Gabarito Sistemas numéricos. Números naturais.. N. Infinito.. Infinito. 5. Não. Contra-eemplo: número 7. 6. Não, pois sempre é possível encontrar um número maior, bastando somar mais uma unidade. 7. 0 8. 9. 9 0. Não eiste.. Sim.. Conjunto dos números naturais.. 0., 0,,, 9 e 5. Sim, pois os divisores dos números primos são D p = {,, p, p}. 6. Sim. 7. 8. 9. Para responder esta questão é importante que saibamos quais são as regras de divisibilidade:
Métodos Quantitativos Matemáticos 58 Todos os números inteiros são divisíveis por. Um número é divisível por quando termina em 0,,, 6 ou 8, isto é, quando é par. Um número é divisível por quando a soma dos seus algarismos for múltiplo de. São divisíveis por todos os números cujo os dois últimos algarismos formam um número divisível por. Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. São múltiplos de 6 todos os números pares divisíveis por. Um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos forma um número divisível por 7. São divisíveis por 8 todos os números cujo antepenúltimo algarismo seja par e os dois últimos formem um múltiplo de 8. Também são divisíveis por 8 os números com antepenúltimo algarismo ímpar e os dois últimos formando um múltiplo de que não seja divisível por 8. Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9. Um número é divisível por 0 quando termina em zero. Conhecendo as regras de divisibilidade é possível encontrar um número de três algarismos que seja divisível ao mesmo tempo por todos os números pedidos. Resposta: 80 0. Para responder esta questão o aluno deve saber quais são os números primos. Utilizando os números primos temos as seguintes divisões: Número primo : 0 = 05 Número primo : 0 = 70 Número primo 5: 0 5 =
Número primo 7: 0 7 = 0 Número primo : 0 = 9,09 Gabarito Após realizar as divisões percebemos que o menor número primo que não divide o número 0 é, pois o resultado não é eato.. Não.. ; ; 9. Não..,55 5. 0,985 6.,5 7. 99 ou 8 8. 999 9. 55 9 000 0. I = R Q ou. R = Q I. ou 7 0 5. ; ; ; ; e ; π 6. 6 e; ; ; ; ;0; ;;e;. p precisa ser positivo. 5. ; e 5 6. π + 5, 5e 7 7. e7 5 7 8. Sim. 59
Métodos Quantitativos Matemáticos 9. Não. 0. Sim.. Não.. Sim.. Sim.. Sim. 5. Sim. 6. Sim. Operações com números reais. : 9 6 9. 9 9 8 + + + 8 9. + + = +.. 8. ou 0,8 5 5 5. 0 6. 99 7. 8. 9 9. ab 0. 880 8 6. a) b) 9 5 60
. a) b) 8 7. a) b) 5 9. a) b) 0 5 Gabarito 5. 7 a) b) 5 6. - a) 5 b) 7. a) b) 6 8. a) b) 7 9. R$80.000,00 5 0. R$0.000,00; R$80.000,00 e R$600.000,00.... 8 6 =. a) 0 b) 0 c). 7 7 = 7 0. = a) 0 00 b) 5 c) = 8 5. a) 8 b) c) 6. a) b) 5 c) 7. ( ) + + + + 6 6 8 8 + + + + + + = 096 8 6. 6 6 6 6
Métodos Quantitativos Matemáticos 8. 9 9 8 9 8 9 9. 8 8...... 6 0. 5. ( ) ( ) + 6 + + 9.. 0. 00 0 00 000 00 0 0 000 0 0 0. = 000 000 00. + + + 9 6 + 9 5 5. 50 6 5. 5 = 6 5. a+ b+ c a+ b+ c a b c a b b a + + b + +... c 5+ + 5+ + 5 5 5 + + + +... 0 8. 5.. 6. 6. 6 6 88... 6 8 = 6. + 7 6
Gabarito 6 7.. (a + a + ) +. (a + a ) (a + a ) a + a + + a + a a a + 5a a + 7a a + 6 a + a + 8.. ( y + y ) + y. ( y + y ) y + y + y y + y + y 9. a. (a + b c) + b. (b + c a) + c. (a b + c) a + ab ac + b + bc ab + ac bc + c a + b + c 0. + + + + + + 5 5 0 8.. 0 8 80. Dividindo-se 80 e por, temos 0. a) ( + y + z) b) ( + )( ). a) ( + )( + ) b) ( + )( ). a) ( + )( + ) b) ( )( + + )
Métodos Quantitativos Matemáticos. a) ( + 7 + 0) b) 9 a 5. a) b) m + 6 m y + m y 6 + 8y 9 6. a) 6 + 6 + 9 b) y 8 + 6 y 8 y 7. 5a 5a 5 8. = a + b 9. æ ö b + b ç a = a + ab+ çè ø 9 50. ac 6 5 6.( + ) + 5. 9 6 6 9 =. 9 9 5. 8 + +( ) ( ) 5. 9 6 6. ( 9)( 6)+ ( 6)+ ( 9)( 6)( 6)+ ( ) + 6 6 6. + 5. - 55.. ( + y ) 56. zero 57. a b 58. 59. y+ y + y.( y) y + y.( y) y y y y = y + y y y y y y + + y + y + y y 6
60. a + ab+ b ab b a a. a a = a + ab+ b a b ab ab b Gabarito 6. 6. {0, } { } 6., 6. R {0, } 65. {} 66. { } 67. {6} 68. ì ï7 ü í ï ý ïî ïþ 69. (k ) + (k 5). + k = 0 k 9 + 8k 0 + k = 0 5k 9 = 0 5k = 9 O valor de k quando = é: k = 9 5 Tópicos em teoria dos conjuntos e relações matemáticas. Definimos os conjuntos A como o conjunto dos países da América do Sul e R como o conjunto das regiões brasileiras. Definimos os seguintes elementos de A, b representa o Brasil e v representa a Venezuela, então concluímos que: a) b A b) a A c) v R d) n R. Sendo A o conjunto dos países da América do Sul e R o conjuntos das 65
Métodos Quantitativos Matemáticos regiões brasileiras, então: a) Equador A (Verdadeiro) b) Sudeste R (Falso) c) França R (Falso) d) Centro-Oeste R (Verdadeiro). I = { é um número ímpar} I = {, 5, 7,... }. M = { é um número inteiro maior ou igual a } 5. A = B 6. Verdadeira, pois A está contido em B, mas não está contido em C (os valores 5 e 6 do conjunto A estão presentes no conjunto B, mas não estão presentes no conjunto C). 7. Unitário, vazio, unitário. 8. Falsa. O conjunto B está contido no conjunto A. 9. A = {C, O, N, J, U, T} 6 6 subconjuntos 0. Falsa.. Falso, pois a ordem dos fatores não altera o produto. A B = B A.. 6 pares ordenados.. Numericamente sim.. 6. 5. {(b,p )}, {(b,p )}, {(b,p )}, {(b,p )}, {(b,p 5 )}, {(b,p 6 )}, {(b,p )}, {(b,p )}, {(b,p )}, {(b,p )}, {(b 5,p )}, {(b 6,p )} 6. Todas as funções consistirão de dois pares ordenados. Não haverá distintos pares ordenados de uma função que têm a mesma primeira ordenada. Cada a i aparecerá como primeiro elemento uma vez e cada a i+ aparecerá como primeiro elemento uma vez em cada função. 7. Correto. As funções são casos especiais de relações. 66
Gabarito 8. O domínio da relação é o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados da relação. 9. Sim. 0. O produto cartesiano formado por dois conjuntos unitários.. I c = { [0,60) }. I I c U. (A B) = {5, 7}. U A B 9 5 7 6 8 5. (O V) = O 6. U V O 7. Verdadeiro. 8. A B = {5, 6, 7, 8, 9} 9. O V = V 0. 5 partições. {,,}, ø 67
Métodos Quantitativos Matemáticos {}, {,} {,}, {} {,}, {} {}, {}, {}. n(a) = 5 e n(b) =. n(a B) = 0. n(a B) = 9. n(a B) = 5. n(a B) = 6 6. U = 000 A C 00 0 50 0 M = 0 5 00 5 H = 580 Intervalos. Verdadeiro.. Falso.. Falso.. Falso. 5. Falso. 6. A c = (,) (5, ) 7. B c = (,] (6, ) 8. A B = [,6] 9. A B = (,5] 68
Gabarito 0. A B = (,) [6, ). (A B) c = (,] (5, ). /. < /7. < 5/ 5. Estudo de funções. Não.. Não.. Sim.. Sim. 5. Domínio = {,,, 0}. Contradomínio = {0,,,,, 5, 6, 7, 8, 9}. Imagem = {0,,, 9}. 6. a) Sim. b) Não. 7. a) Sim. b) Sim. 8. a) Sim. b) Não. a) Sim. b) Não. 9. Somente b e d representam uma função de em y. Ver eplicação completa na página 0. 0. D(f) = (, ]. Porque qualquer número maior do que faria com que a equação resultasse na raiz de um número negativo. Im (f) = (, 0].. y = 0 69
Métodos Quantitativos Matemáticos y 0 5 0 0 0 5 5 5 0 0 5 0 5 0..º: Usamos a fórmula do coeficiente angular e calculamos o valor de a: ( y y) ( 7 ) a = a a a + = = =.º: Com o valor de a, calculamos o valor de b, escolhendo valores de y e (que foram dados): y = a + b =. + b = 6 + b b = 6 b =.º: Substituindo a e b na equação da reta, teremos: y =. Sim. A função y = é uma função quadrática. y 0 5 6. Falso. 5. Verdadeiro. 70
Gabarito Limites. lim + (. + ) (9 + ) 0. 0. lim ( ) ( ). lim (. ) (. 8) 6 5. 6. f() 0 5 8 7 6 lim = 8 - lim 8 = + y 9 8 7 6 5 5 0 5 7. lim = lim = 6 não eiste - + 5 5 7
Métodos Quantitativos Matemáticos y y 5 6 6 7 5 7 8 9 8 7 6 5 0 y 5 6 7 8 8. lim = 7 500 lim = 6 500 não eiste - + 5 000 5 000 9. lim () 0. lim 0. lim ( ) 6. lim. 5 +. lim 5 7
Gabarito (. ) (. + 5) (. ) (. + 5) (8 ) ( + 5) (5) (9) 5 5. lim ( ) ( ) 8 7 ( + ) 6. lim ( ) ( + ) + 5 7. lim ( ) ( + 5) ( 6 ) ( 5) ( + 5) 9 9 6 5 8. lim 9. 7 0... + ( + ). lim indeterminado 7
Métodos Quantitativos Matemáticos ( 5+ 6). lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) 5. lim + 0 + 0 ( ) 6. lim ( ). + lim ( + ) 7. Para que uma função seja contínua, as seguintes condições devem ser satisfeitas:. f(a) é definida, isto é, o domínio de f inclui = a. lim f ( ) eiste lim f ( ) = 0 + =7 lim f ( ) = 0 + = a 0 0. limf f a (quando tende a a pela esquerda e pela direita) = a Resposta: Contínua. 8. Não contínua, para = lim f = 0 9. Contínua. 0. Não contínua. Derivada de função. f () =. f () = ( + ) 7. f () = 0. f' =,
Gabarito 5. f' ( ) =, ¹ 0 6. f() = ; 0 = f () = f () =. f () = 6 7. f = = f = ; 5 f = 0. f () = 6 f () = 6 f (5) = 6 f (5) = 6 5 65 8. f () =. + f () = + f ( ) =. ( ) + f ( ) = 8 + f ( ) = 7 9. f() = ( ). ( ) f() = 6 + 9 f () = 6 f () =. 6 f () = 6 6 f () = 0 0. f não é diferenciável no ponto 0 =.. a) f () = 0 b) f () = =, 0-5 c) f () =, ¹ 0 5 d) f () = -, ¹ 0. a) f () = b a, 0 b) f () = a + b c, 0. a) f () = 8 b) f () =. a) f () = ln 0 b) f () = - 5. f () = π lnπ æ ö 6. f () = cos π ç = çè ø 75
Métodos Quantitativos Matemáticos 7. a) Para que a função seja diferenciável no ponto = 0 é necessário que as derivadas laterais eistam e sejam iguais: f + () = f +() = 0 f +(0) = 0 f () = + f () = f (0) =. 0 = 0 f +(0) = 0 = f + (0) = 0 Portanto, f é diferenciável em. b) f () = 0 f (0) = 0 8. a) Sim, pois uma função é contínua quando: lim f() = f(a) lim = = f()=, pois = f() = = a lim = = f() b) Para que a função seja diferenciável no ponto = é necessário que as derivadas laterais eistam e sejam iguais: f + () = f +() = 0 f +() = 0 f () = f () = f +() =. = f +() = 0 f +() = Portanto, f não é diferenciável em. 9. f () =. 5 + f () = 5 + f () = 5. () +. () f () = 5 + = 7 0. f() = cos() f () = + sen() g() = sen() g () = cos() (f () + g ()) = f(). g() (sen() + cos()) = sen () + cos () + sen()cos() lembrando que: sen () + cos () = (sen() + cos()) = + sen()cos() 76
Gabarito *g() = sen() e f() = cos() f()g(). f () = (). g () = (f + g) () = + (f + g) () =. f () = sec g () = sec. tg (f + g) () = sec + sec. tg (f+ g) () = sec. (sec + tg ). f () = (). 5 + f () = 0 + g () = (). 0 g () = 6 0 (f g) () = (0 +) (6 0) (f g) () = 0 + 6 + 0 (f g) () = +. f() = f () = g() = ln g () = Regra do produto: (f. g) () = f (). g() + f(). g () (f. g) () =. ln +. (f. g) () =. ln +. (f. g) () = (ln ) + 5. f () = (). 7 f () = g () = Regra do produto: (f. g) () = f (). g() + f(). g () (f. g) () =. ( ) + (7 + ). (f. g) () = + + 6 (f. ) () = 56 + 6 6. f() = 5 7 f () = 7 g() = ( ). ( + ) g() = + g() = + 77
Métodos Quantitativos Matemáticos g() = g () = Regra do produto: (f. g) () = f (). g() + f(). g () (f. g) () = 7 ( ) + (5 7). ( ) (f. g) () = 7 + 7 0 + (f. g) () = 0 7 7. f() = f () = g() = + g () = Regra do produto: (f. g) () = f (). g() + f(). g () (f. g) () = ( ). ( + ) + ( ). () (f. g) () = + (f. g) () = 8. f() = + f () = g() = g () = Regra da divisão: f f. g f. g g ( ) = f g f g g. + = + = 9. f() = + 5 f () = g() = 7 g () = Regra da divisão:. f g f f. g f. g g ( ) = g = = 78
Gabarito f g f g f g f g 0. f g ( ) ( + ) ( ) = ( 7) 7 5 = ( 7). 7 5. 7 5 = ( 7) = ( ) = 7 - b, ¹ 0. f () = ( sen + cos ). f () = ç æ sec cosec ö + çè ø. f () = +, ¹ 0. f () = (sen. sen. cos. sen. cos ), sen 0 sen 5. f () = cos e cotg 6. f () = (sec tg cosec cotg ) 7. f () = 6 8. f () = log, ¹ 0 9. f () = + 6 =, < 6-6- 0. f () =. dy = ( + 5)d 79
Métodos Quantitativos Matemáticos 80 æ ö. dy =- ç d çè ø. Δy =, dy =,0 Δy dy = 0,0. Δy = 0,0 dy = 0, Δy dy = 0,000 5. Δy = 0,000 dy = 0,0 Δy dy = 0,00000 6. Δy = (8 5) Δ + Δ dy = (8 5)d ou dy = (8 5) Δ Δy dy = Δ 7. f () () = sen 8. f (n) () = e 9. f () () = - 50. f () () = 8 5. f () () = ( ) 5. f (5) () = 0 5. f () () = (ln ) 5. y = 7 y = 7 6 y = 7. 6 5 y = 7. 6. 5
Gabarito y = 7. 6. 5. y = 7. 6. 5.. y = 7. 6. 5... y = 7. 6. 5....! c.q.d. (como queríamos demonstrar) 55. f () () = sen 56. f () () = 6sen 57. CMe = f(,5) =,75 representa um mínimo relativo, que é o mínimo absoluto. 58. Máimo = ; Mínimo = ; Infleão = 0 59. Máimo = ; Mínimo = ; Infleão = 8
Atividades de revisão Sistemas numéricos. É eemplo de número primo: a) b) 7 c) 0 d). A geratriz da dízima periódica 0,... é: a) 99 b) c) 9 00 d) 0,5 Operações com números reais. A epressão + + 5 + 5 8 é igual a: a) b) c) d) 87 0 87 80 0 87 00
Métodos Quantitativos Matemáticos. O resultado da equação a) b) 0 c) d) 7 + 0 = é:. Determine o valor da epressão a) 0 + y para = e y = y +. b) 0,5 c) 0,5 d) 0,75 Tópicos em teoria dos conjuntos e relações matemáticas. Sejam A, B conjuntos tais que n (A) = 5, n (B) = 5 e n (A B) = 5. Qual o número de elementos da união entre os conjuntos A e B? a) 5 b) 5 c) 0 d) 5. Seja o conjunto A o conjunto formado pelas letras da palavra MATE MÁTICA, quantos subconjuntos podem ser formados? a) 0 b) 6 c) 0 d) 6 8
Atividades de revisão Intervalos. Para que valores é verdadeira a desigualdade >? a) >. b) =. c) <. d).. Do estudo de sinal da função ƒ () = a) ƒ() < 0 para todo. b) ƒ() > 0 para e. c) ƒ() < 0 para < e. d) ƒ() < 0 para., pode-se concluir que: + Estudo de funções. Determine a equação da reta que passa pelos pontos (0,) e (, ). a) y =. b) y = +. c) y = +. d) y =.. Calcule os zeros da função ƒ () = + 5. a) e b) 0 e c) d) e e 85
Métodos Quantitativos Matemáticos. Descreva o domínio da função ƒ () = a) { = e }. + +. b) { < e }. c) { e }. d) { e = }. Limites. Calcule lim a) 9. b) 0 c) 6 d). Calcule lim a) b) 0 c) d). Calcule lim 0 a) 0 b) c) d). 8 sen(). sen () 86
Atividades de revisão Derivada de função. Determine a derivada de ƒ () = +, para = 0. a) 0 b) c) d). Determine a derivada da função ƒ () = +. a) + b) c) ( ) d) ( ). Determine os máimos e mínimos relativos da função ƒ () = + 00. a) 0 e b) 00 e 96 c) -00 e 96 d) e 87
Métodos Quantitativos Matemáticos Gabarito Sistemas numéricos. B Resolução: No conjunto dos Naturais, define-se como número primo aquele com módulo maior que e que possui apenas divisores: e ele mesmo. Dessa definição, concluímos: a) não é primo, pois é divisível por,,,, e. b) 7 é primo, pois é divisível apenas por e 7. c) 0 não é primo, pois seu módulo é menor que. d) não é primo, pois seu módulo não é maior que.. B Resolução: Tomemos: = 0,... Multiplicando ambos os membros por 0: 0 =,... Subtraindo as duas equações: 0 =,... 0,... 9 = = 9 Operações com números reais. A Resolução: O mínimo múltiplo comum dos denominadores é dado por: mmc (,,5,8) = 0 88
Atividades de revisão Assim: + + 5 + 5 8 =. 0 0 +. 0 0 + 5. 0 0 + 5 8. 0 0 = 60 0 +. 0 0 +. 0 + 5. 5 60 + 80 + 7 + 75 = = 87 0 0 0. D Resolução: Temos: + 0 = + 0 = ( 0 e ) Assim:. ( +0) =. ( ) 9 + 0 = 6 6 9 = 0 + 7 = Daí: = 7. D Resolução: Substituindo: () + +. = + + =. + 8 = 8 + 6 = 9 6 = = 0,75 Tópicos em teoria dos conjuntos e relações matemáticas. D Resolução: Temos: n (A B) = n (A) + n (B) n (A B) Assim: n (A B) = 5 + 5 5 = 5 89
Métodos Quantitativos Matemáticos. D Resolução: O conjunto A é dado por: A = {M, A, T, E, I, C} Sabemos que para um conjunto B de p elementos, o número de subconjuntos n(s B ) é dado por: n (S B ) = p Como A possui 6 elementos: n (S A ) = 6 = 6 Intervalos. A Resolução: Temos que: > > >. C Resolução: Temos que: + = ( )( + ) + Estudando os sinais de cada uma das partes: ( + ) Ou seja: ( ) Ou seja: ( + ) < 0 para < ( + ) > 0 para > ( + ) = 0 para = ( ) < 0 para < ( ) > 0 para > ( ) = 0 para = ( + ) Ou seja: ( + ) < 0 para > ( + ) > 0 para < Note que ƒ () não está definida em, sendo aberta nesse ponto. 90
Atividades de revisão Efetuando o produto intervalo a intervalo, resulta: ƒ () Assim: ƒ () < 0 para < e ƒ () > 0 para e < Estudo de funções. C Resolução: A equação de toda reta é dada por: y = a + b. Substituindo: = a. 0 + b = a. + b 0a + b = a + b = Da primeira linha do sistema, conclui-se: b =. Substituindo esse resultado na segunda linha: a + = a = a =. Assim a equação da reta pedida é: y = +.. C Resolução: Fórmula de Bhaskara: = b ± a, onde: = b ac Cálculo de Δ: Δ = 5. ( ) = 5 + = 9 Assim: =. C Resolução: 5 ± 9. = 5 ± 7 = Tomemos ƒ() = g() h() onde g() = + h() = + O domínio de ƒ() é o intervalo em que as funções g() e h() estão definidas simultaneamente (i.e. a interseção dos domínios de g() e h() ou ainda D(ƒ) = D(g) D(h). 9
Métodos Quantitativos Matemáticos O domínio de g() é tal que + 0. O domínio de h() é tal que + 0. O domínio de ƒ() será então: D(ƒ) = { e }. Limites. C Resolução: Como: 9 = ( )( + ) Temos: lim Assim: lim. A 9 9. = lim ( )( + ). = lim ( + ) = lim + lim = + = 6 Resolução: Como: Temos: lim 8 = 8/ e lim 8 = lim Assim: lim = 8 0 8 = 0 8/ = lim lim lim = 8. D Resolução: Como: lim 0 Temos: sen = lim 0 lim 0 sen() sen() sen() sen() = lim 0. sen() sen().. = sen(). sen(). = 9
Atividades de revisão Assim: lim 0 sen() sen() = lim 0 lim 0 sen() sen(). lim 0 =. = Derivada de função. C Resolução: Pela regra da cadeia: dy d = dy du. du d Tomando u = +, temos: dy du = d du ( u ) = d du (u ) = u = u E como: du d = d ( + ) = d Substituindo: dy d = dy du. du d = u. = u Assim: ƒ () = dy d =. ( +) Para = 0: ƒ (0) = dy d (0) =. (0 +) =. C Resolução: Temos que se ƒ() = g() então ƒ () = g (). h() g(). h (). h() [h()] Substituindo: ƒ () = = = ( ) ( ). B Resolução: (+). ( ) ( + ). ( ). =. ( ) (+). ( ) ( ) Sabe-se que os pontos máimos de uma função ocorrem nos pontos tais que ƒ () = 0. 9
Métodos Quantitativos Matemáticos Como: ƒ () = 6 Temos: ƒ () = 0 6 = 0 (-6) = 0 Assim: = 0 ou 6 = 0 = 0 Daí são os pontos de máimo e de mínimo. = Substituindo na função: ƒ (0) = 0. 0 + 00 = 00 ƒ () =. + 00 = 00 = 8. + 00 = 96 9