XII Smpóso Braslero de Automação Intelgente (SBAI) Natal RN, 25 a 28 de outubro de 2015 ANÁLISE DE UMA METAHEURÍSTICA BASEADA NO ALGORITMO DE COLÔNIA DE FORMIGAS PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO ANDRÉ LUIZ MIYAHARA TAKAHASHI 1, JAMES CLAUTON 1 1. Departamento de Engenhara Elétrca, Unversdade Estadual Paulsta Campus de Ilha Soltera, Avenda Brasl, 56, Centro, CEP 15385000, Ilha Soltera-SP-Brasl E-mals: andre.myahara@yahoo.com/jamesclauton@gmal.com) Abstract Ths paper presents an applcaton of an ant colony algorthm for optmal power flow soluton. Some modfcatons are made so that the ant colony algorthm can be used to solve power loss mnmzaton problems. Results obtaned from computer smulatons usng a test system shows that the adapted Ant System algorthm has a good convergence speed for solutons of good qualty besdes not been able to fnd good fnal solutons le a Chu-Beasley genetc algorthm. Keywords Applcatons n electrcal systems, Bo- nspred systems, Optmal Power Flow Resumo Neste trabalho é apresentado uma metodologa adaptada de um algortmo de colôna de formgas voltada para a solução de problemas de fluxo de potênca ótmo. O algortmo de colôna de formgas é modfcado de manera a ser aplcado em um problema de mnmzação das perdas na transmssão de energa. Os resultados obtdos de smulações ndcam que o algortmo Ant System adaptado possu boa velocdade de convergênca para soluções de boa qualdade, embora não forneça a melhor solução quando comparado a um algortmo genétco de Chu-Beasley. Palavras-chave Aplcações em sstemas elétrcos, Sstemas bo-nsprados, Fluxo de Potênca Ótmo 1 Introdução O fluxo de potênca ótmo (FPO) representa um problema de otmzação da operação de sstemas elétrcos de potênca no qual o objetvo, na maora dos casos, é mnmzar os custos da geração de energa e/ou reduzr as perdas na transmssão de energa. O problema é formado por um conjunto de restrções compostas por equações, representando o fluxo de potênca, e por nequações, representando os lmtes operaconas mpostos às varáves do sstema. A resolução do FPO é feta, em geral, através do emprego de métodos de otmzação clássca, em especal os métodos de busca multdreconal baseados no uso de dervadas. O uso dessas técncas, entretanto, esbarra em duas grandes lmtações. A prmera lmtação está atrelada à própra natureza do problema. A análse de sstemas de energa é, por s só, uma tarefa complexa, dada a grande dmensão dos sstemas, acarretando em um grande número de varáves a serem analsadas e em um grande número de restrções a serem atenddas. Some-se a sso a característca não-lnear ntera e msta do problema, e tem-se um dos problemas de otmzação mas complexos. Já a segunda lmtação está relaconada com o fato de a grande maora dos pesqusadores da área de sstemas de energa, possuem acesso às nformações de uma fração do sstema. Em conjunto, essas duas lmtações acabam reduzndo a efcênca da solução do FPO através de métodos de otmzação clássca (Perera, 2010). Dentro desse contexto, as metaheurístcas ganham campo. Embora sejam técncas que não ofereçam a garanta de obtenção da melhor solução exstente (ótmo global), as metaheurístcas se tornaram populares pelo fato de fornecerem soluções de boa qualdade e de serem ferramentas versátes, vsto que podem ser mplementadas de dferentes maneras. Essa dversdade é mportante, na medda em que a busca por soluções de boa qualdade de dferentes maneras cra constantes possbldades de melhoras nos algortmos já conhecdos, aumentando dessa forma a efcênca na aplcação dessas técncas. Neste trabalho é aplcada uma adaptação do algortmo de colôna de formgas (Ant System AS), para a resolução do problema de FPO proposto pela IEEE PES (Power & Energy Socety) aplcado ao sstema teste de 57 barras. Os resultados obtdos através do AS são comparados com resultados obtdos a partr do uso de um algortmo genétco smples (Genetc Algorthm - GA) e um algortmo genétco de Chu-Beasley (Chu-Beasley Genetc Algorthm CBGA). 2 Algortmo de Colôna de Formgas A metaheurístcas de colôna de formgas pertence a uma classe de algortmos desenvolvdos com base na observação do comportamento de anmas e nsetos. O AS é baseado no comportamento de uma colôna de formgas durante a etapa de busca por almentos. Ao encontrar uma fonte de almento, a formga faz a coleta e retorna ao nnho. No trajeto de retorno, ela deposta uma substânca no solo denomnada de feromôno. O feromôno funcona como um gua para que as demas formgas consgam encontrar a mesma fonte de almento e também como um nd- 1955
XII Smpóso Braslero de Automação Intelgente (SBAI) cador de qualdade, já que a quantdade de feromôno depostada no trajeto ndca a quantdade e a qualdade do almento encontrado. Dessa forma, mesmo sem a exstênca de um mecansmo de comuncação dreta, as formgas conseguem cooperar entre s de manera a otmzar o processo de busca por almento. Outro processo natural acrescentado ao algortmo AS é o processo de evaporação do feromôno. Com o passar do tempo, o feromôno presente no solo dmnu devdo à evaporação. O processo de evaporação em conjunto com o depósto de feromôno pelas formgas ajudam na tomada de decsão das demas formgas que estão à procura de almento. Para exemplfcar sso, consdere a fgura 1. Na fgura 1, observa-se que as formgas possuem duas opções de trajeto para chegar à fonte de almento, com a escolha ncal sendo feta de forma aleatóra. Para entender como os mecansmos de depósto de feromôno e de evaporação contrbuem para a otmzação, vamos supor que ncalmente duas formgas, A 1 e A 2, acabaram de encontrar a fonte de almento e necesstam retornar para o nnho com sua coleta. A formga A 1 selecona o camnho superor, enquanto que a formga A 2 escolhe o camnho nferor. Admtndo que ambas as formgas se movem em velocdades semelhantes, a formga A 2 chegará prmero ao nnho, tendo ambas as formgas depostado feromôno ao longo do trajeto. Com sso, uma tercera formga, A 3, no nnho, tem uma probabldade maor de encontrar prmero a trlha de feromôno dexada pela formga A 2 do que a trlha da formga A 1. Mesmo que, por um determnado período de tempo, as formgas contnuem se dstrbundo gualmente entre os camnhos, com o passar do tempo o movmento tende a se concentrar pelo menor camnho já que, como as formgas vão e voltam mas rápdo, a quantdade de vagens por esse camnho tende a ser maor. Somada à maor utlzação (e por consequênca), maor depósto de feromôno, o processo de evaporação tende a dmnur de manera mas sgnfcatva a quantdade de feromôno presente no camnho mas longo. Dessa forma, o uso de ambos os mecansmos contrbu para que as formgas seleconem o menor camnho. Tas mecansmos formam a base do algortmo defndo como Sstema de Formgas ou Ant System. O algortmo AS é estruturado da segunte manera. Passo 1: Defna o número de agentes (formgas artfcas), a quantdade ncal de feromôno sobre as rotas e a taxa de evaporação; Passo 2: Para cada agente, construa uma rota (solução). Durante a transção do estado para o estado j, a possbldade do agente escolher uma das M rotas possíves é dada por (1) [ j ] [ j ],se j M P j [ ] [ ] u M u u 0, caso contráro (1) Fgura 1. Processo de busca de almento de um grupo de formgas: Adaptado de Perera, 2010 Na equação (1), Pj representa a probabldade do agente escolher a rota que conecta o estado com um estado j, enquanto que τ j é a quantdade de feromôno presente sobre a rota -j. Já η j equvale ao nverso da dstânca entre o estado e o estado j, M representa o conjunto dos estados vznhos ao estado e que anda não foram vstados pelo agente. Por fm, α, β são pesos atrbuídos à quantdade de feromôno depostada e ao nverso do comprmento da rota, ndcando qual a mportânca desses dos parâmetros no processe de escolha da rota. Passo 3: Após os agentes completarem o trajeto (formarem uma solução), é feta a atualzação global do feromôno depostado sobre as rotas usando (2). NA ( 1 p) (2) j j 1 Em (2), p representa a taxa de evaporação, cujo valor é lmtado no ntervalo [0,1], NA representa o número total de agentes (formgas) e Δτ j é a quantdade de feromôno depostada pelo agente na rota - j. Essa quantdade é determnada por (3). Q0,se o agente utlza a rota - j j D (3) 0, caso contráro Na equação (3) Q 0 representa a quantdade ncal de feromôno depostada sobre a rota -j enquanto que D equvale ao comprmento total do trajeto percorrdo pelo agente (valor da função objetvo para a solução encontrada pelo agente ). Passo 4: Os trajetos obtdos são avalados. O melhor trajeto (com o menor comprmento) é comparado com solução ncumbente. Caso seja melhor, é feta a atualzação da solução ncumbente. Caso contráro, o camnho obtdo é descartado. Passo 5: Se nenhum crtéro de parada for satsfeto, retorna-se ao passo 2. j 1956
XII Smpóso Braslero de Automação Intelgente (SBAI) 3 Fluxo de Potênca Ótmo O cálculo do fluxo de potênca em uma rede de energa elétrca tem como base determnar o estado da rede, dstrbução e fluxos por meo de equações e nequações algébrcas. Um sstema de energa elétrca pode ser dvddo em dos grupos, componentes nternos e componentes externos. Fazem parte do prmero grupo as lnhas de transmssão, os transformadores, os reatores e os bancos de capactores do sstema. Já o grupo de componentes externos é composto por geradores e carga. Os componentes nternos podem ser representados através do fluxo de potênca entre dos nós da rede elétrca, já os componentes externos são representam por njeções de potênca nos nós da rede. Na representação básca do fluxo de potênca, cada barra da rede é representada por quatro varáves: o módulo da tensão V, o ângulo da tensão θ e as njeções líqudas de potênca atva e reatva P e Q. A resolução do problema basea-se na premssa de que das quatro varáves, duas são conhecdas (são dados do problema) e as demas duas são as ncógntas a serem determnadas. Com base nsso, as barras do sstema podem ser classfcadas de acordo com as varáves que são fornecdas ao problema e com as varáves que são defndas como ncógntas. Tabela 1. Classfcação de barras em um problema de fluxo de potênca. Tpo Dados Incógntas Barra de Carga P, Q V, θ Barra de Geração V, P Q, θ Barra de Referênca V, θ P, Q Com sso, o problema de fluxo de potênca pode ser formulado por meo de um conjunto de equações e nequações algébrcas a segur: g ( x, 0 (4) h ( x, 0 (5) Nas equações (4) e (5) x e z representam varáves de estado e varáves de controle, respectvamente. A equação (4) é a forma genérca para representar o balanço de potênca atva e reatva em cada uma das barras, representado por (5) e (6). j j Q j P Q j P V 2 B sh (6) (7) Em (6) e (7), Ω representa o conjunto das barras do sstema que se encontram conectadas à barra ; P j é o fluxo de potênca atva no crcuto -j; Q j é o fluxo de potênca reatva no crcuto -j e B é a susceptânca shunt na barra. O conjunto de restrções de desgualdade representado pela nequação (5) contém as restrções operaconas de tensão, njeção de potênca atva e reatva apresentadas a segur: Q V mn mn P mn max sh V V (8) max P P (9) max Q Q (10) O problema do fluxo de potênca, por s só, é um problema de relatva complexdade, vsto que sua solução passa pelo uso de métodos numércos voltados à resolução de problemas não-lneares. Se ao problema for adconada uma função objetvo f(x, representando os custos de operação e/ou as perdas do sstema, então o de fluxo de potênca a ser determnado passa a ser chamado de fluxo de potênca ótmo. O FPO representa a solução de um problema de otmzação não lnear cujo objetvo pode ser representado de manera genérca por (11). mn f ( x, (11) A resolução de problemas de otmzação nãolnear, sobretudo os que possuem as característcas do modelo utlzado para os sstemas elétrcos com a presença de varáves nteras e varáves contínuas, é um dos grandes desafos no campo de pesqusa da busca por métodos numércos de solução que sejam capazes de determnar o ótmo global do problema (melhor solução, ou melhor conjunto de soluções). Dada a dfculdade em se obter soluções para problemas como os de FPO, foram propostas maneras alternatvas para se encontrar soluções que, anda que não sejam necessaramente pontos de ótmo globas, possuam uma boa qualdade. É com esse objetvo, de encontrar soluções de boa qualdade para problemas de otmzação de alta complexdade, que surgram e contnuam a surgr dversas heurístcas e metaheurístcas. Dentre as váras classes de heurístcas, destacam-se aquelas baseadas em processos naturas e/ou em teoras evolutvas, como o algortmo genétco. Na sequênca é feta a adaptação do Ant System para a resolução do problema de FPO de sstemas elétrcos de potênca. 1957
XII Smpóso Braslero de Automação Intelgente (SBAI) 4 Ant System adaptado ao problema de FPO Na lteratura exstem exemplos de aplcação de algortmos baseados em colônas de formgas para a resolução de problemas envolvendo fluxo de carga e fluxo de potênca ótmo. Em quase todos os trabalhos em que essa metodologa é utlzada, os resultados obtdos sugerem uma boa performance do algortmo, sobretudo na velocdade de convergênca para uma solução de boa qualdade (Soares et al, 2011, Sreejth et al, 2009). Por outro lado, a aplcação do AS é utlzada apenas para problemas em que a função objetvo seja mnmzar os custos de geração. Nesses problemas, o parâmetro η j que relacona o comprmento dos trajetos no algortmo de colôna de formgas, é utlzado para relaconar os custos de geração para cada gerador. Para aplcar o Ant System a um problema de FPO em que a função objetvo seja mnmzar as perdas de potênca no sstema de transmssão são necessáras algumas consderações. As varáves contínuas devem ser dscretzadas, de forma que a sua faxa de varação seja subdvdda em város estados possíves. O parâmetro η j não pode mas ser atrelado ao custo de geração das undades geradores, mas sm à partcpação que o aumento do fluxo de potênca em cada lnha representa nas perdas totas. Outro parâmetro mportante do algortmo dz respeto à montagem das matrzes de probabldade. Smulações adconas consderando a montagem da matrz de probabldades baseada puramente na dstrbução de feromôno (equvalente a α=1 e β=0 em (1)), mostram quem a convergênca do algortmo para soluções de boa qualdade é bastante prejudcada. Dessa forma, opta-se por smular o comportamento das formgas por uma estrutura dstnta. Por essa razão, optou-se por defnr o algortmo como uma adaptação do Ant System, possundo a segunte estrutura. Passo 5: Após cada agente fnalzar seu trajeto (consttur uma solução), é feta a avalação da função objetvo para os trajetos ncas. O melhor trajeto passa a ser a solução ncumbente. Passo 6: A solução ncumbente é replcada para todos os agentes. A dea por traz dessa réplca é smular o fato de que as formgas tendem a segur em sua maora pelo melhor camnho encontrado. Passo 7: Para cada agente, são fetas alterações aleatóras em uma quantdade fnta de estados, de forma a provocar lgeras alterações no trajeto. O conceto utlzado aqu fo o de smular eventuas alterações fetas no trajeto pelas formgas para evtar algum predador ou transpor algum obstáculo. Passo 8: Avalam-se os trajetos obtdos após as alterações. O melhor trajeto é comparado com a solução ncumbente. Caso seja um trajeto melhor, a solução ncumbente é atualzada. Caso contráro, o trajeto é descartado. Passo 9: Se o crtéro de parada (neste caso, o número lmte de terações) não for atenddo, retorna-se ao passo 6. 4 Resultados O algortmo Ant System apresentado é aplcado então ao sstema teste IEEE de 57 barras consderando uma confguração de alto carregamento do sstema. O dagrama unflar desse sstema é apresentado na fgura 2. Algortmo Ant System Adaptado Passo 1: Defna o número de agentes (formgas artfcas) Passo 2: Defna o número de estados, n e, calcule o valor do passo para a transção de um estado para outro utlzando (15) e faça a dscretzação das varáves contínuas. step x x max e mn x V V (12) n Passo 3: Determne o número de estados de cada varável ntera. Passo 4: Para cada agente, construa os trajetos ncas. A escolha dos estados que formarão a solução é feta de forma aleatóra. Isso é feto para smular o comportamento das formgas no níco do processo de busca por almento. Fgura 2. Sstema IEEE de 57 barras Para analsar o comportamento do algortmo, foram fetas smulações dos sstemas testes utlzando o 1958
XII Smpóso Braslero de Automação Intelgente (SBAI) algortmo genétco smples e o algortmo de Chu- Beasley. As smulações foram fetas utlzando a versão R2009b do MATLAB e executadas em um computador com processador Intel 3 de 3,3 GHz. A função objetvo a ser mnmzada é uma função objetvo penalzada. A nserção da penalzação na função objetvo vsa mensurar as eventuas nfactbldades da solução encontrada de manera que a solução convrja para uma solução factível. A função objetvo penalzada pode ser representada, genercamente, por (13). P( x, f ( x, M I( x, (13) Na equação (13), f ( x, representa as perdas no sstema de transmssão, I ( x, é uma função que representa as nfactbldades da solução e M é um valor numérco de ordem elevada (nas smulações utlzou-se M = 10 7 ). As curvas de convergênca dos algortmos analsados nesse trabalho são apresentadas nas fguras 3 e 4. Note que a curva de convergênca do algortmo genétco é omtda por apresentar característcas bastante semelhantes à curva de convergênca do CBGA. P(x, P(x, 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 nº de terações 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 Fgura 3. Curva de convergênca Ant System Adaptado 0 1200 1250 1300 1350 1400 1450 1500 nº de terações Fgura 4. Curva de convergênca Chu-Beasley Em todos os algortmos utlzados nota-se que a solução ncal é composta por elevados valores da função P ( x,, decorrentes das funções de penalzação mpostas ao não cumprmento de algumas das condções mpostas por (6) a (10). A comparação entre as curvas de convergênca evdenca que o algortmo AS adaptado apresenta uma convergênca mas rápda em relação aos demas métodos. No que dz respeto à solução fnal encontrada pelos métodos ao fnal do valor lmte de terações (defndo em 10.000 para todos os algortmos), verfca-se através dos dados apresentados na tabela 2 que todos métodos convergem para P ( x, < 30. Tabela 2. Comparação entre os algortmos aplcados ao Sstema IEEE 57 barras. Algortmo mín P ( x, Δt(s) CBGA 24,3869 95,47 AS adaptado 27,3111 88,27 GA 29,3819 75,33 Pode-se notar anda que, dentre os três algortmos analsados, a melhor solução encontrada é a fornecda pelo algortmo de Chu-Beasley enquanto que, a solução de por qualdade é fornecda pelo algortmo genétco básco. Por outro lado, o tempo gasto por cada algortmo para que fossem computadas as 10.000 terações é nversamente proporconal à qualdade das soluções obtdas por cada método. Assm, observa-se que os resultados vão de encontro ao obtdo na lteratura para problemas de FPO. Nesses problemas também é verfcado que os algortmos baseados em colônas de formga destacam-se pela sua rápda convergênca para a regão de soluções de boa qualdade, obtendo entretanto, valores fnas apenas razoáves (Soares, et al, 2011, Perera, 2010) quando comparados com outros algortmos, como o CBGA. A melhor qualdade das soluções encontradas pelo AS adaptado em comparação com o algortmo genétco básco reflete o fato de que as formgas foram forçadas a trlhar camnhos muto próxmos do melhor trajeto descoberto. Essa metodologa, embora acarrete no rsco de estaconamento em ótmos locas, fornece maor probabldade de obter melhores resultados do que a alteração cíclca e quase aleatóra da população da forma como ocorre no algortmo genétco básco. Quanto ao esforço computaconal empregado por cada método, fca evdente que o processo de busca na vznhança por uma solução de melhor qualdade acarreta em maor tempo de processamento. Deve-se ressaltar que a forma como os algortmos foram programados possu grande nfluênca nos resultados, de manera que, deve-se ter cudado ao se comparar os tempos necessáros para que fossem fnalzados os processos de busca. 1959
XII Smpóso Braslero de Automação Intelgente (SBAI) 5 Conclusão Os resultados obtdos mostram que a metodologa utlzada é capaz de encontrar resultados de boa qualdade, embora pores do que os encontrados pelo algortmo genétco de Chu-Beasley, mas melhores do que os encontrados a partr de um algortmo genétco básco. Ressalta-se anda que a função objetvo utlzada para resolução do problema desfavorece o uso de métodos baseados em colôna de formga devdo à dfculdade em se obter parâmetros necessáros para a defnção das probabldades no processo de construção dos trajetos. Assm, uma solução proposta aqu para contornar a ausênca da matrz de feromôno e do uso da matrz de probabldade para a escolha do camnho é a utlzação de um modelo que prega a realzação de perturbações fetas na solução ncumbente como forma de obter melhoras no valor da função objetvo. Anda que tal escolha acarrete na descaracterzação do algortmo quando comparado com os algortmos de colôna de formgas encontrados na lteratura, há a possbldade de ganhos na efcênca da busca por uma solução de melhor qualdade. Referêncas Bblográfcas Erlch, I. Lee, K.Y. Rueda, J.L. Wldenhues, S. (2014) Competton on Applcaton of Modern Heurstc Optmzaton Algorthms for Solvng Optmal Power Flow Problems: Problem Defntons and Implementaton Gudelnes. Tas Force on Modern Heurstc Optmzaton Test Beds, IEEE Power & Energy Socety, pp 1-11 Gasbaou, B, Allaoua, B. (2009) Ant Colony Optmzaton Appled on Combnatoral Problem for Optmal Power Flow Soluton, Leonardo Journal of Scences.,pp.1-17, January-June Perera, F.S. (2010) Reconfguração ótma de sstemas de dstrbução de energa elétrca baseado no comportamento de colônas de formgas. 105f. Tese (Doutorado) Escola de Engenhara de São Carlos, Unversdade de São Paulo, São Carlos. Soares, J, Souza, T, Vale, Z.A, Moras, H, Fara, P. (2011) Ant Colony Search algorthm for the optmal power flow problem," Power and Energy Socety General Meetng. 8pp Sreejth, S. Chandrasearan, K. Smon, S.P. (2009) Tourng Ant Colony Optmzaton technque for Optmal Power Flow ncorporatng Thyrstor Controlled Seres Compensator. 2009 World Congress on Nature & Bologcally Inspred Computng NaBIC 2009, pp 1127-1132 1960