Tarefa de revisão nº 17 1. Uma empresa lançou um produo no mercado. Esudos efecuados permiiram concluir que a evolução do preço se aproxima do seguine modelo maemáico: 7 se 0 1 p() =, p em euros e em anos. 9 se > 1 1.1. Qual foi o preço de lançameno do produo? 1.. Qual a axa média de variação do preço nos primeiros cinco anos? Inerprea o resulado no conexo do problema. 1.. Qual a axa de variação do preço no início do º ano? Inerprea o resulado no conexo do problema. 1.4. Durane quano empo o preço do produo é inferior a 8? 1.5. Descreva, jusificando, a evolução do preço do produo ao longo do empo. Na figura esá represenado o círculo rigonomérico. Tal como a figura sugere, O é a origem do referencial, Q perence à circunferência, P é o pono de coordenadas ( 1, 0 ) e R é o pono de coordenadas ( 1, 0 ). A ampliude, em radianos, do ângulo POQ é 5 π 8 Qual é o valor, arredondado às cenésimas, da área do riângulo [OQR]? (A) 0,9 (B) 0,4 (C) 0,46 (D) 0,49. Com o objecivo de esudar as leis do aquecimeno e do arrefecimeno, realizou-se, num laboraório de Física, a seguine experiência: aqueceu-se ao lume uma cera quanidade de água durane, cinco minuos; passado esse empo, apagou-se o lume e deixou-se a água a arrefecer. A emperaura da água foi sendo medida ao longo de oda a experiência. Admie que: nesse laboraório, a emperaura ambiene é consane; a emperaura da água, no insane em que começou a ser aquecida, era igual à emperaura ambiene; depois de se er apagado o lume, a emperaura da água ende, com o passar do empo, a igualar a emperaura ambiene. Professora: Rosa Canelas 1 007 008
Em resulado da experiência, concluiu-se que a relação enre a emperaura da água e o empo, conado em minuos, a parir do insane em que se colocou a água ao lume, é modelada por uma e uma só das quaro funções, a, b, c e d, definidas a seguir: 1( + ) se 0 5 a () = 1 + 50 8( + ) se 0 5 b () = 4 + 50 5 se 0 5 8( + ) se 0 5 c () = 5 50 d () = 4 + 00 Qual das quaro funções é a correca? Numa pequena composição, explique porque não pode ser nenhuma das ouras rês, indicando, para cada uma delas, uma razão pela qual a rejeias, explicando a sua inadequação, face à siuação descria. 4. A figura represena um paralelepípedo recângulo [OPQRSTUV] num referencial o. n. Oxyz. Os ponos P, R e V perencem aos semieixos posiivos Ox, Oy e Oz, respecivamene. 14 O pono B em coordenadas 4,, 0 e D em coordenadas ( 1, 6, ). O quadriláero [ABCD] é a secção produzida no paralelepípedo pelo plano ABC. x, yz, =,8, + k,,0, k IR. A reca AD é definida pela equação vecorial ( ) ( ) ( ) S P x V O z A B T Q C D U R y 4.1. Deermina as coordenadas do pono A. 4.. Escreve as equações caresianas da reca BC. 4.. Deermina uma equação do plano ABC. 5. Um compuador regisa a disância de uma sonda em relação a um pono durane rês minuos. A parir dos regisos obidos foi consruído o seguine modelo maemáico: D() = + 5 7+ 4 em que ( ) D é expresso em milímeros e em minuos. Durane o inervalo de empo de observação, deermina, por processos exclusivamene analíicos, os insanes em que a sonda eseve mais próxima e mais afasada do pono de referência. Professora: Rosa Canelas 007 008
Tarefa de revisão nº 17 Proposa de resolução 1. Uma empresa lançou um produo no mercado. Esudos efecuados permiiram concluir que a evolução do preço se aproxima do seguine modelo maemáico: 7 se 0 1 p() = 9 se > 1, p em euros e em anos. 1.1. O preço de lançameno do produo é p0 ( ) = 7 1.. A axa média de variação do preço nos primeiros cinco anos é dada por: 8 p( 5) p( 0) 9 7 5 5 8 = = = = 0, / ano. O resulado no conexo do problema 5 5 5 5 significa que a axa média de aumeno nos primeiros 5 anos foi de 0, por ano. 1.. A axa de variação do preço no início do º ano é dada por p' ( ), derivada de p no pono de abcissa. Comecemos por calcular p' () =, > 1 e em seguida calculemos p' ( ) = 0,. No conexo do problema o aumeno de vencimeno no início do ºano 9 era feio à axa de 0, por ano. 1.4. Para sabermos durane quano empo o preço do produo é inferior a 8 vamos resolver a 9 8 inequação: p() < 8 0 1 9 < 8 > 1 0 1 < 0 > 1 0 1 < 0 > 1 <. Concluímos enão que nos dois primeiros anos o preço é inferior a 8. Podíamos er resolvido a inequação graficamene: 1.5. Como se verifica que no 1º ano o preço se maném em 7 e que quando > 1 a derivada é sempre posiiva por ser p' () =, > 1, o preço vai aumenar ao longo do empo aproximando-se de 9 por ser y = 9 a assímpoa horizonal do gráfico. Professora: Rosa Canelas 007 008
. (C) Na figura esá represenado o círculo rigonomérico. Tal como a figura sugere, O é a origem do referencial, Q perence à circunferência, P é o pono de coordenadas ( 1, 0 ) e R é o pono de coordenadas ( 1, 0 ). A ampliude, em radianos, do ângulo POQ é 5 π 8 O valor, arredondado às cenésimas, da área do riângulo [OQR] é 5π 1 sen 8 A = A 0,46. Com o objecivo de esudar as leis do aquecimeno e do arrefecimeno, realizou-se, num laboraório de Física, a seguine experiência: aqueceu-se ao lume uma cera quanidade de água durane, cinco minuos; passado esse empo, apagou-se o lume e deixou-se a água a arrefecer. A emperaura da água foi sendo medida ao longo de oda a experiência. Admie que: nesse laboraório, a emperaura ambiene é consane; a emperaura da água, no insane em que começou a ser aquecida, era igual à emperaura ambiene; depois de se er apagado o lume, a emperaura da água ende, com o passar do empo, a igualar a emperaura ambiene. Em resulado da experiência, concluiu-se que a relação enre a emperaura da água e o empo, conado em minuos, a parir do insane em que se colocou a água ao lume, é modelada por uma e uma só das quaro funções, a, b, c e d, definidas a seguir: 1( + ) se 0 5 a () = 1 + 50 8( + ) se 0 5 b () = 4 + 50 5 se 0 5 8( + ) se 0 5 c () = 5 50 d () = 4 + 00 Comecemos por calcular o valor para = 0 e o limie quando ende para + Professora: Rosa Canelas 4 007 008
a0 ( ) = 6 e ( ) lim a 1 + b0 ( ) = 4e ( ) + = ; b( 0) = 4 e lim b( ) = 4 ; c( 0) = 5 e () + lim c = 5 e + lim b = 4 pelo que vamos já excluir a função a pois raduz uma siuação em que a emperaura da água, no insane em que começou a ser aquecida, não era igual à emperaura ambiene; Em seguida vamos ver quais das funções resanes são conínuas: 4 5 + 50 lim b( ) = 64 ; lim b() = = 74 a função b é excluída por a emperaura da + 5 5 5 água quando começa a arrefecer ser superior à que em quando se apaga o lume o que é manifesamene impossível. 5 5 50 lim c ( ) = 15 ; lim c () = = 15 e c( 5) = 15, mas esa função ambém não raduz + 5 5 5 a siuação porque ela começa por decrescer o que não pode aconecer com a emperaura quando se esá a aquecer a água. Assim a função c será ambém excluída. Finalmene concluímos que a função que raduz a siuação é a função d. A função a não raduz a siuação pois raduz que a emperaura da água, no insane em que começou a ser aquecida, não era igual à emperaura ambiene; A função b não raduz a siuação por a emperaura da água quando começa a arrefecer ser superior à que em quando se apaga o lume o que é manifesamene impossível. A função c não raduz a siuação porque ela começa por decrescer o que não pode aconecer com a emperaura quando se esá a aquecer a água. 4. A figura represena um paralelepípedo recângulo [OPQRSTUV] num referencial o. n. Oxyz. Os ponos P, R e V perencem aos semieixos posiivos Ox, Oy e Oz, respecivamene. 14 O pono B em coordenadas 4,, 0 e D em coordenadas ( 1, 6, ). O quadriláero [ABCD] é a secção produzida no paralelepípedo pelo plano ABC. x, yz, =,8, + k,,0, k IR. A reca AD é definida pela equação vecorial ( ) ( ) ( ) S P x V O z A B T Q C D U R y 4.1. As coordenadas do pono A são A ( 4,y, ) e como A perence à reca AD podemos Professora: Rosa Canelas 5 007 008
4 = + k k = 4,y, =,8, + k,,0,k y = 8 k. As y = 4 = calcular a ordenada. ( ) ( ) ( ) coordenadas do pono A são enão A ( 4, 4, ) 4.. A reca BC é paralela à reca AD pelo que em a direcção do vecor de coordenadas (,,0 ) e passa em B enão as equações caresianas são: 14 y x 4 = z = 0 4.. Para deermina uma equação do plano ABC vamos considerar: AB = 0,, ; r = (,,0), vecor direcor da reca AD e n( x,y,z) ais que: AB n e r n. 1 0,, z y ( x, y,z) 0 = y z 0 6z y = = = x y (,,0 ) ( x, y,z ) 0 x y 0 = = = x = y Fazendo y = eremos n= (,,1) e uma equação do plano erá a forma x + y + z = D Subsiuindo as variáveis pelas coordenadas de D ou de B ficará: 1+ 6+ 1 = D D= pelo que uma equação do plano ABC será x + y + z = 5. Um compuador regisa a disância de uma sonda em relação a um pono durane rês minuos. A parir dos regisos obidos foi consruído o seguine modelo maemáico: D() = + 5 7+ 4 em que ( ) D é expresso em milímeros e em minuos. Durane o inervalo de empo de observação, deerminemos, por processos exclusivamene analíicos, os insanes em que a sonda eseve mais próxima e mais afasada do pono de referência. Preendemos enconrar os valores, máximo e mínimo, da disância. Comecemos por calcular () D' = + 10 7 e esudemos agora o sinal da derivada para esudarmos a monoonia da função: 10 ± 100 84 10 ± 4 7 + 10 7 = 0 = = = 1 = 6 6 Professora: Rosa Canelas 6 007 008
0 1 7 D' - 0 + 0 - D 4 M 1 m,(185) M 1 m A sonda eseve mais afasada do pono no insane inicial e ao fim de minuos e 1 e eseve mais próxima ao fim de 1 minuo e ao fim dos minuos. Professora: Rosa Canelas 7 007 008