CÁLCULO DE RAÍZES DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES Itrodução Em dversos camos da Egehara é comum a ecessdade da determação de raízes de equações ão leares. Em algus casos artculares, como o caso de olômo, que são uções algébrcas ão leares com roredades artculares, é ossível a solução aalítca ara o caso de olômos do grau e certas classes de olômos de 3º e 4º graus. No caso de uções trascedetas que são uções ão leares e ão algébrcas a determação só é ossível de orma umérca. E.: ( ) e - ( ) l( ) se( ) Serão aresetados a segur os rcas métodos umércos ara determação de raízes de equações ão leares. Tas métodos que odem ser dvddos em: da Bsseção; Métodos Fechados{Método das cordas; detre outros... Métodos Abertos {Método de Newto; Método da Secate; e outros...
Seja () uma ução ão-lear com ( 0 ) 0. Ecotrar os valore de o que satsaçam tal gualdade costtu um roblema de determação das raízes de (). Para tato, são ecessáras os segutes assos: a) Isolar uma raz,. e., ecotrar um tervalo [a, b], cotedo uma úca raz de ( 0 ) 0; b) Partdo de uma estmatva cal da raz, reá-la até alcaçar a recsão desejada. Isolameto de raízes Teorema : Seja cotíua em [a, b]. ( a) ( b) 0 <, etão ( a, b) ε tal que ( ) 0 ε. Se Além dsso, se ( ) > 0 ou ( ) < 0 ( a,b), etão a raz é úca. Equações Algébrcas Proredades a L uma equação algébrca de 0 a a a a) Seja ( ) grau ( 0) a. Etão ( ) ossu raízes. b) Se os coecetes são reas, etão, as raízes comleas são ares comleos cojugados, de mesma multlcdade.
Lmtes das raízes a L, 0 a a a Cosderemos o olômo ( ) com a 0 e a R. Seja ε a maor das raízes ostvas de (), temos que ε L, com: L B { k ode: K a Maor ídce dos coecetes egatvos B Mámo módulo detre os coecetes egatvos Seja ada a segute equação aular: ( ) ( ) 0 com L sedo:, ε, ε, L, ε suas raízes e L o lmte sueror de suas raízes ostvas ( ε L ε L ) das raízes ostvas de () ( L ε L ). Seja agora ( ) ( ) 0 Sedo ( ε 0) q q <. Logo, /L é o lmte eror. Suas raízes são: ε, L, ε. ε a maor das raízes ostvas, tem-se: ε q L ε ou q { L lmte eror das raízes egatvas Por m, cosderado o olômo: ( ) ( ), tem-se: 3 ε q L 3 ε q L3 3 lmte sueror das raízes egatvas
Eemlo: 4 3 ( ) 5 7 9 30 0 4 3 4 ( ) ( ) 5 7 9 30 0 4 3 ( ) ( ) 5 7 9 30 0 4 3 4 ( ) ( ) 5 7 9 30 0 3 ara ( ) : k 3, 7 7 B L 4 3 ara ( ) : k, B 7 7 L 4 30 L 0,674,483 ara ( ) : k, 9 9 B L 4 6, 385 ara 3 ( ) : k 3, B 9 9 L 43 3,967 30 L3 0,508 Portato: 0,674 ε 8 6,385 ε 0,508 4000 3500 3000 500 000 500 000 500 0-500 -6-4 - 0 4 6 8
Número de raízes Teorema de Bolzao ( ) 0 ; ( a,b) se ( a) ( b) < 0 º ímar ( a) ( b) > 0 º ar de raízes de raízes Relações etre raízes e coecetes (Relações de Grard) Seja ( ) a a a a 0 0 ( ) a ( )( ε ) ( ε ) 0 ε L. L a orma atorada: Eetuado algumas oerações algébrcas (somas e multlcações) e gualado os coecetes dos termos de mesmo eoete, obtemos as segutes relações: ε ε L ε a a ε ε 3 L ε ε ε ε 3 L ε ε L ε ε a ε ε ε L L L ε ε ε ( ε ε ) ( ) a 3 a 3 a ε ε ε 3 L L ε () a 0 M a
Equações Trascedetes: Fuções de Naturezas Dsttas Isolameto de raízes Método gráco Eemlo: ( ) e se( ) Outra orma: g h ( ) g( ) h( ) ( ) e ( ) se( ) 0 Eatdão da Raz Teorema: Seja ε uma raz eata de ( ) 0 e uma aromação sua. Seja ada: m mí a b ( ).e.: ( ) m 0 >, b a. Etão: ε ( ) m
Prova: De acordo com o teorema do valor médo, tem-se: ( ) ( ) ( ε ) ( c) ε, sedo ε < c < ( ) ( ε ) ε ( c) ; ( ε ) 0 () c ( ) m ε Logo: ε ( ) m Como o cálculo da dervada, ara determação de m em semre é ossível, costuma-se usar um dos crtéros abao, ara teste de covergêca: º) ( ) { tolerâca reada º) 3º)
Método da Bsseção Seja ( ) cotíua o tervalo [ a,b], com ( a) ( b) < 0 coorme mostra o gráco a segur:, Dvde-se o tervalo ao meo, dedo o oto 0 e calcula-se o valor de ( 0 ), comarado o seu sal com ( a) e com ( b) Cocetra-se a ateção aquele subtervalo com ( ) ( ) 0 rocesso é reetdo até se alcaçar a covergêca. <.. O O método ossu uma taa de covergêca lear; Semre coverge ara uma solução, e; Possu ácl mlemetação comutacoal.
Algortmo: - Ecotrar e, tal que ( ) ( ) 0 < ; - Determar m s ; 3- Comarar o sal da ução em m 3. - Se ( ) m 0 etão m é a raz da ução, are os cálculos 3. - Se ( ) ( m ) < 0 a raz está o subtervalo [, ] assm o m e ermaece Caso cotráro a raz está o subtervalo [, ] m e ermaece; m ; m ; assm 4 - Retorar ara o asso e calcular o ovo m ; 5 - Vercar se o tamaho do tervalo é eror à recsão desejada. Caso sso ão acoteça, retorar ao asso 3. 6 - Aresetar o resultado do cálculo.
E.: Determe a raz de ( ) e com - tol 0, 0 e. Já que: 0 tol,,calcular: m > 0,5 Como ( ). ( ) ( 0). ( 0,5 ) 0,0653 0, etão descartar 0. m > e 0,5 > tol Como ( ). ( ) ( 0,5 ). ( ) 0 m < m e calcular ovamete 0,5 m 0, 75 e 0, 75 0,5 > tol Como ( ). ( ) ( 0,5 ). ( 0, 75) 0 m < etão e calcular ovamete: m 0,5 0, 75 m 0,65 e 0,65 0,5 > tol Como ( ). ( ) ( 0,5). ( 0,65) 0,0 0 m < etão e calcular ovamete: m 0,5 0,65 m 0,565 < e 0,65 0,565 < tol Como ( 0,565). ( 0,65) 0 Etão raz 0, 565 m
Covergêca Na -ésma teração, o comrmeto do tervalo a cosderar é: b a b a Para o º subtervalo: 0 a b a Para o º subtervalo: 0 b a Geeralzado: Como b a tem-se: ou: l [( b a) ] l( ) b a Como lm lm 0, tem-se que o rocesso coverge,. e., ε, os ( ) ( ) 0
Método das Cordas Alca-se a uma ução cotíua ( ) com raz úca [ a,b] com ( ) com sal costate. ε, () () Realza-se uma terolação lear etre os otos etremos do tervalo e calcula-se a raz ( ) da reta teroladora. ( ) (, ( )) substturá o oto com ordeada de mesmo sal que, a m de reetr o rocesso, até que haja covergêca. ou: a b a ( a) ( b) ( a) b b a ( b) ( b) ( a) b b a ( b) ( a) ( b)
() () Para a gura (), tem-se: ( a) ( ) ( ) ( a ) a b a b ( ) ( ) ( ) ( b) b Para a gura (), tem-se: ( b) ( ) ( ) ( b ) a b b a ( ) ( ) ( ) ( a) a Geeralzado: ( ) ( ) ( ) ( c) c ode c é um oto da ução ode esta tem o mesmo sal de sua dervada seguda,.e., ( c) ( c) > 0. Resumdo: O oto ado (a ou b) é aquele ode o sal da ução ( ()) cocde com o sal de sua dervada seguda ( () ). A aromação se az do lado da raz ε, ode o sal da ução ( ()) é oosto ao sal de sua dervada seguda ( () ).
Covergêca A aromação estará semre mas róma que a ateror. Cosderado: lm ( ) ε ; ( a < ε < b) tem-se: ( ) lm( ) lm lm ( ) ( ) ( ) ( a ) a ε ε ( ε ) ( ) ( ) ( a ε ) ( ε ) a ε 0 Portato, como a raz é úca, ε ε e o rocesso coverge.
Método de Newto Iterretação Gráca Dedução ela geometra: ( ) ( ) 0 ( ) ( ) Dedução ela sére de Taylor: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) K! trucado a sére e cosderado ( ) 0 etão ( ) ( )( ) 0 obtedo-se: ( ) ( )
Observações: O método ode dvergr caso estam otos de mámo ou mímo da ução o tervalo de busca. Se a ução ossur múltlos zeros, a covergêca torar-se-á leta. E.: Determe a raz da equação: e 0, elo método de Newto. ( ) e, e ; cosdere 0, 0 e 0 Iterações ε % 0 0 00 0.50000000.8 0.566303 0.47 3 0.567436 0.0000 4 0.567439 < 0-8 E.: (Eemlo de covergêca leta do método de Newto), cálculo da raz real ostva da equação: 0-0, (Cosdere 0 0.5 ). Iterações 0 0.5 5.65 46.485 3 4.8365 4 37.6585 5 33.887565
Método da Secate É uma modcação do método de Newto. A dervada é substtuída or uma estmada de orma umérca. ( ) ( ) ( ) Iterretação Gráca do Método: Substtudo a estmatva umérca da dervada a eressão teratva do método de Newto, tem-se: ( )( ) ( ) ( )
E.: Determe a raz da equação ( ) - e - ; r 0.567439. a teração, - 0, 0, ( - ).0, ( 0 ) - 0.63 ( 0 ) ( 0.63) 0.63 0.670 a teração, 0, 0.670, ( 0 ) - 0.63, ( ) - 0.0708 ( 0.670) ( 0.0708) 0.63 0.670 0.5684 0.63 O método coverge um ouco mas letamete que o método de Newto e com mas esorço comutacoal.