. Observe a sequêcia das seguites figuras: FICHA DE TRABALHO º ANO Sucessões Vão-se costruido, sucessivamete, triâgulos equiláteros os vértices dos triâgulos equiláteros já existetes, prologado-se os seus lados.. Idique o úmero de triâgulos existetes em cada figura..2 Cosegue estimar o úmero de triâgulos a 4ª figura? Se ão, costrua-a. Qual é etão o úmero de triâgulos?.3 Idica a sequêcia completa do úmero de triâgulos, até à sétima figura..4 Idica uma forma de obter o úmero de triâgulos uma figura, em relação ao úmero de triâgulos a figura aterior. 2. Elabore algumas questões semelhates às do exercício aterior, cosiderado agora um quadrado. 3. Cada sequêcia de triâgulos equiláteros é obtida a partir da aterior, cosiderado como vértices dos ovos triâgulos os potos médios dos lados do triâgulo aterior. Assim temos:
3. Cosiderado o úmero de triâgulos com igual área em cada figura, qual o úmero de triâgulos a figura seguite? 3.2 Qual a sequêcia de triâgulos de igual área até à 6ª divisão. 3.3 Qual a expressão geral que represeta a sucessão do úmero de triâgulos de cada figura? 4. Cosidere ovamete os triâgulos do exercício 3. O lado do primeiro triâgulo mede uidade de comprimeto. 4. Qual é a área do primeiro triâgulo? 4.2 Qual é a área de cada um dos triâgulos a seguda figura? 4.3 Qual é área de cada um dos triâgulos da 0ª figura? E da -ésima figura? 4.4 A partir de que ordem a área é iferior a 64 3 u. a.? 5. Cosidera a sucessão V de termo geral: 5. Mostra que 3, N. V 5 + 2 V =. + 3 5.2 Utiliza a alíea aterior para cocluir que a sucessãov é majorada. É limitada? 5.3 Averigua se V 2 é um ifiitésimo. 5.4 A sucessão é covergete? Justifica. 5.5 Determia a ordem a partir da qual os termos da sucessão distam de 2, meos de 0,004. 6. Partido das sucessões de referêcia, idica justificado o limite de cada uma das sucessões: 6. u = 2 3 6.5 u = ( 08, ) 6.2 u 6.6 u = 0 = 4 3 6.7 u = 6.3 u = + 2 3 4 6.4 u = -
cos( ) 7. Cosidere as sucessões U =, 7. Calcule o lim V e lim W. V = e W =. 7.2 Verifique que se U V e W U. cos( ) 7.3 Porque podemos escrever? 7.4 Justifique, de duas formas distitas, que lim U é zero. 8. Cosidera a sucessão de termo geral B = 2 8. Prova que B é uma progressão geométrica e idica a razão. 8.2 Determia, justificado, lim B. 8.3 Calcula a soma dos 0 primeiros termos de B. 9. Qual o valor de x para que a sequêcia de úmeros, (x - 4, x + 4, 3x + 2), esteja em progressão geométrica? -2 0. A sequêcia 3, x, 2y+3 está em progressão aritmética e x e y são dois úmeros positivos. A sequêcia x, 2, y + 0 está em progressão geométrica. Quais os valores (úmeros) que estão em progressão aritmética?. Qual o meor úmero de termos que deve ter a progressão aritmética -24, -0, -96,... para que a soma de todos os seus termos seja positiva? 2. A orgaização de um eveto desportivo quer colocar 2540 pessoas em pequeos arcos, para fazer determiada coreografia, de modo a que o primeiro arco estejam 20 pessoas e em cada um dos arcos seguites, estejam o dobro das pessoas do arco aterior. Quatos arcos se devem formar? 3. Sabe-se que uma sucessão V, V 0 e V < 0. Quais das afirmações seguites são coclusões correctas? 3.) V é covergete. 3.2) Todos os termos de V são egativos. 3.3) (/ V ) é um ifiitamete grade. 3.4) V é uma sucessão limitada. 3.5) V é moótoa crescete. 3.6) Zero é majorate de V. 3.7) V pode ser uma sucessão divergete oscilate. + 3.8) Um termo geral possível para V é: V = (- ). 4. Numa progressão aritmética o primeiro termo é igual à razão. Mostre que, estas codições, a soma dos cico primeiros termos é igual a metade da soma dos quatro seguites.
T = 4 5. Cosidera a sucessão T defiida por: T + = 2T N 5. Calcula os cico primeiros termos da sucessão. 5.2 Mostra que T é uma progressão geométrica. Idica a razão. 5.3 Estuda T quato à mootoia. 5.4 Escreve em fução de, o termo geral da progressão e calcula T. 5.5 Mostra que a sucessão T é um ifiitamete grade positivo.
FICHA DE TRABALHO º ANO Sucessões Soluções., 4 e 0.2 9.3, 4, 0, 9, 3, 46, 200.4 O º de triâgulos é o º aterior somado múltiplos de 3: ao primeiro soma-se 3, ao segudo soma-se 6, ao terceiro soma-se 9 e assim sucessivamete. Também podemos dizer que temos U + =U +3. 2 3 3. 64 3.2, 4, 6, 64, 264, 056 3.3 T =4-4 4. 3 u.a. 4 4.2 3 u.a 6 4.3 9 3 A 0 = ; 4 4 A 4.4 A partir da 4ª ordem. = 3 4 4
5 6 5. 6. + 5.2 Sim, pois 0 V 3 6.2 + 5.3 Sim 6.3 + 5.4 Sim 6.4-5.5 A partir da ordem 248 6.5 0 6.6 0 6.7 0 7 3 7. 0; 0 3. V. 7.2 3.2 F. 7.3 Sim, pois cos( ) por 3.3 V. 7.2 7.4 º. É o produto de um 3.4 V. ifiitésimo por uma sucessão limitada. 2º Por equadrameto 8 3.5 F. 8. /2 3.6 F. 8.2 0 3.7 F. 8.3 023/250 3.8 F. 9 8 4 0 3,9,5 5 Determiar U e depois obrigar 5. 4, 8, 6, 32, 64 a que S seja positiva. Como >0 temos de ter 4 262 >0. No míimo temos de ter 9 termos. 2 Trata-se de uma p. g. em que a 5.2 2 soma é 2540. Assim daí vem facilmete que se devem formar 8 arcos. 5.3 Moótoa crescete 5.4 T = 2 ; 4096 5.5