Carteiras de Mínimo VAR ( Value at Risk ) no Brasil

Carteiras de Míimo VAR ( Value at Risk ) o Brasil Março de 2006

Itrodução Este texto tem dois objetivos pricipais. Por um lado, ele visa apresetar os fudametos do cálculo do Value at Risk, a versão paramétrica (VAR paramétrico). Além disso, são aalisados os fudametos da aplicação do VAR a uma carteira de referêcia para o mercado fiaceiro brasileiro. Esta carteira iclui títulos do Tesouro, com diferetes idicadores de retoro (Selic, IGP-M e câmbio), o pricipal ídice que represeta o mercado de ações (Ibovespa), e um idicador de desempeho dos ativos reais (cotação do ouro a BM&F). São apresetados também resultados empíricos para o mercado brasileiro referetes aos últimos 4 meses (de jaeiro de 2005 a fevereiro de 2006). Medição de Risco e o Método do VAR Um importate tópico a área de Fiaças e os mercados fiaceiros é a medição do risco que resulta das posições assumidas por istituições fiaceiras em suas atividades operacioais. Esta questão é importate ão apeas para os gestores das istituições, mas também para agêcias reguladoras e bacos cetrais. O procedimeto mais usado atualmete para lidar com esta questão é cohecido como Value at Risk (VAR) que, ao cotrário do que geralmete ocorre a área fiaceira, foi desevolvido fora do meio acadêmico. Em 994, o baco J. P. Morga torou pública, através da divulgação do relatório RiskMetrics Techical Maual, sua metodologia para cálculo do risco de uma carteira, que ficou cohecido como Value at Risk, e que passou a ser uma das pricipais referêcias esta área. O método do VAR utiliza métodos estatísticos e elemetos da aálise de carteiras para medir o risco. O pricipal objetivo deste procedimeto aparece a seguir: O método do VAR avalia a maior perda esperada com uma determiada carteira em um certo período de tempo, de acordo com ível de cofiaça pré-especificado e supodo codições ormais de mercado.

Cálculo dos Parâmetros dos Ativos Icluídos a Carteira A etapa iicial para o cálculo do VAR é a estimação dos parâmetros dos ativos. Este procedimeto é cohecido como método paramétrico do VAR. As fórmulas tradicioais são apresetadas e discutidas os pricipais livros-texto sobre aálise fiaceira ver, por exemplo, Bodie e Merto (998), e Ross, Westerfield e Jaffe (2002). No etato, o maual RiskMetrics, se defede a adoção de um procedimeto com base em média móvel expoecial poderada ( expoetial weighted movig average, ou EWMA), que atribui peso maior para observações mais recetes. Este método também é cohecido como método de decaimeto expoecial. Neste caso, as fórmulas para a média, variâcia e coeficiete de correlação das retabilidades dos ativos estão colocadas a seguir. Fórmulas com base o método EWMA: Média Er i = λ r i i λ i σ i 2 = Variâcia i λ ( r Er ) i λ i i 2

ρ 2 = Coeficiete de correlação i λ ( r i λ ( r, i, i Er Er, i ) 2, i )( r 2, i Er i λ ( r 2, i 2, i ) Er 2, i ) 2 Nestas fórmulas, λ é o fator de decaimeto, que deve ser um úmero positivo meor do que um. O valor sugerido o relatório RiskMetrics é 0,94. O sub-ídice i represeta uma observação (i = é a observação mais recete). Cálculo do VAR pelo Método Paramétrico Uma vez estimados os parâmetros dos ativos, os parâmetros da carteira podem ser calculados. O VAR resulta do risco da carteira, σ c. A fórmula para o VAR, de acordo com os parâmetros da carteira, deomiado método paramétrico, ou aalítico, aparece abaixo. Fórmula para o VAR pelo método paramétrico VAR ( α) = z α σ c valor da carteira Nesta fórmula, z α represeta uma variável aleatória, com distribuição ormal padroizada, tal que prob(z < z α ) = α. Por exemplo, o caso de a = 0,05 = 5%, z α =,65. Podemos verificar, portato, que esta fórmula os dá a perda máxima, em reais, correspodete a um determiado ível de cofiaça, supodo que a distribuição da retabilidade da carteira seja ormal. Geralmete, o cálculo do VAR, os parâmetros dos ativos são calculados em base diária e, portato, σ c também correspode à retabilidade diária da carteira, e o resultado desta fórmula represeta a perda máxima em um dia.

Exemplo de Cálculo do VAR Como exemplo de cálculo do VAR pelo método paramétrico, podemos cosiderar que o risco da carteira, estimado em base diária, é 0,05 =,5%, e que o valor da carteira em um dia determiado é de R$ 00.000. Neste caso, o VAR correspodete a um ível de cofiaça de 95% aparece a seguir. Exemplo de cálculo do VAR pelo método paramétrico VAR 0,95 =,65 0,05 R$ 00.000 = R$ 2.475 Carteira de Referêcia para o Mercado Brasileiro O objetivo da aplicação do método VAR que é examiada este texto é avaliar a perda máxima de uma carteira represetativa do mercado brasileiro. Para isso, foram icluídos a carteira os pricipais ativos de referêcia o país. Em primeiro lugar, levado em cota o peso dos títulos do Tesouro o total do mercado, foram icluídos idicadores que são usados para determiar a retabilidade destes títulos, ou seja, a taxa Selic (referêcia de juros), o IGP-M (ídice de preços), e o câmbio (cotação da moeda orte-americaa). Além dos idicadores de retoro para os títulos federais, foi icluído também a carteira um ídice que represeta o pricipal ativo do mercado de capitais o Ibovespa, assim como um idicador que visa represetar o cojuto de ativos reais a cotação do ouro, determiada a Bolsa de Mercadorias e Futuros (BM&F). Por outro lado, em cotraste com o cálculo tradicioal do VAR, que é baseado em retabilidades diárias, o retoro desta carteira de referêcia foi calculado em base mesal, uma vez que as iformações mesais para taxa de retoro são as que mais iteressam aos ivestidores.

Estimação dos Parâmetros da Carteira de Referêcia Para estimar os parâmetros dos ativos icluídos a carteira de referêcia, segudo o VAR paramétrico, foram usadas iformações dispoíveis em uma jaela de dois aos (24 meses) ou seja, a cada mês se icluem as iformações mais recetes, e se descartam os dados de dois aos atrás. Nesta aplicação do método VAR, as estimativas dos parâmetros fiaceiros são atualizadas mesalmete usado o procedimeto EWMA, com fator de decaimeto igual a 0,9. A partir destas estimativas, se calcula a perda máxima de uma determiada carteira, costruída com os ativos mecioados a Seção aterior. O processo usado para selecioar uma carteira específica, usada o cálculo do VAR, está descrito a próxima Seção. Seleção de uma Carteira Específica: VAR Míimo A partir dos ativos de referêcia previamete idetificados, diferetes carteiras podem ser especificadas. Para que o VAR possa ser calculado, uma determiada carteira, etre todas as carteiras possíveis, deve ser especificada. O procedimeto usado para idetificar uma carteira específica é o da miimização do VAR ou seja, a cada mês é defiida a carteira que correspode ao VAR míimo. Em outras palavras, se costrói a carteira que correspode à meor perda máxima que pode ocorrer, com um determiado ível de cofiaça, a partir de um ivestimeto os ativos de referêcia previamete defiidos. Empiricamete, se verifica que as carteiras de míimo VAR, calculadas a cada mês, são formadas predomiatemete por títulos idexados à Selic e ao IGP-M. Em algus meses, esta carteira ótima também iclui pequeas proporções ivestidas em Ibovespa e câmbio.

Resultados para o Mercado Brasileiro Estavam dispoíveis, o mometo em que este texto foi escrito, resultados para o míimo VAR referetes aos últimos 4 meses, isto é, de jaeiro de 2005 a fevereiro de 2006. As proporções ivestidas os dois pricipais ativos de referêcia (Selic e IGP-M), e os resultados para o míimo VAR estão represetados o Gráfico abaixo. Carteira de Míimo VAR 00% R$ 0 90% 80% -R$ 50 70% 60% 50% -R$ 00 -R$ 50 40% 30% -R$ 200 20% 0% -R$ 250 0% 2005. 2005.2 2005.3 2005.4 2005.5 2005.6 2005.7 2005.8 2005.9 2005.0 2005. 2005.2 2006. 2006.2 Selic IGP-M VAR míimo (eixo direito) -R$ 300 Duas tedêcias pricipais estão presetes este Gráfico. Em primeiro lugar, se percebe uma tedêcia de elevação da proporção de títulos idexados à taxa Selic, e a correspodete redução de títulos idexados ao IGP-M. Além disso, ocorreu uma redução do VAR míimo até dezembro de 2005 e, posteriormete, o VAR aumetou (torou-se mais egativo). Esta última tedêcia idica que o ível geral de risco o mercado fiaceiro brasileiro cresceu a partir do fial de 2005, depois de um logo período de redução.

Coclusões: Carteiras de Míimo VAR o Brasil Este texto apresetou os fudametos do cálculo do Value at Risk, a versão paramétrica, e aalisou os fudametos da aplicação do VAR a uma carteira de referêcia para o mercado fiaceiro brasileiro. Esta carteira iclui títulos do Tesouro, com diferetes idicadores de retoro (Selic, IGP-M e câmbio), o pricipal ídice que represeta o mercado de ações (Ibovespa), e um idicador de desempeho dos ativos reais (cotação do ouro a BM&F). Os resultados empíricos, referetes aos últimos 4 meses (de jaeiro de 2005 a fevereiro de 2006), idicam que o ível geral de risco o mercado fiaceiro brasileiro cresceu a partir do fial de 2005, depois de um logo período de redução. Isto porque, a partir de dezembro de 2005, o VAR míimo torou-se mais egativo (a meor perda máxima aumetou).

Bibliografia Bodie, Z. e R. Merto. Fiaças (Porto Alegre, Bookma, 200). Foseca, M. A. R. da e F. C. G. de Cerqueira Lima. Gestão de Risco em Fiaças. (Rio de Jaeiro, Fudação Escola Nacioal de Seguros FUNENSEG, 2006). Ross, S. A., R. W. Westerfield e J. F. Jaffe. Admiistração Fiaceira (São Paulo, Atlas, 995).