matemática 0. Uma confeitaria roduz dois tios de bolos de festa. Cada quilograma do bolo do tio A consome 0, kg de açúcar e 0, kg de farinha. Por sua vez, o bolo do tio B consome 0, kg de açúcar e 0, kg de farinha ara cada quilograma roduzido. Sabendo que, no momento, a confeitaria disõe de 0 kg de açúcar e kg de farinha, resonda às questões abaio. a) Será que é ossível roduzir 7 kg de bolo do tio A e 8 kg de bolo do tio B? Justifique sua resosta. b) Quantos quilogramas de bolo do tio A e de bolo do tio B devem ser roduzidos se a confeitaria retende gastar toda a farinha e todo o açúcar de que disõe? a) Não é ossível, ois a quantidade de farinha necessária, em quilogramas, seria: 0,.7 + 0,.8,8. b) Sejam e y as quantidades roduzidas, em quilogramas, resectivamente, dos bolos A e B: 0, + 0, y 0 Þ, 5 0, + 0, y y 5 Portanto, devem ser roduzidos,5kg do bolo A e 5kg do bolo B. 0. Uma eça esférica de madeira maciça foi escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra a figura abaio. Observe que, na escavação, retirou-se um cilindro de madeira com duas tamas em formato de calota esférica. CPV seu é direito também na medicina UNICAMP a fase /janeiro/00 Sabe-se que uma calota esférica tem volume h Vcal π ( h), em que h é a altura da calota e é o raio da esfera. Além disso, a área da suerfície da calota esférica (ecluindo a orção lana da base) é dada or A cal h. Atenção: não use um valor aroimado ara π. a) Suondo que h, determine o volume do anel de madeira, em função de. b) Deois de escavada, a eça de madeira receberá uma camada de verniz, tanto na arte eterna, como na interna. Suondo, novamente, que h, determine a área sobre a qual o verniz será alicado. a) O volume do anel ode ser calculado subtraindo-se os volumes de calotas esféricas e de um cilindro do volume da esfera. Precisamos ortanto calcular inicialmente o raio da base do cilindro utilizando o Teorema de Pitágoras. r (r) + () r r Temos: Vanel Vesfera Vcalota Vcilindro V anel π π.. π Vanel π CPV Unicam00 a Fase b) A área do anel ode ser calculada subtraindo-se as áreas de calotas e somando-se a área lateral do cilindro, em relação a área total da esfera. Assim temos: A anel A esf A calota + A lateral cilindro A anel.. +. A anel (+ )
UNICAMP /0/00 CPV seu é direito também na Medicina 0. Um artesão recisa recortar um retângulo de couro com 0 cm,5 cm. Os dois retalhos de couro disoníveis ara a obtenção dessa tira são mostrados nas figuras abaio. a) O retalho semicircular ode ser usado ara a obtenção da tira? Justifique. b) O retalho triangular ode ser usado ara a obtenção da tira? Justifique. a) a) No semicírculo, temos: 5 + 5 @,cm E ortanto a região retangular 0cm,5cm ode ser recortada. b) Na região triangular: 8 8 Por semelhança de triângulos, temos: 8 Û 8 8,5 E ortanto a região retangular edida não oderá ser recortada. 0. Laura decidiu usar sua bicicleta nova ara subir uma rama. As figuras abaio ilustram a rama que terá que ser vencida e a bicicleta de Laura. a) Suonha que a rama que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação α, tal que cos(α) 0, 99. Suonha, também, que cada edalada faça a bicicleta ercorrer,5 m. Calcule a altura h (medida com relação ao onto de artida) que será atingida or Laura aós dar 00 edaladas. b) O quadro da bicicleta de Laura está destacado na figura à direita. Com base nos dados da figura, e sabendo que a mede cm, calcule o comrimento b da barra que liga o eio da roda ao eio dos edais. a) Em 00 edaladas, Laura ercorrerá 5m. Então, na relação fundamental da trigonometria, temos: sen + cos h 5 + ( 0, 99 ) Donde vem h,5m b) Comletando os valores faltantes dos ângulos da figura, temos: D º º B 79º 75º 77º A 0º C Para o triângulo ABC, odemos alicar o Teorema dos senos, lembrando que + sen75º(0º + 5º)sen0º.cos5º+sen5º.cos0º a b Daí:, donde vem, ara a cm, sen 0º sen 75º b ( + )cm CPV Unicam00 a Fase
CPV seu é direito também na Medicina UNICAMP /0/00 05. O valor resente, V, de uma arcela de um financiamento, a ser aga daqui a n meses, é dado ela fórmula abaio, em que r é o ercentual mensal de juros (0 r 00) e é o valor da arcela. n r + 00 a) Suonha que uma mercadoria seja vendida em duas arcelas iguais de $ 00,00, uma a ser aga à vista, e outra a ser aga em 0 dias (ou seja, mês). Calcule o valor resente da mercadoria, V, suondo uma taa de juros de % ao mês. b) Imagine que outra mercadoria, de reço, seja vendida em duas arcelas iguais a, sem entrada, com o rimeiro agamento em 0 dias (ou seja, mês) e o segundo em 0 dias (ou meses). Suondo, novamente, que a taa mensal de juros é igual a %, determine o valor resente da mercadoria, V, e o ercentual mínimo de desconto que a loja deve dar ara que seja vantajoso, ara o cliente, comrar à vista. a) Temos que o valor resente de cada arcela é dada or, ortanto na ª arcela o n r + 00 00 V 0 00, 00 ago à vista. + 00 Na ª arcela o 00 00 0 98, 0 V 98, 0 00 + 00 Logo o Valor Presente da mercadoria é V @ 00 + 98,0 \ V @ 98,0, isto é, V @ 98,0. b) O valor resente da ª arcela aós um mês será de 0, 99 r + 00 O valor resente da ª arcela aós dois meses será de 0, 98, ortanto o Valor r + 00 Presente da mercadoria será de V + V @,97, 97 Como @ 0, 985 isto é o Valor P resente reresenta 98,5% do valor a razo, será vantajoso qualquer desconto acima de,5%. 0. Uma emresa fabricante de aarelhos que tocam músicas no formato MP efetuou um levantamento das vendas dos modelos que ela roduz. Um resumo do levantamento é aresentado na tabela abaio. a) Em face dos ótimos resultados obtidos nas vendas, a emresa resolveu sortear um rêmio entre seus clientes. Cada rorietário de um aarelho da emresa receberá um cuom ara cada $ 00,00 gastos na comra, não sendo ossível receber uma fração de cuom. Suondo que cada rorietário adquiriu aenas um aarelho e que todos os rorietários resgataram seus cuons, calcule o número total de cuons e a robabilidade de que o rêmio seja entregue a alguma essoa que tenha adquirido um aarelho com reço suerior a $ 00,00. b) A emresa retende lançar um novo modelo de aarelho. Aós uma esquisa de mercado, ela descobriu que o número de aarelhos a serem vendidos anualmente e o reço do novo modelo estão relacionados ela função n() 5 0,5, em que n é o número de aarelhos (em milhares) e é o reço de cada aarelho (em reais). Determine o valor de que maimiza a receita bruta da emresa com o novo modelo, que é dada or n.. a) O total de cuons resgatados elos que comraram aarelhos do modelo A é:. 08. O total de cuons recebidos ara a comra de um aarelho dos modelos A, B, C e D, resectivamente, são:,, e. Sendo assim, o total de cuons resgatados é: 78. + 70. + 5. +. 0. Portanto, a robabilidade de que o rêmio seja entregue a alguma essoa que tenha adquirido um aarelho com reço suerior a $ 00,00 (modelo D) é: 08 0 0,0%. b) A receita bruta obtida com a venda do novo aarelho é dada ela função n. (5 0,5). -0,5 + 5, cujo gráfico é uma arábola com a concavidade voltada ara baio. O valor de que maimiza essa receita é obtido no vértice -5 da arábola. Esse valor é igual a:.( -0, 5) 0. CPV UNICAMP00 a fase
UNICAMP /0/00 CPV seu é direito também na Medicina 8 07. Sejam dadas as funções f() e g(). a) eresente a curva y f() no gráfico abaio, em que o eio vertical fornece log (y). b) Determine os valores de y e z que resolvem o sistema de equações f ( z) g( y) f ( y) g( z) Dica: converta o sistema acima em um sistema linear equivalente. a) Devemos ter os ontos na forma (; log y), que serão obtidos através da função h() log f (), ortanto h( ) log 8 h( ) log log 8 h( ) O gráfico de h() é 08. O aagaio (também conhecido como ia, andorga ou arraia) é um brinquedo muito comum no Brasil. A figura abaio mostra as dimensões de um aagaio simles, confeccionado com uma folha de ael que tem o formato do quadrilátero ABCD, duas varetas de bambu (indicadas em cinza) e um edaço de linha. Uma das varetas é reta e liga os vértices A e C da folha de ael. A outra, que liga os vértices B e D, tem o formato de um arco de circunferência e tangencia as arestas AB e AD nos ontos B e D, resectivamente. y 5 0 a) Calcule a área do quadrilátero de ael que forma o aagaio. b) Calcule o comrimento da vareta de bambu que liga os ontos B e D. 5º a) Da figura, temos: BE sen 0º Þ BE 5cm E 50 tg 5º BE Þ AE 5cm AE cos 0º CE Þ CE 5 50 cm A ABCD A ABD + A CBD b) Se 8 y z f ( z) g( y) 8 f ( y). g( z) y z z y z+ y. y z y z. z + y resolvendo o sistema, temos: y z z e y ortanto y e z 50. 5 50. ( 5 ) A ABCD + A ABCD 5 ( + ) cm b) Se B e D são ontos de tangência, ABFD é quadrado cujo lado mede 5 cm e BC é um arco de circunferência cujo comrimento é 90º 5 π. π( 5 ) cm 0º E 5 5 F CPV Unicam00 a Fase
CPV seu é direito também na Medicina UNICAMP /0/00 5 09. Considere a matriz A a a a a a a, cujos a a a coeficientes são números reais. a) Suonha que eatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Suondo também que não há nenhuma informação adicional sobre A, calcule a robabilidade de que o determinante dessa matriz não seja nulo. b) Suonha, agora, que a ij 0 ara todo elemento em que j > i, e que a ij i j + ara os elementos em que j i. Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, A. a) deta a.a.a + a.a.a + a.a.a a.a.a a.a.a a.a.a 0. Suonha que f : I I seja uma função ímar (isto é, f( ) f()) e eriódica, com eríodo 0 (isto é, f() f(+0)). O gráfico da função no intervalo [0, 5] é aresentado abaio. a) Comlete o gráfico, mostrando a função no intervalo [-0, 0], e calcule o valor de f(99). b) Dadas as funções g(y) y y e h() g(f()), calcule h() e determine a eressão de h() ara,5 5. a) Se a função f() é ímar, o gráfico é simétrico em relação à origem e se f() é eriódico de T0, temos que o gráfico no intervalo [ 0;+0]. O determinante da matriz A será diferente de zero somente se uma das arcelas relacionadas acima for o roduto dos seus três elementos que não são nulos. Sendo assim, há aenas seis ossibilidades (ois há seis arcelas) de deta ser diferente de zero. O total de maneiras de três elementos de A serem não nulos é C 9, 8. Logo, a robabilidade de que o determinante de A seja não nulo é igual a. 8 0 0 b) De acordo com o enunciado, A 0 Sendo A a matriz inversa de A e Id a matriz identidade, temos: 0 0 a b c 0 0 A. A Id 0. d e f 0 0 Þ g h i 0 0 a a b 0 b 0 c 0 c 0 0 0 a + d 0 b + e 0 Þ d Þ A c + f 0 0 e a + d + g 0 f 0 b + e + h 0 g c + f + i h i b) Temos elo gráfico que f(0) 0, f 5 5, f(5) 0, f 5 5,... E que f(99) f(89) f(79)... f(9) f(), então basta calcular f ( ). No intervalo [ 5; 5] a função é f() \ f(-) f(99) Então f(99). 0 Por simetria temos que a reta que reresenta a função interceta o eio Oy no onto (0;0). Temos que o coeficiente angular da reta que reresenta a função no intervalo 5 ; 5 é m. Por simetria temos que a reta que reresenta a função interceta o eio Oy no onto (0;0), ortanto f() + 0, logo f (). Como h() g(f()) \ h() (f()) f() \ h() (f()) f() \ h() 0 E no intervalo 5 ; 5 h() ( + 0) ( + 0) \ h() - + 0 Então h() 0 e h() + 0, com,5 5. CPV UNICAMP00 a fase
CPV seu é direito também na Medicina UNICAMP /0/00. No desenho abaio, a reta y a (a > 0) e a reta que assa or B e C são erendiculares, intercetando-se em A. Suondo que B é o onto (, 0), resolva as questões abaio. a) Determine as coordenadas do onto C em função de a. b) Suondo, agora, que a, determine as coordenadas do onto A e a equação da circunferência com centro em A e tangente ao eio. a) Seja r a reta de equação: y a e seja s a reta erendicular a r no onto A. O coeficiente angular de s é - a. Como s assa elo onto B (;0), sua equação é: y ( a ). O onto C está na intersecção de s com o eio y, ortanto tem abscissa igual a zero. Logo, a ordenada de C é igual a a. Portanto, as coordenadas de C são (0; a ). b) O onto A é a intersecção entre as retas r e s. Logo, ara encontrarmos as coordenadas de A, temos o seguinte sistema: y Þ 5. y ( ) y 5 A circunferência de centro em A que tangencia o eio deve ter raio igual a 5. Portanto, o onto A tem coordenadas ( 5 ; 5 ) e a equação da circunferência com centro em A e tangente ao eio é: y + 9 5 5 5. Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias agressivas de roaganda. O site A, que tem 50 articiantes atualmente, esera conseguir 00 novos integrantes em um eríodo de uma semana e dobrar o número de novos articiantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 00 internautas novos na rimeira semana, 00 na segunda, 00 na terceira, e assim or diante. Por sua vez, o site B, que já tem 00 membros, acredita que conseguirá mais 00 associados na rimeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de internautas novos em 00 essoas. Ou seja, 00 novos membros entrarão no site B na rimeira semana, 00 entrarão na segunda, 00 na terceira, etc. a) Quantos membros novos o site A esera atrair daqui a semanas? Quantos associados o site A esera ter daqui a semanas? b) Em quantas semanas o site B esera chegar à marca dos 0000 membros? a) As quantidades de membros que o site A esera adquirir a cada semana formam uma rogressão geométrica de rimeiro termo a 00 e razão q. A soma dos rimeiros elementos da rogressão acima a q é: S ( ) 00( ) 00 q O total de membros será: 00 + 50 50. Portanto, o site A esera atrair 00 novos membros nas róimas semanas e esera ter, nessa data, 50 membros. b) As quantidades de novos membros que o site B esera atrair a cada semana formam uma rogressão aritmética de rimeiro termo b 00 e razão r 00. Sendo assim, o n-ésimo termo, b n, é igual a 00n. A soma dos n rimeiros termos dessa rogressão é: ( a + a n n S n n + n ) ( 00 00 ). O total de membros do site B na n-ésima semana será: 00 + ( 00 + 00n ) n 0000 Þ n + n 5 0 Þ n (não convém) ou n. Portanto, o site B levará semanas ara atingir a marca dos 0000 membros. CPV UNICAMP00 a fase