Unidade IV ESTATÍSTICA Prof. Fernando Rodrigues
Análise combinatória Analise combinatória é a área da Matemática que trata dos problemas de contagem. Ela é utilizada para contarmos o número de eventos em uma dada situação. Por exemplo, se numa eleição para o Grêmio Estudantil de uma faculdade, existem três candidatos a presidente (A, B e C) e dois a vice-presidente (D e E), quais e quantos serão os possíveis resultados?
Análise combinatória
Análise combinatória Princípio da multiplicação: Se um acontecimento ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes, sendo: p1 o número de possibilidades da 1a etapa, p2 o número de possibilidades da 2a etapa, pn o número de possibilidades da n etapa, então o número total de possibilidades do acontecimento ocorrer é: p1x p2 x... x pn
Análise combinatória Exemplo: Há dois caminhos ligando as vilas A e B e três outros ligando B a C. Para uma pessoa ir de A até C, terá as possibilidades: P(A B) = 2 P(B C) =3 Então: P(A C) = P(A B). P(B C) = 2. 3 = 6
Análise combinatória Exemplo: Considerando que uma pessoa tem: 2 bermudas (preta e cinza) e; 4 camisetas (branca, verde, amarela e roxa). De quantas maneiras diferentes ela poderá se vestir usando uma bermuda e uma camiseta?
Análise combinatória Bermuda Camiseta Resultado B PB P V PV A PA R PR 8 B CB V CV C A CA R CR 8 resultados possíveis
Análise combinatória Vamos estudar agora problemas de contagem relacionados a diferentes maneiras de agrupar elementos de um conjunto. Vamos considerar 3 maneiras de formar agrupamentos simples, de elementos distintos. Estas 3 maneiras são: Arranjos. Permutações. Combinações.
Análise combinatória Chamamos de arranjo dos elementos de um conjunto aos agrupamentos formados por grupos de elementos distintos retirados dos componentes do conjunto principal. Se um conjunto possui n elementos, formamos outros agrupamentos com k elementos distintos (k < n) escolhidos entre os n existentes. O conceito de Arranjo é empregado em problemas onde a ordem dos elementos é importante.
Análise combinatória Exemplo: Considerando um conjunto formado pelos elementos X: 1, 2, 3, 4, podemos formar novos agrupamentos com dois elementos cada um. (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) Temos, portanto, um total de 12 novos agrupamentos diferentes.
Análise combinatória Cálculo do número de arranjos. Considerando um conjunto de n elementos distintos, podemos encontrar uma expressão para determinar o número de arranjos de elementos desse conjunto, tomados k a k, sendo k < n. Indicamos por: An,k lê-se: Arranjo de n elementos k a k. Calcula-se o número de arranjos pela expressão:
Análise combinatória Exemplo: Quatro competidores, A, B, C e D disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades de chegada dos três primeiros colocados? n = 4 k = 3 n! 4! 4! A 4,3 = 24 (n k)! (4 3)! 1!
Análise combinatória Exemplo: Para a eleição dos dirigentes de um centro acadêmico se candidataram 8 estudantes. De quantas maneiras podemos escolher um presidente e um vice? n = 8 k = 2 8! 8! 8x7x6! A 8,2 = 8x7 56 (8 2)! 6! 6!
Interatividade Quatro times de futebol disputam as semifinais de um campeonato. Quantas são as possibilidades de resultado para campeão e vice-campeão? a) 4 b) 12 c) 24 d) 2 e) 48
Análise combinatória Permutações: Denomina-se Permutação Simples de n elementos, todas as sequências destes n elementos em novas ordenações. Neste caso apenas a ordem dos elementos é importante. Calcula-se o número de permutações possíveis para um conjunto de n elementos, pela fórmula: P n =n!
Análise combinatória Exemplo 1: Quantos anagramas podemos formar com a palavra BOM? Resp. P 3 =3!=6 = BOM BMO OBM OMB MOB MBO
Análise combinatória Exemplo 2: Se tivermos 5 pessoas, de quantas maneiras diferentes podemos colocá-las em 5 cadeiras? Resp. P 5 = 5! = 120 maneiras
Análise combinatória Combinações: Como vimos, o arranjo dos elementos de um conjunto de n elementos distintos são agrupamentos com k elementos do conjunto principal, onde k<n. Quando falamos de arranjos, os componentes de cada agrupamento, dependendo da posição que ocupam, modificam o grupo. Entretanto, quando falamos de combinações, não é importante a posição que cada elemento ocupa no agrupamento.
Análise combinatória Portanto, as combinações são utilizadas para se calcular o número de conjuntos que podemos formar, quando a ordem dos elementos nestes conjuntos não é importante. Por exemplo, se tivermos 20 alunos em uma sala e quisermos formar uma comissão de 5 alunos para tratar de um determinado assunto, poderemos calcular o número de comissões possíveis através das combinações, já que a ordem dos alunos nas comissões não é relevante.
Análise combinatória Cálculo do número de combinações: Se tivermos um conjunto com n elementos, podemos calcular o número de combinações possíveis de k elementos, através da fórmula: n! C n,k k!(n k)!
Análise combinatória Exemplo 1: Um baralho tem 52 cartas, e sorteamos aleatoriamente 4 cartas. Quantas são as possibilidades de sorteio das cartas? Resp. = C 52,4 52! 4!(52 4)! 52! 4!x48! 52x51x50x49x48! 270.725 4!x48!
Análise combinatória Exemplo 2: Qual é o número total de resultados possíveis para um sorteio da Mega Sena, sabendo-se que o resultado consiste em um conjunto de 6 números sorteados aleatoriamente dentre 60 números disponíveis? Resp. C 60,6
Análise combinatória Exemplo 2: C 60,6 = 60! 6!(60 6)! 60! 6!x54! C 60,6 = 60x59x58x57x56x55x54! 6!x54! C 60,6 = 60x59x58x57x56x55 720 50.063.860 Existem, portanto 50.063.860 resultados possíveis.
Análise combinatória Conclusão: Tanto o arranjo quanto a combinação são agrupamentos de k elementos a partir de um conjunto de n elementos. A diferença é que, no arranjo, se mudarmos a ordem dos elementos de um agrupamento, teremos um outro agrupamento. Na combinação, ao mudarmos a ordem em que os elementos se apresentam, teremos o mesmo agrupamento.
Interatividade Quantos anagramas tem a palavra MITO? a) 120 b) 12 c) 24 d) 36 e) 720
Distribuições de probabilidade As distribuições de probabilidade são modelos estatísticos que descrevem as probabilidades dos diversos resultados de um determinado universo ou espaço amostral. Veremos dois casos de maior interesse: a distribuição binomial e a distribuição normal. Neste estudo, utilizaremos o conceito de variável aleatória. Uma variável aleatória é aquela cujo valor depende de fatores imponderáveis do acaso.
Distribuições de probabilidade Tipos de distribuição: Podemos classificar a distribuição de probabilidades de acordo com o caráter de sua variável. Distribuições discretas: Quando a variável aleatória em estudo é discreta, a distribuição de probabilidades correspondente também será discreta. A distribuição de probabilidades, nesse caso, será dada pela probabilidade de cada um dos valores possíveis específicos.
Distribuições de probabilidade Tipos de distribuição. Distribuições contínuas: Quando a variável aleatória em estudo é contínua, a distribuição de probabilidades correspondente também será contínua. Quando a variável é contínua, não tratamos mais de probabilidades referentes a valores individuais, mas sim referentes a intervalos de valores. A distribuição de probabilidades nesses casos nos dará a probabilidade de encontrar o valor da variável dentro de certo intervalo.
Distribuições de probabilidade Distribuição binomial. A distribuição binomial se aplica a situações que possuem as seguintes características: A variável aleatória é discreta. n eventos são independentes. Para cada evento, dois resultados possíveis e complementares (sucesso e insucesso). Probabilidade de sucesso (de ocorrer o evento escolhido): p. Probabilidade de insucesso (de não ocorrer o evento escolhido): q. q = 1 - p
Distribuições de probabilidade Distribuição binomial: Quando esses requisitos são atendidos, a distribuição binomial nos dá a maneira de calcular a probabilidade de que o evento escolhido ocorra um número p de vezes, sendo que essa quantidade poderá variar entre 0 e n. Para construir a distribuição binomial, tomemos como exemplo o jogo de n moedas. Podemos escolher como variável aleatória o número de faces cara obtidas, ao que chamaremos k.
Distribuições de probabilidade Distribuição binomial: O resultado face cara será considerado um sucesso, e sua probabilidade será p = 0,5. O resultado face coroa significa a não ocorrência de face cara, logo, o chamaremos de insucesso, com probabilidade q. Como os eventos são complementares, temos q = 1 - p e, portanto, q = 0,5.
Distribuições de probabilidade Distribuição binomial: Jogo de 1 moeda (n = 1). Como estamos considerando o jogo de somente uma moeda, os valores possíveis dessa variável serão k = 0ek= 1. Podemos construir a distribuição de probabilidades para a obtenção de face cara no jogo de uma moeda da seguinte forma:
Distribuições de probabilidade Distribuição binomial: Jogo de 1 moeda (n = 1) Probabilidade de nenhuma face cara: k = 0 P(0) = p, logo, P(0) = 0,5. Probabilidade de uma face cara: k = 1 P(1) = q, logo, P(1) = 0,5. Em resumo, teríamos o seguinte:
Distribuições de probabilidade Distribuição binomial: Jogo de 1 moeda (n = 1)
Distribuições de probabilidade Distribuição binomial: Da mesma maneira, se jogarmos 2 moedas (n = 2), teríamos: Para 2 moedas, os valores da variável escolhida serão k = 0, k = 1ek= 2. Como os eventos são independentes, visto que o fato de uma moeda cair com certa face para cima não interferirá na face que ficará para cima da outra moeda, então a probabilidade de um resultado específico para o conjunto será dada pelo produto das probabilidades de cada resultado específico.
Distribuições de probabilidade Distribuição binomial: Probabilidade de nenhuma face cara (k = 0): 2 insucessos: P = q.q = 0,5*0,5 = 0,25 Probabilidade de 1 face cara (k = 1): 1 sucesso e 1 insucesso: (cara, coroa ou coroa, cara) P = (p.q) +(q.p) = 0,25 + 0,25 = 0,5 Probabilidade de duas faces cara (k = 2): sucessos: P = p.p pp = 0,5*0,5, = 0,25.
Distribuições de probabilidade Distribuição binomial. Em resumo teríamos:
Interatividade Qual das características abaixo não se aplica à distribuição binomial? a) Variável aleatória discreta. b) N eventos independentes. c) Variável aleatória contínua. d) Para cada evento há 2 resultados possíveis. e) É um exemplo de distribuição discreta.
Distribuições de probabilidade Distribuição normal. A distribuição normal, também conhecida como distribuição gaussiana, é uma das mais importantes no estudo da estatística. Diversos fenômenos físicos e sociais seguem esta distribuição.
Distribuições de probabilidade Distribuição normal. A distribuição normal descreve situações que apresentam as seguintes características: Variável aleatória em questão é contínua. A probabilidade de ocorrência dos eventos possíveis depende somente da média e do desvio padrão do conjunto.
Distribuições de probabilidade Distribuição normal. Os fenômenos que se caracterizam por uma distribuição normal, possuem as seguintes características: Valor médio é o mais provável. Quanto mais longe da média, menos provável. O gráfico da distribuição tem um formato de sino.
Distribuições de probabilidade Distribuição normal. Assim como no exemplo para a distribuição uniforme, as probabilidades de se encontrar o valor da variável dentro de certo intervalo corresponderão à área do gráfico localizada no interior dos limites desse intervalo.
Distribuições de probabilidade Distribuição normal. Para calcular-se a probabilidade de um determinado evento que segue a distribuição normal, é preciso calcular a área sob a curva normal que representa este evento. Na prática utiliza-se uma curva normal padronizada e tabelas que mostram os valores das probabilidades desta curva. Para isto se utiliza, em lugar do valor x da variável, o valor z, que nos diz quanto acima ou abaixo da média está o valor da variável.
Distribuições de probabilidade Distribuição normal: O cálculo de z é dado por: Assim, se tivermos, por exemplo, um conjunto cuja média seja 50 e o desviopadrão seja igual a 10, um valor de x = 40 corresponderá a: z = (40-50)/10 = -1
Distribuições de probabilidade Distribuição normal: A partir deste valor calculado para a variável z, entra-se em uma tabela e verifica-se a probabilidade de ocorrência do valor de x correspondente. Na tabela citada há a informação sobre a área subentendida pela curva normal reduzida de 0 a z. Dado um valor de z, devemos procurar na tabela qual o valor da área que corresponde a ele da seguinte forma:
Distribuições de probabilidade Distribuição normal: Na primeira coluna da tabela, o valor de z é dado até sua primeira casa decimal. Na primeira linha da tabela colocam-se os valores referentes à segunda casa decimal. O valor da área em questão será aquele que esteja na linha e coluna correspondentes. Vejamos alguns exemplos: Área para z = 1,68
Distribuições de probabilidade Distribuição normal: Procura-se na tabela padronizada a linha cuja primeira coluna tenha o valor 1,6, reproduzida a seguir:
Distribuições de probabilidade Distribuição normal: Nessa linha, procure a coluna correspondente à segunda casa decimal, ou seja, a coluna indicada pelo 0,08. A área indicada na figura, compreendida pela fatia que vai do z = 0 ao z = 1,68 será, portanto, A = 0,4535. Este será o valor da probabilidade de ocorrência da variável x correspondente.
Interatividade A respeito da distribuição normal, está errado afirmar: a) Variável aleatória em questão é contínua. b) Probabilidade de ocorrência dos eventos possíveis depende somente da média e do desvio padrão do conjunto. c) Valor médio é o menos provável. d) Quanto mais longe da média, menos provável. e) O gráfico da distribuição tem um formato de sino.
ATÉ A PRÓXIMA!