Resolução comentada de Estatística - ICMS/RJ Prova Amarela

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1 ICMS-RJ 007: prova d Estatística comntada Rsolução comntada d Estatística - ICMS/RJ Prova Amarla 9. Uma amostra d 00 srvidors d uma rpartição aprsntou média salarial d R$.700,00 com uma disprsão d R$ 40,00. Pod-s afirmar qu: (A) a média aritmética não é uma boa mdida para rprsntar a amostra m função do lvado valor do dsvio-padrão. (B) a mlhor mdida para rprsntar a amostra é a rmunração por unidad d dsvio-padrão. (C) o salário mdiano rprsntaria mlhor a amostra dvido ao alto nívl d htrognidad dos salários na amostra. (D) a amostra não é suficintmnt grand para analisarmos o valor ncontrado para a média dos salários. (E) a média aritmética pod prfitamnt rprsntar os salários da amostra plo fato d sta aprsntar uma disprsão rlativa infrior a 0%. Foram forncidos, no nunciado, os valors da média do dsvio padrão. Plas opçõs d rsposta, vmos qu a primira providência srá calcular o CV (Coficint d Variação), qu srá ncontrado dividindo-s o dsvio padrão pla média. Assim o fazndo, trmos: CV = 40/.700 = 0,476 qu é, aproximadamnt, 4,%. Tal CV (abaixo d 50%) indica qu a distribuição é homogêna a média é rprsntativa para a distribuição. Rlmbrando a part tórica, na página 37 do livro "Estatística Básica para Concursos" da Editora Frrira, tmos: "Considra-s qu um CV suprior a 50% indica alto grau d disprsão consqüntmnt pquna rprsntatividad da Média, nquanto para um CV infrior a 50% a Média srá tanto mais rprsntativa quanto mnor for o valor do CV, ou sja, quanto mnor for o CV mais homogêna srá considrada a séri quanto maior for o CV, mais htrogêna." Somnt com ss raciocínio já liminamos, imdiatamnt, as opçõs A, B C obsrvamos qu a opção da ltra E stá absolutamnt corrta. A ltra D stá rrada porqu o tamanho da amostra (n = 00) é suficintmnt grand (é maior do qu 30). Gabarito oficial - ltra E. 0. Considr as informaçõs contidas no Box Plot abaixo, rfrnt aos salários dos ngnhiros d uma mprsa, por sxo. É corrto afirmar qu: (A) o dsvio intrquartílico dos salários das mulhrs é maior do qu o dos homns. (B) a distribuição dos salários das mulhrs é assimétrica ngativa. (C) o salário médio dos homns é igual ao das mulhrs. (D) a distribuição dos salários dos homns é atípica. (E) o salário mdiano das mulhrs é suprior ao dos homns Pdro Bllo

2 ICMS-RJ 007: prova d Estatística comntada O assunto "Diagrama d Caixa (Box Plot) já foi bm xplorado na rsolução comntada da prova da Câmara dos Dputados, às páginas 3 4 do Toqu d Mstr 9, d também às páginas 67 a 70 do livro "Estatística-FCC". Mas vamos rlmbrar, para facilitar a prsnt xplicação. É aprsntado na qustão o dsnho squmático chamado Diagrama d Caixa (Box Plot), qu utiliza o "squma dos cinco númros" a sabr: Mínimo, º Quartil, Mdiana, 3º Quartil o Máximo da distribuição, ond os quartis são chamados d "juntas" da Caixa. A distância ntr as juntas (d j ) corrspond à amplitud intrquartílica (ou distância intrquartílica ou ainda dsvio intrquartílico) srá obtida através da difrnça ntr o 3º Quartil (Q 3 ) o º Quartil (Q ), ou sja: d j = Q 3 Q. Essa mdida, srv para a dtcção d Outilirs (valors atípicos) d uma distribuição. Srão considrados Outlirs os valors infriors a Q,5d j ou supriors a Q 3 +,5d j. Para auxiliar o ntndimnto vamos posicionar, no diagrama, as cinco mdidas citadas: MAX MAX Q 3 Q 3 Md Md Q Q MIN MIN Com o ntndimnto do "squma dos cinco númros", uma rápida visualização do diagrama é suficint para vrificar qu a altrnativa corrta d rsposta ncontra-s na opção da ltra A, pois a distância ntr os quartis na caixa do sxo fminino é bm maior do qu na caixa do sxo masculino. Vmos ainda qu a opção da ltra B stá rrada, pois s a mdiana (Md) stá mais próxima do º Quartil (Q ), a distribuição srá assimétrica positiva (vr xplicação no Toqu d Mstr 9 ou no livro FCC). Vmos também qu a ltra E também stá rrada porqu as mdianas srão iguais para ambos os sxos. Quanto às opçõs das ltras C D, nada podmos afirmar quanto ao valor da média ou quanto aos valors atípicos, pois não dispomos no diagrama d informaçõs prcisas dos valors ncssários aos cálculos. Gabarito oficial - ltra A.. Sjam A B dois vntos dfinidos m um spaço amostral S d modo qu P(A) = 0,70, P(B) = 0,0 P(A B) = 0,4. Então, pod-s dizr qu A B são vntos: (A) mutuamnt xclusivos. (B) complmntars. (C) indpndnts. (D) condicionais. (E) lmntars. Basta rlmbrar qu s A B form vntos indpndnts, ntão: P( A B) = P( A) P(B ). Ou sja, a probabilidad conjunta é igual ao produto das probabilidads individuais. Vmos qu 0,4 = 0,7 0, portanto a rsposta só pod sr a opção da ltra C. Além disso as duas primiras opçõs d rsposta podm sr facilmnt dscartadas, pois: s os vntos A B fossm mutuamnt xclusivos a intrsção P(A B) dvria sr igual a zro, o qu não ocorr; s A B fossm complmntars, sua soma, P(A) + P(B) dvria sr unitária, o qu também não ocorr. Gabarito oficial - ltra C Pdro Bllo

3 ICMS-RJ 007: prova d Estatística comntada 3. Um candidato s submt a uma prova contndo três qustõs d múltipla scolha prcisando acrtar plo mnos duas para sr aprovado. Cada qustão aprsnta cinco altrnativas, mas apnas uma é corrta. S o candidato não s prparou dcid rspondr a cada qustão ao acaso, a probabilidad d sr aprovado no concurso é igual a: (A) 0,04. (B) 0,040. (C) 0,096. (D) 0,008. (E) 0,00. Trata-s d uma Distribuição Binomial d parâmtros: n = 3 p = 0,0. A probabilidad d sucsso (p) é a probabilidad d acrtar uma qustão, ou sja: 5. Consqüntmnt, a probabilidad d fracasso (rrar a qustão) é q = 0,80, ou 5 4. Para facilitar os cálculos, vamos considrar p q na forma fracionária: p = 5 q = 5 4. O candidato prcisa d acrtar plo mnos duas qustõs para sr aprovado, ou sja, pod acrtar apnas duas ou as três qustõs do tst. Dsignando por X o númro d k sucssos, qurmos ncontrar: ) = = ) + = 3). n k k Lmbrando qu a fórmula para "k" sucssos é dada por p q n = k) = k, ntão trmos: 3 4 = ) = = 3) = Portanto: ) = + = = ) = 3 P (X = ) =. 5 5 = 3) = P (X = 3) =. 5 5 Para facilitar os cálculos, já qu as opçõs d rsposta stão na forma dcimal, multipliqu por 8 o 3 04 numrador o dnominador da fração, ncontr a fração = 0, Gabarito oficial - ltra A. 4. A tabla abaixo aprsnta a distribuição d.000 pssoas classificadas por Sxo (Masculino Fminino) Estado Civil (Soltiro, Casado Viúvo). Estado Civil M Sxo F Total Soltiro Casado Viúvo Total Uma pssoa é slcionada ao acaso. A probabilidad d qu la sja do sxo Fminino ou Viúva é igual a: (A) 0,6. (B) 0,. (C) 0,4. (D) 0,7. (E) 0, Pdro Bllo

4 ICMS-RJ 007: prova d Estatística comntada Vamos dsignar por F o vnto "a pssoa scolhida é do sxo Fminino" por V o vnto "a pssoa scolhida tm a Viuvz como stado civil". É pdida a probabilidad d qu la sja do sxo Fminino ou Viúva, P(F V), mas dvmos lmbrar qu sts vntos não são mutuamnt xclusivos pois a pssoa scolhida pod tr as duas condiçõs simultanamnt (sr mulhr viúva). Logo, dvmos subtrair a intrsção, ficando com: P(F V) = P(F) + P(V) P(F V). Consultando a tabla dada, trmos: P(F V) = Gabarito oficial - ltra E = = P (F V) = 0, Para a ralização do tst d hipótss Ho: μ = μo, contra H: μ > μo, dfinimos como ERRO DO TIPO I: (A) P(μ = μo μ > μo). (B) P(μ > μo μ = μo). (C) P(μ = μo μ > μo). (D) P(μ > μo μ = μo). (E) P(μ > μo μ < μo). Conform xplícito stá logo na primira página do Toqu d Mstr 4 d 09/08/006, os dois tipos d rro qu podm ocorrr num Tst d Hipótss são: ERRO DO TIPO I Rjitar a hipóts nula quando la é vrdadira ERRO DO TIPO II Acitar a hipóts nula quando la é falsa. Na opção A tmos um Erro do Tipo II, pois é a probabilidad condicional d considrar μ = μo dado qu μ > μo, ou sja, considrar crta a hipóts nula quando não é. Na opção B sim, tmos um Erro do Tipo I, pois é a probabilidad condicional d considrar μ > μo dado qu μ = μo, ou sja, considrar falsa a hipóts nula quando la é vrdadira. As dmais opçõs foram colocadas apnas para confundir a opção da ltra E podria sr facilmnt dscartada, pois traz uma dsigualdad abrta para as duas hipótss, quando na hipóts nula smpr dvrá havr uma igualdad ou uma dsigualdad fchada. Gabarito oficial - ltra B (NULA no gabarito dfinitivo). 6. A probabilidad d um candidato acrtar sta qustão d múltipla scolha, (Y = ), é função da proficiência m matmática, θ, do candidato pod sr calculada por mio d: P (Y + 0,θ = θ) = + + 0,θ sndo θ um númro ral qu rprsnta a mdida d proficiência m matmática do candidato. Pod-s, ntão, afirmar qu: (A) a cada acréscimo d uma unidad na mdida θ d proficiência matmática, a probabilidad d o candidato acrtar a qustão aumnta m 0%. (B) a probabilidad d acrtar a qustão (Y = ) é maior do qu a probabilidad d rrar a qustão (Y = 0), para todos os candidatos com θ > 0. (C) ssa função d probabilidad tm máximo m θ = 0. (D) a razão ntr a probabilidad d acrtar a d rrar a qustão é uma função linar m θ, xprssa por 0,5 + 0,θ. (E) candidatos com θ =,5 d proficiência têm probabilidad 0,5 d acrtar a qustão Pdro Bllo

5 ICMS-RJ 007: prova d Estatística comntada Obsrvando o modlo d função dado, vmos qu ssa função convrg para (qu srá o valor máximo da função o valor máximo d uma probabilidad) à mdida qu θ aumnta, ou sja, quando θ tnd a infinito. Portanto, a opção da ltra C pod sr logo dscartada, pois não srá quando θ for zro qu a função trá o valor máximo. Mas nm todas as opçõs são d rápida vrificação como sta. Ao invés d tstar cada uma dlas, o mais aconslhávl é procurar as mais fácis d srm tstadas, como é o caso da opção na ltra E. Substituindo θ por,5 trmos 0,,5 = 0,5 assim: + 0,5 P(Y = θ) = + 0,5 + Gabarito oficial - ltra E. 0 = 0 + = = + = 0,5. 7. Uma psquisa rcnt foi ralizada para avaliar o prcntual da população favorávl à lição d um dtrminado ponto turístico para constar no slo commorativo d anivrsário da cidad. Para isso, slcionou-s uma amostra alatória simpls xtraída d uma população infinita. O rsultado apurou 50% d intnção d votos para ss ponto turístico. Considrando qu a margm d rro foi d pontos prcntuais, para mais ou para mnos, qu o nívl d confiança utilizado foi d 95%, foram ouvidas, aproximadamnt: (A) 50 pssoas. (B) 00 pssoas. (C).00 pssoas. (D).400 pssoas. (E) pssoas. Para o cálculo do tamanho mínimo da amostra m função do rro máximo arbitrado farmos: Z / n p' q' α =, ond: ε p' é a proporção favorávl na amostra; q' é a proporção dsfavorávl na amostra; ε é o rro máximo arbitrado (no caso ε = 0,0); Z α é a abscissa da tabla normal padronizada. Para um nívl d confiança d 95% a abscissa corrspondnt a 5% d significância (áras d 0,05 à squrda à dirita da curva normal padrão vr tabla) srá d,96. p' (proporção favorávl na amostra) foi dada no nunciado, srá 0,5 (ou / na forma fracionária), portanto q' também srá o msmo valor, pois p' q' são complmntars (soma igual a ).,96 Substituindo na fórmula, trmos: n =. 0,0 Dntro do parêntsis tmos fração trmos 96 = 98.,96, mas 0,0 quival a 0, Portanto: n = ( 98) = n =.40 ou, aproximadamnt,.400 pssoas. 4 4 Gabarito oficial - ltra D., multiplicando,96 plo invrso dssa GABARITOS: 9. E 0. A. C 3. A 4. E 5. B 6. E 7. D Pdro Bllo

6 ICMS-RJ 007: prova d Estatística comntada Pdro Bllo