Matrial Tórico - Módulo Porcntagm - Part 1 Porcntagm Oitavo Ano Autor: Prof. Ulisss Lima Parnt Rvisor: Prof. Antonio Caminha M. Nto
1 Porcntagm Suponha qu, durant os anos d 2015 2016, as produçõs (m unidads d vículos) d duas fábricas d automóvis foram dadas d acordo com a tabla abaixo: Fábrica 2015 2016 A 2000 2200 B 3000 3210 Obsrv qu a quantidad d vículos produzidos pla fábrica A m 2016 tv um aumnto d 200 unidads m rlação a 2015, nquanto qu a fábrica B tv um aumnto d 210unidads no msmo príodo. É claroqu, m númros absolutos, o crscimnto da fábrica B foi maior do quodafábricaa.entrtanto,sconsidramosarazãontr o aumntoda produção m 2016 o númrod vículos produzidos m 2015, trmos: Not ainda qu Fábrica Razão A 200 2000 B 210 3000 200 2000 = 10 210 3000 = 7. As fraçõs 10, qu têm dnominador igual a, são chamadas fraçõs cntsimais, rprsntam, m cada caso, o crscimnto prcntual ou porcntual das produçõs d vículos nas fábricas A B, rspctivamnt. Altrnativamnt, podmos dizr qu tais fraçõs rprsntam, m cada caso, a porcntagm ou porcntagm do crscimnto das produçõs nas fábricas. Dss modo, podmos dizr qu, m trmos prcntuais, o crscimnto da produçãonafábricaafoi d10%(lê-sdz por cnto), na fábrica B foi d 7% (lê-s st por cnto). Esss númros fracionários nos prmitm afirmar qu, prcntualmnt, a produção d vículos crscu mais na fábrica A do qu na fábrica B. Uma outra forma d rprsntar um prcntual é através d um númro dcimal. No xmplo acima, tmos 7 Exmplo 1. Calcul: (a) 12% d 200. (b) 35% d 540. 10% = 10 = 0,10 = 0,1 7% = 7 = 0,07. (c) 18% d 750. (d) 45,5% d 5000. Solução. (a) 12% d 200 = 12 200 = 12 2 = 24. (b) 35% d 540 = 35 35 54 540 = 10 = 1890 10 = 189. (c) 18% d 750 = 18 18 75 750 = 10 = 1350 10 = 135. (d) 45,5% d 5000 = 45,5 5000 = 45,5 50 = 2275. Exmplo 2. O salário dos profsors das scolas públicas d Ensino Médio d um crto stado ra d R$2600,00 no ano d 2014 tv uma aumnto prcntual d 6% m janiro d 2015. Calcul o valor do salário dos profsors após o aumnto. Solução. Inicialmnt, dvmos calcular o aumnto, qu foi d 6% sobr o valor do salário d 2014, ou sja, 6% 2600. Então, o valor do aumnto foi d 6 2600 = 6 26 = 156 rais. Portanto, o salário após o aumnto passou a sr R$2600,00+R$156,00= R$2756,00. Exmplo 3. Um rsrvatório com capacidad para 17000 l d água stava compltamnt chio. Dvido a um vazamnto, l prdu 15% do volum inicial, até qu o problma do vazamnto foi rsolvido. Calcul o volum d água qu rstou no rsrvatório após a prda com o vazamnto. Solução. Primiramnt, calculamos o volum d água prdido com o vazamnto, qu corrspondu a 15% do total d 17000l, ou sja, a 15 17000= 15 170 = 2550 litros. Dss modo, o volum rstant após a prda com o vazamnto passou a sr d 17000l 2550l = 14450l. Exmplo 4. As lojas Prço Justo Compra Crta vndm uma msma biciclta, da marca Pdalar, por R$ 1250, 00. Durant um fim d smana, a biciclta stava m ofrta m ambas as lojas. Na loja Prço Justo, a biciclta stava sndo vndida por R$ 1, 00, nquanto a loja Compra Crta stava concdndo um dsconto d 11% m todos os sus produtos. Em qual das lojas o dsconto ofrtado foi maior? http://matmatica.obmp.org.br/ 1 matmatica@obmp.org.br
Solução. A loja Prço Justo stava concdndo um dsconto d R$1250,00 R$1,00= R$150,00. Por outro lado, a Compra Crta stava ofrcndo um dsconto d 11% sobr o valor d R$1250,00, ou sja, 11 1250 = 11 12,50 = 137,50. Portanto, o maior dsconto foi o ofrcido pla loja Prço Justo. Exmplo 5. Em crto país, o valor do Imposto d Rnda mnsal pago plos trabalhadors formais obdc às sguints rgras: (i) Qum rcb salário d até $1500,00 é isnto. (ii) A fatia do salário ntr $1500,00 $3500,00 é tributada m 15%. (iii) A fatia do salário qu xcd $3500,00 é tributada m 25%. Calcul o valor d Imposto d Rnda d uma pssoa qu rcb: (a) $ 1200, 00. (b) $ 2900, 00. (c) $ 5688, 00. Solução. (a) O trabalhador qu rcb $ 1200, 00 é obviamnt isnto d Imposto d Rnda. (b) S uma pssoa rcb $2900,00, a fatia qu vai até $1500,00 é isnta d imposto. Logo, ssa pssoa dv pagar imposto d 15% sobr a difrnça $2900,00 $1500,00= $1400,00, ou sja, 15 1400 = 15 14 = 210. Portanto, o imposto pago nst caso é d $210,00. (c) S o salário do trabalhador é $5688,00, l dv pagar 15% sobr a fatia acima d $1500,00 abaixo d $3500,00, mais 25% sobr a fatia acima d $3500,00 abaixo d $5688,00. Calculando sss valors, obtmos, rspctivamnt 15 2000 = 15 20 = 300 25 25 2188 2188 = = 54700 = 547. Portanto, o valor d Imposto d Rnda pago mnsalmnt por ss trabalhador é d $300,00+$547,00= $847,00. Exmplo 6. Todo mês, Frnando rsrva 30% da sua msada para o lanch na scola. Do rstant, l gasta 60% com a compra d gibis ainda lh rstam 84 rais. Qual o valor da msada do Frnando? Solução. Como não sabmos o valor da msada do Frnando, chamarmos ss valor d x. Plo qu foi dito no nunciado problma, Frnando rsrva 30% d x para as suas dspsas com o lanch na scola. Portanto, l fica com 70% d x para gastar com as dmais dspsas. Dss valor d 70% d x, l utiliza 60% para a compra d gibis. Logo, apósacomprados gibis, o prcntualda msadaqu lh rsta é 40% d 70% d x, o qu corrspond a 84 rais. Daí, tmos: 40 70 28x x = 84 = = 84 = 28x = 8400 = x = 300. Então, o valor da msada d Frnando é 300 rais. Exmplo 7. O prço do litro d gasolina m um dtrminado país ra $3,00 m 2015. Em janiro d 2016 ss prço sofru dois rajusts sucssivos d 10%. Qual o prço do litro d gasolina após os aumntos? Solução. Obsrv qu, após o primiro rajust, qu foi d 10%, o prço da gasolina passou a sr 3,00+ 10 3,00 = 3,00+0,30 = 3,30. Para o sgundo rajust, aplicamos o rajust d 10% m cima d $3,30, ou sja: 3,30+ 10 3,30 = 3,30+0,33 = 3,63. Portanto, dpois dos dois rajusts, o prço do litro d gasolina saltou para $3,63. Obsrvação 8. No xmplo 7, um modo comum (porém incorrto) d pnsar, é aplicar um rajust d 10%+10% = 20% sobr o valor d $3,00, o qu acarrtaria o prço d $3,60 para o litro d gasolina após os rajusts: 3,00+ 20 3,00 = 3,00+0,60 = 3,60. Exmplo 9. O salário do profssor João ra d 2500 rais, mas, dvido à cris conômica, sofru dois corts sucssivos d 10%, m janiro fvriro d 2016. Qual o salário d João após os corts? Solução. Aplicando o primiro cort d 10%, o salário passou a sr 2500 10 2500 = 2500 250 = 2250. http://matmatica.obmp.org.br/ 2 matmatica@obmp.org.br
Aplicando o sgundo cort, obtmos: 2250 10 2250 = 2250 225 = 2025. Portanto, após os corts, o salário do profssor João passou a sr d 2025 rais. Obsrvação 10. D modo análogo ao qu foi discutido na Obsrvação 8, também no Exmplo 9 é incorrto aplicar d uma vz o cort d 10%+10% = 20% sobr o salário inicial do profssor João. Ralmnt, isso daria um salário d 2500 20 2500 = 2500 500 = 2000 após os corts, qu é um valor incorrto. Assim: Rsumimos as obsrvaçõs 8 10 no quadro abaixo: A aplicação d porcntagns sucssivas a um crto total inicial não quival à aplicação da soma dssas porcntagns ao total inicial. Exmplo 11 (OBM - 2004). Na população d uma spéci rara d 0 avs da florsta amazônica, 98% tinham cauda d cor vrd. Após uma mistriosa pidmia qu só matou part das avs com cauda vrd, ssa porcntagm caiu para 95%. Quantas avs foram liminadas com a pidmia? Solução. Ants da pidmia, havia 98 0 = 980 avs com cauda vrd, portanto, 20 avs qu não possuíam a cauda vrd. Após a pidmia, qu só matou avs da cauda vrd, o prcntual dssas avs caiu para 95% do total. Daí, as 20 avs qu não possuíam a cauda vrd passaram a rprsntar 5% do total d avs. Logo, s dnotamos por x o total d avs sobrvivnts após a pidmia, obtmos: 5 5x x = 20 = = 20 = x = 400. Concluímos qu morrram 0 400 = 600 avs durant a pidmia. Exmplo 12 (OBM - 2005). Gabril rsolvu uma prova d Matmática com qustõs d Álgbra, Gomtria Lógica. Após chcar o rsultado da prova, Gabril obsrvou qu rspondu corrtamnt 50% das qustõs d Álgbra, 70% das qustõs d Gomtria 80% das qustõs d Lógica. Gabril obsrvou, também, qu rspondu corrtamnt 62% das qustõs d Álgbra ou Lógica 74% das qustõs d Gomtria ou Lógica. Qual a porcntagm d qustõs corrtas na prova d Gabril? Solução. Dnotmos por A, G L, rspctivamnt, a quantidad d qustõs d Álgbra, Gomtria Lógica da prova, por a, g l a quantidad d qustõs rspondidas d modo corrto por Gabril m cada uma dssas três áras. D acordo com o nunciado no problma, tmos: a = 50 A = a = 0,5A, g = 70 G = g = 0,7G l = 80 L = l = 0,8L. Ainda d acordo com o nunciado, tmos: a+l = 62 (A+L) = a+l = 0,62(A+L) g +l = 74 (G+L) = g +l = 0,74(G+L). Substituindoosvalorsda,globtidosnastrêsprimiras quaçõs, obtmos: 0,5A+0,8L = 0,62(A+L) = 0,12A = 0,18L = A = 0,18L 0,12 = 3L 2 0,7G+0,8L = 0,74(G+L) = 0,04G= 0,06L = G = 0,06L 0,04 = 3L 2. Daí, sgu qu a+g +l A+G+L = 0,5A+0,7G+0,8L A+G+L 0,5 3L = 2 +0,7 3L 2 +0,8L 3L 2 + 3L 2 +L = 0,75L+1,05L+0,8L 1,5L+1,5L+L = 2,6L 4L = 0,65 = 65. ComoA+G+Léototald qustõsnaprovaa+g+l é o total d qustõs rspondidas corrtamnt, concluímos qu o prcntual d qustõs rspondidas corrtamnt por Gabril foi d 65%. Exmplo 13(OBM-1999). Em um aquário há pixs amarlos vrmlhos. Sab-s qu 90% são amarlos 10% são vrmlhos. Uma mistriosa donça matou muitos pixs amarlos, mas nnhum vrmlho. Dpois qu a donça foi controlada, vrificou-s qu, no aquário, 75% dos pixs vivos ram amarlos. Aproximadamnt, qu porcntagm dos pixs amarlos morrram? http://matmatica.obmp.org.br/ 3 matmatica@obmp.org.br
(a) 15% (b) 37% (c) 50% (d) 67% () 84% Solução. S dnotamos por x a quantidad total d pixs no aquário ants das morts causadas pla donça mistriosa, por y a quantidad d pixs após as morts, tmos qu 0,1x ram pixs vrmlhos (o qu corrspond a 10% d x), ss msmo valor corrspond a 0,25y, pois não morrram pixs vrmlhos ficamos com 25% d pixs vrmlhos após a mortandad. Então: 0,1x = 0,25y = y x = 0,1 0,25 = 2 5. O prcntual d pixs amarlos qu sobrvivram é o quocint ntr 75% d y 90% d x, qu são as quantidads d pixs amarlos no aquário dpois ants das morts, rspctivamnt: 75y 90x = 75 90 y x = 75 90 2 5 = 0,33. Portanto, aproximadamnt 33% dos pixs amarlos sobrvivu à donça, dond concluímos qu aproximadamnt 67% dos pixs dss tipo morrram. Exmplo 14 (OBMEP - 2005). Em uma fsta, o númro d mulhrs ra quatro vzs o númro d homns. Após a chgada d cinco casais, a porcntagm d homns na fsta passou a sr 26%. (a) Qual ra o prcntual d homns na fsta ants da chgada dos casais? (b) Quantos homns quantas mulhrs havia na fsta dpois da chgada dos casais? Solução. (a) Dnotmos por m o númro d mulhrs por h o númro d homns ants da chgada dos cinco casais. Como o númro d mulhrs ra quatro vzs o númro dos homns, tmos m = 4h. Dst modo, a porcntagm d homns ants da chgada dos cinco casais ra h h+m = ou sja, ra igual a 20%. h h+4h = h 5h = 1 5 = 20, (b) Após a chgada dos 5 casais, o númro d homns passou a sr h+5 o d mulhrs passou a sr m+5. Portanto, o prcntual d homns na fsta passou a sr h+5 (h+5)+(m+5) = h+5 (h+5)+(4h+5) = h+5 5h+10. Como a porcntagm d homns na fsta passou a sr 26%, tmos: h+5 5h+10 = 26 = 13 = 50(h+5) = 13(5h+10) 50 = 50h+250 = 65h+130 = 15h = 120 = h = 8. Assim, ants da chgada dos cinco casais, stavam na fsta 8 homns 32 mulhrs, uma vz qu o númro d mulhrs ra 4 vzs o númro d homns. Portanto, dpois da chgada dos cinco casais, havia 8+5 = 13 homns 32+5 = 37 mulhrs na fsta. Exmplo 15. Calcul o ganho prcntual ral d um trabalhador qu tv um aumnto salarial d 35% dpois d um ano com inflação d 20%. Solução. Para fixar as idias, suponha qu o salário do trabalhador ra 5000 rais ants do aumnto, qu ss valor comprass 20 cstas básicas a um prço unitário d 250 rais. Aplicando a corrção d 35% ao salário 20% ao prço dacstabásica, concluímosquovalordo novosaláriosrá 5000+ 35 5000 = 5000+1750 = 6750, nquanto o novo prço da csta básica srá 250+ 20 250 = 250+50 = 300. Com os novos valors, o trabalhador pod comprar 6750 300 = 22,5 cstas básicas, ant as 20 qu l consguia comprar ants das corrçõs. Portanto, o ganho prcntual ral do trabalhador foi d ou sja, 12,5%. 22,5 20 20 = 2,5 20 = 0,125, Obsrv qu, no xmplo antrior, o ganho ral é mnor qu o valor sprado d 35% 20% = 15%, o qu é dvido ao fito inflacionário. Obsrv também qu o artifício d utilizar um valor arbitrário para a csta básica dcorr do fato d qu o ganho salarial ral é mdido m rlação ao aumnto do podr d compra do trabalhador. Assim, uma outra forma d rsolvr o xmplo antrior é obsrvar qu: http://matmatica.obmp.org.br/ 4 matmatica@obmp.org.br
(i) após o ganho nominal d 35%, o salário passou a sr d 6750 rais; (ii) o fito dos 20% d inflação ao longo do ano lvou um gasto mnsal d 5000 rais para um gasto mnsal d 5000+ 20 5000 = 6000 rais. Empalavras,oitm(ii) dizqu, aofinaldoano, osalário do trabalhador dvria sr d 6000 rais, a fim d qu su podr d compra foss o msmo daqul dos 5000 rais no início do ano. Portanto, o ganho prcntual ral do trabalhador pod sr calculado como o quocint 6750 6000 6000 = 1 8 = 12,5%. Dicas para o Profssor Rcomndamos qu sjam utilizadas três sssõs d 50min para aprsntar todo o contúdo dst matrial. Rcomndamos, ainda, qu sja dada uma atnção spcial aos problmas qu tratam d aumntos dscontos prcntuais sucssivos. Também é important xplicar com todo o cuidado os problmas qu aprsntam mais d uma idia m sua solução, ou sja, aquls qu não têm uma solução imdiata, a partir do concito d porcntagm. Em particular, rcomndamos qu sja rsrvado um tmpo maior para a xplicacão dos problmas 11, 12, 13 14. Sugstõs d Litura Complmntar 1. G. Izzi, S. Hazzan D. M. Dgnszajn. Os Fundamntos da Matmática Elmntar, Volum 11: Matmática Comrcial, Matmática Financira Estatística Dscritiva. São Paulo, Atual Editora, 2004. http://matmatica.obmp.org.br/ 5 matmatica@obmp.org.br