ELETRICIDADE 1 CAPÍTULO 8 CIRCUITO RC SÉRIE Ese capíulo em por finalidade inroduzir o esudo de circuios que apresenem correnes eléricas variáveis no empo. Para ano, esudaremos o caso de circuios os quais apresenem correnes eléricas variáveis no empo devido a aplicação de uma fem conínua (c.c.), e não alernada (c.a.). Para isso, raaremos do caso específico de um circuio que consise na associação em série de uma resisência e uma capaciância. Esamos falando do denominado circuio RC série. Nese, abordaremos o processo de carga (carregameno) e descarga (descarregameno) de um capacior. Tal qual depende de cera axa de carga/descarga do capacior a denominada consane de empo capaciiva. Veremos que a correne do circuio, a quanidade de carga no capacior e a ensão sobre os elemenos conidos nessa malha são funções exponenciais do empo. Processo de Carga de um Capacior Consideremos o circuio RC série da Figura 8.1, o qual consise de uma fone (ideal) de fem ε, um resisor R e um capacior C. Figura 8.1 Circuio de carga para um capacior. Com a chave inerrupora S na posição de repouso, o circuio esá desligado. Quando a chave for conecada ao pono a, o circuio é enão ligado. Enão, a quanidade de carga no capacior cresce exponencialmene com o empo. Supomos que o capacior eseja inicialmene descarregado (iso é, com quanidade de carga líquida nula) e que a chave inerrupora S eseja na posição de repouso. Ao conecarmos a chave S na posição a, fechamos o circuio. Nese insane (inicial), no qual = 0, a correne no circuio será máxima, sendo esa dada por ε I max =, (8.1) R e a carga do capacior será nula. Passado o momeno inicial, onde > 0, a correne elérica que percorre o circuio passa a decrescer exponencialmene com o empo, sendo esa dada por I ( /τ ) = I e, (8.2) max onde e é o número exponencial ou, ainda, o número de Euler 1. Como a ensão no resisor é proporcional a correne, enão a mesma ambém decresce exponencialmene com o empo, sendo esa dada por 1 Na maemáica, o número de Euler (pronuncia-se óilar), assim chamado em homenagem ao maemáico suíço Leonhard Euler, é a base dos logarimos naurais (ln). O número e é ambém conhecido como: número de Napier, número neperiano e número exponencial, ec. O número e é um número irracional e ranscendenal (como o π). O número de Euler e com as cinco primeiras casas decimais é 2,71828. 1
( / τ ) = ε. (8.3) V R e Porém, a quanidade de carga elérica no capacior passa a crescer exponencialmene com o empo, sendo esa Q ( /τ ) = Q [ e ], (8.4) max 1 na qual Q max é a carga máxima com a qual o capacior poderá ser carregado (ambém conhecida como a carga de equilíbrio), a qual é dada por Q max = C ε. (8.5) Como a carga é proporcional a ensão, enão a ensão no capacior ambém cresce exponencialmene com o empo, sendo esa dada pela relação ( / τ ) = ε [ 1 ]. (8.6) V C e Das relações apresenadas acima, vimos que a correne I, a carga Q e as ensões do resisor V R e do capacior V C são funções exponenciais do empo. A lera (grega) τ, que aparece nos expoenes dessas equações, represena a denominada consane de empo capaciiva ou empo de relaxação do circuio, sendo esa maemaicamene deerminada por τ = R C. (8.7) A consane de empo capaciiva, normalmene/simplesmene denominada como consane de empo 2, represena o empo necessário para que o capacior seja carregado com aproximadamene 63% da sua carga máxima ou, enão, para que a correne no circuio decresça aé a aproximadamene 37% do seu valor máximo. A parir dessa definição, vemos que a consane de empo, dada pelo produo resisência vezes capaciância, em (8.7), em dimensões de empo. Em unidades SI, eremos enão, por (8.7), que o empo de um segundo corresponderá ao produo de um ohm por um farad, ou seja, 1s = (1Ω) (1F). Iso ambém pode ser enendido/viso pelo fao do ermo /τ, nos expoenes das equações exponenciais acima, ser adimensional (iso é, sem unidade de medida), pois empo () dividido por empo (τ) resula em um valor numérico (sendo ese o expoene para o qual o número de Euler é a base), iso é, sem unidade de medida (devido ao cancelameno das mesmas). Há ambém a denominada meia vida do circuio, denoada por m. Esa corresponde ao empo necessário para a correne no circuio decrescer aé a meade (50%) do seu valor máximo ou, enão, para o capacior adquirir meade da sua carga oal (máxima). Após um empo suficienemene longo (idealmene infinio), no qual =, a correne do circuio cai (idealmene) a zero. Ao mesmo empo, a quanidade de carga no capacior ainge seu valor máximo. Resumindo: Q() I() 0 0 I max Q max 0 Tabela 8.1 Valores exremos em um processo de carga para um capacior em um circuio RC série. Como um exemplo da naureza dese ipo de circuio, analisemos um circuio RC série, al como o da Figura 8.1, formado por uma baeria (ideal) com fem de 10V, um resisor de 33kΩ e um capacior de 1000µF. 2 Deve ser levado em cona que ambém exise a consane de empo de naureza induiva. 2
Os gráficos da Figura 8.2 ilusram a ensão no resisor e no capacior, bem como a correne do circuio e, ambém, a carga no capacior durane o processo de carregameno do mesmo. Perceba que em qualquer insane de empo, a soma das ensões do resisor e do capacior saisfaz a lei da malhas. Noe, ambém, que para um empo suficienemene longo, após er sido ligado o circuio (empo ese que corresponde, por exemplo, a quaro ou cinco consanes de empo, no mínimo), a correne e, conseqüenemene, a ensão no resisor caem idealmene a zero. Por ouro lado, vemos que no ranscorrer desse empo, a ensão no capacior e a carga no mesmo aingem seus máximos valores previsos. Figura 8.2 Processo de carga para um capacior em um circuio RC série, sendo ese formado por uma baeria (ideal) com fem de 10V, um resisor de 33kΩ e um capacior de 1000µF. (a) Gráfico da correne elérica do circuio em função do empo. (b) Gráfico da quanidade de carga elérica no capacior em função do empo. (c) Gráfico da ensão no resisor em função do empo. (d) Gráfico da ensão no capacior em função do empo. Em cada um dos gráficos, o empo considerado para a medida das grandezas ploadas (correne, carga e ensão) é de pouco mais que quaro consanes de empo. Pode-se perceber, após odas essas análises, que, no momeno em que o circuio é ligado, em = 0, o capacior aua idealmene como uma chave inerrupora fechada, sendo a correne do circuio enão máxima e dada pela relação (8.1). Nese insane, o circuio (aparenemene) consise simplesmene de um resisor conecado a fone de fem. Após um empo suficienemene longo, no qual =, o capacior aua idealmene como uma chave inerrupora abera, sendo a correne do circuio enão nula. Nese caso, a ensão sobre o capacior se igualará a fem aplicada ao circuio. No inervalo de empo 0 < <, podemos considerar que o capacior aua como uma resisência variável, al como um poenciômero, por exemplo. Idealmene, pode-se enender o capacior como uma resisência variável, a qual varia de zero ohm a aé infinios ohms. Desse pono de visa, pode-se dizer que, no momeno em que o circuio é ligado, em = 0, a resisência variável do capacior 3
é nula. Logo depois de ligado o circuio, para > 0, a resisência do capacior passa a aumenar de valor. Assim, quando o empo for suficienemene longo ( = ), a resisência do variável do capacior apresenará um valor exremamene alo, idealmene infinio ( ). Nese caso, o capacior compora-se idealmene como uma chave inerrupora abera, sendo impossível que circule correne elérica pelo circuio. Processo de Descarga de um Capacior Consideremos novamene o circuio RC série da Figura 8.1, o qual consise de uma fone (ideal) de fem ε, um resisor R e um capacior C. Supomos que o capacior eseja inicialmene carregado com uma deerminada quanidade de carga elérica líquida Q o, correspondendo esa a Q = C, (8.8) o V o onde V o é a ensão com a qual o capacior esá, inicialmene, carregado. Dependendo do caso, a quanidade inicial de carga Q o pode, inclusive, ser a quanidade máxima de carga Q max previsa para o capacior no referido circuio. Também, supomos que a chave inerrupora S eseja na posição de repouso e que o capacior eseja com uma deerminada carga inicial (Q o ). Ao ser conecada na posição b, fechamos o circuio. Nese insane (inicial), no qual = 0, a correne inicial no circuio será dada por V I = o o R. (8.9) A parir dese momeno, onde > 0, a correne elérica que percorre o circuio passa a decrescer exponencialmene com o empo, segundo a relação I ( /τ ) = I o e. (8.10) Como a ensão no resisor é proporcional a correne, enão a ensão no mesmo ambém passa a decrescer exponencialmene com o empo, sendo esa dada por V R ( /τ ) = V e. (8.11) o Também, a quanidade de carga elérica no capacior decresce exponencialmene com o empo, de acordo com Q ( /τ ) = Q o e. (8.12) Como a carga é proporcional a ensão, enão esa (no capacior) ambém decresce exponencialmene com o empo, sendo a mesma dada por V C ( /τ ) = V e. (8.13) o Nas relações apresenadas de (8.8) a (8.13), a consane de empo capaciiva coninua a ser deerminada pela relação (8.7). No presene caso, da descarga do capacior, a consane de empo represena o empo necessário para que a carga no capacior e a correne no circuio decresçam aé a aproximadamene 37% dos seus valores iniciais. A meia vida do circuio, denoada por m, coninua sendo o empo necessário para a correne decrescer aé a meade do seu valor inicial ou, enão, para o capacior perder meade da sua carga oal (inicial). Após um empo suficienemene longo, no qual =, a correne do circuio cai a zero, bem como a quanidade de carga no capacior. Resumindo: 4
Q() I() 0 Q o I o 0 0 Tabela 8.2 Valores exremos em um processo de descarga para um capacior em um circuio RC série. Como um exemplo da naureza dese ipo de circuio, analisemos um circuio RC série, al como o da Figura 8.1, formado por uma baeria (ideal) com fem de 10V, um resisor de 33kΩ e um capacior de 1000µF; o mesmo analisado aneriormene para o processo de carga no capacior. Os gráficos da Figura 8.3 ilusram a ensão no resisor e no capacior, bem como a correne do circuio e, ambém, a carga no capacior durane um processo de descarga do capacior nese circuio. Para ano, supomos que o capacior esivesse inicialmene carregado com a sua carga máxima previsa (Q max ). Perceba que, em qualquer insane de empo, a soma das ensões do resisor e do capacior saisfaz a lei da malhas. Noe que para um empo já suficienemene longo, após er sido ligado o circuio empo ese que corresponde, por exemplo, a quaro ou cinco consanes de empo, no mínimo a correne e, conseqüenemene, a ensão no resisor e no capacior, junamene com a carga nesse úlimo, caem idealmene a zero. Figura 8.3 Processo de descarga para um capacior em um circuio RC série, sendo ese formado por uma baeria (ideal) com fem de 10V, um resisor de 33kΩ e um capacior de 1000µF. (a) Gráfico da correne elérica do circuio em função do empo. (b) Gráfico da quanidade de carga elérica no capacior em função do empo. (c) Gráfico da ensão no resisor em função do empo. (d) Gráfico da ensão no capacior em função do empo. Em cada um dos gráficos, o empo considerado 5
para a medida das referidas grandezas (correne, carga e ensão) é pouco maior que aproximadamene quaro consanes de empo. Pode-se perceber, após odas essas análises, que no momeno em que o circuio é ligado, em = 0, o capacior aua idealmene como uma chave inerrupora fechada, sendo a correne inicial do circuio enão máxima e dada pela relação (8.9). Após um empo suficienemene longo, no qual =, o capacior aua idealmene como uma chave inerrupora abera, sendo a correne do circuio enão nula. EXEMPLOS 1. Aneriormene, analisamos o circuio RC série, de diagrama igual ao da Figura 8.1, composo por uma baeria (ideal) com fem de 10V, um resisor de 33kΩ e um capacior de 1000µF, o qual considerou-se inicialmene descarregado. Os gráficos referenes aos processos de carga e descarga do capacior foram ilusrados nas Figuras 8.2 e 8.3. Sendo assim, com relação ao processo de carga do capacior nese circuio (ligação do inerrupor: a-s), deermine: a) A consane de empo do circuio, em segundos (s). A consane de empo do circuio, para o capacior em processo de carga, é, de acordo com (8.7), 6 τ = R C = (33kΩ) (1000µ F) = (33000Ω) (1000 10 F) = 33s. b) A carga máxima acumulada no capacior, em milicoulombs (mc). A quanidade de carga máxima do circuio, para o capacior em processo de carga, é, de acordo com (8.5), 6 2 Q = C ε = (1000µ F) (10V ) = (1000 10 F) (10V ) = 1 10 C 10mC. max = c) O insane de empo, em segundos (s), para que a carga armazenada no capacior seja igual à meade do seu valor máximo. O empo requerido nese cálculo consise no denominado empo de meia vida do circuio ( m ). A meia vida do circuio, denoada por m, corresponde ao empo necessário para a correne no circuio decrescer aé a meade (50%) do seu valor máximo ou, enão, para o capacior adquirir meade da sua carga oal (máxima). Assim, nese insane de empo, a quanidade de carga no capacior deve ser Qmax 10mC Q = = = 5mC. 2 2 Logo, por (8.4), max 1 ( /τ ) [ e ] Q = Q, eremos que [ 1 e ] 5 = (10), 6
5 ( / 33) = 1 e, 10 0,5 = 1 e, 0,5 1 = e, 0,5 = e, 0,5 = e, Aplicando o logarimo naural (ln) de ambos os lados da úlima equação acima, eremos que ln 0,5 = ln e, onde, nessa úlima equação, usaremos a regra 0,6932 =, 33 0,6932 =, 33 = ( 0,6932) (33) = 22, 87s. ln e a = a. Assim, d) O insane de empo, em segundos (s), para que a ensão no capacior seja igual à meade da fem da fone. O empo será o mesmo do exercício anerior (meia vida), pois como a carga é proporcional a ensão, essa mesma (no capacior) ambém cresce exponencialmene com o empo. Assim, ambas as grandezas (carga e ensão), no capacior, apresenam expressões maemáicas semelhanes, al como se verifica nas equações (8.4) e (8.6). e) O insane de empo, em segundos (s), para que a ensão no capacior seja igual à 88% da fem da fone. A ensão no capacior como sendo de 88% da fem da fone é dada por V C = 88 % ε = (0,88) (10V ) = 8, 8V Logo, por (8.6), ( / τ ) [ 1 ] V C = ε e, eremos que [ 1 e ] 8,8 = (10), 7
8,8 10 ( / 33) = 1 e, 0,88 = 1 e, 0,88 1 = e, 0,12 = e, 0,12 = e, Aplicando o logarimo naural (ln) de ambos os lados da úlima equação acima, eremos que ln 0,12 = ln e, onde, nessa úlima equação, usaremos a regra 2,1212 =, 33 2,1212 =, 33 = ( 2,1212) (33) = 70s. f) A correne máxima do circuio. ln e a = a. Assim, A correne máxima do circuio, para o capacior em processo de carga, é, de acordo com (8.1), ε 10V I max = = 0,303mA = 303µ A. R 33kΩ g) O insane de empo, em segundos (s), para que a correne elérica na resisência decaia à meade do seu valor máximo. O empo será o mesmo dos iens (c) e (d) aneriores pois, como se viu, a meia vida do circuio corresponde ao empo necessário para a correne no circuio decrescer aé a meade (50%) do seu valor máximo (ou, enão, para o capacior adquirir meade da sua carga máxima). 2. Considere que, depois de ligado o circuio RC série do exemplo anerior, após um empo muio grande (onde consideramos = ), o capacior seja colocado em um processo de descarga (ligação do inerrupor: b-s). Sendo assim, deermine: a) A consane de empo do circuio, em segundos (s). Como o circuio usado para a descarga do capacior consise no mesmo resisor de 33kΩ (sem a inserção de demais resisores) e no mesmo capacior (sem a inserção de demais capaciores), a 8
consane de empo do processo de descarga do capacior é a mesma do processo de carga dese, deerminada no exemplo anerior. Iso porque o capacior foi carregado com sua máxima carga previsa, sendo esa a sua carga inicial, além da ensão dese ser igual a sua fem. b) A carga inicial acumulada no capacior, em milicoulombs (mc). A carga inicial do capacior consise na carga máxima deerminada para o mesmo, no exemplo anerior. c) O insane de empo, em segundos (s), para que a carga inicial armazenada no capacior decaia à meade do seu valor inicial. Ese empo corresponde a meia vida do circuio, deerminada no exemplo anerior. d) O insane de empo, em segundos (s), para que a ensão no capacior seja igual à meade da sua ensão inicial. Ese empo corresponde a meia vida do circuio, deerminada no exemplo anerior. e) O insane de empo, em segundos (s), para que a ensão no capacior seja igual à 88% da sua ensão inicial. A ensão inicial no capacior corresponde, idealmene, à própria força eleromoriz da fone de fem que foi desligada do circuio (quando a ensão sobre o capacior, em seu processo de carregameno, se igualou à fem da fone, idealmene), iso é, V o = ε = 10V A ensão no capacior como sendo de 88% da fem da fone é dada por V C = 88 % ε = (0,88) (10V ) = 8, 8V Logo, por (8.13), V C o ( /τ ) = V e, eremos que 8,8 = (10) e, 8 e,8 10 ( / 33) =, 0,88 = e, Aplicando o logarimo naural (ln) de ambos os lados da úlima equação acima, eremos que ln 0,88 = ln e, 9
onde, nessa úlima equação, usaremos a regra 0,1278 =, 33 0,1278 =, 33 = ( 0,1278) (33) = 4, 22s. ln e a = a. Assim, Noe: em aproximadamene 4s, o capacior já perdeu 88% da sua carga armazenada inicialmene. f) A correne inicial do circuio. Esa correne corresponde a correne máxima deerminada no exemplo anerior, viso que a ensão inicial no capacior corresponde a fem da baeria que o carregou aé sua máxima carga. g) O insane de empo para que a correne elérica no resisor decaia à meade do seu valor inicial. Ese empo corresponde a meia vida do circuio, deerminada no exemplo anerior. Consanes de Tempo Disinas para Carga e Descarga de um Capacior Nem sempre a consane de empo de carga do capacior deverá ser a mesma para a descarga do referido capacior, no circuio considerado. Para ano, por exemplo, analisemos um caso, em paricular, para o circuio da Figura 8.4. Nese circuio, a consane de empo de carregameno τ C do capacior é dada em ermos do resisor R 1 e pelo capacior C, iso é, τ C = R 1 C. Já a consane de empo de descarregameno τ D do capacior é dada em ermos da resisência equivalene resulane da associação em série dos resisores R 1 e R 2, e pelo capacior C, iso é, τ D = (R 1 + R 2 ) C. Figura 8.4 Processo de descarga para um capacior em um circuio RC série formado por uma baeria (ideal) com fem ε, dois resisores R 1 e R 2, e um capacior C. Com a chave inerrupora S na posição de repouso, o circuio esá desligado. Quando a chave for conecada ao pono a, o circuio é enão ligado, sendo o mesmo consiuído de uma malha (fechada) formada pelo resisor R 1 e pelo capacior C. A parir dese insane, a quanidade de carga no capacior cresce exponencialmene com o empo. A consane de empo de carga é enão dada pela relação τ C = R 1 C. Quando a chave for conecada ao pono b, o circuio é enão desligado da fone de fem, sendo o mesmo consiuído de uma malha (fechada) formada pelos resisores R 1 e R 2, e pelo capacior C. A parir dese insane, a quanidade de carga no capacior decresce exponencialmene com o empo com uma consane de empo, de descarga, enão dada pela relação τ D = (R 1 + R 2 ) C. EXEMPLOS 10
3. Um circuio RC série, de diagrama igual ao da Figura 8.4, consise de uma fone (ideal) de fem de 18V, um resisor R 1 de 1,8MΩ, um resisor R 2 de 560kΩ e um capacior de 22µF, inicialmene descarregado. Sendo assim, em um processo de carga do capacior (ligação do inerrupor: a-s), deermine: a) A consane de empo do circuio de carga do capacior, em segundos (s). A consane de empo para o capacior em processo de carga, é, de acordo com (8.7), 6 6 τ C = R1 C = (1,8 MΩ) (22µ F) = (1,8 10 Ω) (22 10 F) = 39, 6s. b) O insane de empo, em segundos (s), para que a ensão no capacior, durane seu processo de carregameno, seja igual a 22% da sua ensão máxima possível. A ensão no capacior como sendo de 22% da fem da fone é dada por V C = 22 % ε = (0,22) (18V ) = 3, 96V Logo, por (8.6), eremos que ( / τ C ) [ 1 ] V C = ε e, ( / 39,6) [ 1 e ] 3,96 = (18), 3,96 18 ( / 39,6) = 1 e, ( / 39,6) 0,22 = 1 e, ( / 39,6) 0,22 1 = e, ( / 39,6) 0,78 = e, ( / 39,6) 0,78 = e, Aplicando o logarimo naural (ln) de ambos os lados da úlima equação acima, eremos que ln 0,78 ( / 39,6) = ln e, onde, nessa úlima equação, usaremos a regra 0,2485 =, 39,6 0,2485 =, 39,6 ln e a = a. Assim, 11
= ( 0,2485) (39,6) = 9, 84s. c) A correne máxima do circuio, em microampères (µa), no processo de carregameno do capacior. A correne máxima do circuio, para o capacior em processo de carga, é, de (8.1), ε 18V I max = = 10µ A. R 1,8 MΩ 1 d) A quanidade de carga elérica máxima à ser acumulada no capacior, em microcoulombs (µc), no seu processo de carregameno. A quanidade de carga máxima do circuio, para o capacior em processo de carga, é, de acordo com (8.5), Q = C ε = (22µ F) (18V ) 396µ C. max = 4. Considere que, após um empo muio grande depois de ligado o circuio RC série do exemplo anerior (onde consideramos = ), o capacior seja colocado em um processo de descarga (ligação do inerrupor: b-s). Sendo assim, deermine: a) A consane de empo do circuio de descarga do capacior, em segundos (s). A consane de empo para o capacior em processo de descarregameno, é, de acordo com (8.7), τ R C, D onde = 12 R = R + R = 1,8 MΩ + 0,56MΩ = 2, 36MΩ 12 1 2, lembrando que R2 = 560kΩ = (560kΩ) /1000 = 0, 56MΩ. Assim: 6 6 τ D = R C = (2,36MΩ) (22µ F) = (2,36 10 Ω) (22 10 F) 51, 92s. 12 = b) O insane de empo, em segundos (s), para que a ensão no capacior, durane seu processo de descarregameno, se reduza a 22% da sua ensão inicial. A ensão inicial no capacior corresponde, idealmene, à própria força eleromoriz da fone de fem que foi desligada do circuio (quando a ensão sobre o capacior, em seu processo de carregameno, se igualou à fem da fone, idealmene), iso é, V o = ε = 18V Nese caso, a ensão no capacior, como sendo de 22% da fem da fone, é dada por V C = 22 % ε = (0,22) (18V ) = 3, 96V, 12
al como no exemplo anerior. Logo, por (8.13), eremos que V C ( /τ ) D = V e, o ( / 51,92 ) 3,96 = (18) e, 3 e,96 18 ( / 51,92 ) =, ( / 51,92 ) 0,22 = e, Aplicando o logarimo naural (ln) de ambos os lados da úlima equação acima, eremos que ln 0,22 ( / 51,92 ) = ln e, onde, nessa úlima equação, usaremos a regra 1,5141 =, 51,92 1,5141 =, 51,92 = ( 1,5141) (51,92) = 78, 61s. ln e a = a. Assim, c) A correne inicial do circuio, em microampères (µa), no processo de descarregameno do capacior. A correne inicial do circuio, para o capacior em processo de descarregameno, é, de (8.9), I Vo 18V = = = 7,63 A. R 2,36MΩ o µ 12 d) A quanidade de carga elérica no capacior, em microcoulombs (µc), cinco segundos após o mesmo ser colocado em processo de descarregameno. A quanidade de carga elérica inicial no capacior Q o corresponde, idealmene, à própria quanidade de carga máxima do circuio, para o capacior em processo de carga (quando a ensão sobre o capacior, em seu processo de carregameno, se igualou à fem da fone, idealmene), iso é, Q o = Qmax = 396µ C. Assim, a quanidade de carga elérica no capacior, cinco segundos após o mesmo ser colocado em processo de descarregameno, é, de acordo com (8.12), 13
Q ( /τ ) D = Q o e, ( 5 / 51,92 ) Q = (396µ C) e, 0,096302 Q = (396µ C) e, Q = ( 396µ C) (0,9082) = 359, 64µ C. Noe: em aproximadamene 5s, o capacior perdeu apenas 9,18% da sua carga armazenada inicialmene. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Um circuio RC série, de diagrama igual ao da Figura 8.1, consise de uma fone (ideal) de fem de 12V, um resisor de 1,4MΩ e um capacior de 1,8µF, o qual esá inicialmene descarregado. Sendo assim, em um processo de carga do capacior (ligação do inerrupor: a-s), deermine: a) A consane de empo do circuio, em segundos (s). b) A carga máxima acumulada no capacior, em microcoulombs (µc). c) O insane de empo, em segundos (s), para que a carga armazenada no capacior seja igual à meade do seu valor máximo. d) O insane de empo, em segundos (s), para que a ensão no capacior seja igual à meade da fem da fone. e) A correne máxima do circuio, em microampères (µa). f) O insane de empo, em segundos (s), para que a correne elérica no resisor decaia à meade do seu valor máximo. g) O insane de empo, em segundos (s), para que a quanidade de carga elérica no capacior cresça aé 55% do seu valor máximo. 2. Considere que, após um empo muio grande depois de ligado o circuio RC série do exercício anerior (onde consideramos = ), o capacior seja colocado em um processo de descarga (ligação do inerrupor: b-s). Sendo assim, deermine: a) A consane de empo do circuio, em segundos (s). b) A carga inicial acumulada no capacior, em microcoulombs (µc). c) O insane de empo, em segundos (s), para que a carga inicial armazenada no capacior decaia à meade do seu valor inicial. d) O insane de empo, em segundos (s), para que a ensão no capacior seja igual à meade da sua ensão inicial. e) A correne inicial do circuio, em microampères (µa). f) O insane de empo, em segundos (s), para que a correne elérica no resisor decaia à meade do seu valor inicial. g) O insane de empo, em segundos (s), para que a quanidade de carga elérica no capacior decresça aé 55% do seu valor inicial. 3. Um circuio RC série, de diagrama igual ao da Figura 8.4, consise de uma fone (ideal) de fem de 12V, um resisor R 1 de 1,2kΩ, um resisor R 2 de 2,2kΩ e um capacior de 1µF, inicialmene descarregado. Sendo assim, em um processo de carga do capacior (ligação do inerrupor: a-s), deermine: a) A consane de empo do circuio, em mili-segundos (ms). 14
b) A carga máxima acumulada no capacior, em microcoulombs (µc). c) O insane de empo, em mili-segundos (ms), para que a carga armazenada no capacior seja igual à meade do seu valor máximo. d) O insane de empo, em mili-segundos (ms), para que a ensão no capacior seja igual à meade da fem da fone. e) A correne máxima do circuio, em miliampères (ma). f) O insane de empo, em mili-segundos (ms), para que a correne elérica no resisor decaia à meade do seu valor máximo. 4. Considere que, após um empo muio grande depois de ligado o circuio RC série do exercício anerior (onde consideramos = ), o capacior seja colocado em um processo de descarga (ligação do inerrupor: b-s). Sendo assim, deermine: a) A consane de empo do circuio, em mili-segundos. b) A carga inicial acumulada no capacior, em microcoulombs (µc). c) O insane de empo, em mili-segundos (ms), para que a carga inicial armazenada no capacior decaia à meade do seu valor inicial. d) O insane de empo, em mili-segundos (ms), para que a ensão no capacior seja igual à meade da sua ensão inicial. e) A correne inicial do circuio, em miliampères (ma). f) O insane de empo, em mili-segundos (ms), para que a correne elérica no resisor decaia à meade do seu valor inicial. 5. Um circuio RC série, de diagrama igual ao da Figura 8.4, consise de uma fone (ideal) de fem de 12V, um resisor R 1 de 1,5MΩ, um resisor R 2 de 220kΩ e um capacior de 47µF, inicialmene descarregado. Sendo assim, em um processo de carga do capacior (ligação do inerrupor: a-s), deermine: a) A consane de empo do circuio, em segundos (s). b) A carga máxima acumulada no capacior, em microcoulombs (µc). c) O insane de empo, em segundos (s), para que a carga armazenada no capacior seja igual à meade do seu valor máximo. d) O insane de empo, em segundos (s), para que a ensão no capacior seja igual à meade da fem da fone. e) A correne máxima do circuio, em microampères (µa). f) O insane de empo, em segundos (s), para que a correne elérica no resisor decaia à meade do seu valor máximo. 6. Considere que, após um empo muio grande depois de ligado o circuio RC série do exemplo anerior (onde consideramos = ), o capacior seja colocado em um processo de descarga (ligação do inerrupor: b-s). Sendo assim, deermine: a) A consane de empo do circuio, em segundos (s). b) A carga inicial acumulada no capacior, em microcoulombs (µc). c) O insane de empo, em segundos (s), para que a carga inicial armazenada no capacior decaia à meade do seu valor inicial. d) O insane de empo, em segundos (s), para que a ensão no capacior seja igual à meade da sua ensão inicial. e) A correne inicial do circuio, em microampères (µa). f) O insane de empo, em segundos (s), para que a correne elérica no resisor decaia à meade do seu valor inicial. 7. Um circuio RC série, de diagrama igual ao da Figura 8.1, consise de uma fone (ideal) de fem de 12V, um capacior de 1pF, inicialmene descarregado, e um resisor de valor desconhecido. Sabe-se que a 15
ensão aravés do capacior, em um processo de carga do mesmo (ligação do inerrupor: a-s), sobe para 5V em 1,8µs. Sendo assim, deermine: a) A consane de empo de carga (e descarga) do circuio, em micro-segundos (µs). b) O valor desse resisor, em megaohms (MΩ). 8. Um circuio RC série, de diagrama igual ao da Figura 8.1, consise de uma fone (ideal) de fem de 15V, um resisor de 8,2kΩ, e um capacior de valor desconhecido, o qual esá inicialmene descarregado. Sabe-se que a ensão aravés do capacior, em um processo de carga do mesmo (ligação do inerrupor: a-s), sobe para 3,9V em 0,2s. Sendo assim, deermine: a) A consane de empo de carga (e descarga) do circuio, em mili-segundos (ms). b) O valor do capacior, em microfarads (µf). 9. Um circuio RC série, de diagrama igual ao da Figura 8.1, consise de uma fone (ideal) de fem de 12V, um resisor de 15kΩ e um capacior de valor desconhecido, o qual esá inicialmene descarregado. Sabese que a ensão aravés do capacior, em um processo de carga do mesmo (ligação do inerrupor: a-s), sobe para 5V em 1,3µs. Sendo assim, deermine: a) A consane de empo de carga (e descarga) do circuio, em micro-segundos (µs). b) O valor do capacior, em picofarads (pf). 10. Um circuio RC série, de diagrama igual ao da Figura 8.1, consise de uma fone (ideal) de fem de 15V, um capacior de 1.800µF, inicialmene descarregado, e um resisor de 10kΩ. Sendo assim, deermine: a) A consane de empo de carga (e descarga) do circuio, em segundos (s). b) O insane de empo, em segundos (s), para que a quanidade de carga no capacior, durane seu processo de carregameno (ligação do inerrupor: a-s), seja igual a 30% da sua quanidade de carga máxima possível. 11. No exercício proposo de número 18, do Capíulo 7 (Capaciância), consideramos a eficácia de um capacior para armazenar energia poencial elérica, a qual é a base do desfibrilador, aparelho usado por uma equipe médica de emergência para coner a fibrilação de um coração viimado por um aaque cardíaco. Na ocasião, supomos um desfibrilador consruído com um capacior de 70µF, o qual é carregado a uma ddp de 5kV. Considerou-se que cerca de 200J da energia oal armazenada no desfibrilador (capacior) foram enviados aravés da víima durane um pulso de 2ms. Iso consiui um circuio RC série em processo de descarga do capacior (desfibrilador). Nese caso, a resisência do circuio é consiuída pelo caminho, ao longo do peio da víima, pelo qual aravessa a correne elérica variável, enre um erminal e ouro do aparelho. Assim sendo, e endo em mene os dados obidos durane a resolução do referido exercício de número 18 (do Capíulo 7), deermine: a) A consane de empo de descarga do circuio, em mili-segundos (ms). b) O valor aproximado da resisência, em ohms (Ω), consiuída pelo caminho ao longo do peio da víima, pelo qual aravessa a correne elérica variável, enre um erminal e ouro do aparelho. 12. Considere um circuio RC série de diagrama igual ao da Figura 8.4. Sabe-se que a ensão sobre o capacior (inicialmene descarregado) de 1000µF, durane um processo de carga no mesmo (ligação do inerrupor: a-s para carregameno; ligação b-s para descarregameno), ainge 63,21% da fem ideal de 30V em aproximadamene 4,31s. Para o processo de carga do mesmo, sabe-se que sua consane de empo (de carga) equivale a um erço do valor da consane de empo do processo de descarga no capacior. Assim sendo, deermine: 16
a) A consane de empo do circuio de carga do capacior, em segundos (s). b) A consane de empo do circuio de descarga do capacior, em segundos (s). c) O valor do resisor R 1. d) O valor do resisor R 2. e) O insane de empo, em segundos (s), para que a ensão no capacior, durane seu processo de carregameno, seja igual a 42% da sua ensão máxima possível. f) O insane de empo, em segundos (s), para que a ensão no capacior, durane seu processo de descarregameno, se reduza a 42% da sua ensão inicial. g) A correne máxima do circuio, em miliampères (ma), no processo de carregameno do capacior. h) A correne inicial do circuio, em miliampères (ma), no processo de descarregameno do capacior. i) O insane de empo, em segundos (s), para que a correne elérica do circuio decaia à meade do seu valor inicial, no processo de carregameno do capacior. j) O insane de empo, em segundos (s), para que a correne elérica do circuio decaia à meade do seu valor inicial, no processo de descarregameno do capacior. k) A quanidade de carga elérica máxima à ser acumulada no capacior, em milicoulombs (mc), no seu processo de carregameno. l) O insane de empo, em segundos (s), para que a quanidade de carga elérica no capacior cresça aé um quaro do seu valor máximo, no processo de carregameno do mesmo. m) O insane de empo, em segundos (s), para que a quanidade de carga elérica no capacior decresça aé um quaro do seu valor inicial, no processo de descarregameno do mesmo. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. a) 2,52s; b) 21,6µC; c) 1,75s; d) 1,75s; e) 8,57µA; f) 1,75s; g) 2,01s; 2. a) 2,52s; b) 21,6µC; c) 1,75s; d) 1,75s; e) 8,57µA; f) 1,75s; g) 1,51s; 3. a) 1,2ms; b) 12µC; c) 0,83ms; d) 0,83ms; e) 10mA; f) 0,83ms; 4. a) 3,4ms; b) 12µC; c) 2,36ms; d) 2,36ms; e) 3,53mA; f) 2,36ms; 5. a) 70,5s; b) 564µC; c) 48,87s; d) 48,87s; e) 8,57µA; f) 48,87s; 6. a) 80,84s; b) 564µC; c) 56,03s; d) 56,03s; e) 6,98µA; f) 56,03s; 7. a) 3,34µs; b) 3,34MΩ; 8. a) 664,22ms; b) 81µF; 9. a) 2,41µs; b) 160,79pF; 10. a) 18s; b) 6,42s; 11. a) 15,41ms; b) 220,19Ω; 12. a) 4,7s b) 14,1s; c) 4,7kΩ; d) 9,4kΩ; e) 2,56s; f) 7,68s; g) 6,38mA; h) 2,13mA; i) 3,26s; j) 9,77s; k) 30mC; l) 1,35s; m) 19,55s; 17