diremos que fução f éitegrável em [, b] e escrevemos Oúmero S = f(x)dx. f(x)dx éditoitegrl (ou itegrl defiid) de f em [, b]. Ele tmbém é cohecido como itegrl de Riem de f em [, b]. Se > b, defiimos f(x)dx =. f(x)dx = N ul terior cosidermos s soms f ( ) k T =, U = k= b f(x)dx. k= f ( ) k Defiimos, id, e V = k= f(t k ) s quis, como éfácil otr, são soms de Riem d fução f(x) =x o itervlo [, ]. Admitido, por um istte, itegrbilidde de f em [, ] (ver o teorem seguir), terímos CEDERJ 8 x dx = T = U = V, emvistddefiição.. Por outro ldo, vimos referid ul que os úmeros T, U e V se proximm d áre compreedid etre o gráfico de f, o eixo ds bscisss e ret x =àmedidque cresce. Isto motiv defiição seguir.
A itegrl defiid. MÓDULO - AULA Defiição. Sej f : [, b] R um fução itegrável em [, b] tlque f(x) prtodox [, b]. Defiimos áre d região compreedid etre o gráfico de f, o eixo ds bscisss e s rets x = e x = b como sedo oúmero f(x)dx. Por outro ldo, se f :[, b] R é um fução itegrável em [, b] e f(x) prtodox [, b], defiimos áre d região compreedid etre ográfico de ( f, o eixo ds bscisss e s rets x = e x = b como sedo o b ) úmero f(x)dx. Um resultdo muito importte, cuj demostrção será vist discipli de Aálise, é o seguite Teorem. Se f :[, b] R écotíu em [, b], etão f éitegrável em [, b]. Mis gerlmete, épossível provr que se f :[, b] R possui imgem f([, b]) itd e écotíu,excetoemumúmero fiito de potos de [, b], etão f éitegrável em [, b]. Exemplo. Sej f :[, ] R defiid por f(x) =x pr todo x [, ]. Como f é cotíu em [, ], o Teorem. os grte que f éitegrável em [, ]. Logo, pel Defiição., x dx = S, pr qulquer seqüêci (S ) de soms de Riem de f em [, ]. prticulr, como V =,segueque 3 Em x dx = 3. Portto, áre d região compreedid etre o gráfico de f, oeixo ds bscisss e ret x =é, respodedo ssim àpergutformuld 3 ul terior. Exemplo. Sej f : [, b] R defiid por f(x) = c pr todo x [, b]. f(x)dx = c(b ). Etão 9 CEDERJ
A itegrl defiid. Notemos que itegrbilidde de f segue imeditmete do Teorem.. Ms, este cso, el pode ser provd fcilmete, como veremos seguir. De fto, pr cd iteiro, sejm = x < x < x < <x <x <x = b como Defiição. e t k [x k,x k ]pr k =,...,.Etão S = f(t k )(x k x k )= Portto, k= ( ) c (x k x k )=c (x k x k ) = k= = c ((x )+(x x )+ +(x x )+(b x )) = = c(b ). S = c(b ). k= Isto mostr que f éitegrável em [, b] e f(x)dx = cdx= c(b ). No cso em que c>, c(b ) é precismete áre do retâgulo de ldo [, b] e ltur c, que coicide com áre d região compreedid etre o gráfico de f, o eixo ds bscisss e s rets x = e x = b (ver Figur.). c b Figur. Vejmos, gor, um exemplo de um fução que ão éitegrável. CEDERJ
A itegrl defiid. MÓDULO - AULA Exemplo.3 Sej f :[, ] R defiid por f(x) =sex Q [, ] e f(x) =se x (R Q) [, ]. Mostremos que f ão éitegrável em [, ]. Com efeito, pr cd iteiro, sejm = x < x < x < <x <x <x =tisquex k x k = pr k =,..., e tomemos potos t k,t k [x k,x k ]tisquet k Q [x k,x k ]et k (R Q) [x k,x k ]prk =,...,(qui estmos usdo o fto importte segudo o qul etre dois úmeros reis há sempreumúmero rciol e um úmero irrciol). Como f(t k )=ef(t k )=prk =,...,,obtemos S = ( k= ) f(t k ) = e S = ( ) f(t k ) =. k= Portto, S = e S =. Assim, f ão éitegrável em [, ]. N proposição seguir veremos lgums proprieddes elemetres d itegrl defiid. Proposição. Sejm f,g :[, b] R dus fuções itegráveis em [, b] eα um úmero rel. Vlem s seguites proprieddes: () se f(x) prtodox [, b], etão (b) fução αf éitegrável em [, b] e f(x)dx ; (αf)(x)dx = αf(x)dx = α f(x)dx; c) fução f + g éitegrável em [, b] e (f + g)(x)dx = (f(x)+g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx. CEDERJ
A itegrl defiid. Demostrção: Provremos () e (b). Iicilmete, provemos (). Com efeito, pr cd iteiro, sejm = x <x <x < <x <x <x = b como Defiição. e t k [x k,x k ]prk =,...,.Etão S = b ( ) f(t k ), k= pois f(t k ) prk =,...,. Portto, pelo Exercício (), d ul de Cálculo I, obtemos S, ou sej, f(x)dx. Agor, provemos (b). Com efeito, pr cd iteiro, sejm = x <x <x < <x <x <x = b como Defiição. e t k [x k,x k ]prk =,...,. Defimos Etão S = b ( k= S = b ( ) (αf)(t k ). k= ) ( b αf(t k ) = α ode S = b ( ) f(t k ). Portto, k= ( ) S = α S = α Isto mostr que αf éitegrável em [, b] e (αf)(x)dx = ( αf(x)dx = α k= )) f(t k ) = αs, f(x)dx. f(x)dx. Fçmos, gor, um cometário respeito d oção de áre. Pr um fução f :[, b] R itegrável e tl que f(x) prtodox [, b], defiimos áre d região compreedid etre o gráfico de f, o eixo ds bscisss esretsx = e x = b como sedo o úmero Proposição.(), que, sob s codições meciods, f(x)dx. Acbmos de ver, f(x)dx. CEDERJ
A itegrl defiid. MÓDULO - AULA Assim, referid áre éumúmero mior ou igul zero, como seri de se esperr. Por outro ldo, pr um fução f :[, b] R itegrável e tl que f(x) prtodox [, b], defiimos áre d região compreedid etre ográfico ( de f, o eixo ds bscisss e s rets x = e x = b como sedo b ) f(x)dx.ms,pelproposição.(b), f éitegrável em [, b] e ( ( f)(x)dx = ) f(x)dx. Como ( f)(x) = f(x) prtodox [, b], Proposição.() os grte que ( f)(x)dx. Assim, referid áre éumúmero mior ou igul zero, como seri de se esperr. Como coseqüêci imedit do Exemplo. e d Proposição.(c), obtemos: Exemplo.4 Se f :[, b] R éitegrável em [, b] ec R, etãofução g :[, b] R, defiid por g(x) =f(x)+c pr todo x [, b], éitegrável em [, b] e Exemplo.5 g(x)dx = (f(x)+c)dx = f(x)dx + c(b ). Se f,g :[, b] R são itegráveis em [, b] ef(x) g(x) prtodox [, b], etão f(x)dx g(x)dx. De fto, pel Proposição.(b),(c), f g = f +( g) éitegrável em [, b]. E, como (f g)(x) =f(x) g(x) prtodox [, b], segue d Proposição.() que Ms, Portto, (f g)(x)dx = (f g)(x)dx. (f(x) g(x))dx = f(x)dx g(x)dx. f(x)dx g(x)dx. 3 CEDERJ
A itegrl defiid. N próxim proposição euciremos um resultdo que ão será demostrdo este curso. Proposição. Sejm f :[, b] R itegrável em [, b] e<u<b.etão f [,u] ( restrição de f [, u]) éitegrável em [, u], f [u,b] ( restrição de f [u, b]) éitegrável em [u, b] e Exemplo.6 f(x)dx = u f(x)dx + u f(x)dx. Defimos f :[, ] R por f(x) =x + se x [, ] e f(x) =se x [, ] (o gráfico de f éesboçdo Figur.3). Clculemos f(x)dx. Figur.3 De fto, como f écotíu em [, ], etão f éitegrável em [, ]. Além disso, pel Proposição., f(x)dx = f(x)dx + Ms, pelo que vimos est ul, f(x)dx = (x +)dx = f(x)dx. x dx +( ) = 3 += 4 3 e f(x)dx = dx =( ) =. Portto, f(x)dx = 4 3 += 3. CEDERJ 4
A itegrl defiid. MÓDULO - AULA Resumo Nestulvocê foi presetdo àoção de itegrl defiid e viu lgums proprieddes elemetres d itegrl defiid. O fto importte segudo o qul tod fução cotíu de [, b] emr éitegrável em [, b] foi tmbém meciodo. Exercícios. Clcule x dx.. Sej f(x) = x pr todo x [, ]. Clcule áre d região compreedid etre o gráfico de f, o eixo ds bscisss e ret x =. 3. () Mostre, por idução, que + + = (+) pr todo iteiro. (b) Mostre que xdx = b. Sugestão: Você já sbe que fução f(x) =x éitegrável em [, b], pois el écotíu em [, b]. Pr cd iteiro, cosidere som de Riem S = b ( ( )) k(b ) f + k= e mostre que S = b. 4. Rciocie, como ul, pr mostrr que x dx = b3 3 3 3. 5. Clcule (x + x +)dx. 6. Sej f :[, ] R defiid por f(x) = x se x [, ] e f(x) =x se x [, ]. Mostre que f(x)dx =. 7. Sej f :[, b] R um fução itegrável tl que m f(x) M pr todo x [, b]. Mostre que m(b ) f(x)dx M(b ). 5 CEDERJ
A itegrl defiid. Auto-vlição Nos exercícios dest ul você teve oportuidde de fixr oção de itegrl defiid e lgums de sus proprieddes. Cso ão teh coseguido fzer todos os exercícios, relei ul e depois tete ovmete. Cso persist lgum dúvid, cosulte o tutor o pólo. CEDERJ 6
Objetivo O Teorem Fudmetl do Cálculo. Aul 3 O Teorem Fudmetl do Cálculo. Iicir o estudo do Teorem Fudmetl do Cálculo, que forece um meir simples de se clculr itegrl defiid de fuções cotíus defiids em itervlos fechdos e itdos. MÓDULO - AULA 3 Referêcis: Auls 6, 7, 9,, de Cálculo I, e de Cálculo II. N ul terior você predeu que tod fução cotíu f :[, b] R éitegrável. Etretto, tedo em vist complexidde d defiição, clculr o úmero f(x)dx pode ão ser simples, como já ficouclros dus uls teriores. Nest ul iiciremos o estudo de um teorem importte que, em certos csos, os levrá oúmero utomátic: o Teorem Fudmetl do Cálculo. f(x)dx de meir Comecemos eucido um proposição cuj demostrção será vist discipli de Aálise. Proposição 3. Se f :[, b] R éitegrável em [, b], etãofução f :[, b] R é itegrável em [, b]. Além disso, f(x)dx f (x)dx = f(x) dx. Lembremos que, por defiição, f (x) = f(x) pr todo x [, b]. Exemplo 3. Arecíproc d Proposição 3. ão é verddeir em gerl, ou sej, podemos ter f itegrável sem que f sej itegrável. Relmete, cosideremos fução f :[.] R defiid por f(x) = se x Q [, ] e f(x) =sex (R Q) [, ]. Rciocido como o Exemplo.3, cocluímos que f ão éitegrável em [, ] (fç os detlhes). Etretto, como f (x) = f(x) = pr todo x [, ], etãofução f éitegrável em [, ]. Sejm <be f :[, b] R um fução cotíu em [, b]. Pr cd x [, b] defimos F (x) = x f(t)dt. 7 CEDERJ
O Teorem Fudmetl do Cálculo. Notemos que, como f écotíu em [, b], etão f écotíu em [, x], logo itegrável em [, x] prtodox [, b]; ssim, fz setido cosiderr fução F. Notemos id que, se f(x) prtodox [, b], etão F (x) represet áre d região compreedid etre o gráfico de f, oeixods bscisss e s rets t = e t = x; verfigur3.. x b Figur 3. Teorem 3. [ form do Teorem Fudmetl do Cálculo] Se <be f :[, b] R é cotíu em [, b], etão F éderivável em [, b] e F (x) =f(x) pr todo x [, b]. Demostrção: Fixemos x (, b). Mostremos que F éderivável em x e F (x) =f(x). Os csos em que x = ou x = b são trtdos de meir álog. Devemos provr que o que equivle provr que F (t) F (x) t x t x Provremos que F (t) F (x) t x t x = f(x), = f(x) e t x + F (t) F (x) t x F (t) F (x) t x + t x = f(x), = f(x). CEDERJ 8
O Teorem Fudmetl do Cálculo. MÓDULO - AULA 3 sedo o cso do ite lterl à esquerd trtdo de meir álog. Tomemos etão um seqüêci (t ) rbitrári tl que x<t b pr todo e t = x. Verifiquemos que F (t ) F (x) t x Com efeito, segue d Proposição. que F (t ) F (x) = t Como, pelo Exemplo., f(t)dt t x x = f(x). f(t)dt = fixdo, f(x) fz o ppel de um costte), obtemos F (t ) F (x) t x f(x) = t x f(t)dt. f(x)dt = (t x)f(x) (comox está t x Por outro ldo, pel Proposição.(c), Logo, t x f(t)dt t x t x F (t ) F (x) t x f(x)dt = t x f(x) = f(t)dt t x t x t x t x f(x)dt t x. (f(t) f(x))dt. t x (f(t) f(x))dt. t x Assim, pel Proposição 3., obtemos F (t ) F (x) t f(x) (f(t) f(x))dt t x f(t) f(x) dt x t x =. t x t x PeloteoremdeWeierstrss,vistoul7deCálculo I, pr cd existe z [x, t ]tlque f(t) f(x) f(z ) f(x) pr todo t [x, t ] (estmos plicdo o teorem de Weierstrss à fução cotíu t [x, t ] f(t) f(x) R). Pelo Exemplo.5, segue que t x f(t) f(x) dt t x f(z ) f(x) dt =(t x) f(z ) f(x). Coseqüetemete, temos F (t ) F (x) f(x) t x f(z ) f(x) pr todo. 9 CEDERJ
O Teorem Fudmetl do Cálculo. Filmete, como f écotíu em x e z = x (pois x z t e t = x ), temos que f(z )=f(x), isto é, (f(z ) f(x)) =, isto é, f(z ) f(x) =. Portto, em vist d desiguldde cim, F (t ) F (x) = f(x). t x Como (t )é rbitrári, cbmos de mostrr que F (t) F (x) t x + t x cocluido ssim demostrção do teorem. = f(x), Sejm <be f :[, b] R cotíu em [, b]. Defimos F (x) = x f(t)dt pr todo x [, b]. Pel Proposição., temos x pr todo x [, b], isto é, f(t)dt + x f(t)dt = F (x) =F (b) F (x) f(t)dt pr todo x [, b]. Portto, pelo Teorem 3., F éderivável em [, b] e F (x) = f(x) pr todo x [, b]. Exemplo 3. Sej f : R R cotíu em R esej um úmero rel rbitrário. Defimos F : R R por F (x) = x derivável em R e F (x) =f(x) prtodox R. f(t)dt pr todo x R. Afirmmos que F é De fto, sej b>rbitrário. Como f écotíu em [, b], o Teorem 3. os grte que F éderivável em [, b] ef (x) =f(x) prtodo x [, b]. CEDERJ 3
O Teorem Fudmetl do Cálculo. MÓDULO - AULA 3 ode Por outro ldo, sej c<rbitrário. Etão, pr todo x [c, ], temos F (x) = x f(t)dt = F (x) = x x f(t)dt = F (x), f(t)dt pr todo x [c, ]. Como vimos logo pós o Teorem 3., F éderivável em [c, ] ef (x) = f(x) prtodox [c, ]. Coseqüetemete, F éderivável em [c, ] ef (x) = F (x) = ( f(x)) = f(x) prtodox [c, ]. Em vist do que cbmos de observr segue que, pr quisquer c, b R, comc<<b, fução F éderivável em (c, b) ef (x) =f(x) pr todo x (c, b). Filmete, como todo x R pertece lgum itervlo (c, b) (comc<<b), cocluímos que F éderivável em R e F (x) =f(x) pr todo x R. Como coseqüêci imedit do Exemplo 3., obtemos: Exemplo 3.3 x A fução F (x) = se (t ) dt éderivável em R e F (x) =se(x )pr todo x R. Em prticulr, F ( ) π =se π =. Opróximo exemplo tmbém decorre do Exemplo 3., pesr de exigir um rciocíio diciol. Exemplo 3.4 x 3 A fução H(x) = cos tdt éderivável em R e H (x) =3x cos(x 3 )pr todo x R. x De fto, defimos h(x) =x 3 e F (x) = cos tdt pr todo x R. Etão F h = H, pois (F h)(x) =F (h(x)) = F (x 3 )= x 3 cos tdt= H(x) pr todo x R. Como F e h são deriváveis em R, regr d cdei os grte que H éderivável em R e pr todo x R. H (x) =(F h) (x) =F (h(x))h (x) =3x cos(x 3 ) 3 CEDERJ
O Teorem Fudmetl do Cálculo. Resumo Nest ul você começou estudr o Teorem Fudmetl do Cálculo, um dos pilres do osso curso. Exercícios. Defi G(x) = se x t dt pr todo x R, ode éumúmero iteiro positivo. Mostre que G éderivável em R e G (x) =(cosx)(se x)pr todo x R.. Defi G(x) = x 3 tdt pr todo x [, + ). Mostre que G é derivável em [, + ) eg (x) =3x x 3 pr todo x [, + ). x 3 3. Defi G(x) = cos tdt pr todo x R. Mostre que G éderivável x em R e G (x) =3x cos(x 3 ) x cos(x )prtodox R. Sugestão: Defi G (x) = G(x) =G (x)+g (x). x cos tdt, G (x) = x 3 cos tdt eoteque Auto-vlição Os exercícios dest ul vism, essecilmete, fixr formdoteorem Fudmetl do Cálculo. Trt-se, portto, de um bo oportuidde pr ssimilá-l. Cso teh setido dificulddes o tetr fzê-los, relei s uls7edecálculo I, e depois volte eles. Se, porvetur, persistirem s dúvids, procure o tutor o pólo. CEDERJ 3
Objetivo O Teorem Fudmetl do Cálculo. Cotiução. Aul 4 O Teorem Fudmetl do Cálculo. Cotiução. Estudr um formulção do Teorem Fudmetl do Cálculo que é bstte eficz o que diz respeito o cálculo de itegris defiids. MÓDULO - AULA 4 Referêcis: Auls 9,,, 6, 7 de Cálculo I, e 3 de Cálculo II. Nest ul usremos form do Teorem Fudmetl do Cálculo pr obter form do Teorem Fudmetl do Cálculo, est últim um ferrmet importte pr clculrmos itegris defiids, como ficráclro o decorrer d ul. A form do Teorem Fudmetl do Cálculo os grte que se f : [, b] R écotíu, etão existe F : [, b] R derivável tl que F = f. O próximo resultdo os forece um meir simples de clculr f(x)dx. Teorem 4. [ form do Teorem Fudmetl do Cálculo] Sejm <be f :[, b] R cotíu em [, b]. Se G :[, b] R éderivável em [, b] eg = f, etão Demostrção: Sej F (x) = f(x)dx = G(b) G(). x f(t)dt (x [, b]) como ul pssd. Pelo Teorem 3., F éderivável em [, b] ef = f. Logo, G F éderivável em [, b] e (G F ) (x) =G (x) F (x) =f(x) f(x) = pr todo x [, b]. Pelo Corolário 7., fução G F é costte, isto é, existe c R tl que G(x) F (x) =cpr todo x [, b]. Ms, como F () =, segue que c = G(). Portto, fzedo x = b, obtemos G(b) G() =G(b) c = F (b) = cocluido ssim demostrção do teorem. f(t)dt, Observemos que, pr plicr o Teorem 4., bst ecotrr um fução derivável G :[, b] R tl que G (x) =f(x) prtodox [, b]. Vejmos lgus exemplos. 33 CEDERJ
O Teorem Fudmetl do Cálculo. Cotiução. Exemplo 4. Pr quisquer, b R, com<b, e pr todo iteiro, temos x dx = b+ + + +. De fto, fução G(x) = x+ + f(x) =x. Logo, pelo Teorem 4., tem por derivd fução cotíu Exemplo 4. x dx = Pr quisquer, b R, com<b,temos f(x)dx = G(b) G() = b+ + + +. se xdx=cos cos b. De fto, fução G(x) = cos x tem por derivd fução cotíu f(x) =sex. Logo, pelo Teorem 4., se xdx= Exemplo 4.3 f(x)dx = G(b) G() = cos b ( cos ) =cos cos b. Pr quisquer, b R, com<b,temos cos xdx=seb se. De fto, fução G(x) = sex tem por derivd fução cotíu f(x) =cosx. Logo, pelo Teorem 4., Exemplo 4.4 cos xdx= f(x)dx = G(b) G() =seb se. π 4 sec xdx=. De fto, cosideremos fução cotíu f(x) =sec x ( x [ ]), π 4. Sedo G(x) =tgx, temosg (x) =f(x) prtodox [ ], π 4. Logo, pelo CEDERJ 34
O Teorem Fudmetl do Cálculo. Cotiução. MÓDULO - AULA 4 Teorem 4., π 4 sec xdx = π 4 f(x)dx = G( π 4 ) G() = tg π 4 tg = = se π 4 cos π 4 se cos = = =. Exemplo 4.5 dx Sejm <<be um iteiro, com. Clculemos x. Com efeito, fução f(x) =x écotíu em [, b]. Além disso, sedo G(x) = x + +,temos G + (x) = + x + = x = f(x) pr todo x [, b]. Portto, pelo Teorem 4., dx x = Em prticulr, 4 x dx = f(x)dx = G(b) G() = dx x 4 = = ( 4 4+ 4+) = 4+ ( 4 ) = 3 3 = 3 = 3 ( 8 ) = 7 64 9. Rciocido como o exemplo cim, obtemos: Exemplo 4.6 Sejm <b<e um iteiro, com. Etão ( b + +). + dx x = + ( b + +). 35 CEDERJ
O Teorem Fudmetl do Cálculo. Cotiução. Exemplo 4.7 Sejm <be um iteiro, com. Clculemos xdx. Com efeito, fução f(x) = x écotíu em [, b]. Além disso, sedo G(x) = x + = + + x +,temos G (x) = +. + x + = x = f(x) pr todo x [, b]. Portto, pelo Teorem 4., xdx = f(x)dx = G(b) G() = = ( b + +). + Em prticulr, Exemplo 4.8 3 3 ( ) 3 xdx= 6. 4 Sejm, b R, com<b, um iteiro positivo e p um poliômio rbitrário. Clculemos p (x)(p(x)) dx. Com efeito, observemos iicilmete que fução f(x) =p (x)(p(x)) écotíu em R (justifique est firmção). Além disso, sedo G(x) = (p(x)) +,etão G éderivável em R e + G (x) = + + (p(x))+ p (x) =p (x)(p(x)) = f(x) pr todo x R. Pelo Teorem 4., p (x)(p(x)) dx = f(x)dx = G(b) G() = = (p(b))+ + (p())+ +. x(x +3) 4 dx. Re- Vmos usr o que cbmos de ver pr clculr lmete, fzedo p(x) =x +3,temosp (x) =x. CEDERJ 36
O Teorem Fudmetl do Cálculo. Cotiução. MÓDULO - AULA 4 Portto, x(x +3) 4 dx = p (x) (p(x)) 4 dx = = p (x)(p(x)) 4 dx = ( (p()) 5 5 ) (p())5 = 5 = ( 4 5 3 5). Exemplo 4.9 Sejm, b R, com<b, p um poliômio rbitrário e clculemos p (x) cos(p(x)) dx Com efeito, observemos iicilmete que fução f(x) =p (x)cos(p(x)) écotíu em R (justifique est firmção). Além disso, sedo G(x) = se (p(x)), regr d cdei os grte que G éderivável em R e G (x) = p (x)cos(p(x)) = f(x) prtodox R. Pelo Teorem 4., p (x)cos(p(x)) dx = f(x)dx = G(b) G() =se(p(b)) se (p()). x cos(x 3 )dx. Re- Vmos usr o que cbmos de ver pr clculr lmete, fzedo p(x) =x 3,temosp (x) =3x. Portto, x cos(x 3 )dx = p (x) 3 cos(p(x))dx = 3 p (x)cos(p(x))dx = = (se (p()) se (p())) = 3 = se 8 3. Exemplo 4. Sej f(x) =sex, x [ π, ] π.clculemosáre d região compreedid etre o gráfico de f, o eixo ds bscisss e s rets x = π e x = π ( referid região está hchurd Figur 4.). 37 CEDERJ
O Teorem Fudmetl do Cálculo. Cotiução. π π Figur 4. π É fácil ver que áre em questão é Exemplo 4., se xdx. Como, pelo π se xdx=cos cos π =, áre procurd vle. Por outro ldo, π π ( π ) ( se xdx=cos cos π ) =, mostrdo que, este cso, áre d região em questão e itegrl defiid π π se xdx ão coicidem. Exemplo 4. Vmos provr Proposição.(c) o cso prticulr em que f,g :[, b] R são cotíus em [, b]. Com efeito, como f e g são cotíus em [, b], etão f + g écotíu em [, b]. Pelo Teorem., f + g éitegrável em [, b]. CEDERJ 38
O Teorem Fudmetl do Cálculo. Cotiução. MÓDULO - AULA 4 Agor, sejm G, H :[, b] R dus fuções deriváveis em [, b] tis que G = f e H = g. Pelo Teorem 4., f(x)dx = G(b) G() e g(x)dx = H(b) H(). Por outro ldo, pel Proposição., fução G + H éderivável em [, b] e(g + H) (x) =G (x)+h (x) =f(x)+g(x) =(f + g)(x) prtodo x [, b]. Aplicdo ovmete o Teorem 4., obtemos (f + g)(x)dx =(G + H)(b) (G + H)() = =(G(b)+H(b)) (G()+H()) = =(G(b) G()) + (H(b) H()) = = provdo o que desejávmos. f(x)dx + g(x)dx, Como já observmos, plicbilidde do Teorem 4. depede de cohecermos explicitmete um fução derivável G tl que G = f (um tl fução G éditumprimitiv de f). ÉclroqueseG é um primitiv de f e c éumúmero rel rbitrário, etão G + c tmbém é um primitiv de f. N discipli de Cálculo II você estudrá métodos de itegrção que permitem obteção de primitivs de certs fuções. Resumo Ns dus últims uls você predeu o Teorem Fudmetl do Cálculo, um resultdo muito importte que desempehrá um ppel cetrl em tudo o que veremos seguir. 39 CEDERJ
O Teorem Fudmetl do Cálculo. Cotiução. Exercícios. Clcule s seguites itegris defiids: () (c) (e) (g) (i) (l) π 4 π 4 (x + x +)dx ; (b) xdx ; ( x + ) dx ; x 4 cos(3x)dx ; se (4x)dx ; π (5 se x cosx)dx ; ( (d) x + x (f) (h) (j) ) dx ; ( x 3 + x3 +sex ) dx ; cos(αx)dx (α R {}) ; se (αx)dx (α R {}) ; 3 xdx ; (m) ( 3 x + 5 x)dx. ( Sugestão pr (h): Se G(x) = α se (αx), etão G (x) =cos(αx) ). ( x 4 3 Sugestão pr (l): Se G(x) = 4 3,etão G (x) =x 3 = 3 x ).. Sedo f(x) =se(3x), clcule áre d região compreedid etre o gráfico de f, o eixo ds bscisss e s rets x =ex = π 3. 3. Sedo f(x) = 5 x,clculeáre d região compreedid etre o gráfico de f, o eixo ds bscisss e s rets x = ex =. ( 3 ) 4. Clcule t 4 se xdt dx. 5. Sej f :[, ] R um fução cotíu tl que x f(x) x + pr todo x [, ]. Mostre que 3 Sugestão: Use o Exemplo.5. f(x)dx 5 3. 6. Argumetdo como o Exemplo 4., prove Proposição.(b) o cso prticulr em que f écotíu em [, b]. 7. Sejm I um itervlo ão trivil, f : I R e G,G : I R dus primitivs de f (isto é, G e G são deriváveis em I e G = G = f). Prove que existe c R tl que G = G + c. CEDERJ 4
O Teorem Fudmetl do Cálculo. Cotiução. MÓDULO - AULA 4 Auto-vlição Nos exercícios dest ul você teve oportuidde de ssimilr o sigificdo do Teorem Fudmetl do Cálculo. Trt-se de um etp importte do curso. Cso teh setido dificuldde os exercícios, relei ul e, em seguid, volte os exercícios. Cso permeçm dúvids, procure o tutor o pólo. 4 CEDERJ
Cálculo de áres. O teorem do vlor médio pr itegris. MÓDULO - AULA 5 Aul 5 Cálculo de áres. O teorem do vlor médio pr itegris. Objetivos Apreder como usr itegrl defiid pr clculr áre de regiões pls. Referêcis: Auls 7 de Cálculo I,, 3 e 4 de Cálculo II. Apreder o teorem do vlor médio pr itegris. Nest ul discutiremos um ds plicções d itegrl defiid, sber, o cálculo de áres de regiões pls. Discutiremos, id, o teorem do vlor médio pr itegris. Cosideremos dus fuções cotíus f,g :[, b] R tis que f(x) g(x) prtodox [, b]. O osso objetivo éclculráre d região compreedid etre os gráficos de f e g esretsx = e x = b, região est hchurd Figur 5.. g f b Figur 5. Como, pelo teorem de Weierstrss, o cojuto f([, b]) é itdo, podemos ecotrr um úmero rel α tl que f(x) + α prtodo x [, b]. Etão temos f(x) +α g(x) +α pr todo x [, b]. Éclroqueáre procurd coicide com áre d região compreedid etre os gráficos de f + α e g + α esretsx = e x = b, sedo est últim região hchurd Figur 5.. 43 CEDERJ
Cálculo de áres. O teorem do vlor médio pr itegris. g + α f + α b Figur 5. Ms áre dest últim é difereç etre áre d região compreedid etre o gráfico de g + α, o eixo ds bscisss e s rets x = e x = b e áre d região compreedid etre o gráfico de f + α, o eixo ds bscisss esretsx = e x = b, ousej, (g(x)+α)dx (f(x)+α)dx = g(x)dx f(x)dx = (g(x) f(x))dx. Assim, áre procurd é (g(x) f(x))dx. Notemos que, se f(x) prtodox [, b] ouf(x) prtodo x [, b], etão áre d região compreedid etre o gráfico de f, oeixo ds bscisss e s rets x = e x = b é igul áre d região compreedid etre os gráficos de f e g (ode g(x) =prtodox [, b]) e s rets x = e x = b. Vejmos lgus exemplos. Exemplo 5. Clculemos áre d região itd pels rets x =,x =,y =epelo gráfico de f(x) =x 3 ( região em questão está hchurd Figur 5.3). Sedo g(x) =prtodox [, ], áre procurd éáre d região compreedid etre os gráficos de f e g esretsx =ex = (otemos CEDERJ 44
Cálculo de áres. O teorem do vlor médio pr itegris. MÓDULO - AULA 5 f(x) =x 3 Figur 5.3 que f(x) <g(x) prtodox [, ]). Portto, áre em questão é (g(x) f(x))dx = ( x 3 )dx = dx x 3 dx = = ( ) 4 (4 4 )= 7 4. Exemplo 5. Clculemos áre d região itd pelos gráficos ds fuções f(x) =x e g(x) =x ( região em questão está hchurd Figur 5.4). g(x) =x f(x) =x Figur 5.4 Com efeito, como f(x) =g(x) se, e somete se, x =oux =ecomo 45 CEDERJ
Cálculo de áres. O teorem do vlor médio pr itegris. g(x) f(x) prtodox [, ], áre em questão é (f(x) g(x))dx = (x x )dx = xdx x dx = = ( ) 3 (3 3 )= 6. Exemplo 5.3 Clculemos áre d região compreedid etre os gráficos ds fuções f(x) = x e g(x) = x esretsx = e x = ( região em questão está hchurd Figur 5.5). f(x) =x g(x) = x Figur 5.5 Com efeito, como f(x) g(x) prtodox [, ] e g(x) f(x) pr todo x [, ], áre em questão é = = (g(x) f(x))dx + ( x x)dx + xdx xdx + (f(x) g(x))dx = (x x)dx = xdx xdx= = 3 ( 3 3 ) ( ) + ( ) 3 ( 3 3 )= = 3 + 3 4 3 = 3 (5 4 ). CEDERJ 46
Cálculo de áres. O teorem do vlor médio pr itegris. MÓDULO - AULA 5 Exemplo 5.4 Clculemos áre d região compreedid etre o gráfico de f(x) =x 5,o eixo ds bscisss e s rets x = ex = ( região em questão está hchurd Figur 5.6). f(x) =x 5 Figur 5.6 Com efeito, como f(x) prtodox [, ] e f(x) prtodo x [, ], áre em questão é x 5 dx + x 5 dx = 6. Obvimete, poder-se-i ver diretmete que áre procurd é já quef( x) = f(x) prtodox R. Exemplo 5.5 x 5 dx, Clculemos áre do cojuto D = {(x, y) R ; x, y x }, 4 oqulhchurmosfigur5.7. Com efeito, como > prtodox e, em prticulr, pr todo x 4 x [, ], áre procurd é ( x dx = 4 3 ) ( = ) ( 7 ) = 7 3 3 3 8 4. 47 CEDERJ
Cálculo de áres. O teorem do vlor médio pr itegris. x 4 /6 Figur 5.7 Exemplo 5.6 Clculemos áre do cojuto D = {(x, y) R ; x y 4 x}, o qul hchurmos Figur 5.8. x 4 x Figur 5.8 CEDERJ 48
Cálculo de áres. O teorem do vlor médio pr itegris. MÓDULO - AULA 5 Notemos, primeirmete, que pr (x, y) pertecer D devemos ter x. Além disso, x = 4 x se, e somete se, x =oux =. Comox 4 x pr todo x [, ], áre de D é ( 4 x x)dx = 4 xdx xdx= = 4 5 ( 4 5 4 5 ) = 3. Exemplo 5.7 Clculemos áre d região compreedid etre o gráfico de f(x) = x (x >) e s rets y = x e y = 4 ( região em questão está hchurd Figur 5.9). 4 f(x) = x y = x y =4 4 Figur 5.9 Pr explicr este exemplo vmos trblhr com um fução d vriável y, diferetemete do que víhmos fzedo. Poderímos, tmbém, rgumetr como tes ms, este cso, o rciocíio utilizdo éefetivmete mis simples (certifique-se de que est firmção é verddeir rciocido como os exemplos teriores). Como f(x) =x se, e somete se, x =,f() = e como y y pr todo y [, 4], áre em questão é 4 ( y ) 4 4 dy = ydy dy = y y = (4 ) ( 4 ) = 5 =. Pr x>, x = y se, e somete se, x =. y 49 CEDERJ
Cálculo de áres. O teorem do vlor médio pr itegris. Exemplo 5.8 Clculemos áre d região hchurd Figur 5., determid pelos gráficos ds fuções f(x) =x 3 x, g(x) =x x 3 epelocírculo de cetro (, ) e rio. f(x) =x 3 x g(x) =x x 3 Figur 5. Aáre de um círculo de rio r é πr. Iicilmete, otemos que f(x) =g(x) se, e somete se x 3 x = x x 3, isto é, se, e somete se, x =,x = oux =. Aáre em questão éoquádruplodáre d região hchurd que está cim do eixo ds bscisss e à direit do eixo ds ordeds (justifique est firmção). Logo, bst chr est últim. Pr fzê-lo, bst observr que áre meciod é π 4 (x x 3 )dx, lembrdo que áre de cd qudrte do círculo de cetro (, ) e rio é π 4.Como (x x 3 )dx = xdx x 3 dx = 4 = 4, podemos filmete firmr que áre procurd é ( π 4 4 ) = π. 4 Vmos termir ul discutido seguite pergut: dd um fução cotíu f :[, b] R tl que f(x) prtodox [, b], é CEDERJ 5
Cálculo de áres. O teorem do vlor médio pr itegris. MÓDULO - AULA 5 possível ecotrr um poto u [, b] tlqueáre d região compreedid etre o gráfico de f, o eixo ds bscisss e s rets x = e x = b (que é precismete f(x)dx ) coicid com áre do retâgulo de bse [, b] e ltur f(u) (queé precismete f(u)(b ))? A Figur 5. ilustr situção. f(u) u b Figur 5. Provremos que respost àpergutformuldéfirmtiv,como segue imeditmete do seguite Teorem 5. [teorem do vlor médio pr itegris] Se <be f :[, b] R écotíu em [, b], existe u [, b] tlque f(x)dx = f(u)(b ). Demostrção: PeloteoremdeWeierstrss,vistoul7deCálculo I, existem x,x [, b] tisque f(x ) f(x) f(x ) pr todo x [, b]. Pelos Exemplos. e.5, f(x )(b ) = isto é, f(x )dx f(x ) f(x)dx f(x)dx b f(x ). f(x )dx = f(x )(b ), Se x = x, f é costte em [, b] e qulquer u [, b] serve. 5 CEDERJ
Cálculo de áres. O teorem do vlor médio pr itegris. Supohmos, etão, x x (digmos x <x ). Como f écotíu em [x,x ], o teorem do vlor itermediário, visto ul 7 de Cálculo I, grte existêci de u [x,x ] ( [, b] ) tl que f(u) = f(x)dx, b isto é, f(x)dx = f(u)(b ). Isto coclui demostrção do teorem. Exemplo 5.9 Sej f(x) =x 3 pr todo x [, ]. Pelo Teorem 5., existe u [, ] tl que Como x 3 dx = f(u)( ) = u 3. x 3 dx = 4,cocluímos que u = 3 4. Assim, áre d região compreedid etre o gráfico de f, oeixods bscisss e ret x = ( que é 4) coicide com áre do retâgulo de bse [, ] e ltur f ( ) 3 4 = ;verfigur5.. 4 /4 3 4 Figur 5. Evidetemete, só foipossível ecotrr u explicitmete, o exemplo cim, por se trtr de um situção bstte fvorável. CEDERJ 5
Cálculo de áres. O teorem do vlor médio pr itegris. MÓDULO - AULA 5 Resumo Nest ul você predeu fzer uso d itegrl defiid pr clculr áre de regiões pls. O teorem do vlor médio pr itegris tmbém foi discutido. Exercícios. Esboce região e che áre d região compreedid etre: () os gráficos de f(x) =x e g(x) = x +; (b) os gráficos de f(x) =x e g(x) = x ; (c) os gráficos de f(x) =x e g(x) = x e ret y =; (d) os gráficos de f(x) =x e g(x) =x x + 4 e ret x =; (e) os gráficos de f(x) =x e g(x) = x esretsx = ex =; (f) o gráfico de f(x) = x esretsy =ex =, ode (, + ) é rbitrário; (g) os gráficos de f(x) =, g(x) =x x 6 e h(x) =x,prx>; (h) os gráficos de f(x) =x x eg(x) =x +6; (i) os gráficos de f(x) =+sex, g(x) =+cosx e ret x =; (j) os gráficos de f(x) =+sex, g(x) =+cosx e ret x = π; (l) o gráfico de f(x) =cosx esretsx =,x = π e y =; (m) os gráficos de f(x) =sex e g(x) =cosx esretsx =ex = π ; () prábol x = y e ret x =4.. Esboce o cojuto D echeáre de D, os seguites csos: () D = {(x, y) R ; x y }; (b) D = {(x, y) R ; y 9 x }; (c) D = {(x, y) R ; x, x y 3}; (d) D = {(x, y) R ; x + y x +}; (e) D = {(x, y) R ; x y x +}. 3. () Use o teorem do vlor médio pr itegris pr mostrr que x +3 dx 3. (b) Chegue à mesm coclusão usdo o Exemplo.5. 53 CEDERJ
Cálculo de áres. O teorem do vlor médio pr itegris. 4. () Use o teorem do vlor médio pr itegris pr mostrr que π se ( x) dx π. (b) Chegue à mesm coclusão usdo o Exemplo.5. Auto-vlição Nos Exercícios e você usou o Teorem Fudmetl do Cáculo pr determir áre de regiões pls. Em cso de dúvid, relei est ul e ul 4, e tete ovmete. Cso persist lgum dúvid, cosulte o tutor o pólo. CEDERJ 54
Objetivo Exercícios resolvidos. Aul 6 Exercícios resolvidos. Amdurecer o coteúdo sobre itegrl defiid visto s uls, 3, 4 e 5, otdmete o Teorem Fudmetl do Cálculo. MÓDULO - AULA 6 Referêcis: Auls 7,, e7decálculo I, e, 3, 4 e 5 de Cálculo II. Exercício : Sej f : R R um fução cotíu e defi H(x) = x xf(t) dt pr todo x R. Mostre que H éderivável em R e H (x) = x f(t) dt + xf(x) pr todo x R. Solução: Sejm g(x) =x e F (x) = H(x) = x x f(t) dt pr todo x R. Etão x xf(t) dt = x f(t) dt = g(x)f (x) =(gf)(x) Nos Exercícios,, 3, 4, 5 usmos o Exemplo 3.: se f : R R écotíu, R e F (x) = R x f(t) dt (x R), etão F éderivável em R e F (x) =f(x) prtodo x R. pr todo x R. Comog e F são deriváveis em R, etão H éderivável em R (como produto de dus fuções deriváveis em R) e pr todo x R. H (x) =g (x)f (x)+g(x)f (x) = x x f(t) dt + xf(x) Exercício : Sej h(x) = 3x + se ( π t) dt, x R. Determie os 4 coeficietes α, β e γ do poliômio p(x) =α(x ) + β(x ) + γ pr que p() = h(), p () = h () e p () = h (). π Solução: Como p() = γ e h() = 3, devemos ter γ =3. Comop (x) = α(x )+β pr todo x R, etão p () = β. Por outro ldo, como h (x) = 3+se ( π x) pr todo x R, etão h () = 3+se ( ) ( π 4 4 =3+ ) =4. Logo, devemos ter β =4. Filmete, como p (x) =α pr todo x R, etão p () = α. Por outro ldo, h (x) =πx ( se ( π x))( cos ( π x)) pr todo x R. Logo, 4 4 h () = π ( )( ) se π 4 cos π 4 =π = π. Logo, devemos ter α =, isto é, α =. 55 CEDERJ
Exercícios resolvidos. x Exercício 3: Sej g(x) = t se tdt, x ( π pes um poto de máximo locl em ( π, ) 3π., 3π ). Mostre que g possui Solução: A fução g éderivável em ( π, ) 3π e g (x) =x se x pr todo x ( π, ) 3π. Temos id que g (x) = se, e somete se, se x = ; portto, g (x) = se, e somete se, x = π. Além disso, como g (x) =sex + x cos x pr todo x ( π, ) 3π,vem g (π) =π cos π = π <. Logo, π éoúico poto de máximo locl de g em ( π, ) 3π. Exercício 4: Determie f ( π ), sedo f : R R um fução cotíu tl que pr todo x R. x Solução: Defimos F (x) = f(t) dt = x 3 se (x) x x 3 se (x) prtodox R, etão f(t) dt pr todo x R. Como F (x) = f(x) =F (x) =3x se (x)+x 3 cos(x) pr todo x R. Em prticulr, ( π ) f Exercício 5: Mostre que fução ( π ) ( π ) 3 π 3 =3 se π + cos π = 4. G(x) = x 3 +x dt (x R) +cos 4 t é crescete. x Solução: Defimos g(x) =x 3 + x e F (x) = dt pr todo +cos 4 t x R. Etão éclroqueg = F g. Pel regr d cdei, G éderivável em R e G (x) =(F g) (x) =F (g(x))g (x) =F (x 3 + x) g (x) = 3x + +cos 4 (x 3 +x) pr todo x R. Assim, G (x) > prtodox R, edíresultqueg é crescete em R. CEDERJ 56
Exercícios resolvidos. MÓDULO - AULA 6 Exercício 6: Clcule 3 x dx. Solução: Iicilmete, observemos que como fução x [, 3] x R é cotíu (justifique est firmção), etão el é itegrável em [, 3]. Além disso, como x pr x ex pr x 3, temos x se x, x = x se x 3. Portto, 3 x dx = = = x dx + ( x ) dx + dx = 3 + 3 3 3 x dx + x dx = (x ) dx = 3 x dx ( 3 3 3) = 3. 3 dx = Exercício 7: Sejm <be f :[, b] R um fução cotíu. Mostre que existe u [, b] tlque u f(t)dt = Solução: O resultdo é clro se f(x)dx >. Cosi- u = b). Supohmos etão deremos fução G(x) = x u f(t)dt. f(x)dx = (bst tomr u = ou f(x)dx, digmos f(t)dt x f(t)dt, defiid pr x [, b]. Como vimos ul 3, s fuções x [, b] x f(t)dt R e x [, b] x f(t)dt R são deriváveis em [, b], logo cotíus em [, b]. Coseqüetemete, G é cotíu em [, b]. Além disso, G()= f(t)dt f(t)dt= f(t)dt < < f(t)dt f(t)dt=g(b). b Pelo teorem do vlor itermediário, existe u (, b) tlqueg(u) =, isto é, u f(t)dt = u f(t)dt. 57 CEDERJ
Exercícios resolvidos. Exercício 8: Mostre que 3π 4 π 3 π 4 ( + se x)dx 7π 48. Solução: Pelo teorem do vlor médio pr itegris (justifique plicbilidde do mesmo), existe u [ π 4, π 3 ] tl que π 3 π 4 ( π ( + se x)dx =(+se u) 3 π ) = π 4 ( + se u). Por outro ldo, como =seπ 4 se x se π 3 3 = pr todo x [ π 4, π 3 ],segueque Logo, 3π 4 = π 3 3 =+ +se u + 3 4 = 7 4. π 3 π 4 provdo o que desejávmos. Exercício 9: ( + se x)dx = π ( + se u) π 7 4 = 7π 48, Clcule áre d região compreedid etre o gráfico de f(x) =(secx)(tg x), o eixo ds bscisss e s rets x = π 4 e x = π 4. Solução: Primeirmete, otemos que sec x>prtodox [ π 4, π 4 ], tg x prtodox [ π 4, ] etgx prtodox [, π 4 ]. Portto, f(x) prtodox [ π 4, ] e f(x) prtodox [, π 4 ]. Assim, áre em questão é (sec x)(tg x)dx + π 4 π 4 (sec x)(tg x)dx. em [, π 4 ] e Tomemos gor G(x) =secx pr x [, π 4 ]. A fução G éderivável G (x) = ( se x) cos x = se x cos x cos x =(secx)(tg x) CEDERJ 58
Exercícios resolvidos. MÓDULO - AULA 6 pr todo x [, π 4 ]. Pelo Teorem Fudmetl do Cálculo, π 4 ( π ) (sec x)(tg x)dx = G G() = sec π 4 4 sec = =. De modo álogo, verific-se que (sec x)(tg x)dx = ( ) π 4 ` verdde, este fto decorre fcilmete do que vimos cim, jáquef( x) = f(x) prtodox [ π 4, ]). Podemos etão filmete firmr que áre procurd é( ). Resumo Est ul é dedicd, essecilmete, exercícios os quis o Teorem Fudmetl do Cálculo está evolvido. Outros resultdos importtes, vistos o decorrer do curso, tmbém form utilizdos. 59 CEDERJ
A fução logrítmic. MÓDULO - AULA 7 Aul 7 A fução logrítmic. Objetivos Compreeder o sigificdo d fução logrítmic. Referêcis: Auls 4, de Pré-Cálculo, 5, 8,, 6, 7, 8, 6 de CálculoI,e,3e4 de Cálculo II. Estudr proprieddes básics d fução logrítmic. No módulo 4, de Pré-Cálculo, fez-se um primeir presetção d fução logrítmic. Nest e próxim ul, fremos um presetção rigoros d fução logrítmic, usdo como ferrmet itegrl defiid. Defiição 7. Pr cd x>, defimos log x = x t dt. Oúmero rel log x éditoologritmo de x e fução x (, + ) log x R éditfução logrítmic. x Observemos que existêci de dt, pr cd x>, decorre d t cotiuidde d fução t (, + ) R. t Tem-se log = dt =. Além disso, pr x>, log x éáre d t região hchurd Figur 7.; e, pr < x <, logx éosimétrico d x áre d região hchurd Figur 7.b, pois log x = t dt = t dt. x /x /x x x () (b) Figur 7. Como, pr x >, áre do retâgulo de bse [,x] e ltur é x (x ), segue d Figur 7. que log x (x ) >. Por outro ldo, x x 6 CEDERJ
A fução logrítmic. pr <x<, áre do retâgulo de bse [x, ] e ltur é x; logo, result d Figur 7.b que dt x, istoé, x t log x = dt ( x) =x <. x t Justifiquemos liticmete vlidde ds desigulddes log x x (x ) pr x>elogx x pr<x<. Com efeito, pr cd x>, tem-se que se t x, etão t x. Logo, log x = x t dt x x dt = x x dt = (x ). x Por outro ldo, pr cd <x<, tem-se que se x t, etão t. Logo, t dt dt =( x), o que implic log x = x x x t dt = dt ( x) =x. x t Um fto importte, que decorre do Teorem 3., éoseguite: Proposição 7. A fução log x = x dt éderivável em (, + ) e t log (x) = x pr todo x (, + ), ode log (x) represet derivd d fução logrítmic o poto x. Exemplo 7. A fução g(x) =log(+x )éderivável em R e g (x) = x pr todo x R. +x De fto, sej f(x) =+x pr todo x R (otemos que f(x) = +x > prtodox R ). Etão g =log f (odelogdeot fução logrítmic), pois (log f)(x) =log(f(x)) = log( + x )=g(x) pr todo x R. Pel regr d cdei, g éderivável em R e g (x) =(log f) (x) =log (f(x))f (x) =x log ( + x )= pr todo x R. x +x CEDERJ 6
A fução logrítmic. MÓDULO - AULA 7 Exemplo 7. Pr quisquer, b R, com<<b,tem-se dx =logb log. x De fto, sej f(x) = pr todo x [, b]; etão f écotíu em [, b]. x Sej G(x) =logx pr todo x [, b]. Pel Proposição 7., G éderivável em [, b] eg (x) = = f(x) prtodox [, b]. Pelo Teorem Fudmetl do x Cálculo, x dx = f(x)dx = G(b) G() =logb log. Portto, áre d região compreedid etre o gráfico de f(x) =,o x eixo ds bscisss e s rets x = e x = b (verfigur7.)élogb log. b Figur 7. Apróxim proposição express propriedde fudmetl d fução logrítmic. Proposição 7. Pr quisquer x, y (, + ), tem-se log(xy) =logx +logy. Demostrção: Fixemos x (, + ) e cosideremos fução g :(, + ) R defiid por g(y) =log(xy) prtodoy (, + ). Sej f(y) = xy pr todo y (, + ); etão g = log f, pois g(y) =log(xy) =log(f(y)) = (log f)(y) prtodoy (, + ). Como 63 CEDERJ
A fução logrítmic. f elogsão deriváveis em (, + ), segue d regr d cdei que g éderivável em (, + ) e g (y) = (log f) (y) = (log (f(y))) f (y) = = (log (xy)) x = = xy x = y =log (y) pr todo y (, + ). Pelo Corolário 7., visto em Cálculo I, fução g log é costte, isto é, existe c R tl que g(y) log y = c pr todo y (, + ). Fzedo y =,obtemosc = g() = log x. Portto, log(xy) =logx +logy pr todo y (, + ). Filmete, como x é rbitrário, demostrção está cocluíd. Fzedo x = y Proposição 7., segue que log(x )=log(xx) =logx +logx =logx. Coseqüetemete, log(x 3 )=log(x x)=log(x )+logx =logx +logx =3logx. que UsdoProposição 7.e opricípio de idução fiit podemos firmr log(x )= log x pr todo x (, + ) e pr todo iteiro. ou sej, Sej x (, + ) rbitrário. Etão ( =log=log x ) =logx +log x log ( ) = log x. x ( ), x UsdoProposição 7. e o que cbmos de ver segue que, pr quisquer x, y (, + ), ( ) ( x log =log x ) y y =logx +log ( ) =logx log y. y Vejmos mis lgums proprieddes importtes d fução logrítmic. CEDERJ 64
A fução logrítmic. MÓDULO - AULA 7 Proposição 7.3 () A fução logrítmic é crescete. (b) O gráfico d fução logrítmic tem cocvidde pr bixo. (c) A imgem d fução logrítmic é R, istoé, {log x ; x (, + )} = R. (d) A fução logrítmic é bijetor. Demostrção: (): Como log (x) = > prtodox (, + ) (Proposição 7.), () decorre d Proposição 7.(b), vist em Cálculo x I. (b): Como log (x) = < prtodox (, + ), (b) decorre d x Proposição 8.(b), vist em Cálculo I. (c): Como >, log >. Logo, log( ) = ( log ) = + e ( ) log = ( log( )) =. Sej y R rbitrário. Etão, em vist do que cbmos de observr, podemos ecotrr um iteiro m tl que log ( m ) <y<log( m ). Como fução logrítmic écotíu em [ m, m], podemos plicr o teorem do vlor itermediário pr obter x ( m, m) tl que log x = y. Portto, {log x; x (, + )} = R, provdo (c). (d): A fução logrítmic é ijetor em vist de () e sobrejetor em vist de (c). Portto, referid fução é bijetor, provdo (d). Levdo em cosiderção s iformções obtids Proposição 7.3, podemos grtir que o gráfico d fução logrítmic é como Figur 7.3. Figur 7.3 65 CEDERJ
A fução logrítmic. Um demostrção do fto de que e é irrciol pode ser ecotrd em M. Spivk, Clculus, W. A. Bejmi, Ic. (967). Pel Proposição 7.3(d), existe um úico úmero rel pertecete (, + ), deotdo por e, tl que log e =. Épossível mostrr que o úmero e é irrciol (sedo,78883 um bo proximção pr e), ms ão o fremos qui. Veremos pes que <e<4. Relmete, como áre d região compreedid etre o gráfico de f(x) =, o eixo ds bscisss e x s rets x =ex =émeor do que (ver Figur 7.4), log <. Por outro ldo, como áre d região compreedid etre o gráfico de f(x) =, o eixo ds bscisss e s rets x =ex =4émior do que x (ver Figur 7.4b), < log 4. / / /4 3 4 () Figur 7.4 (b) Logo, log < < log 4, ou sej, log < log e<log4. Comofução logrítmic é crescete, cocluímos que <e<4. Já sbemos que log x =+. Cocluiremos est ul mostrdo x + que fução f(x) = x cresce muito mis rápidodoquefução logrítmic. Proposição 7.4 Pr todo x (, + ), log x<x. Demostrção: A sserção éclrsex (, ), pois log x<sex (, ). Vmos provr sserção pr x [, + ). Com efeito, cosideremos fução g(x) =logx x, defiid pr x [, + ). Etão g éderivável em [, + ) eg (x) = x = pr todo x [, + ). Logo, g (x) < pr x x todo x (, + ), e dí resultqueg é decrescete em [, + ). Portto, pr todo x (, + ), g(x) <g() = log = <, isto é, log x x <, isto é, log x<x. cocluíd. Filmete, como log = <, demostrção está CEDERJ 66
A fução logrítmic. MÓDULO - AULA 7 Proposição 7.5 log x x + x =. Demostrção: Pr todo x (, + ), temos que x (, + ); logo, pel proposição terior, log x< x,istoé, log x x <. Por outro ldo, pel Proposição 7., log x x = log( x x) x = log x. x x pr todo x>. Coseqüetemete, podemos firmr que log x x < x pr todo x [, + ). Como que log x x + x =,como querímos demostrr. Decorre d Proposição 7.5 que Relmete, temos pr todo x [, + ). x + x =, segue d desiguldde cim log x x log x = pr todo iteiro. x + x log x x Resumo Nestulvocê foi presetdo à fução logrítmic e estudou lgums proprieddes básics d mesm. Exercícios. Dê odomíio e esboce o gráfico ds seguites fuções: () f(x) =log(x +) ; (b)f(x) =log x. 67 CEDERJ
A fução logrítmic.. Dêodomíio e derive s seguites fuções: () f(x) =log(x +) ; (b)f(x) =log x ; (c) f(x) =log(x 4x +5) ; (d)f(x) =log( x) ; (e) f(x) =se(logx) ; (f) f(x) =log(sex) ; (g) f(x) =cos(logx) ; (h) f(x) =log(cosx) ; (i) f(x) = log(log x) ; ( ) cos x (l) f(x) =log. +x (j) f(x) =log(+se x); 3. Mostre, usdo o pricípio de idução fiit, que log(x )= log x pr todo x (, + ) e pr todo iteiro. Coclu que log ( x ) = logx pr todo x (, + ) e pr todo iteiro. 4. Obteh Proposição 7.5 prtir d regr de L Hôpitl, estudd ul 6 de Cálculo I. 5. Use regr de L Hôpitl pr clculr os seguites ites: log(x +) x + x log(x +) x + x () ; (b) ; x x x x 3 log(x +) x + x (c) x3 3. x x 3 6. Mostre, usdo Proposição 7., que log( + x) x x =. 7. Use o exercício terior pr mostrr que ( x log + ) =. x + x 8. Determie áre d região compreedid etre os gráficos de f(x) = x, g(x) =x e ret y =,prx>. 9. A fução derivável y = f(x) está defiid implicitmete pel equção x 3 x log y + y 3 =x + 5. Ecotre equção d ret tgete o gráfico de f o poto (, ). CEDERJ 68
A fução logrítmic. MÓDULO - AULA 7 Auto-vlição Nos exercícios dest ul você pôde perceber se etedeu os ftos básicos sobre fução logrítmic que cbmos de discutir. Tedo em vist importâci dos referidos ftos, só psse pr próxim ul pós fzer todos os exercícios propostos. 69 CEDERJ
A fução logrítmic. Cotiução. MÓDULO - AULA 8 Aul 8 A fução logrítmic. Cotiução. Objetivos Eteder oção de logritmo de um úmero mior do que zero em um bse dd. Referêcis: Auls,, 6, 7 e 8 de Cálculo I, e 7 de Cálculo II. Estudr proprieddes básics respeito dest oção. N ul terior, itroduzimos fução logrítmic e estudmos lgums de sus proprieddes básics. Nest ul, os poiremos o que vimos terior pr defiir o logritmo de um úmero mior do que zero em um bse dd e estudr proprieddes básics cerc dest oção. Defiição 8. Sej (, + ),. Pr cd x (, + ) defiimos log x = log x log. Oúmero log x éditoologritmo de x bse. No cso prticulr em que = e, temos log e x = log x log e =logx pr todo x (, + ), ou sej, o logritmo de x bse e coicide com o logritmo de x pr qulquer x (, + ). Proposição 8. Sej (, + ),. Etão vlem s seguites proprieddes pr quisquer x, y (, + ): () log x = se, e somete se, x =; (b) log x = se, e somete se, x = ; (c) log (xy) =log x +log y ; (d) log ( x) = log x; (e) log ( x y ) =log x log y ; (f) log (x )=log x pr todo iteiro. 7 CEDERJ
A fução logrítmic. Cotiução. Demostrção: (): log x = se, e somete se, log x log esometese,x =. (b): log x = se, e somete se, log x log se, e somete se, x =. (c): = se, e somete se, log x =se, = se, e somete se, log x =log log (xy) = log(xy) log = log x +logy log = = log x log + log y log =log x +log y. (d): log ( x ) = log ( ) x log = log x log = log x log = log x. (e): log ( x y ) ( = log x. ) y = log x +log ( y ) = log x log y. (f): log (x ) = log(x ) log pr todo iteiro. = log x log = log x log = log x Proposição 8. A fução log : x (, + ) log x R é bijetor. Demostrção: De fto, vimos Proposição 7.3(d) que fução logrítmic é bijetor. Dí result fcilmete que fução log é bijetor, pois pr todo x (, + ). log x = log log x CEDERJ 7
A fução logrítmic. Cotiução. MÓDULO - AULA 8 Proposição 8.3 A fução log éderivável em (, + ) e log (x) = x log pr todo x (, + ), ode log (x) represet derivd d fução log em x. Demostrção: Como log x = log x pr todo x (, + ), segue log d Proposição 7. que fução log éderivável em (, + ) elog (x) = log log (x) = pr todo x (, + ). x log Exemplo 8. Sej (, + ),. Etãofução f(x) =log ( x +3) éderivável em R e f (x) = log. x x +3 pr todo x R. De fto, defimos h(x) = pr todo x R; etão h(x) > x +3 pr todo x R. Como f =log h (pois (log h)(x) =log (h(x)) = ( log x +3) = f(x) prtodox R) ecomoh éderivável em R elog em (, + ), segue d regr d cdei que f éderivável em R e f (x) = (log h) (x) = log (h(x))h (x) = = log ( ) ( ) x = x +3 (x +3) = log x +3 x (x +3) = log x x +3 pr todo x R. Em prticulr, e f ( ) = log. f () = log. 3 = ( ) +3 = 5log. 73 CEDERJ
A fução logrítmic. Cotiução. Exemplo 8. Sej (, ) e cosideremos f como o Exemplo 8.. Etão f é decrescete em (, ) e crescete em (, + ). De fto, log <, pois (, ). Portto, como f (x) = log temos f (x) < prx (, ) e f (x) > prx (, + ). Logo, oss firmção segue d Proposição 7.(c), (b), vist o Cálculo I. Alogmete, temos: Exemplo 8.3 x, x +3 Sej (, + ) e cosideremos f como o Exemplo 8.. Etão f é crescete em (, ) e decrescete em (, + ). Proposição 8.4 Sej (, ). Etão vlem s seguites proprieddes: () fução log é decrescete; (b) o gráfico d fução log tem cocvidde pr cim; (c) log x =+ e log x =. x + x + Demostrção: Como <<, log <. Coseqüetemete, log (x) = < prtodox (, + ). Pel Proposição 7.(c), vist em Cálculo x log I, temos (). Como log (x) = > prtodox (, + ), (b) segue d x log Proposição 8.(), vist em Cálculo I. Filmete, x +log x = log x =, pois log x = x + x + log log x x + log x + =+, pois log x =. E x + log x =+. Isto prov (c). Em vist do que cbmos de ver, podemos esboçr o gráfico d fução log qudo <<; ver Figur 8.. Proposição 8.5 Sej (, + ). Etão vlem s seguites proprieddes: () fução log é crescete; (b) o gráfico d fução log tem cocvidde pr bixo; (c) log x = e log x =+. x + x + CEDERJ 74
A fução logrítmic. Cotiução. MÓDULO - AULA 8 e 3 Figur 8. Demostrção: Como >, log >. Bst, etão, rciocir como demostrção d proposição terior pr provr (), (b) e (c) cim. Em vist do que cbmos de ver, podemos esboçr o gráfico d fução log qudo >; ver Figur 8.. e 3 Figur 8. Vimos, o fil d ul pssd, que pr todo iteiro. log x = x + x Cosideremos (, + ),. Etão ( log x = x + x x + log. log x ) = x = ( ) log x = log x + x pr todo iteiro. 75 CEDERJ
A fução logrítmic. Cotiução. Resumo Nestulvocê estudou o logritmo de um úmero mior do que zero em um bse (, + ) {}, bem como lgums proprieddes básics respeito dest oção. Exercícios. Dê odomíio e esboce o gráfico ds seguites fuções: () f(x) =log 3 (x ) ; (b) f(x) =+log x. 4. Dê o domíio e derive s seguites fuções: () f(x) =log 3 (x ) ; (b) f(x) =+log x ; 4 (c) f(x) =log (x + x +) ; (d)f(x) =log (log x) ; (e) f(x) = log(log x) ; (f) f(x) =log e(x + x ) ; ( ) ( (g) f(x) =log 3 log x ; (h) f(x) =log log 3 x ) ; ( (i) f(x) =log x ( 5 x +) ; (j) f(x) se ) x =log 5 x. 3. () Mostre que fução f(x) =log 7 ( x 4 ), defiid pr x R {}, é decrescete em (, ) e crescete em (, + ). (b) Mostre que () cotiu válido se substituirmos 7 (, ). (c) O que ocorreri se substituíssemos 7 4. Sej H(x) = log4 x x derivável em (, + ) e pr todo x (, + ). 5. Clcule os seguites ites: () x + (c) log x (e) log x por qulquer por qulquer (, + )? cos tdt pr todo x (, + ). Mostre que H é H (x) = cos (log 4x) x log 4 log 3 x x ; (b) x log π( x) ; x cos(x ) x ; (d) x log π (se x); (se x). CEDERJ 76
A fução logrítmic. Cotiução. MÓDULO - AULA 8 Auto-vlição Os exercícios dest ul depedem, fudmetlmete, do que cbou de ser visto, ds regrs de derivção e do coteúdo ds uls 7 de Cálculo Ie3deCálculo II. Trt-se, portto, de mis um oportuidde pr fixr ftos importtes estuddos o decorrer do curso. Em cso de dúvid cosulte esss uls ou procure o tutor o pólo. 77 CEDERJ
A fução expoecil. MÓDULO - AULA 9 Aul 9 A fução expoecil. Objetivos Compreeder o sigificdo d fução expoecil. Referêcis: Auls 8,,, 6, 7, 8, 6 e 7 de Cálculo I, 3, 4 e 7 de Cálculo II. Estudr proprieddes básics d fução expoecil. No módulo 4, de Pré-Cálculo, fez-se um primeir presetção d fução expoecil. Nest e próxim ul, fremos um estudo rigoroso d fução expoecil bsedo o que já estudmos sobre fução logrítmic. Vimos, ul 7 de Cálculo I, que fução logrítmic é um fução bijetor de (, + ) emr. Portto, el possui um fução ivers, cujo domíio é imgem d fução logrítmic (isto é, R) e cuj imgem éo domíio d fução logrítmic (isto é, (, + )). Defiição 9. A ivers d fução logrítmic éditfução expoecil. A imgem de cd x R pel fução expoecil será deotd por e x. Pel defiição de ivers de um fução podemos firmr que log(e x )=x pr todo x R e e log x = x pr todo x (, + ). Em prticulr, e = e log =ee = e log e = e. Aproposição seguir express propriedde fudmetl d fução expoecil. Proposição 9. Pr quisquer x, y R, tem-se e x+y = e x e y. Demostrção: Sejm x, y R. Etão existem u, v (, + ), ecessrimete úicos, tis que log u = x e logv = y. Coseqüetemete, pel Proposição 7., e x+y = e log u+log v = e log(uv) = uv = e x e y, como querímos demostrr. Vejmos outrs proprieddes importtes d fução expoecil, lgums ds quis depedem fortemete d proposição terior. 79 CEDERJ
A fução expoecil. Proposição 9. () A fução expoecil é crescete. (b) Pr quisquer x, y R, tem-se e x = e x e ex y = ex e y. (c) Pr todo x R eprtodoiteiro, tem-se e x =(e x ). (d) Pr todo x R eprtodoiteiro, tem-see x =(e x ). (e) Pr quisquer iteiros p e q, q,tem-see p q = ( e q )p. Demostrção: (): Bst lembrr que ivers de um fução crescete é um fução crescete. (b): Como = e = e x+( x) = e x e x, segue que e x = e x. Logo, e x y = e x+( y) = e x e y = ex e y. (c): Sej x R rbitrário. Vmos usr o pricípio de idução fiit pr mostrr que e x =(e x ) pr todo iteiro. É clro que firmção é stisfeit pr =. Sejk esupohmos firmção válid pr k, ou sej, dmitmos que e kx = (e x ) k. Etão e (k+)x = e kx+x = e kx e x =(e x ) k e x =(e x ) k+, provdo que firmção éválid pr k +. Pelo pricípio de idução fiit, e x =(e x ) pr todo iteiro. Filmete, como x é rbitrário, demostrção de (c) está cocluíd. (d): Sej x R rbitrário e sej um iteiro, com <. >, segue de (c) que e ( )x =(e x ). Logo, por (b), obtemos Como e x = e (( )x) = e ( )x = (e x ) =(ex ). Como, em vist de (c), iguldde e x =(e x ) é stisfeit pr todo iteiro, cbmos de mostrr vlidde de (d). (e): Sejm p e q dois iteiros rbitrários, com q. Etão, por (d), e p q = e p q = ( e q ) p, provdo (e). A próxim proposição diz respeito à derivbilidde d fução expoecil. CEDERJ 8
A fução expoecil. MÓDULO - AULA 9 Proposição 9.3 A fução expoecil éderivável em R e(e x ) = e x pr todo x R, ode (e x ) deot derivd d fução expoecil em x. Demostrção: Pr fcilitr compreesão d demostrção escrevmos f(x) =logx, x (, + ); logo, f (x) =e x, x R. Pelo teorem d fução ivers, estuddo ul 7 de Cálculo I, f éderivável em R e pr todo t (, + ). (f ) (f(t)) = f (t) = log (t) = t = t Sej x R rbitrário. t (, + ). Portto, Etão x = logt = f(t) pr um úico (e x ) =(f ) (x) =(f ) (f(t)) = t = f (x) =e x, cocluido ssim demostrção. Pel proposição cim, fução expoecil é dus vezes derivável em R e(e x ) =((e x ) ) =(e x ) = e x pr todo x R. Mis gerlmete, segue d referid proposição e do pricípio de idução fiit que, pr todo iteiro, fução expoecil é vezes derivável em R e(e x ) () = e x pr todo x R. Exemplo 9. Sej f(x) =e sex pr todo x R. Etão f éderivável em R e f (x) = (se x)(cos x)e sex pr todo x R. Com efeito, sej h(x) =se x pr todo x R; h éderivável em R e h (x) =(sex)(cos x) prtodox R (justifique est firmção). Como f(x) =e h(x) pr todo x R, segue d regr d cdei que f éderivável em R e f (x) =(sex)(cos x)e se x pr todo x R. Proposição 9.4 () O gráfico d fução expoecil tem cocvidde pr cim. (b) x ex = e x + ex =+. Demostrção: (): Como (e x ) = e x > prtodox R, () segue d Proposição 8.(), vist em Cálculo I. 8 CEDERJ
A fução expoecil. (b): Pr cd x R existe um úico t (, + ) tlquex =logt. Além disso, x se, e somete se, t + e x + se, e somete se, t +. Portto, e como querímos demostrr. x ex = elog t = t = t + t + x + ex = t + elog t = t + t =+, Usdo o que vimos té gor, podemos grtir que o gráfico d fução expoecil é como Figur 9.. 3 e Figur 9. Exemplo 9. Pr quisquer, b R, com<b,tem-se e x dx = e b e. Com efeito, sej G(x) =e x.pelproposição 9.3, G (x) =e x pr todo x R. Portto, pelo Teorem Fudmetl do Cálculo, e x dx = G(b) G() =e b e. Logo, áre d região compreedid etre o gráfico de f(x) =e x,o eixo ds bscisss e s rets x = e x = b é e b e ( Figur 9. hchurmos região meciod). CEDERJ 8
A fução expoecil. MÓDULO - AULA 9 b Figur 9. Exemplo 9.3 Pr quisquer, b R, com<b,tem-se cos xe se x dx = e se b e se. Com efeito, cosideremos fução G(x) =e se x. Pel regr d cdei, G éderivável em R e tem por derivd fução cotíu f(x) =cosxe se x. Portto, pelo Teorem Fudmetl do Cálculo, cos xe se x dx = f(x)dx = G(b) G() =e se b e se. Apróxim proposição os diz que fução expoecil cresce muito mis rápido do que qulquer poliômio x ( =,,...). Mis precismete: Proposição 9.5 Pr todo iteiro, e x x + x =+. Demostrção: Vmos provr sserção cim usdo o pricípio de idução fiit. No cso em que =, devemos mostrr que e x x + x =+. De fto, rgumetdo como demostrção d Proposição 9.4(b), obtemos e x x + x = e log t t + log t = t t + log t. Ms, pel Proposição 7.5, log t =, t + t 83 CEDERJ
A fução expoecil. sedo log t t > prtodot (, + ). Coseqüetemete, ( ) e x x + x = t t + log t = t + Sej k um iteiro, k, e dmitmos que Etão, como x + ex =+ e regr de L Hôpitl pr obter x + e x x k+ = x + e x x + x =+. k log t t =+. x + xk+ =+, podemos plicr e x (k +)x k = k + ( x + ) e x =+, x k provdo que sserção éválid pr k +. Pelo pricípio de idução fiit, sserção éválidprtodoiteiro, isto é, pr todo iteiro. e x x + x =+ Já sbemos que fução derivável f(x) =e x étlquef() = e f (x) =f(x) prtodox R. Cocluiremos est ul mostrdo que tis proprieddes crcterizm fução expoecil. Mis precismete, temos seguite Proposição 9.6 Sej f : R R um fução derivável tl que f() = e f (x) =f(x) pr todo x R. Etão f(x) =e x pr todo x R. Demostrção: Cosideremos fução g : R R, defiid por g(x) = f(x) e x pr todo x R (otemos que fz setido cosiderr fução g, poise x pr todo x R). Como tto f quto fução expoecil são deriváveis em R, segue d Proposição.4, vist o Cálculo I, que g éderivável em R e g (x) = f (x)e x f(x)(e x ) (e x ) = f (x)e x f(x)e x (e x ) = = f(x)ex f(x)e x (e x ) = pr todo x R. Logo, pel Proposição 7.(), vist em Cálculo I, existe c R tl que g(x) =c pr todo x R, istoé, f(x) =ce x pr todo x R. Fzedo x =,obtemos=f() = ce = c. Assim, f(x) =e x pr todo x R, comoquerímos demostrr. CEDERJ 84
A fução expoecil. MÓDULO - AULA 9 Resumo Nest ul você foi presetdo à fução expoecil e predeu lgums de sus proprieddes básics. Exercícios. Esboce o gráfico ds seguites fuções: () f(x) =e x ; (b) f(x) =e x ; (c) f(x) =e x.. Dê o domíio e derive s seguites fuções: () f(x) =e x +x+ ; (b) f(x) =e se x ; (c) f(x) =e cos x ; (d) f(x) =e x x + ; (e) f(x) =e x x ; (f) f(x) = x e x ; (g) f(x) = x e x ; (h) f(x) =se x e x ; (i) f(x) = tg x e x ; (j) f(x) =cos (e x ); (l)f(x) =cos ( e x ) ; (m) f(x) =log(e x +se x). 3. Sej p um poliômio rbitrário. Mostre que fução f(x) =e p(x) é derivável em R e f (x) =p (x) e p(x) pr todo x R. Coclu que, se α R éumrizdep, etão f (α) =p (α). 4. Defi seh x = ex e x,coshx = ex + e x etghx = ex e x e x + e = x pr todo x R. Mostre que, pr quisquer x, y R, e x + tem-se: () cosh x seh x =; (b) tgh x + cosh x =; (c) seh (x + y) =(sehx)(cosh y)+(coshx)(seh y) ; (d) cosh(x + y) =(coshx)(coshy) +(seh x)(seh y). 5. Mostre que s fuções seh, cosh e tgh são deriváveis em R e, lém disso, tem-se A fução x R seh x R é cohecid como fução seo hiperbólico, fução x R cosh x R é cohecid como fução cosseo hiperbólico e fução x R tgh x R é cohecid como fução tgete hiperbólic. () seh (x) =coshx, (b) cosh (x) =sehx e 85 CEDERJ
A fução expoecil. (c) tgh (x) = cosh x pr todo x R. 6. Use regr de L Hôpitl pr clculr os seguites ites: e x x x () ; x x e x x x (b) x3 6 ; x x 3 e x x x (c). x x 3 7. Pr, b R, com<b,clcule Sugestão: Rciocie como o Exemplo 9.3. 8. Clcule <b,eα R {}. se xe cos x dx. e αx dx, ode e b são dois úmeros reis quisquer, com 9. Determie cocvidde do gráfico d fução F (x) = e t dt, defiid pr x R.. Clcule e x e x +5 dx. x Sugestão: Cosidere G(x) =log(e x + 5) e mostre que G (x) = pr todo x [, ].. Cosidere fução f(x) =e x +e x + 3, defiid pr x R. () Mostre que f é bijetor. ex e x +5 (b) Determie equção d ret tgete o gráfico de f o poto (6, ). Auto-vlição Nos exercícios dest ul você liou ftos importtes, estuddos o decorrer do curso, o que cbou de preder respeito d fução expoecil. Tedo em vist importâci d fução expoecil, só psse pr próxim ul pós fzer todos os exercícios propostos. Cso teh setido dificulddes, relei ul. Permecedo s dúvids, cosulte o tutor o pólo. CEDERJ 86
A fução expoecil. Cotiução. Aul A fução expoecil. Cotiução. MÓDULO - AULA Objetivos Compreeder o que se etede por x, ode (, + ) e x R. Referêcis: Auls,, 6, 7, 8 e 7 de Cálculo I, 4 e 8 de Cálculo II. Estudr proprieddes básics respeito dest oção. N ul 8 estudmos s fuções log, ode (, + ) {}, squis são bijetors em vist d Proposição 8.. Nest ul os dedicremos o estudo ds iverss ds fuções log. Nocsoprticulremque = e, já sbemos que ivers d fução log é fução expoecil, que foi discutid detlhdmete ul terior. Defiição. Sej (, + ). Pr cd x R defiimos x = e x log. Como e x > prtodox R, segueque x > prtodox R. Se =,temos x = e x log = e = pr todo x R. Se = e, temos x = e x log e = e x pr todo x R; isto sigific dizer que, este cso, fução x R x (, + ) é precismete fução expoecil. Supohmos (, + ) {}. Etão temos: () pr todo x R, e ( log ( x )=log ) e x log = log ( x log e ) = x log log log = x (b) pr todo x (, + ), log x = e (log x)(log) = e ( log x log )(log ) = e log x = x. Segue de (b) que, pr cd (, + ) {}, fução x R x (, + ) é ivers d fução log. Vejmos lgums proprieddes importtes ds fuções x R x (, + ) que decorrem de proprieddes já provds pr fução expoecil. 87 CEDERJ
A fução expoecil. Cotiução. Proposição. Sej (, + ). Pr quisquer x, y R, tem-se: () x+y = x. y ; (b) ( x ) y = xy ; (c) x = x ; (d) x y = x y. Além disso, se, x = se, e somete se, x =. Demostrção: (): x+y = e (x+y)log = e x log +y log = e x log.e y log = x. y. (b): Iicilmete, otemos que firmção ser provd fz setido, já que x >. Temos etão ( x ) y = ( e x log ) y = e y log(e x log ) = e y(x log ) = e (xy)log = xy, como querímos provr. (c): x = e ( x)log = e (x log ) = e x log = x. (d): x y = x+( y) = x. y = x y. Filmete, se, x = se, e somete se, e x log ==e se, e somete se, x log = se, e somete se, x =. Fzedo = e Proposição.(b), obtemos (e x ) y = e xy pr quisquer x, y R, estededo o que hvímos visto Proposição 9.(e). Proposição. Sej (, + ). Etão fução x R x (, + ) éderivável em R e ( x ) =(log) x pr todo x R, ode ( x ) deot derivd dest fução em x. Demostrção: Já sbemos que fução expoecil éderivável em R e (e x ) = e x pr todo x R. Coseqüetemete, fução x R x (, + )éderivável em R e( x ) =(log)e x log =(log) x pr todo x R. Exemplo. Sejm (, + )ep um poliômio. Etão fução f(x) = p(x) éderivável em R e f (x) =(log)p (x) p(x) CEDERJ 88 pr todo x R.
A fução expoecil. Cotiução. MÓDULO - AULA Com efeito, pel regr d cdei, fução f éderivável em R e pr todo x R. f (x) =p (x)( p(x) ) =(log)p (x) p(x) Em prticulr, se f(x) =7 x3 +8x 4,etão f (x) = (log 7)(3x +8)7 x3 +8x 4. Exemplo. Sej (, + ). Etão fução f(x) = cos x éderivável em R e f (x) = (log )se x cos x pr todo x R. Com efeito, pel regr d cdei, fução f éderivável em R e f (x) = (se x)( cos x ) = (log )se x cos x pr todo x R. Em prticulr, f () = (log )se cos =. Proposição.3 Se (, ), vlem s seguites proprieddes: () fução x R x (, + ) é decrescete; (b) o gráfico d fução x R x (, + ) tem cocvidde pr cim; (c) x x =+ e x + x =. Demostrção: (): Segue do Teorem 7.(b), visto o Cálculo I, já que fução x (, + ) log x R é decrescete (Proposição 8.4()). (b): Pel Proposição., fução x R x (, + ) é dus vezes derivável em R e ( x ) =(( x ) ) =(log)( x ) =(log)(log ) x =(log) x pr todo x R. Díresultque( x ) > prtodox R. Logo, pel Proposição 8.(), vist o Cálculo I, temos (b). (c): Como (, ), log <. Por outro ldo, sbemos que e x + ex =+. Portto, x x = x ex log =+ e x + x = x + ex log =. AProposição.3() tmbém segue d Proposição. e d Proposição 7.(c), vist o Cálculo I, lembrdo que log <se (, ). x ex = 89 CEDERJ
A fução expoecil. Cotiução. Rciocido como demostrção d proposição terior, obtemos: Proposição.4 Se (, + ), vlem s seguites proprieddes: () fução x R x (, + ) é crescete; (b) o gráfico d fução x R x (, + ) tem cocvidde pr cim; (c) x x = e x + x =+. AProposição.4() tmbém segue d Proposição. e d Proposição 7.(b), vist o Cálculo I, lembrdo que log >se (, + ). Ns Figurs. e.b esboçmososgráficos ds fuções x R x (, + ) qudo (, ) e (, + ), respectivmete. () (b) Figur. Proposição.5 Sejm I um itervlo ão trivil, f : I R um fução derivável em I tl que f(x) > prtodox I e g : I R um fução derivável em I. Etão fução h(x) =f(x) g(x) éderivável em I e [ h (x) =h(x) g (x)log(f(x)) + g(x) f ] (x) f(x) pr todo x I. Demostrção: Sej v(x) =log(f(x)) pr todo x I. Pel regr d cdei, v éderivável em I e v (x) =log (f(x)).f (x) = f (x) f(x) CEDERJ 9
A fução expoecil. Cotiução. MÓDULO - AULA pr todo x I. Sej w(x) = g(x)v(x) pr todo x I. Pel Proposição.3, vist o Cálculo I, w éderivável em I e pr todo x I. w (x) =g (x)v(x)+g(x)v (x) =g (x)log(f(x)) + g(x) f (x) f(x) Filmete, como h(x) = e g(x)log(f(x)) = e g(x)v(x) = e w(x) pr todo x I, segue d regr d cdei que h éderivável em I e [ h (x) =e w(x) w (x) =h(x) g (x)log(f(x)) + g(x) f ] (x) f(x) pr todo x I. Exemplo.3 Sejm r um úmero rel rbitrário e h(x) =x r (x (, + )). Etão h é derivável em (, + ) eh (x) =rx r pr todo x (, + ). De fto, tomemos f(x) =x e g(x) =r; etão h(x) =f(x) g(x) pr todo x (, + ). Pel Proposição.5, h éderivável em (, + ) e [ h (x) = h(x) g (x)log(f(x)) + g(x) f ] (x) = f(x) [ = x r log x + r ] = x = r xr x = rxr pr todo x (, + ). Lembremos que, o cso prticulr em que r éumúmero rciol ão ulo, o Exemplo.3 já ercohecido(veruldecálculo I). Resumo Nest ul você predeu o que se etede por x ( (, + ),x R) e estudou proprieddes básics cerc dest oção. Exercícios. Esboce o gráfico ds seguites fuções: ( ) x+ () f(x) = ; (b) f(x) =( ( e 3) x + ; (c) f(x) = 5 3 ) x. 9 CEDERJ
A fução expoecil. Cotiução.. Dê o domíio e derive s seguites fuções: () f(x) = se x ; (b) f(x) = sex ; (c) f(x) = se (x) ; (d) f(x) = ( ) x 3 x ) x x ; (e) f(x) =( 4 cos x ; (f) f(x) = ; 5 x (g) f(x) =log(3 x ); (h)f(x) =3 log x ; (i) f(x) =π log(x) ; (j) f(x) =log (3 x ); (l)f(x) =log 3 ( x ); (m)f(x) = log 3 x ; () f(x) =3 log x. 3. () Esboce região compreedid etre o gráfico de f(x) = eixo ds bscisss e s rets x = ex =. (b) Determie áre d região meciod em (). 4. Clcule ( ) x,o 7 7 x dx, ode, b R e < b. Sugestão: Se G(x) = log7 7x,etão G (x) =7 x. 5. Clcule x 7 x dx, ode, b R e <b. Sugestão: Se G(x) = log7 7x,etão G (x) =x 7 x. 6. Mostre que (se x) 7. Derive s seguites fuções: ( ) cos x dx = 6 () f(x) =x x,x (, + ) ; log ( 6 ) ( ( 6 ) cos ( ) ) cos b. 6 (b)f(x) =x x3 7x +6x,x (, + ); (c) f(x) =(x +) cos x,x R ; (d) f(x) =(se x +) x +,x R. Auto-vlição Os exercícios dest ul depedem, fudmetlmete, do coteúdo d mesm, ds regrs de derivção e do Teorem Fudmetl do Cálculo. Por est rzão, se você teve dúvids os exercícios propostos, relei s uls pertietes e tete ovmete. Cso persist lgum dúvid, cosulte o tutor o pólo. CEDERJ 9
Objetivo Exercícios resolvidos. Aul Exercícios resolvidos. Fixr o coteúdo ds uls 9, otdmete quele referete às uls 7e9. MÓDULO - AULA Referêcis: Auls 5, 7, 8, 9, 6, 7, 8, 6 e 7 de Cálculo I, 3, 4, 5, 7 e 9 de Cálculo II. Exercício : Sej R região compreedid etre os gráficos de f(x) = x,g(x) =x e h(x) = x 4. () Esboce região R. (b) Ache áre d região R. Solução: (): Evidetemete, região R em questão está cotid o cojuto {(x, y) R ; x ey }. Notemos que, como g(x) h(x) = x x 4 = x ( x 4), temos g(x) h(x) prx [, 4] e h(x) g(x) prx [ 4, + ]. Além disso, g(x) =h(x) se, e somete se, x =oux =. Por outro ldo, f(x) =g(x) 4 se, e somete se, = x x se, e somete se, x =;f(x) =h(x) se, e somete se, = x se, e somete se, x =;e,comof(x) h(x) = x = 4 x,temos x 4 x 4 4x h(x) f(x) prx [, ]. Assim, região R é como Figur.. f(x) = x g(x) =x h(x) = x 4 / /4 Figur. (b): Jutdo s iformções obtids em (), cocluímos que áre de R é 4 ( x x ) dx + 4 ( x x ) dx. 4 93 CEDERJ
Exercícios resolvidos. Ms 4 ( x x ) dx = 4 4 x dx 4 x 4 dx = = = 3 = 3 4 ( x dx 4 3 4 xdx= ( ) ) ( 3 4 4. ( ) ( ) = 64 8 6 ( ) ) = 4 e ( x x ) dx = 4 = 3. 63 64 8. 5 6 = 64 5 8 = 7 8 x dx 4 xdx = log log 8 ( )= = log 3 8. Portto, áre de R é 7 8 log + 3 8 = 75 log. 8 Exercício : Sej f :(, + ) R, defiid por f(x) =x +logx pr todo x (, + ). () Mostre que f éiversível em (, + ). (b) Mostre que ivers f de f está defiid em R, éderivável em R e(f ) (x) = f (x) pr todo x R. Foreç f () e (f ) (). +f (x) Solução: (): A fução f éderivável em (, + ), como som de dus fuções deriváveis em (, + ), e f (x) =+ pr todo x (, + ). Assim, x f (x) > prtodox (, + ). Logo, f é crescete em (, + ) e,coseqüetemete, f é iversível em (, + ). (b): Como x = e log x =, etão f(x) =. Por x + x + x + outro ldo, como x =+ e log x =+,etão f(x) =+. x + x + x + CEDERJ 94
Exercícios resolvidos. MÓDULO - AULA Como f é cotíu em (, + ) (já que é derivável em (, + )), podemos grtir que f((, + )) = R (justifique est firmção usdo o teorem do vlor itermediário). Portto, o domíio de f é R. E, como f() = + log =, etão f () =. Filmete, pelo teorem d fução ivers, f éderivável em R e (f ) (x) = f (f (x)) pr todo x R. Comof (f (x)) = + (f ) (x) = f (x) +f (x) = +f (x) f (x) f (x),obtemos pr todo x R. Em prticulr, (f ) () = f () +f () = + =. Exercício 3 (Exercício 5, d ul 7): Use regr de L Hôpitl pr clculr os seguites ites: log(x +) x + x log(x +) x + x () ; (b) ; x x x x 3 log(x +) x + x (c) x3 3. x x 3 Solução: (): Temos que x (log(x +) x + x Logo, pel regr de L Hôpitl, log(x +) x + x x x ) = e x x =. = x +x x+ cso o ite d direit exist. Ms, como ( ) x x + +x = e x =, x segue d regr de L Hôpitl que x +x x+ x cso o ite d direit exist. Como = x + (x+) x + (x+) = + x =,,, 95 CEDERJ
Exercícios resolvidos. podemos filmete cocluir que log(x +) x + x =. x x (b): Rciocido como em (), podemos grtir que log(x +) x + x x x 3 + (x+) x = 6x, cso o ite d direit exist. Ms, como ( ) x (x +) + segue d regr de L Hôpitl que + (x+) = x 6x x cso o ite d direit exist. Como = e x 6x =, (x+) 3, 6 x (x+) 3 6 = 6 = 3, podemos filmete cocluir que log(x +) x + x = x x 3 3. (c): Rciocido como os ites teriores, podemos grtir que log(x +) x + x x3 3 x x 3 = x (x+) 3 6, cso o ite d direit exist. Ms x (x+) 3 = 6 6 =. Portto, log(x +) x + x x3 3 =. x x 3 Exercício 4: () Sej f : R R um fução cotíu e defi G(x) = e R x f(t)dt pr todo x R. Mostre que G éderivável em R e G (x) =f(x)g(x) prtodox R. CEDERJ 96
Exercícios resolvidos. MÓDULO - AULA (b) Supoh que f sej como em () e que, lém disso, se teh f(x) > pr todo x R ( respectivmete f(x) < prtodox R). Mostre que G é crescete em R ( respectivmete decrescete em R ). (c) Mostre que fução G(x) =er x Solução: (): Sejm f(x) =e x e F (x) = t 4 + dt é crescete em R. x f(t)dt (x R). Já sbemos que f e F são deriváveis em R e f (x) =e x e F (x) =f(x) prtodox R. Como G = f F, regr d cdei os grte que G éderivável em R e G (x) =(f F ) (x) =f (F (x))f (x) =e F (x) f(x) =f(x)g(x) pr todo x R. (b): Se f(x) > prtodox R, etão G (x) =f(x)g(x) > pr todo x R, jáqueg(x) > prtodox R. Portto, G é crescete em R. Alogmete, se f(x) < prtodox R, etão G (x) < pr todo x R. Portto, G é decrescete em R. G(x) =er x (c): Como f(x) = x 4 + t 4 + dt é crescete em R. > prtodox R, segue de (b) que fução Exercício 5: () Mostre que fução f : R R, defiid por f(x) =e x se x ef() =, éderivável em R. (b) Esboce o gráfico de f. Solução: (): Pel regr d cdei, f éderivável em R {} e f (x) = x 3 e x pr todo x R {}. Mostremos que f é derivável em. Relmete, devemos verificr que existe. Ms f(x) f() f(x) = x x x x = x e x x e x + x x = x + x e x x = x + e ( x) = t + t e t. Como e t t + t =+ ecomo et t et t pr todo t [, + ) (justifique 97 CEDERJ
Exercícios resolvidos. est firmção), segue que e t t + t =+. Logo, e x + x x = t + t e t = t + e t t =. f () =. Por outro ldo, e x x x = ( Coseqüetemete, ( x) e x x e x x Em resumo, temos f (x) = x ) ( = e t + t t ) =. =. Istoprovquef éderivável em e e x 3 x se x ef () =. (b): Iicilmete, otemos que f épr,istoé, f( x) =f(x) prtodo x R. Assim, pr cohecer o gráfico de f, bst cohecer o gráfico de f qudo x vri em [, + ). Como f (x) = e x 3 x > prtodox (, + ), segue que f é crescete em [, + ); logo, f é decrescete em (, ] (este fto tmbém decorre do fto de que f (x) < prtodox (, )). Como f(x) = ( ) x + x + e x =(já que x + x =, fução expoecil écotíu em e e =),rety =éumssítot horizotl o gráfico de f. Fçmos um estudo d cocvidde do gráfico de f. Com efeito, como f (x) = x 3 e x firmr que f (x) = pr todo x R {}, podemos ( 6x 4 + 4x 5 ) e x pr todo x R {}. Por outro ldo, f () = x f (x) f () x = x f (x) x = = x e x 3 x x x = 4 = x e x ( ) x = x e x t = =. t + e t CEDERJ 98
Exercícios resolvidos. MÓDULO - AULA Em resumo, f é dus vezes derivável em R, f (x) = ( ) 6 + 4 x 4 x e 5 x se ( x R {} e f () =. Como f (x) = e x 4 x 3+ x) pr x R {}, coclui-se que f (x) > prtodox (, 3) e f (x) < prtodox (, + ). Portto, o gráfico de f tem cocvidde pr cim em ( ), 3 3 e cocvidde pr bixo em ( 3, + )... A prtir ds iformções obtids, esboçmos o gráfico de f Figur Figur. Resumo Nos exercícios resolvidos dest ul você fixou, priciplmete, o coteúdo respeito ds fuções logrítmic e expoecil, estuddo s uls 7 e 9. Eles tmbém podem ter cotribuído pr dirimir evetuis dúvids sobre s referids fuções. 99 CEDERJ
Outrs idetermições d regr de L Hôpitl. MÓDULO - AULA Aul Outrs idetermições d regr de L Hôpitl. Objetivo se plic. Estudr lgums outrs idetermições ode regr de L Hôpitl Referêcis: Auls 6 de Cálculo I, 7, 8, 9 e de Cálculo II. N ul 6 de Cálculo I, vimos qutro forms de idetermição ode regrdel Hôpitl se plic: s forms,,. e. Nest ul veremos três outros tipos de idetermição, sber,, e. Iiciemos pel form idetermid. Imgie que queirmos determir o x π (4π 4x)sex.Vocêpodeperceber que, té qui, ehum ds técics pr clculr ites são plicáveis este cso. Observe que, escrevedo f(x) = 4π 4x e g(x) = sex, temos x π (4π 4x) = e sex =, o que justific seguite x π Defiição. Sejm I um itervlo ão trivil, f : I R tl que f(x) > pr todo x I e R tl que f(x) =. Seg : I R é um fução tl x que g(x) =, dizemos que fução f(x) g(x) tem form idetermid x em. Pr determir o f(x) g(x) qudo f(x) g(x) tem form idetermid, vmos trsformá-l form ou tes de plicr regr de x L Hôpitl. Pr fzer isso, lembre iicilmete que f(x) g(x) = e g(x)logf(x) > pr todo x I. Portto, escrevedo y(x) =f(x) g(x) (x I), segue que logy(x) está bem defiid e logy(x) =loge g(x)logf(x) = g(x).logf(x) prtodox I. Assim, y(x) = x x elog y(x) = e g(x).log f(x). x Lembre que o domíio d fução logrítmic é o itervlo (, + ). Comofução expoecil écotíu, segue que e g(x).logf(x) = x g(x).logf(x) x e, desde que exist Se este for o cso e g(x).logf(x) =L, segueque x x g(x).logf(x). g(x).logf(x) y(x) = x x f(x)g(x) x = e = e L. CEDERJ
Outrs idetermições d regr de L Hôpitl. Acbmos de ver que, pr determir o f(x) g(x), bst determir x o g(x).log f(x). Or, como f(x) = e g(x) =, segue que x x x g(x).log f(x) tem form idetermid. em. Você viu, ul 6 de Cálculo I, que pr trsformr est form idetermid form ou usmos o rtifício de escrever g(x).log f(x) = g(x), que tem form idetermid log f(x) em, oug(x).log f(x) =, log f(x) g(x) que tem form idetermid em. Lembremos que escolh etre s dusformsdeverá ser feit levdo-se em cot qul dels tor mis fácil plicção d regr de L Hôpitl. Vejmos um exemplo. Exemplo. Vmos determir o x π (4π 4x)sex. Note que, como 4π 4x >pr todo x (,π), etão log(4π 4x) está bem defiid pr tis vlores de x. Pelo que cbmos de ver, devemos determir o x π (sex).log(4π 4x). Escrevmos (sex).log(4π 4x) = log(4π 4x) sex form idetermid. = log(4π 4x),qultem cossecx Aplicdo regr de L Hôpitl dus vezes, temos: 4 4π 4x x π (sex).log(4π 4x) = x π ( cossecx)(cotgx) = 4se x = x π (4π 4x)cosx = 8(sex)(cosx) = x π (4x 4π)sex 4cosx = Obtemos, portto, que = 4 =. x π (4π 4x)sex = e =. Vejmos, gor, form idetermid. Defiição. Sejm I um itervlo ão trivil, f : I R tl que f(x) > pr todo x I e R tl que f(x) =+. Se g : I R éum x fução tl que g(x) =, dizemos que fução f(x) g(x) tem form x idetermid em. CEDERJ
Outrs idetermições d regr de L Hôpitl. MÓDULO - AULA Alogmete o cso terior, devemos determir o g(x)logf(x). x Como logf(x) =+, seguequeg(x)logf(x) tem form idetermid.. De ovo, usmos o rtifício de escrever g(x).logf(x) = x ou g(x).logf(x) = logf(x) g(x) pr, em seguid, plicr regr de L Hôpitl. g(x) logf(x) Exemplo. ( Vmos determir o ) x. Como > prtodox (, + ), x + x x segue que log ( x ) está bem defiid pr tis vlores de x. Pelo que cbmos de ver, devemos determir o x +(x ).log( x ). ( ) ) = log Escrevedo (x ).log ( x obtemos ( ) x +(x ).log x x x = e plicdo regr de L Hôpitl, ( log x x + x = x + ) = ( (x ) ) / ( = x +(x ) = ) (x ) = (x ) Assim, ( ) x = e x + x ( ) +(x )log x x = e =. Vejmos, pr filizr, form idetermid. Defiição.3 Sejm I um itervlo ão trivil, f : I R tl que f(x) > pr todo x I e R tl que f(x) =. Se g : I R éum x fução tl que g(x) =±, dizemos que fução f(x) g(x) tem form x idetermid em. D mesm meir, devemos determir o g(x).logf(x). Como x logf(x) = e g(x) =±, seguequeg(x)logf(x) tem form idetermid.. De ovo, usmos o rtifício de escrever g(x).logf(x) x x = ou g(x).logf(x) = logf(x) g(x) pr, em seguid, plicr regr de L Hôpitl. g(x) logf(x) 3 CEDERJ
Outrs idetermições d regr de L Hôpitl. Exemplo.3 Vmos determir o x +(cosx) se(x). Como cosx >prtodox (, π ), segue que log(cosx) está bem defiid pr tis vlores de x. Pelo que cbmos de ver, devemos determir o sex).log(cosx). e plicdo regr de L Hôpitl, obte- Escrevedo mos Assim, sex.log(cosx) = log(cosx) sex x + ) x +(cosx sex ( ).log(cosx) = sex x + ( log(cosx) x + = = x + se x sex cosx cosx se x = = x + se 3 x cos x =. ( ).log(cosx) x = e + sex = e =. Resumo Nestulvocê costtou importâci ds fuções logrítmic e expoecil pr o cálculo de certos ites. Exercícios. Determie os ites bixo: ( ) ) x /log x b) π (cosx)x c) x + x π x π 4 d) 5xsex x + g) (x + e x ) /x x e) x + xe x h) x +( + x)logx i) j) x (e x / cosx) 4/x4 k) x + (ex + x) /x ( x π )cosx 4 f) xx x + +x) /x x +(ex l) ( )/(x ) x ex x m) ) x +(cotgx)x x + (ex ) /ex o) x + e x CEDERJ 4
Outrs idetermições d regr de L Hôpitl. MÓDULO - AULA p) x ( + tg x) /x q) x + s) x (e /x ) x t) x + e x + x 4 + x 3 ( e x )x r) (sex) secx x π u) x ( cx +. Ecotre o úmero rel c pr o qul x + cx 3. Ecotre o úmero rel c pr o qul x + ( x + c x c ( )x. e x ) x =9. ) x =4. Auto-vlição Etre os exercícos propostos, você ecotrrá ão somete queles evolvedo s forms de idetermição estudds est ul, como tmbém lgums forms de idetermição estudds ul 6 de Cálculo I. Pr resolvê-los, você deve demostrr domíio ds regrs de derivção e idetificção, em cd cso, d form de idetermição d regr de L Hôpitl ser plicd. Cso persist lgum dúvid, relei ul com teção ou procure o tutor o seu pólo. 5 CEDERJ
Gráficos de fuções. MÓDULO - AULA 3 Aul3 Gráficos de fuções. Objetivos Estudr lgums fuções evolvedo s fuções logrítmic e expoecil e esboçr seus gráficos. Referêcis: Auls69 de Cálculo I, 7, 8, 9 e de Cálculo II. Pr cd um ds fuções f dos exemplos que se seguem, estudremos: (i) o domíio e derivbilidde de f, (ii) s ssítots verticis e horizotis o gráfico de f, (iii) o crescimeto e o decrescimeto de f, (iv) cocvidde do gráfico de f, (v) os extremos reltivos e bsolutos de f e (vi) os potos de iflexão do gráfico de f. Filmete, esboçremos o gráfico de f. Exemplo 3. Cosidere fução f(x) =xe x. Clrmete, vemos que o domíio de f é R. Agor, como h(x) =e x e g(x) = x são fuções deriváveis em R, segueque(h g)(x) =e x é derivável em R. Assim, f éderivável em R, poisé um produto de fuções deriváveis em R, sber,u(x) =x e(h g)(x) =e x. Vejmos s ssítots verticis e horizotis. Como f écotíu em R (pois éderivável em R), ão existe ssítot verticl o gráfico de f, visto que, pr todo R, f(x) =f(). Vimos, ul 9, que x x + ex =+ e x ex =. Assim, x x + e = =, dode cocluímos que f x + e x tem form idetermid.. Aplicdo regr de L Hôpitl, obtemos f(x) = x x x + x + xe = = x + e x x + e =. x Como x = e x x x e =+, segue que f(x) =. x Assim, cocluímos que ret y =éúic ssítot horizotl o gráfico de f. Derivdo f, obtemos ( f (x) =xe x ) ( + e x = e x x) pr todo x R. Sedo e x > prtodox R, x > prtodo x (, ) e x < prtodox (, + ), segue que f é crescete em (, ) e decrescete em (, + ). 7 CEDERJ
Gráficos de fuções. Clrmete, f éderivável e ( ) ( ) ( f (x) =e x e x x = e x x ) 4 pr todo x R. Como x > prtodox (4, + ), x < prtodo 4 4 x (, 4) e e x > prtodox R, seguequef (x) > em(4, + ) e f (x) < em(, 4), ou sej, o gráfico de f tem cocvidde pr cim o itervlo (4, + ) e cocvidde pr bixo o itervlo (, 4). Pr obter os extremos de f, devemos determir seus potos críticos. Sedo f derivável em R evistoquef (x) = somete se x =,segue que este éoúico poto crítico de f. Como f () <, segue do teste d derivd segud que f possui um máximo reltivo em x =. E,ddoque f é crescete em (, ) e decrescete em (, + ), cocluímos, verdde, que f possui um máximo bsoluto em x =. que f Filmete, o gráfico de f possui ret tgete o poto ( 4, 4 e ) eddo mud de sil somete em x =4,obtemosqueopoto ( 4, 4 e ) éo úico poto de iflexão do gráfico de f. Reuido tods s iformções obtids, estmos, gor, ptos esboçr ográfico de f (ver Figur 3.). /e 4 Figur 3. Exemplo 3. Cosidere fução f(x) =xlog(x ). Clrmete, vemos que o domíio de f é R {}. Agor, como h(x) = logx éderivável em (, + ) eg(x) =x éderivável em R, segueque(h g)(x) =log(x )éderivável em R {}. Assim, f éderivável em R {}, pois é um produto de fuções deriváveis em R {}, sber,u(x) =x e (h g)(x) =log(x ). CEDERJ 8
Gráficos de fuções. MÓDULO - AULA 3 Vejmos s ssítots verticis e horizotis. Como f é cotíu em R {} (pois éderivável em R {}), pr todo R {}, x f(x) =f(). Assim, ret x =éúic cdidt ssítot verticl. Note que f(x) tem form idetermid. em x =, pois x = e log(x )= x x. Escrevedo f(x) = log(x ) e plicdo regr de L Hôpitl, obtemos x log(x ) x xlog(x ) = x x x/x = x /x = ( x) =. x Cocluímos, portto, que ão existem ssítots verticis o gráfico de f. Vimos, ul 7, que dode x + xlog(x )=+ e ssítots horizotis o gráfico de f. Derivdo f, obtemos logx =+. Assim, x + x ± log(x )=+, x xlog(x )=, ousej,ão existem f (x) =x ( x x ) +log(x )=+log(x ) pr todo x R {}. Como log(x ) < se, e somete se, x (, e e) {}, seguequef (x) < em (, ) e e {} e f (x) > em (, e) (, + ). Assim, f é crescete em ( ) (, e e, + ) e decrescete em ( e, e e) {}. Sedo f derivável em R {} e f (x) = x,seguequef (x) < pr x (, ) e f (x) > prx (, + ), ou sej, o gráfico de f tem cocvidde pr bixo em (, ) e cocvidde pr cim em (, + ). Como f (x) = se, e somete se, x = e ou x = e, f ( e) < e f ( e) >, segue do teste d derivd segud que f possui um máximo reltivo em x = e eummíimo reltivo em x = e. Como e x + f(x) = x f(x) =+, cocluímos que f ão possui extremos bsolutos. Filmete, ddo que f (x) < se x (, ) e f (x) > se x (, + ), temos que o gráfico de f ão possui poto de iflexão (lembre que f ão está defiid em ). Reuido tods s iformções obtids, podemos, gor, esboçr o gráfico de f (ver Figur 3.). 9 CEDERJ
Gráficos de fuções. /e /e /e /e Figur 3. Exemplo 3.3 Cosidere fução f(x) =. e x Odomíio de f é R {}. A fução f éderivável em R {}, pois fução g(x) = e x éderivável em R (logo, em R {}) eg(x) pr todo x R {}. Vejmos s ssítots verticis e horizotis. Como f écotíu em R {} (pois éderivável em R {}), pr todo R {}, f(x) =f(). x Assim, ret x = éúic cdidt ssítot verticl. Note que, como e x < sex<ee x > sex>, etão f(x) =+ e f(x) =. x x + Assim, ret x =éumssítot verticl o gráfico de f. Agor, ddo que x ex = e x + ex =+, segue que f(x) = x e f(x) =, dode cocluímos que s rets y =ey =são s x + ssítots horizotis o gráfico de f. Derivdo f, obtemosf (x) = ex pr todo x R {}. Assim, ( e x ) f (x) > prtodox R {} e, portto, f é crescete em R {}. A fução f éderivável em R {} e f (x) = ex +e x.comoe x +e x > ( e x ) 3 pr todo x R, osildef fic determido pelo sil de ( e x ) 3. Assim, f (x) > sex<ef (x) < sex>, ou sej, o gráfico de f tem cocvidde pr cim em (, ) e cocvidde pr bixo em (, + ). Note que, como f é crescete em R {}, etão f ão possui extremos. Alogmete, como f (x) > prtodox R {}, ográfico de f ão possui potos de iflexão. Reuido tods s iformções obtids, temos que o gráfico de f écomo CEDERJ
Gráficos de fuções. MÓDULO - AULA 3 Figur 3.3. Figur 3.3 Exemplo 3.4 Cosidere fução f(x) = x. logx Odomíio de f é(, ) (, + ). Como f é um quociete de fuções deriváveis em (, ) (, + ), f éderivável em (, ) (, + ). Vejmossssítots verticis e horizotis. Como f écotíu em (, ) (, + )(poiséderivável em (, ) (, + )), segue que s rets x = e x =são s úics cdidts ssítots verticis o gráfico de f. A ret x x = ão éumssítot verticl, pois x + logx = x + logx.x =. =. x x Como = e =+, segue que ret x =éum x logx x + logx ssítot verticl o gráfico de f. Note, tmbém, que f tem form idetermid (em + ). Aplicdo regr de L Hôpitl, obtemos x x + logx = x + x =+. Assim, ão existem ssítots horizotis o gráfico de f. Derivdo f,obtemosf (x) = x((logx) ) pr todo x (, ) (, + ). (logx) Como logx < pr x (, ) ( ),e elogx> pr x ( e, + ),segue que f (x) < prx (, ) ( ),e e f (x) > prx ( e, + ),ou sej, f é decrescete em (, ) ( ) (,e e crescete em e, + ). Note que f éderivável em (, ) (, + )ef (x) = (logx) 3logx+ pr (logx) 3 todo x (, ) (, + ). Pr determir o sil de f, devemos estudr CEDERJ
Gráficos de fuções. os siis do umerdor e do deomidor de f. Como (logx) 3 < pr x (, ) e (logx) 3 > prx (, + ), rest estudr o sil do umerdor (logx) 3logx +. Msvocê pode observr que y 3y + > pr todo y R (justifique est firmção). Portto, (logx) 3logx +> pr todo x (, ) (, + ). Vemos, ssim, que f (x) < sex (, ) e f (x) > sex (, + ), ou sej, o gráfico de f tem cocvidde pr bixo em (, ) e cocvidde pr cim em (, + ). Agor, sedo f derivável o seu domíio (, ) (, + ) ef (x) =se, esometese,x = e,oúico poto crítico de f é x = e.além disso, visto que e x = e >, segue que f (e ) >, ou sej, f possui um míimo reltivo em (ote que isto tmbém segue do fto, visto cim, de f ser decrescete em (, e ) e crescete em (e, + )). E, como f(x) =, f ão possui x extremos bsolutos. Filmete, como f (x) < sex (, ) e f (x) > sex (, + ), segue que seu gráfico ão possui potos de iflexão (lembre que f ão está defiid em ). Agor, podemos esboçr o gráfico de f, como idicdo Figur 3.4. e / e Figur 3.4 Resumo Nest ul, plicmos todo o ferrmetl estuddo o módulo de Cálculo I pr esboçr gráficos de fuções evolvedo s fuções logrítmic e expoecil. CEDERJ
Gráficos de fuções. MÓDULO - AULA 3 Exercícios Pr cd um ds fuções bixo, estude: (i) o domíio e derivbilidde de f, (ii) s ssítots verticis e horizotis o gráfico f, (iii) o crescimeto e o decrescimeto de f, (iv) cocvidde do gráfico de f, (v) os extremos reltivos e bsolutos de f e (vi) os potos de iflexão do gráfico de f. Filmete, esboce o gráfico de f. ) f(x) =x e x b) f(x) =xlogx c) f(x) =x e x d) f(x) = (x log(x )). Auto-vlição Os exercícios propostos evolvem todo o coteúdo do módulo de Cálculo I, mis s uls 7. Se tiver dúvid em lgus dos coceitos evolvidos ou técics utilizds solução dos mesmos, relei com teção ul correspodete. Cso persist lgum dúvid, procure o tutor o seu pólo. 3 CEDERJ
Exercícios resolvidos. MÓDULO - AULA 4 Aul 4 Exercícios resolvidos. Objetivo Fixr o coteúdo do módulo de Cálculo II. Referêcis: Auls. Exercício : Defi H(x) = x x x 3 t3 +dt pr x [, + ). Mostre que H éderivável em [, + ) e determie H (x) prx [, + ). x x Solução: Defi F (x) = t3 + dt e F (x) = t3 + dt pr x 3 x [, + ). Note que H(x) =F (x)+f (x) prtodox [, + ). Mostremos que F e F são deriváveis em [, + ). Com efeito, defi g(x) =x 3 e G (x) = t3 +dt. Etão F = G g, pois x (G g)(x) =G (g(x)) = G (x 3 )= pr todo x [, + ). Alogmete, defi p(x) =x x e G (x) = F = G p, pois (G p)(x) =G (p(x)) = G (x x )= pr todo x [, + ). x 3 t3 +dt = F (x) x x x t3 + dt. Etão t3 +dt = F (x) Como t 3 +écotíu em [, + ), segue do Exemplo 3. que G e G são deriváveis em [, + ), G (x) = x 3 + e G (x) = x 3 + pr todo x [, + ). Sedo g e p deriváveis em R, segue d regr d cdei que F e F são deriváveis em [, + ), F (x) = (G g) (x) = G (g(x)).g (x) = = G (g(x)).g (x) = = 3x G (x 3 )= = 3x (x 3 ) 3 += 3x x 9 + 5 CEDERJ
Exercícios resolvidos. e F (x) = (G p) (x) = G (p(x)).p (x) = = ( x)g (x x )= = ( x) (x x ) 3 + pr todo x [, + ). Assim, H (x) =F (x)+f (x) = 3x x 9 ++ ( x) (x x ) 3 + pr todo x [, + ). Exercício : Determie x 3 (6x 4 5) dx. Solução: Vmos usr o que vimos o Exemplo 4.8. Escrevedo p(x) = 6x 4 5, temos que p (x) =4x 3. Portto, x 3 (6x 4 5) dx = = 4 = 4 p (x) 4 (p(x)) dx = ( (p()) ) (p( )) = ( ) =. Exercício 3: Sejm p um poliômio rbitrário e, b úmeros reis tis que <be p(x) prtodox [, b]. Determie p (x) p(x) dx, ode é um iteiro mior ou igul (observe que codição p(x) prtodo x [, b] só precis ser impost o cso em que é pr). Solução: A fução f(x) =p (x) p(x) écotíu em [, b]. Além disso, sedo G(x) = + G (x) = + (p(x)), G éderivável em [, b] e +. +.p (x).(p(x)) + = p (x)p(x) = f(x) pr todo x [, b]. Portto, pelo Teorem Fudmetl do Cálculo, p (x) p(x) dx = f(x) dx = G(b) G() = + + ((p(b)) (p()) ). + CEDERJ 6
Exercícios resolvidos. MÓDULO - AULA 4 Exercício 4: Clcule (x +3) 3 3x +9x +6dx. Solução: Se tomrmos p(x) =3x +9x+6, temos que p (x) =6x+9. Assim, (x +3) 3 p (x) 3x 3 +9x +6dx = p(x) dx = p (x) 3 p(x) dx. 3 3 Pelo exercício terior, segue que (x +3) 3 3x +9x +6dx = 3.3 4 ((p()) 4 3 (p( )) 4 3 )= 4 (8) 4 3. Exercício 5: Clcule ( 4 Solução: N itegrl defiid ) t 3 cos xdt dx. 4 Assim, como cosx ão depede de t, segueque t 3 cosx dt,vriável de itegrção é t. 4 t 3 cosx dt=(cosx) 4 t 3 dt. Note que G(t) = t4 4 étlqueg (t) = t 3. Portto, pelo Teorem Fudmetl do Cálculo, 4 t 3 cosx dt = (cosx) 4 t 3 dt = ( ) 4 4 = (cosx) 4 4 =(cosx)(4 3 ) = 6cosx. 4 Logo, ( 4 ) t 3 cosx dt dx = 6cosx dx= = 6(se se) = 6se. 7 CEDERJ
Exercícios resolvidos. Exercício 6: Sej F (x) = fução costte. x x t dt pr todo x>. Mostre que F éum Solução: Pr todo x (, + ), temos F (x) = x x t dt = x x t dt + t dt = = log (x) log x = = log +log x log x =log. Portto, F é um fução costte. Exercício 7 (Exercícios (h) e (l), d ul 5): Esboce região e che áre d região compreedid etre: () os gráficos de f(x) =x x eg(x) =x +6; (b) os gráficos de f(x) =cos x esretsx =,x = π e y =. Solução: (): Note que f(x) =g(x) se, e somete se, x = oux =4,e que f(x) g(x) prtodox [, 4]. Assim, região em questão écomo idicdo Figur 4.. f(x) =x x g(x) =x +6 6 6 4 Figur 4. CEDERJ 8
Exercícios resolvidos. MÓDULO - AULA 4 Aáre d região é, portto, 4 (g(x) f(x)) dx = = = 4 4 ( x +x +8)dx = x dx + 4 x dx+ 4 8 dx = ( ) ( ) 43 3 + ( )3 4 + 3 ( ) +8(4 ( )) = = 8 3. (b): A região em questão é como idicdo Figur 4.. f(x) =cosx π π Figur 4. Vê-se, fcilmete, que áre d região é dus vezes áre d região compreedid etre o gráfico de f(x) =cosx, prx [, π ], e ret x =, ou sej, π cosx dx= (se π ) se =. Exercício 8: Mostre, usdo o teorem do vlor médio pr itegris, que 3 3 3 x 3 +4 dx 3 4. Solução: A fução f(x) = x 3 +4 écotíu em [, 3]. Pelo teorem do vlor 9 CEDERJ
Exercícios resolvidos. médio pr itegris, existe u [, 3] tl que 3 dx = f(u)(3 ) = 3f(u). x 3 +4 Por outro ldo, como 4 x 3 +4 3 pr todo x [, 3], etão pr todo x [, 3]. Portto, 3 3f(u) = 3 3,istoé, 3 x 3 +4 4 3 u 3 +4 4 como querímos demostrr. 3 3 3 x 3 +4 dx 3 4, Exercício 9: Vmos usr s proprieddes d fução logrítmic e su derivd pr determir f (x), ode f(x) = 3 x+ (x+) pr x [, + ). x+3 Solução: Como f(x) > prtodox [, + ), temos que g(x) =logf(x) está bem defiid em [, + ). Aplicdo s proprieddes d fução logrítmic, obtemos g(x) = 3 log(x +) log(x +) log(x +3). Sedo f e log deriváveis em (, + ), segue d regr d cdei que g é derivável em [, + ) e pr todo x [, + ). g (x) = f(x).f (x) = 3(x +) x + (x +3) Multiplicdo mbos os ldos d iguldde por f(x), obtemos f (x) = = obtemos 3 x + (x +) +)(x +3) 6(x +)(x +3) 3(x +)(x +).(x. x +3 (6(x +)(x +)(x +3) Filmete, desevolvedo o umerdor e simplificdo expressão, pr todo x [, + ). Exercício : Clcule 7x 3x f (x) = 6(x +) 3 (x +) (x +3) 3 x +x +3 x 3 +3x +9x + dx. CEDERJ
Exercícios resolvidos. MÓDULO - AULA 4 Solução: A fução f(x) =x 3 +3x +9x +étlquef(x) > prtodo x [, ]. Assim, G(x) =logf(x) está bem defiid pr todo x [, ]. Pel regr d cdei, G éderivável em [, ] e G (x) = f(x).f (x) prtodo x [, ], ou sej, pr todo x [, ]. dx, segue do Teorem Fu- Como dmetl do Cálculo que Resumo G (x) = 3x +6x +9 x 3 +3x +9x + = 3(x +x +3) x 3 +3x +9x +. x +x+3 dx = x 3 +3x +9x+ 3 3(x +x+3) x 3 +3x +9x+ x +x +3 x 3 +3x +9x + dx = 3 (G() G()) = log4 (log4 log) = 3 3. Esses exercícios v todo o coteúdo visto este módulo. A prtir desss resoluções você pode, iclusive, tirr dúvids de exercícios de uls teriores os quis teh tido dúvid. Nesse cso, retore à(s) ul(s) em questão e refç-os. Se persistir dúvid, procure o tutor o pólo. CEDERJ
Exercícios resolvidos. MÓDULO - AULA 5 Aul 5 Exercícios resolvidos. Objetivo Fixr os pricipis coceitos e resultdos estuddos durte o curso. Referêcis: Módulos, de Cálculo I e o Módulo de Cálculo II. Exercício (Exercício 5, d ul 4 de Cálculo I): Mostre que cos 3 x x xse x cos x = 3 4. se x () Usdo o ite fudmetl =. x x (b) Usdo regr de L Hôpitl. Solução: (): Pr x ( π, π ) {}, temos x cos 3 x xsex cosx = cos x xsex cosx + Portto, = cos 3 x xsex cosx = cos x xsex cosx se x xsex cosx + cosx xsex cos x xsex = = sex x = sex x = sex x = sex x ( x ( ) cosx cosx +cosx = xsex cosx + cosx + cosx + )( sex x cosx +cosx cos 3 x xsex cosx = ( ) ) ( cosx ( + cosx) = xsex cosx ( ) se x = +cosx xsex cosx se x +cosx x. x cosx ) + ( cosx )( x + cosx x x ) sex = x = + = 3 4. (b): Lembrdo que se(x) = sex cosx, temos cos 3 x xsex cosx = cos3 x xse(x). 3 CEDERJ
Exercícios resolvidos. Como ( cos 3 x) x = (xse(x)) x =, segue d regr de L Hôpitl que x cos 3 x xsex cosx = x cso o ite d direit exist. Ms, como 3cos x sex se(x)+xcos(x), x 3cos x sex = (se(x)+xcos(x)) =, x segue d regr de L Hôpitl que x 3cos x sex se(x)+xcos(x) = x 3( cosx se x +cos 3 x) cos(x) + cos(x) 4xse(x) = = x 3( cosx se x +cos 3 x) 4cos(x) 4xse(x) cso o ite d direit exist. Filmete, como cocluímos que x 3( cosx se x +cos 3 x) 4cos(x) 4xse(x) x cos 3 x xsex cosx = 3 4. = 3 4, Exercício : Use o teorem do vlor itermediário pr mostrr que o poliômio p(x) =x 4 +7x 3 9 tem pelo meos dus rízes reis. Solução: Como p() = 9 < ep() = 63 >, segue do teorem do vlor itermediário que existe α (, ) tl que p(α) =. Logo, p(x) =q(x)(x α) prtodox R, ode q é um poliômio de gru 3. Pelo Exercício 3, d ul 8 de Cálculo I, q possui pelo meos um riz rel β. Escrevedo q(x) = x 3 + bx + cx + d, temos x 4 +7x 3 9 = (x 3 + bx + cx + d)(x α), e dí resultque =,b =7+α, c = 9 α e d = 9. Portto, q(x) α =x3 +(7+α)x + 9 x + 9 ; em prticulr, q(α) >. α α Coseqüetemete, β α, sedo p(β) = q(β)(β α) =. Assim, cbmos de mostrr que p tem pelo meos dus rízes reis, sber, α e β. Exercício 3: Sej D = { log(x 5 +) ; x [, ] }. Use o teorem de Weierstrss x 4 + pr mostrr que existem z, w D tis que z t w pr todo t D. CEDERJ 4 Solução: Cosideremos fução f(x) = log(x5 +) x 4 +,queécotíu em [, ] (justifique est firmção). Pelo teorem de Weierstrss, existem x,x [, ] tis que f(x ) f(x) f(x )prtodox [, ]. Etão, tomdo z = f(x ) D e w = f(x ) D, tem-sequez t w pr todo t D (já que todo t D édformt = f(x) prlgumx [, ]).
Exercícios resolvidos. MÓDULO - AULA 5 Exercício 4: Sej f(x) = x 3 pr todo x R. Mostre que f é dus vezes derivável em R etrês vezes derivável em R {}. Mostre que f écotíu em, ms que f ão étrês vezes derivável em. Solução: Como f(x) = x 3 pr todo x (, ) e f(x) =x 3 pr todo x (, + ), segue que f (x) = 3x pr todo x (, ) e f (x) =3x pr todo x (, + ). Por outro ldo, f(x) f() x 3 = x x x x = x ( x )= e f(x) f() x 3 = x + x x + x = x =. x + f(x) f() Logo, =, provdo que f éderivável em e f () =. x x Em resumo, temos f (x) = 3x pr todo x (, ), f () = e f (x) =3x pr todo x (, + ). Portto, f (x) =6x pr todo x (, ) e f (x) =6x pr todo x (, + ). Por outro ldo, f (x) f () 3x = x x x x = x ( 3x) = e f (x) f () x + x 3x = x + x = 3x =. x + f (x) f () Logo, x x f () =. =, provdo que f é derivável em e Acbmos de mostrr que f é dus vezes derivável em R, sedo f (x) = 6x pr todo x (, ), f () = e f (x) = 6x pr todo x (, + ). Portto, f (x) = 6 pr todo x (, ) e f (x) =6prtodox (, + ), mostrdo que f étrês vezes derivável em R {} =(, ) (, + ). Filmete, como f (x) = x x ( 6x) = e f (x) = 6x =, x + x + 5 CEDERJ
Exercícios resolvidos. segue que outro ldo, e x f (x) ==f (), mostrdo que f ão existe. Assim, f ão é três vezes de- f (x) f () mostrdo que x x rivável em. f (x) f () 6x = x x x x écotíu em. Por = 6 f (x) f () 6x = x + x x + x =6, Exercício 5: Sej f : R R tl que f(x) f(y) (x y) pr quisquer x, y R. Mostre que f é um fução costte. Solução: Fixemos x R. Etão, pr todo t R, t x, temos f(t) f(x) f(t) f(x) t x = t x, t x pois t x =(t x). Como t x t x = x x =,cocluímos que f(t) f(x) =. t x t x Isto prov que f éderivável em x e f (x) =. Comox é rbitrário, segue que f éderivável em R e f (x) =prtodox R. Coseqüetemete, f é um fução costte. Exercício 6: Mostre, usdo o teorem do vlor médio, que 9 < 66 8 < 8. Solução: Cosideremos fução f(x) = x restrit o itervlo [64, 66]. Já sbemos que o teorem do vlor médio é plicável à fução f. Pelo referido teorem, existe c (64, 66) tl que f(66) f(64) = f (c)(66 64) = f (c), isto é, 66 8= c = c. Ms, como 64 <c<66 < 8, etão 9 = < < = 8 c 64 8. Portto, < 66 8 <,comoquerímos demostrr. 9 8 Exercício 7: Sej f(x) =e x3 +x pr todo x R. () Mostre que f é crescete e Imf = {f(x); x R} =(, + ). CEDERJ 6
Exercícios resolvidos. MÓDULO - AULA 5 (b) Use o teorem d fução ivers pr mostrr que ivers f de f éderivável em (, + ) e(f ) (f(x)) = Foreç (f ) (). (3x +)e x3 +x pr todo x R. Solução: (): Pr quisquer x, y R, comx<y,temosx 3 + x<y 3 + y. Logo, como fução expoecil é crescete, f(x) =e x3 +x <e y3 +y = f(y). Isto mostr que f é crescete. Como x (x3 + x) =, x + (x3 + x) = +, t et = e t + et =+, segue que f(x) = e f(x) = x x + +. Como f écotíu em R e Imf (, + ), o teorem do vlor itermediário grte que Imf =(, + ). (b): Pel regr d cdei, f éderivável em R e f (x) =(3x +)e x3 +x pr todo x R. Logo, f (x) > prtodox R (o que tmbém mostr que f é crescete). Pelo teorem d fução ivers, f éderivável em (, + ) e (f ) (f(x)) = f (x) = (3x +)e x3 +x pr todo x R. Em prticulr, como f() =, temos que (f ) () = (f ) (f()) = (3 +)e 3 + =. Exercício 8: Sejm, b R, < b, ef,g : [, b] R dus fuções deriváveis em [, b] tis que s fuções f e g são cotíus em [, b]. Mostre, usdo o Teorem Fudmetl do Cálculo, que f (x)g(x)dx + f(x)g (x)dx = f(b)g(b) f()g(). Solução: Defimos h(x) = f(x)g(x) prtodox [, b]. A fução h é derivável em [, b] e h (x) =f (x)g(x)+f(x)g (x) pr todo x [, b]. Além disso, fução x [, b] f (x)g(x)+f(x)g (x) R écotíu em [, b]. Portto, pelo Teorem Fudmetl do Cálculo, isto é, (f (x)g(x)+f(x)g (x))dx = h(b) h() =f(b)g(b) f()g(), f (x)g(x)dx + f(x)g (x)dx = f(b)g(b) f()g(). 7 CEDERJ
Exercícios resolvidos. Exercício 9: Use o Exercício 8 pr mostrr que, pr quisquer, b R, com <<b,tem-se logx dx= b(logb ) (log ). Solução: Defimos f(x) =xeg(x) =logxpr todo x [, b]. Como f (x) =eg (x) = pr todo x [, b], segue que f e g são cotíus em x [, b]. Podemos, etão, plicr o Exercício 8 pr cocluir que isto é, logx dx+ dx = blogb log, logx dx= blogb log b + = b(logb ) (log ). Resumo Cocluímos osso curso procurdo, mis um vez, relçr importâci dos coceitos e resultdos fudmetis que tivemos oportuidde de estudr. CEDERJ 8