ESCUANDO O COEFICIENE DE RESIUIÇÃO E A ACELERAÇÃO GRAVIACIONAL DE UMA BOLA Carlos Eduardo Aguiar [carlos@if.ufrj.br] Fracisco Laudares [f_laudares@hotmail.com] Istituto de Física, Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro O coeficiete de restituição de uma bola que está quicado sobre uma superfície horizotal pode ser medido com surpreedete acurácia a partir do som produzido pelas colisões da bola com a superfície [1-4]. O procedimeto é simples: deixa-se a bola cair verticalmete sobre a superfície, de forma que ela salte livremete durate algum tempo, e grava-se o som gerado pelos impactos. A aálise da gravação permite medir o itervalo de tempo etre colisões sucessivas, e com isto calcular o coeficiete de restituição. Para eteder a relação etre o coeficiete de restituição ε e o tempo etre dois impactos, observe que se ε é costate (idepedete da velocidade), e a resistêcia do ar é pequea, a velocidade da bola logo após a -ésima colisão com a superfície será dada por v = v ε (1) ode v é a velocidade com que a bola atige a superfície pela primeira vez. O tempo de vôo etre as colisões e +1 é proporcioal a v, 2 = v, 1, 2, 3K (2) g = ode g é a aceleração gravitacioal. Combiado as Eqs. (1) e (2) obtemos = ε (3) ode 2v g. Aplicado o logaritmo aos dois lados da Eq. 3 ecotramos log = log ε + log (4) ou seja, o gráfico de log é uma liha reta cujo coeficiete agular é log ε, e cujo coeficiete liear é log. Assim, o coeficiete de restituição pode ser obtido ajustado-se uma liha reta às medidas do tempo de vôo. Diferetes implemetações deste procedimeto podem ser ecotradas as Refs. [1-4]. O objetivo desta ota é mostrar que o mesmo ajuste pode determiar uma outra gradeza física de iteresse: a aceleração gravitacioal g. Nossa observação, aliás bastate 1/ 2 simples, é que se a bola for abadoada de uma altura cohecida h, etão = ( 8h / g e ) Págia 1 de 5
8h g =. (5) Portato, assim como o coeficiete agular da Eq. (4) fixa o coeficiete de restituição, o coeficiete liear (dado por ) determia a aceleração da gravidade. Uma outra maeira de se medir g com esse tipo de experimeto pode ser ecotrada a Ref. [4]. Para verificar como isso fucioa a prática, ós deixamos cair uma boliha do tipo perereca sobre uma superfície lisa de pedra, e gravamos o som dos impactos. A gravação foi feita com um microfoe coectado à placa de som de um PC/Widows, usado o software que acompaha o sistema operacioal. A freqüêcia de amostragem foi de 225 Hz, o que dá uma resolução temporal de 45 µs. O arquivo de som foi armazeado o formato biário WAV, e covertido para o formato de texto ASCII com auxílio do programa (shareware) AWAVE AUDIO [5]. O sial gravado está mostrado a Fig. 1, ode os pulsos correspodetes aos impactos idividuais são facilmete idetificáveis. Utilizamos a resolução de 8 bits a gravação do sial, de modo que os dados correspodem a úmeros iteiros etre e 255. A ausêcia de sial correspode ao valor 128. 2 2 sial gravado 15 1 5 1 2 3 4 tempo (s) Figura 1. O som de uma boliha quicado em uma superfície horizotal. O ível sooro zero correspode ao valor 128 o eixo vertical. Nós obtivemos os itervalos de tempo etre as colisões e +1 por ispeção direta do arquivo ASCII cotedo o sial sooro. Os resultados estão mostrados a Fig. 2 (em escala logarítmica) como fução de. Usado o método de míimos quadrados ós ajustamos a Eq. (4) a esses potos, e ecotramos A reta ajustada também está mostrada a Fig. 2. ε =,9544 ±,2, =,84 ±,1 s. (6a) (6b) Págia 2 de 5
1..9.8.7 (s).6.5.4.3 2 4 6 8 1 12 Figura 2. empo de vôo etre os impactos e +1. A liha reta represeta o ajuste por míimos quadrados da Eq. (4) aos dados. A bola foi largada de uma altura h = 79,4 ±,1 cm acima da superfície de pedra. Substituido os valores de h e a Eq. (5) obtemos para a aceleração gravitacioal g = 982 ± 3 cm/s 2. Para comparação, o valor de g do Rio de Jaeiro é 978,8 cm/s 2. O método descrito acima só é aplicável se ε for costate a faixa de velocidades relevate para o experimeto. Que esta codição é satisfeita pode ser visto a Fig. 3, ode o coeficiete de restituição para um impacto com velocidade v, ε = v + 1 v = + 1, é mostrado como fução de (lembre que v, veja a Eq. (2)). Os coeficietes de restituição dos impactos idividuais são todos muitos próximos do valor obtido com o ajuste global por míimos quadrados (dado a Eq. (6a) e idicado pela liha tracejada a Fig. 3). 1. coeficiete de restituição.98.96.94.92.9.4.5.6.7.8.9 tempo de vôo (s) Figura 3. O coeficiete de restituição ε = v + 1 v como fução do tempo de vôo. A liha tracejada idica o valor dado a Eq. (6a). Págia 3 de 5
Um caso em que o coeficiete de restituição depede da velocidade é apresetado a Fig. 4, ode mostramos os tempos de vôo de uma bola que cai de h = 27,5 ±,1 cm sobre uma superfície de madeira. O valor de ε em cada colisão está mostrado a Fig. 5, e podemos otar claramete que o coeficiete de restituição depede do tempo de vôo (ou seja, da velocidade de impacto). Supodo uma relação liear etre ε e, como sugerido pela Fig. 5, obtemos ε = ε (1 + α ), (7).7.6.5.4 1 ε (1 + αi ) i= =. (8) (s).3.2.1 4 8 12 16 Figura 4. empo de vôo etre os impactos e +1. A liha represeta o ajuste da Eq. (8) aos dados. 1. coeficiete de restituição.98.96.94.92.9.2.3.4.5 tempo de vôo (s) Figura 5. O coeficiete de restituição ε = v + 1 v como fução do tempo de vôo, para os dados da Fig. 4. A liha tracejada represeta a Eq. (7), com os parâmetros dados a Eq. (9). Págia 4 de 5
O ajuste por míimos quadrados da Eq. (8) aos dados mostrados a Fig. 4 resultam em ε =,921 ±,1 α =,78 ±,3 s -1 =,4752 ±,5 s (9a) (9b) (9c) As curvas correspodetes a estes parâmetros também estão mostradas as Figs. 4 e 5. Com os valores de h e ecotramos g = 974 ± 5 cm/s 2, ovamete um resultado bem razoável. Foi essecial ter levado em cota a variação do coeficiete de restituição com a velocidade se cosiderarmos que ε é costate, obteremos g = 935 ± 1 cm/s 2. Em resumo, vimos que a aceleração gravitacioal pode ser facilmete medida em experimetos cocebidos para ouvir o coeficiete de restituição. A obteção de g é particularmete simples se o coeficiete de restituição for idepedete da velocidade, mas casos mais complicados também podem ser tratados. REFERÊNCIAS [1] A.D. Berstei, Listeig to the coefficiet of restitutio, America Joural of Physics 45, 41 (1977) [2] P.A. Smith, C. D. Specer, ad D.E. Joes, Microcomputer listes to the coefficiete of restitutio, America Joural of Physics 49, 136 (1981) [3] I. Stesgaard ad E. Lægsgaard, Listeig to the coefficiet of restitutio revisited, America Joural of Physics 69, 31 (21) [4] M.A. Cavalcate, E. Silva, R. Prado, e R. Haag, O estudo de colisões através do som, Revista Brasileira de Esio de Física 24, 15 (22) [5] AWAVE AUDIO (coversor de formatos de áudio), FMJ-Software, http:\\www.fmjsoft.com Págia 5 de 5