Distribuição das.08 Questões do I T A 9 (8,97%) 0 (9,9%) 69 (6,58%) Equações Irracionais 09 (0,86%) Equações Exponenciais (, 0 (9,6%) Geo. Analítica Conjuntos (,96%) Geo. Espacial Funções Binômio de Newton (,00 Geo. Plana Análise Combinatória 6 ( (,0%) 6 (,%) Inequações Logaritmos Álgebra 7 (,6%) Trigonometria Matrizes 77 (7,5%) N o Complexos Polinômios Progressões Sistemas 5 (0,97%) 9 (,7%) 78 (7,%) 6 (6,0%) 0 (9,8%) Probabilidade 0 (0,95%)
Questões de vestibulares - ITA - Geometria Plana 0)(IT Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados do quadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero RS T U vale: cm 5,5 cm 8,5 cm D) cm E) cm valores dados iguais às medidas de, 5, 6 e 7, respectivamente. 0)(IT Dadas as afirmações I Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares; II Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares; III Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então este paralelogramo é um losango. Podemos concluir que: Todas são verdadeiras. Apenas I e II são verdadeiras. Apenas II e III são verdadeiras. D) Apenas II é verdadeira. E) Apenas III é verdadeira. 0)(IT Numa circunferência de centro 0, os pontos A, B e C são vértices de um triângulo equilátero. Seja D um quarto ponto da circunferência, não coincidente com os demais. Sobre a medida x do ângulo A ˆDC podemos afirmar que: 0 < x < 0 ou 60 < x < 0 x = 60 ou x = 0 x = 5 ou x = 50 D) x = 0 para qualquer posição de D na circunferência. E) x = 0 para qualquer posição de D na circunferência. 0)(IT Num triângulo ABC, BC = cm o ângulo C mede 0 e a projeção do lado AB sobre BC mede,5 cm. O comprimento da mediana que sai do vértice A mede: cm cm 0,9 cm D) cm E) cm 05)(IT Considere um triângulo isósceles inscrito em uma circunferência. Se a base e a altura deste triângulo medem 8 cm, então o raio desta circunferência mede: cm cm 5 cm D) 6 cm E) cm 97, 78, 6, 6 0, 79, 58, 9, 79, 6, 0 D) 97, 79, 6, 7 E) 97, 80, 6, 9 07)(IT MN + MP = BM MN + MP = CM MN + MP = AB D) MN + MP = AD E) MN + MP = AC Considere o triângulo ABC, onde AD é a mediana relativa ao lado BC. Por um ponto arbitrário M do segmento BD, tracemos o segmento MP paralelo a AD, onde P é o ponto de intersecção desta paralela com o prolongamento do lado AC (figura). Se N é o ponto de intersecção de AB com MP, podemos afirmar que: 08)(IT Suponhamos que p e q são os catetos de um triângulo retângulo e h a altura relativa à hipotenusa do mesmo, nestas condições,podemos afirmar que a equação: 06)(IT Na figura abaixo O é o centro de uma circunferência. Sabendo-se que a reta que passa por E e F é tangente a esta circunferência e que a medida dos ângulos, e é dada, respectivamente por 9, 8,, determinar a medida dos ângulos, 5, 6 e 7. Nas alternativas abaixo considere os não admite raízes reais. p x h x + q = 0 (R é o conjunto dos números reais)
Questões de vestibulares - ITA - Geometria Plana admite uma raiz da forma m, onde m R m > 0. admite sempre raízes reais. D) admite uma raiz da forma m, onde m R m > 0. E) n. r. a. 09)(IT Num triângulo ABC, retângulo em Â, temos ˆB = 60. As bissetrizes destes ângulos se encontram num ponto D. Se o segmento de reta BD mede cm, então a hipotenusa mede: + cm + cm + cm D) + cm E) n. r. a. 0)(IT O número de diagonais de um polígono regular de n lados, que não passam pelo centro da circunferência circunscrita a este polígono, é dado por: n(n ) n(n ) n(n ) D) n(n 5) E) n. r. a. )(IT A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é 60. Então o número de diagonais deste polígono, que não passam pelo centro da circunferência que o circunscreve, é: 50 60 70 D) 80 E) 90 5)(IT Se num quadrilátero convexo de área S, o ângulo agudo entre as diagonais mede π 6 radianos, então o produto do comprimento destas diagonais é igual a: S S S D) S E) 5S 6)(IT A razão entre as áreas de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência e de um hexágono regular, cujo apótema mede 0 cm, circunscrito a esta mesma circunferência é: D) 8 E) n. r.a 7)(IT Considere as circunferências inscrita e circunscrita a um triângulo equilátero de lado l. A área da coroa circular formada por estas circunferências é dada por: π 6 l π l π l D) π l E) π l 8)(IT Se o perímetro de um triângulo inscrito num círculo medir 0x cm e a soma dos senos de seus ângulos internos for igual a x, então a área do círculo, em cm, será igual a: 50 π 75 π 00 π D) 5 π E) 50 π )(IT Considere uma circunferência de centro em O e diâmetro AB. Tome um segmento BC tangente à circunferência, de modo que o ângulo BĈA meça 0. Seja D o ponto de encontro da circunferência com o segmento AC e DE o segmento paralelo a AB, com extremidades sobre a circunferência. A medida do segmento DE será igual: à metade da medida de AB. um terço da medida de AB. à metade da medida de DC. D) dois terços da medida de AB. E) à metade da medida de AE. )(IT Consideremos um triângulo retângulo que simultaneamente está circunscrito à circunferência C e inscrito à circunferência C. Sabendo-se que a soma dos comprimentos dos catetos do triângulo é k cm, qual será a soma dos comprimentos destas duas circunferências? πk cm πk cm πk cm D) πk cm E) πk cm )(IT Os lados de dois octógonos regulares têm, respectivamente, 5 cm e cm. O comprimento do lado de um terceiro octógono regular, de área igual à soma das áreas dos outros dois é: 7 cm 5 cm cm D) cm E) n. r. a. 9)(IT Seja ABC um triângulo isósceles de base BC. Sobre o lado AC desse triângulo desse triângulo considere um ponto D tal que os segmentos AD, BD e BC sejam todos congruentes entre si. A medida do ângulo BÂC é igual a: 6 D) 0 E) 5 0)(IT Num losango ABCD, a soma das medidas dos ângulos obtusos é o triplo da soma das medidas dos ângulos agudos. Se a sua diagonal menor mede d cm, então sua aresta medirá: d + d d + D) d E) d )(IT Seja ABC um triângulo isósceles de base BC. Sobre o lado AC desse triângulo considere um ponto D tal que os segmentos AD, BD e BC sejam todos congruentes entre si. A medida do ângulo BÂC é igual a: 6 D) 0 E) 5 )(IT Considere as afirmações sobre polígonos convexos: I) Existe apenas um polígono cujo número de diagonais coincide com o número de lados. II) Não existe polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo do número de lados. III) Se a razão entre o número de diagonais e o de lados de um polígono é um número natural, então o número de lados do polígono é ímpar.
Questões de vestibulares - ITA - Geometria Plana Então: Todas as afirmações são verdadeiras. Apenas (I) e (III) são verdadeiras. Apenas (I) é verdadeira. D) Apenas (III) é verdadeira. E) Apenas (II) e (III) são verdadeiras. comprimento do menor lado do trapézio, então a soma a + r (em cm) é igual a: 0 D) 9 E) 8 8)(IT O triângulo ABC, inscrito numa circunferência, tem um lado medindo 0 π cm cujo ângulo oposto é de 5. O comprimento da circunferência, em cm, é: 0 ( + ). 00( + ). 80( + ). D) 0( + 5). E) 0( + ). )(IT Um poliedro convexo de 6 arestas é formado por faces triangulares e quadrangulares. Seccionando-o por um plano convenientemente escolhido, dele se destaca um novo poliedro convexo, que possui apenas faces quadrangulares. Este novo poliedro possui um vértice a menos que o original e uma face a mais que o número de faces quadrangulares do original. Sendo m e n, respectivamente, o número de faces e o número de vértices do poliedro original, então: m = 9, n = 7. m = n = 9. m = 8, n = 0. D) m = 0, n = 8. E) m = 7, n = 9. )(IT Um triângulo tem lados medindo, e 5 centímetros. A partir dele, constrói-se uma sequência de triângulos do seguinte modo: os pontos médios dos lados de um triângulo são os vértices do seguinte. Dentre as alternativas abaixo, o valor em centímetros quadrados que está mais próximo da soma das áreas dos 78 primeiros triângulos assim construídos, incluindo o triângulo inicial, é: 8 9 0 D) E) 5)(IT O raio da base de um cone circular reto e igual a média aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume do cone é 8 πm, temos que o raio da base e a altura do cone medem, respectivamente, em metros: 9 e 8 8 e 6 8 e 7 D) 9 e 6 E) 0 e 8 6)(IT De dois polígonos convexos, um tem a mais que o outro 6 lados e 9 diagonais. Então, a soma total dos números de vértices e de diagonais dos dois polígonos é igual a: 6 65 66 D) 70 E) 77 7)(IT Num trapézio retângulo circunscritível, a soma dos dois lados paralelos é igual a 8 cm e a diferença dos dois outros lados é igual a cm. Se r é o raio da circunferência inscrita e a é o 9)(IT A área do polígono, situado no primeiro quadrante, que é delimitado pelos eixos coordenados e pelo conjunto: é igual a: 6 5 {(x, y) R : x + y + 5xy 9x 8y + 6 = 0 }, D) E) 0 0)(IT Considere três polígonos regulares tais que os números que expressam a quantidade de lados de cada um constituam uma progressão aritmética. Sabe-se que o produto destes três números é igual a 585 e que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 780. O número total das diagonais nestes três polígonos é igual a: 6 69 90 D) 97 E) 06 )(IT Duas circunferências concêntricas C e C têm raios de 6 cm e 6 cm respectivamente. Seja AB uma corda de C, tangente à C. A área da menor região delimitada pela corda AB e pelo arco AB mede, em cm : 9(π ) 8(π + ) 8(π ) D) 8(π + ) E) 6(π + ) )(IT Considere um triângulo isósceles ABC, retângulo em A. Seja D a intersecção da bissetriz do ângulo  com o lado BC e E um ponto da reta suporte do cateto AC de tal modo que os segmentos de reta BE e AD sejam paralelos. Sabendo que AD mede cm, então a área do círculo inscrito no triângulo EBC é: π( ) cm. π( ) cm. π( ) cm. D) π( ) cm. E) π( ) cm. )(IT Um cone circular reto com altura de 8 cm e raio da base de cm está inscrito numa esfera que, por sua vez, está inscrita num cilindro. A razão entre as áreas das superfícies totais do cilindro e do cone é igual a: ( ) 9 ( ) 9 ( 6 ) D) 7 8 ( ) E) 7 6 ( )
Questões de vestibulares - ITA - Geometria Plana )(IT Num triângulo acutângulo ABC, o lado oposto ao ângulo  mede 5 cm. Sabendo que  = arccos 5 e Ĉ = arcsen 5, então a área do triângulo ABC é igual a: 5 cm cm 5 cm D) 5 cm E) 5 cm 5)(IT Considere a circunferência inscrita num triângulo isósceles com base de 6 cm e altura de cm. Seja t a reta tangente a esta circunferência e paralela à base do triângulo. O segmento de t compreendido entre os lados do triângulo mede:, 0 cm, 5 cm, 0 cm D), 5 cm E), 0 cm 6)(IT Considere o triângulo de vértices A, B e C, sendo D um ponto do lado AB e E um ponto do lado AC. Se m(a = 8 cm, m(a = 0 cm, m(ad) = cm e m(ae) = 6 cm, a razão das áreas dos triângulos ADE e ABC é: 5 8 D) 0 E) E) < n < 5. )(IT Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC =, GD = e AG = 6, então GF vale: D) E) 5 )(IT Numa circunferência C de raio r = cm está inscrito um hexágono regular H ; em H está inscrita uma circunferência C ; em C está inscrito um hexágono regular H e, assim, sucessivamente. Se A n (em cm ) é a área do hexágono H n, então A n (em cm ) é igual a: n= 5 5 6( + 7 ) D) E) 0( + ) 7)(IT A circunferência inscrita num triângulo equilátero com lados de 6 cm de comprimento é a interseção de uma esfera de raio igual a cm com o plano do triângulo. Então, a distância do centro da esfera aos vértices do triângulo é (em cm): 6 5 D) E) 5 8)(IT Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 700. O número de vértices deste prisma é igual a: 0 D) 0 E) 9)(IT Seja n o número de lados de um polígono convexo. Se a soma de n ângulos (internos) do polígono é 00, determine o número n de lados do polígono. )(IT Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cuja diagonal menor mede cm. As faces laterais desta pirâmide formam diedros de 60 com o plano da base. A área total da pirâmide, em cm, é: 8 8 8 D) 7 E) 7 )(IT As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão metros. Calcule a área total deste cone em m. 5)(IT Considere um losango ABCD cujo perímetro mede 00 cm e cuja maior diagonal mede 0 cm. Calcule a área, em cm, do círculo inscrito neste losango. 0)(IT Seja P n um polígono regular de n lados, com n >. Denote por a n o apótema e por o comprimento de um lado de P n. O valor de n para o qual valem as desigualdades b n 6)(IT Um dos catetos de um triângulo retângulo mede cm. O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno da hipotenusa é π cm. Determine os ângulos deste triângulo. pertence ao intervalo: < n < 7. 6 < n < 9. 8 < n <. D) 0 < n <. b n a n e b n > a n, 7)(IT Sejam P e P octógonos regulares. O primeiro está inscrito e o segundo circunscrito a uma circunferência de raio R. Sendo A a área de P e A a área de P, então a razão A A é igual a: 5 9 ( ) D) ( + ) E) ( + ) 8 6 8 8)(IT Seja C uma circunferência de raio R inscrita num triângulo equilátero de altura h. Seja C uma segunda circunferência, de raio R, que tangencia dois lados do triângulo internamente
Questões de vestibulares - ITA - Geometria Plana 5 e C externamente. Calcule (R R ) h. 9)(IT Um diedro mede 0. A distância da aresta do diedro ao centro de uma esfera de volume π cm que tangencia as faces do diedro é, em cm, igual a: D) E) 50)(IT Considere o quadrado ABCD com lados de 0 m de comprimento. Seja M um ponto sobre o lado AB e N um ponto sobre o lado AD, equidistantes de A. Por M traça-se uma reta r paralela ao lado AD e por N uma reta s paralela ao lado AB, que se interceptam no ponto O. Considere os quadrados AMON e OPCQ, onde P é a intersecção de s com o lado BC e Q é a intersecção de r com o lado DC. Sabendo-se que as áreas dos quadrados AMON, OPCQ e ABCD constituem, nesta ordem, uma progressão geométrica, então a distância entre os pontos A e M é igual, em metros, a: 5 + 5 5 0 + 5 5 0 5 5 D) 5 5 5 E) 0 5 5)(IT Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, BÂC, mede 0. Sobre o lado AB, tome o ponto E tal que AĈE = 5. Sobre o lado AC, tome o ponto D tal que D ˆBC = 5. Então, o ângulo E ˆDB vale: 5 5 55 D) 75 E) 85 5)(IT Sejam r e s duas retas paralelas distando 0 cm entre si. Seja P um ponto no plano definido por r e s e exterior à região limitada por estas retas, distando 5 cm de r. As respectivas medidas da área e do perímetro, em cm e cm, do triângulo equilátero PQR cujos vértices Q e R estão, respectivamente, sobre as retas r e s, são iguais a: 75 e 5 75 e 0 75 e 0 D) 75 e 5 E) 700 e 0 5)(IT Um triângulo acutângulo de vértices A, B e C está inscrito numa circunferência de raio 5. Sabe-se que AB mede 5 e BC mede. Determine a área do triângulo ABC. 5)(IT Considere o triângulo ABC de lados a = BC b = AC e c = AB e ângulos internos α = CÂB, β = A ˆBC e γ = BĈA. Sabendo-se que a equação x bx cos α + b a = 0 admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que: α = 90. β = 60. γ = 90. D) O triângulo é retângulo apenas se α = 5. E) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa. 55)(IT Do triângulo de vértices A, B e C, inscrito em uma circunferência de raio R = cm, sabe-se que o lado BC mede cm e o ângulo interno A ˆBC mede 0. Então, o raio da circunferência inscrita neste triângulo tem o comprimento, em cm, igual a: D) E) 56)(IT Os pontos A = (, ) e B = (, ) são vértices de um cubo, em que AB é uma das arestas. A área lateral do octaedro cujos vértices são os pontos médios da face do cubo é igual a: 8 D) E) 8 57)(IT Dada uma pirâmide regular triangular, sabe-se que sua altura mede a cm, sendo a a medida da aresta de sua base. Então, a área total dessa pirâmide, em centímetros quadrados, vale: a 7 a 09 a D) a ( + ) E) a ( + 09) 58)(IT o raio de um cilindro de revolução mede,5 m. Sabe-se que a área da base do cilindro coincide com a área da seção determinada por um plano que contém o eixo do cilindro. Então a área total do cilindro, em metros quadrados, vale: π 9π( + π) π( + π) D) π E) π(π + ) 59)(IT Num cone de revolução, o perímetro da seção meridiana mede 8 cm e o ângulo do setor circular mede 88. Considerando-se o tronco do cone cuja razão entre as áreas das bases é 9, então sua área total mede: 6π cm 08π 9 cm 60π cm D) 00π 9 cm E) n. r. a. 60)(IT O perímetro de um triângulo retângulo isósceles é p. Nesse triângulo, a altura relativa à hipotenusa é: p (p + )( ) p ( ) D) p ( + ) E) 8p ( + )
6 Questões de vestibulares - ITA - Geometria Plana 6)(IT Um octaedro regular é inscrito num cubo, que está inscrito numa esfera, e que está inscrita num tetraedro regular. Se o comprimento da aresta do tetraedro é, qual é o comprimento da aresta do octaedro? 7 6)(IT D) 6 E) n. r. a. na figura ao lado, temos um hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio r e 6 outras semicircunferências com centros nos pontos médios, dos lados do hexágono e cujos diâmetros são iguais ao lado do hexágono. Calcule a área da superfície sombreada. ( π ) ( r π ) ( ) r π r 6 ( ) ( ) π D) r π E) r 6 6)(IT Se as dimensões, em centímetros, de um paralelepípedo reto retangular são dadas pelas raízes da equação x 6x + 9x = 0, então o comprimento da diagonal é igual a: 7 9 6 7 cm cm cm D) cm E) cm 6)(IT Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o valor do ângulo interno desse triângulo, oposto ao lado que mede a centímetros, se forem satisfeitas as relações: a = 7c e b = 8c. 0 60 5 D) 0 E) 5 65)(IT Os catetos b e c de um triângulo retângulo de altura h (relativa à hipotenusa) são dados pelas seguintes expressões: b = k + k e c = k k onde k é um número real maior que. Calcule o valor de h em função de k. 67)(IT Um cone circular reto tem altura cm e raio da base 5 cm. O raio da esfera inscrita nesse cone mede, em cm: 0 7 5 D) E) 68)(IT O ângulo da geratriz com o eixo de um cone de revolução mede 0. Se S é a área de sua secção reta a uma distância h do vértice, qual a relação entre S e h? S = π h π h S = S = π h π h D) S = E) n. r. a. 69)(IT Sejam P um ponto interior de um triângulo equilátero MNQ de lado λ, PA = x, PB = y, PC = z as respectivas distâncias do ponto P aos lados MN, MQ e NQ e xy = xz = yz = λ 9. Então o valor de x + y + z é: λ 5 λ 7 λ D) impossível de ser obtido, pois a posição do ponto P não está determina da no triângulo. E) n. r. a. 70)(IT Num triângulo de lados a = m e b = m, diminuindo-se de 60 o ângulo que esses lados formam, obtém-se uma diminuição de m em sua área. Portanto, a área dos triângulo inicial é de: m 5 m 6 m D) 9 m E) m 7)(IT Num triângulo isósceles, o perímetro mede 6 m e os ângulos adjacentes são iguais ao arc cos 7 5. Então a área do triângulo é de: 68 m 9 m 8 m D) 96 m E) 57 m 7)(IT Considere o tetraedro regular (quatro faces iguais, figura ao lado), inscrito em uma esfera de raio R, onde R mede cm. A soma das medidas de todas arestas do tetraedro é dada por: 6 cm 6 cm 6 cm D) 8 cm E) 6 cm 66)(IT Seja S a área total da superfície de um cone circular reto de altura h, e seja m a razão entre as áreas lateral e da base desse cone. Obtenha uma expressão que forneça h em função apenas de S e m. 7)(IT Considere o problema anterior (ITA(7)), isto é, o tetraedro regular inscrito em uma esfera de raio R, onde R mede cm, sendo HD sua altura. A diferença o volume do tetraedro e o volume
Questões de vestibulares - ITA - Geometria Plana 7 do sólido gerado pela rotação do triângulo DHM em torno de HD é dada por: ( 8 8 ) ( π cm 5 ) ( 5 π cm ) π cm 5 ( D) ) π cm E) 7 5 5 π cm 5 7)(IT Sejam as afirmações: I Por um ponto passa uma única reta. II Um ponto e uma reta determinam um plano. III Se dois pontos de uma reta determinam um plano, então a reta está contida nesse plano. IV Por um ponto situado fora de uma reta, existe uma reta paralela à reta dada. Podemos garantir que: Apenas III é verdadeira. I e II são falas. Apenas I é falsa. D) Apenas I e III são verdadeiras. E) Apenas II e IV são verdadeiras. 75)(IT Num triângulo isósceles, a razão entre a altura referente à base e esta é +. Sobre o ângulo α oposto à base, podemos afirmar que: cm π cm cm D) π 5 da área lateral do cilindro. E) 5 79)(IT Qual das afirmações abaixo é verdadeira? Três pontos, distintos dois a dois, determinam um plano. Um ponto e uma reta determinam um plano. Se dois planos distintos têm um ponto em comum, tal ponto é único. da área lateral do cilindro. D) Se uma reta é paralela a um plano e não está contida neste plano, então ela é paralela a qualquer reta desse plano. E) Se α é o plano determinado por duas retas concorrentes r e s, então toda reta m desse plano, que é paralelo à r, não será paralela à reta s. 80)(IT Se um poliedro convexo possui 0 faces e vértices, então o número de arestas desse poliedro é: 8 8 D) 0 E) 8)(IT Considere (P) um polígono regular de n lados. Suponha que os vértices de (P) determinem n triângulos, cujos lados não são lados de (P). O valor de n é: 6 8 0 D) 0 E) Não existe um polígono regular com esta propriedade. α = π α = π E) Não temos dados suficientes para determiná-lo. α = π D) α = π 6 76)(IT Num triângulo ABC considere conhecidos os ângulos BÂC e C ˆBA e a medida d do lado AB. Nestas condições, a área S deste triângulo é dado pela relação: S = D) S = d sen (BÂC + C ˆB d sen C ˆBA cos (BÂC + C ˆB S = d (sen BÂ (sen C ˆB sen (BÂC + C ˆB S = d sen C ˆBA sen (BÂC + C ˆB E) S = d (sen BÂ (sen C ˆB cos (BÂC + C ˆB 8)(IT A pergunta: Existe x real tal que os números reais e x, + e x, e x dos ângulos internos de um triângulo? admite a seguinte resposta: Não existe x real nestas condições. Todo x real, x, satisfaz estas condições. Todo x real, x, satisfaz estas condições. D) Todo x real, < x <, satisfaz estas condições. E) Apenas x inteiro par satisfaz estas condições. são as tangentes 77)(IT Numa esfera de raio r = cm está inscrita num prisma hexagonal regular que, por suas vez, está inscrito numa esfera de raio R. Pode-se afirmar que a medida do raio R vale: 7 7 cm cm cm D) 7 cm E) cm 78)(IT Um cilindro equilátero de raio cm está inscrito num prisma triangular reto, cujas arestas da base estão em progressão aritmética de razão s, s > 0. Sabendo-se que a razão entre o volume do cilindro e do prisma é π podemos afirmar que a área lateral do prisma vale: 8)(IT Por um ponto A de uma circunferência, traça-se o segmento A A perpendicular a um diâmetro desta circunferência. Sabendo-se que o ponto A determina no diâmetro segmentos de cm e 9 cm, podemos afirmar que a medida do segmento A A é: cm cm cm D) 6 cm E) cm 8)(IT A diagonal menor de um paralelogramo divide um dos ângulos internos em dois outros, um α e o outro α. A razão entre o lado menor e o maior do paralelogramo, é: D) E) tg α cos α sen α ( sen α) ( cos α)
8 Questões de vestibulares - ITA - Geometria Plana 85)(IT Num triângulo ABC retângulo em A, seja D a projeção de A sobre BC. Sabendo-se que o segmento BD mede l cm e que o ângulo DÂC mede θ graus então a área do triângulo ABC vale: l sec θ tg θ l sec θ tg θ l sec θ tg θ D) l cossec θ cotg θ E) l cossec θ cotg θ 86)(IT A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de altura m e de área da base 6 m vale: 8 m 6 m 5 m D) 60 5 m E) ( + ) m 87)(IT Numa circunferência inscreve-se um quadrilátero convexo ABCD tal que A ˆBC = 70. Se x = AĈB + B ˆDC, então: x = 0 x = 00 x = 00 D) x = 90 E) x = 80 88)(IT Um triângulo ABC, retângulo em A, possui área S. Se x = A ˆBC e r é o raio da circunferência circunscrita a este triângulo, então: será: + + R R R D) R E) R 9)(IT Seja α um número real tal que α > ( + ) e considere a equação x αx + α + = 0. Sabendo que as raízes reais dessa equação são os cotangentes de dois dos ângulos internos de um triângulo, então o terceiro ângulo interno desse triângulo vale: 0 5 60 D) 5 E) 0 9)(IT Em um triângulo ABC, sabe-se que o segmento AC mede cm. Sejam α e β, respectivamente, os ângulos opostos aos segmentos BC a AC. A área do triângulo é (em cm ) igual a: sen α cotg β + sen α sen α tg β sen α cos α cotg β + sen α D) cos α tg β + sen α E) sen α tg β cos α S = r cos (x) S = r sen (x) S = r sen (x) D) S = r cos x E) S = r sen x 89)(IT Considere C uma circunferência centrada em O e raio r, e t a reta tangente a C num ponto T. Considere também A um ponto de C tal que AÔT = θ é um ângulo agudo. Sendo B o ponto de t tal que o segmento AB é paralelo ao segmento OT, então a área do trapézio OABT é igual a: r ( cos θ cos θ) r ( cos θ sen θ) r ( sen θ sen θ) D) r ( sen θ + cos θ) E) r ( sen θ cos θ) 90)(IT Um hexágono regular e um quadrado estão inscritos no mesmo círculo de raio R e o hexágono possui uma aresta paralela a uma aresta do quadrado. A distância entre estas arestas paralelas será: + + R R R D) R E) R 9)(IT Seja α um número real tal que α > ( + ) e considere a equação x αx + α + = 0. Sabendo que as raízes reais dessa equação são as cotangentes de dois dos ângulos internos de um triângulo, então o terceiro ângulo interno desse triângulo vale: 0 5 60 D) 5 E) 0 9)(IT Um hexágono regular e um quadrado estão inscritos no mesmo círculo de raio R e o hexágono possui uma aresta paralela a uma aresta do quadrado. A distância entre estas arestas paralelas 95)(IT Considere o paralelogramo ABCD onde A = (0, 0), B = (, ) e C = (, ). Os ângulos internos distintos e o vértice D deste paralelogramo são, respectivamente: π, π π, π π, π D) π, π E) π, π e D = (, 5). e D = (, 5). e D = (, 6). e D = (, 6). e D = (, 5). 96)(IT Num cone circular reto, a altura é a média geométrica entre o raio da base e a geratriz. A razão entre a altura e o raio da base é: + 5 5 5 5 5 + D) E) 97)(IT Duas circunferências C e C ambas com,0 m de raio, são tangentes. Seja C outra circunferência cujo raio mede ( ) m e que tangencia externamente C e C. A área, em m da região limitada e exterior às três circunferências dadas, é: π π 6 ( ) D) π 6 ( ) E)π ( ) 98)(IT Um poliedro convexo de 0 vértices apresenta faces triangulares e quadrangulares. O nú-
Questões de vestibulares - ITA - Geometria Plana 9 mero de faces quadrangulares, o número de faces triangulares e o número total de faces formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. O número de arestas é: Gabarito Geral- ITA - Geometria Plana 0 7 0 D) E) 99)(IT Duas circunferências de raios iguais a 9 m e m são tangentes externamente num ponto C. Uma reta tangencia estas duas circunferências nos pontos distintos A e B. A área, em m, do triângulo ABC é: 7 7 9 D) 7 E) 7 00)(IT Sejam A, B, C e D os vértices de um tetraedro regular cujas arestas medem cm. Se M é o ponto médio do segmento AB e N é o ponto médio do segmento CD, então a área do triângulo MND, em cm, é igual a: D) E) 6 8 6 8 9 0)(IT As superfícies de duas esferas se interceptam ortogonalmente (isto é, em cada ponto da intersecção os respectivos planos tangentes são perpendiculares). Sabendo que os raios destas esferas medem cm e cm, respectivamente, calcule: a) a distância entre os centros das duas esferas. b) a área da superfície do sólido obtido pela intersecção das duas esferas. 00)(IT. D. C. B. A 5. C 6. D 7. D 8. C 9. B 0. A. C. A. E. D 5. D 6. D 7. A 8. C 9. C 0. B. C. B. B. A 5. B 6. B 7. C 8. A 9. B 0. D. C. D. D. E 5. B 6. D 7. C 8. E 9. n= 0. B. D. B. A. 96π 5. π 6. 0, 60 e 90 7. E 8. 9 9. E 50. D 5. D 5. B 5. 6 u.a. 5. E 55. D 56. C 57. E 58. B 59. B 60. C 6. D 6. C 6. D 6. B 65. h = (k k + )(k ) AT (m ) 66. h = 67. A k π 68. C 69. sem resposta 70. C 7. A 7. C 7. A 7. B 75. A 76. B 77. A 78. A 79. E 80. D 8. B 8. A 8. D 8. D 85. B 86. B 87. B 88. B 89. C 90. A 9. D 9. A 9. D 9. A 95. D 96. E 97. A 98. C 99. B 00. B 0. a) 5 cm b) 7π 5 cm