LEXÃO COMPOSTA DESVIADA EM SECÇÕES GENÉRICAS DE BETÃO ARMADO SEGUNDO O EC2. DESENVOLVIMENTO DE UMA APLICAÇÃO DE CÁLCULO AUTOMÁTICO Bruno Trindade do Santo Hélder David ernande Miranda Hélder Sepúlveda da Cota SUMÁRIO Com o preente trabalho pretende-e etudar o problema da flexão ompota deviada em eçõe genéria de betão armado à rotura de aordo om a nova dipoiçõe do Euroódigo 2 [1]. Com ete objetivo foi deenvolvida uma apliação de álulo automátio que permite reolver problema quer de verifiação da apaidade reitente, quer de dimenionamento em eçõe de geometria quaiquer om reuro inluive a aço pré-eforçado. O deenvolvimento de tabela adimenionalizada revelou-e deneeário uma vez que é imple adaptar ao EC2 [1] a tabela e ábao exitente baeada no REBAP [2]. 1 INTRODUÇÃO O álulo orgânio de eçõe de betão armado e pré-eforçado pode er abordado de uma forma genéria omo a formulação de um itema de equaçõe orrepondente ao equilíbrio etátio da peça. N = 0 M M x y = 0 = 0 (1) No âmbito do preente trabalho ão empre oniderada omo inógnita a inlinação do eixo neutro e o tipo de ruptura que oorre na eção, definida om reuro a dua variávei, β e D repetivamente. É neeário eolher uma tereira inógnita, que pode er a área total de aço a dimenionar ou um do eforço reitente, dado que o itema poui trê equaçõe. Uma vez que a equaçõe que ontituem o itema (1) não ão lineare, utiliza-e um método iterativo para a ua reolução numéria atravé de aproximaçõe ueiva (Método de Newton-Raphon) [3]. No âmbito do oftware deenvolvido apena é neeário riar uma ubrotina que fornee o trê deequilíbrio ( N, M x, M y ) e juntá-la ao programa genério de reolução de um qualquer itema de equaçõe não lineare. O referido deequilíbrio ão alulado a partir da reultante da tenõe no doi materiai e repetivo ponto de apliação para ada onjunto de valore da inógnita. Aim, forneendo ao programa a araterítia do materiai utilizado bem omo o ontorno da eção e poiionamento da armadura, obtêm-e o eforço reitente ou área total de aço neeária. 1.1 Enquadramento do etudo Nete trabalho é apena abordada a verifiação do etado limite último de reitênia apear de numa ituação real de projeto, para e garantir a egurança, eja neeário verifiar o etado limite de enurvadura, fendilhação e deformação.
1.2 Etado limite último de reitênia A verifiação de egurança em relação ao etado limite último de reitênia deve, em geral, er feita em relação ao eforço e onite em atifazer a ondição (2), endo S d o valor de álulo do eforço atuante e R d o valor de álulo do eforço reitente [4]. Sd R d (2) O valore de álulo do eforço atuante ão determinado atravé de um onjunto de ombinaçõe de açõe, admitindo elatiidade perfeita do materiai, afetada de um oefiiente de egurança (γ g para açõe permanente e γ q para açõe variávei) [5]. Ete oefiiente de egurança etão regulamentado e indiado no Quadro I. Quadro I Coefiiente pariai de egurança em E.L.U.. Açõe permanente γ g Açõe variávei γ q Pré-eforço γ p Efeito favorável 1.00 0.00 1.00 Efeito defavorável 1.35 1.50 1.00 Para o álulo do eforço atuante devem er oniderada a ombinaçõe de açõe uja atuação imultânea eja veroímil e que produzam na etrutura o efeito mai defavorávei. Em geral tem-e S d = m S + γ S + gi Gik q Q1k i= 1 j= 2 n Ψ 0 j S Qjk γ (3) endo S Gik valor araterítio do eforço reultante de uma ação permanente. S Q1k valor araterítio do eforço reultante da ação variável oniderada omo ação bae da ombinação. S Qjk valor araterítio do eforço reultante de uma ação variável ditinta da ação bae. γ gi oefiiente de egurança relativo à açõe permanente. γ qi oefiiente de egurança relativo à açõe variávei. ψ 0j oefiiente ψ orrepondente à ação variável de ordem j. O valore de álulo do eforço reitente devem er determinado om bae numa teoria do omportamento a partir da propriedade do materiai que ontituem a etrutura, onvenientemente quantifiada para atender à egurança requerida. Ete valore ão alulado a partir do valor araterítio da reitênia do materiai reduzido de um fator γ m, ujo valore etão indiado no Quadro II. Situaçõe de projeto Quadro II Coefiiente pariai relativo ao materiai para E.L.U.. Betão γ Aço para armadura paiva γ Aço de pré-eforço γ Peritente 1.50 1.15 1.15
2 DESCRIÇÃO DO MODELO 2.1 Definição da eção O modelo aplia-e a uma eção qualquer, a qual deve etar definida pelo vértie ontituinte do polígono que a delimitam e pela repetiva poição da armadura. Eta oordenada podem er apreentada egundo um qualquer referenial arteiano, tendo em atenção que o eforço ão apliado na origem do memo. São oniderado omo poitivo o eforço axiai de tração e o momento que pouam o repetivo vetor na direção do eixo, egundo a regra do aa-rolha. São oniderada poitiva a extenõe de alongamento. 2.2 Caraterítia do materiai 2.2.1 Betão No modelo utilizado o betão apena reite à ompreão e a ua araterítia de reitênia e de deformação ão a indiada na Tabela 3.1 do EC2 [1]. A relaçõe tenõe-extenõe de álulo ão repreentada por um diagrama parábola-retângulo (igura 1) definido pela expreõe (4) e (5). em que σ = n ε f d 1 1 ε 2 σ = f d f α para para f ε 0 ε ε 2 2 ε ε u2 k d = (5) γ (4) igura 1 Relação tenõe-extenõe do betão. 2.2.2 Aço para armadura paiva e pré-eforço A araterítia do aço (extenõe última) ão a indiada pelo fabriante e foi oniderado, para efeito de álulo, o diagrama implifiado bilinear (igura 2).
igura 2 Diagrama bilinear. 2.3 Equaçõe de equilíbrio Para atifazer a ondição de dimenionamento em E.L.U. é neeário reolver o itema (1), que pode er traduzido pelo eguinte itema de equaçõe não lineare. N = M x = M y = + i i z z xi yi + + + j j z z p xj yj + + pk pk z z pxk pyk (6) A inógnita ão o domínio (D), a inlinação do eixo neutro (β) e, em alternativa, um eforço reitente (N, M x, M y ) ou a área total de aço (A ). 2.3.1 Domínio de deformação (D) Para a definição do domínio de deformação optou-e pela utilização de uma variável real D. Eta toma valore entre um e quatro, repreentando ada valor inteiro a tranição entre diferente tipo de rotura [6]. igura 3 Seção genéria om diagrama de extenõe. igura 4 Diagrama do domínio de deformação. O domínio 1 é aquele onde a rotura oorre por tração imple da eção, quando eta atinge a extenão última do aço. O domínio 2 oorre quando a extenõe da eção atingem o valore último tanto na zona omprimida omo na traionada. O domínio 3 mara o ponto em que a eção paa a etar toda ujeita a
ompreão. inalmente, o domínio 4 orreponde à rotura por ompreão imple, etando limitada nete ao à extenão última de ompreão do betão. No Quadro III ão apreentado o valore da extenõe para ada valor inteiro de D. Quadro III Domínio de deformação. D ε,min ε.max 1 ε ud ε ud 2 ε u2 K 3 ε u2 0.0 4 ε 2 ε 2 ( ε 2 + ε ) u ud em que K = h + ε u 2 (7) d Para outro qualquer valor do domínio a orrepondente extenõe, ε,inf e ε.up, podem er obtida por interpolação linear, entre ada um do domínio definido no Quadro III. Apreenta-e em eguida a forma de álulo para ada um do domínio. Extenão na fibra uperior D : 1 2, up = εud ( εud + εu2)( D 1) D 2 3 ε = ε D ε (8) :,up u2 : 3 4, up = εu2 ( εu2 ε 2)( D (9) Extenão na fibra inferior 3) ε (10) D : 1 2, inf = εud + ( K εud )( D 1) D 2 3 = K K( D 2) D :, inf : 3 4, inf = εu2( D 3) ε (11) ε (12) ε (13) 2.3.2 orça do betão ( ) A força e o momento orrepondente ao funionamento meânio da parte não fendilhada do betão reultam da atuação de um ampo de tenõe obre o memo. De aordo om a hipótee admitida, a força e momento podem er alulado om bae no eguinte integrai de uperfíie (14, 15 e 16) obre a região não fendilhada, em que M y, M x e x repreentam o momento egundo o eixo Oy, o momento egundo o eixo Ox e o eforço axial repetivamente. M x σ ( y) da y = A x = A M y σ da = σ da x A (14) (15) (16) De aordo om o algoritmo deenvolvido, é efetuada uma mudança de oordenada do ponto definidore da eção do itema de eixo xoy para um novo itema de eixo x 2 Oy 2, em que a direção do eixo Ox 2 oinide preiamente om a direção do eixo neutro, permitindo aim que o ampo de tenõe varie apena egundo o eixo Oy 2. Em eguida é utilizado um algoritmo que permite deompor a eção de betão (definida
de aordo om uma etrutura de dado própria) em regiõe triangulare. Para ada um dee triângulo o valor de ada um do trê integrai é alulado reorrendo a expreõe exata. Simultaneamente é efetuado o omatório do reultado obtido em ada triângulo, obtendo-e aim o valor do momento e eforço axial no itema de eixo x 2 Oy 2. Ete reultado ão por fim onvertido para o itema de eixo iniial xoy. Convém referir ainda que a expreõe exata para álulo do integrai em domínio triangulare e deduzida reorrendo a oftware de álulo matemátio imbólio [7] ó ão válida tendo em onideração que o ampo de tenõe apena é função de uma variável, daí e jutifia a neeidade de e fazer uma mudança do itema de oordenada. 2.3.3 orça da armadura ordinária ( ) A força apliada na armadura ordinária pode er quantifiada atravé da repetiva extenão. Para tal é neeário aber e eta etão platifiada ou e ainda e enontram em regime elátio. Aim tem-e que E ε A = f yd A e e ε ε > f yd E f yd E (17) 2.3.4 orça da armadura de pré-eforço ( p ) A força orrepondente ao pré-eforço é ompota por dua parela, uma devida à tenão apliada iniialmente e outra auada pela variação de extenão (aréimo de tenão do pré-eforço efetivo). Tendo em atenção que o pré-eforço apliado etá na ua totalidade do lado da reitênia e que e trata de um dimenionamento ou verifiação de uma etrutura hiperetátia, no momento atuante (M d ) deve er adiionada a parela orrepondente ao momento de pré-eforço hiperetátio. igura 5 orça interna de uma eção. 2.3.5 Reolução do itema Para a reolução do itema, tendo em onta que e trata de um etudo em regime não linear, reorre-e a um proeo iterativo baeado no método de Newton-Raphon auxiliado por um proeo de line earh [3]. O itema de equaçõe não lineare (7) pode er erito na ua forma mai imple g ( x) = 0 (18)
Deenvolvendo-e a equação numa érie de Taylor e oniderando apena o doi primeiro termo, obtém-e g( x) r + 1 g( x) r + g ( x) r x r (19) Adoptando-e um valor iniial x 0 e onheida a derivada da função, pode-e hegar a um valor mai próximo da olução reorrendo à eguinte expreão x r+ 1 = x r + α x r (21) r + 1 em que α é o parâmetro de line earh que varia entre 0 e 1 e minimiza g ( x). 4 PROGRAMA O programa de omputador deenvolvido alula um eforço reitente (N, M x ou M y ) ou a área total de armadura (ordinária e de pré-eforço) em Etado Limite Último numa eção de geometria qualquer [8]. De forma a failitar a utilização do programa por um maior número de peoa, foi deenvolvida uma interfae gráfia para a introdução do dado da eçõe (igura 6). Para a eçõe mai orrente (retangulare, em T e irulare), a interfae gráfia já ontem aixa de diálogo que failitam a introdução do dado da eçõe. Para a retante eçõe é neeário preparar um onjunto de dado em formato TXT (igura 7). Ete fiheiro é lido pelo programa, endo o eu onteúdo imediatamente repreentado em modo gráfio. Em eguida é poível ontinuar a utilizar a interfae gráfia para definir o eforço atuante e/ou a área total de armadura, eguindo-e a fae de álulo da inógnita. igura 6 Interfae gráfia.
Como já foi referido anteriormente o oftware deenvolvido detina-e ao álulo de uma eção qualquer de betão armado e pré-eforçado. Uma vez que o leque de eçõe orrente ainda é batante reduzido, é neeário reorrer à mai genéria ferramenta forneida pelo programa, um fiheiro de dado TXT (igura 7), que arateriza qualquer tipo de eção. igura 7 Modelo TXT. 5 EXEMPLOS 5.1 Exemplo 1 Seção retangular Materiai Betão C20/25 Aço A400 (75% na fae inferior e 25% na uperior) Eforço atuante N d = -500 KN M d,x = -250 KNm
igura 8 Reultado do exemplo 1. 5.2 Exemplo 2 Viga oa om pré-eforço [6]. Materiai Betão C25/30 Aço A400 Aço de pré-eforço Eforço Atuante M d,y = 50 KNm N d = -50 KN f σ p pud = 1423MPa = 1067MPa igura 9 Reultado do exemplo 2.
5.3 Exemplo 3 Viga em aixão [6]. Materiai Betão C25/30 Aço A400 Aço de pré-eforço f σ p pud = 1452.2MPa = 1100MPa Armadura de pré-eforço 16 x 11.16m 2 Armadura paiva inferior uperior 27φ16 50φ10 Eforço atuante M d,y = 50 MNm N d = 0 KN igura 10 Reultado do exemplo 3.
5.4 Exemplo 4 Viga em L invertido om pré-eforço [6]. Materiai Betão C25/30 Aço de pré-eforço Eforço atuante M d,x = 1000 KNm f σ p pud = 1423MPa = 1067MPa igura 11 Reultado do exemplo 4. 6 CONSIDERAÇÕES INAIS Apó uma análie omparativa entre o REBAP e o EC2, tendo mai uma vez em atenção que apena é efetuado o etudo em Etado Limite Último de reitênia, pode onluir-e que para lae de betão inferiore ou iguai a C50/60 e e for adoptado o parâmetro de redução da apaidade reitente do betão fendilhado (α ) igual a 0.85 o regulamento ão equivalente, podendo aim ontinuar a utilizar-e a tabela ou ábao baeada no REBAP. O memo e pode dizer no ao de e utilizar α diferente de 0.85, batando para tal que a expreõe que envolvam o parâmetro f d, ejam avaliada utilizando f d α /0.85 em vez de apena f d. O programa deenvolvido apreenta tempo de álulo extremamente baixo (om proeador de 1.7GHz para exeutar a rotina prinipal de álulo um milhão de veze foram neeário apena 80 egundo). Pode também er failmente aproveitado para o deenvolvimento de apliaçõe mai omplexa e er adaptado a outra plataforma e itema operativo, inluindo máquina de alular (TI-90 e Voyage200). Eta portabilidade deve-e ao fato de o ódigo ter ido erito numa linguagem batante divulgada (ANSI-C).
7 AGRADECIMENTOS Agradeemo ao Profeor Álvaro Azevedo, não ó pela ua diponibilidade e dediação ma também por todo o entuiamo e rigor ientífio que no oube inutir em toda a fae do projeto. 8 REERÊNCIAS [1] Euroódigo 2: Projeto de Etrutura de Betão. Parte 1.1: Regra gerai e regra para edifíio. [2] R.E.B.A.P. Regulamento de Etrutura de Betão Armado e Pré-Eforçado, 1983. [3] Azevedo, A.. M. Optimização de Etrutura om Comportamento Linear e Não Linear, Diertação para Doutoramento em Engenharia Civil, auldade de Engenharia da Univeridade do Porto, 1994. [4] D Arga e Lima, J.; Monteiro, Vítor; Mun, Mary Betão Armado Eforço Normai e de lexão, LNEC, 1985. [5] RSA Regulamento de Segurança e Açõe para Etrutura de Edifíio e Ponte, 1983. [6] erreira, A. E. V.; Azevedo, A.. M. Cálulo da Capaidade Reitente e Dimenionamento de Armadura de Seçõe Quaiquer de Betão Armado e Pré-eforçado Sujeita a lexão Compota Deviada, Porto Portugal, 1988. URL: http://ivil.fe.up.pt/pub/people/alvaro/pdf/1988_enepe_cal_armad_se_quaiquer_lex_dev.pdf [7] MAPLE 7.00 Waterloo Maple In. [8] Azevedo, A.. M., Cutil: Bibliotea de Apoio ao Deenvolvimento de Software em Linguagem C, Verão 3.0, auldade de Engenharia da Univeridade do Porto, Julho de 1996. URL: http://ivil.fe.up.pt/software/cutil_3.0/cutil.pdf