Sequencias e Series Autor: Dr. Cristian Novoa MAF- PUC- Go cristiancalculoii@gmail.com Este texto tem como objetivo principal, introduzir alguns conceitos de Sequencias e Series,para os cursos de Engenharia, este texto, também não pretende substituir material sobre Sequencias e Series. Definição 1. Uma sequencia é uma ordenação de números reais dada pela função Naturais incluindo o zero, ate os Números Reais), que denotaremos por índice n, denota a posição onde o numero real se encontra na ordenação. (dos Números, onde o Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1: Seja tal que. Veja que os dez primeiros termos estão dados por: seguinte sequencia:,,,,...,, ou seja que temos a de maneira análoga podemos calcular os dez primeiros termos das sequencias dadas por: ; ; Estamos interessados em saber, se para certo n muito grande, Será que o termo de algum numero real. Esta é a noção de limite de uma sequencia que damos a seguir. fica próximo Definição. Uma sequencia admite limite L se,, temos que, que denotaremos por : Veja que se o limite não existir, então a sequencia não admite limite. E diremos que uma sequencia converge se o limite existir, caso contrario diremos que a sequencia diverge. Com a definição anterior vejamos os seguintes exemplos. Exemplo 2: Seja uma sequencia, e seja L=1 na definição anterior. Logo
Agora, se considerarmos um n, muito grande temos que a expressão dada por como se queria, logo, podemos concluir que o limite da sequencia, é igual a 1, isto é,, tende a zero Um critério para decidir quando uma sequencia admite limite ou não, é dado pelo seguinte resultado. Teorema 1 : i) se. ii) se. Dm. Queremos mostrar que existe um N>0, grande de tal maneira que para n>n, temos que =0, isto é, temos que que aplicando o logaritmo natural em esta desigualdade seque que Como 0<, temos que e podemos considerar, já que pode ser considerado muito pequeno, e se então e como pode ser considerado muito pequeno, temos que será sempre negativo e, então não é possível achar um N>0, tal que a sequencia se aproxime de alguém. Exemplo 2: Ache os primeiros quatro termos da sequencia e calcule o limite: i), logo os primeiros quatro termos são 1,,, e pelo teorema 1, anterior temos que pois. ii), veja que pelo teorema 1, anterior, temos que, já que >1. O seguinte resultado estabelece as propriedades dos limites de sequencias, que são fundamentalmente as mesmas propriedades dos limites em uma variável do calculo I. Teorema 2: Sejam duas sequencias tais que, então são validas as seguintes propriedades: i) ii) iii) desde que.
Usemos estas propriedades para calcular alguns exemplos de limites de sequencias. Exemplo 3: Calculemos o. Exemplo 4: Calculemos o, pelo teorema anterior, e podemos aplicar a Regra de L Hôpital a sequencia anterior e, temos que,. Definição 2 : Seja uma sequencia. Chamaremos de Serie, associada a sequencia a expressão:. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 5: Seja a sequencia, então a Serie associada a esta sequencia é dada por: Exemplo 6: Seja a sequencia, então a Serie associada a esta sequencia é dada por: Veja, que a partir da Serie anterior podemos definir uma nova sequencia, dada pelas somas parciais da serie da seguinte forma: Seja e consideremos a soma parcial dada por que é a soma ate o n-ésimo termo da sequencia, desta forma temos uma nova sequencia das somas parciais. Então, estamos interessados agora em saber quando esta nova sequencia converge ou não, ou seja, quando o seguinte limite existe. Vejamos o seguinte exemplo:
Exemplo 7: Consideremos a seguinte sequencia, então mostremos que a Serie associada a esta sequencia converge, ou seja que Primeiro observemos que o termo geral da sequencia, então Calculando limite, temos Exemplo 8: Consideremos a seguinte serie Geométrica: i) Esta serie Geométrica converge para se, ii) E diverge se Para verificar isto, basta observar que Então, - Calculando o limite temos, Se, e somente se,, como mostrado no teorema 1. Um dos problemas a serem abordados agora, é de encontrar critérios mais diretos para decidir se uma serie é convergente ou não. Na literatura existem muitos critérios para resolver este problema, poderíamos estudar todos eles, mas decidi mostrar somente o critério, conhecido como critério da Razão, que enunciamos a seguir.
Teorema 3: Consideremos a seguinte serie, então é valido: i) Se, então a Serie é absolutamente convergente. ii) Se iii) Se, então a Serie é absolutamente divergente., então a Serie pode ser convergente ou divergente. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 9: Verifiquemos a convergência ou divergência das seguintes series. i), veja que,, então Calculando o limite, temos, logo a serie é convergente. ii), veja que, e, então Calculando o limite, temos. Definição 3: Chamaremos de Serie de Potencia, na variável x, a expressão: Onde os coeficientes. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 10: Consideremos a Serie de Potencia Veja que o termo geral é dado por e o termo, então usando o critério da Razão, temos
Que calculando o limite, segue que. Portanto, esta serie de Potencia será convergente, se <1, ou seja se Este intervalo, é conhecido como intervalo de convergência da Serie de Potencia. As Series de Potencias, tem uma aplicação muito interessantes no desenvolvimento de algumas funções, ou representação de algumas funções em forma de Serie de Potencia, no intervalo de convergência, ou seja, podemos reescrever uma função. Vejamos o seguinte exemplo. Exemplo 11: Consideremos a Serie de Potencia Veja que o intervalo de convergência é dado por. Que converge se, e somente se,. Por outro lado, veja que Logo, temos uma representação da função em serie de potencia, desde que Teorema 4: Seja uma serie de Potencia, e seja r o seu raio de convergência e consideremos a função. Se, então as seguintes afirmações são válidas: i) ii)
Exemplo 12: Usando o teorema anterior, obtenhamos uma representação em serie de potencia para a função. Veja que, pelo anterior sabemos que: Então, derivando a função temos,, como queríamos. Exemplo 13: Determine a representação em Serie de Potencia para a função, com. A partir do anterior, sabemos que do teorema anterior temos que, então, a partir Como queríamos, desta forma podemos calcular. Exemplo 14: Determinemos uma representação em serie de potencia para que, e a partir do anterior temos que. Recordemos Que integrando termo a termo segue que: Exemplo 15: Mostremos que. Basta considerar, então E como são somas infinitas, temos que, como se queria. Teorema 4: Seja onde x esta no intervalo contendo c. Então
Corolário : Se, então Exemplo 16: Seja, logo para c=0, temos: Como tínhamos visto. Exercicios. 1) Determine os quatro primeiros termos da sequencia, e determine o limite se existir das sequencias a seguir: a) d) b) e) c) f) 2) Joga-se uma bola de borracha de uma altura de 10 metros, e cada vez que ela atinge o solo, ela volta aproximadamente três quartos da distancia da queda. Use a serie Geométrica para obter uma aproximação da distancia total percorrida pela bola, ate o repouso. 3) Verifique a convergência ou a divergência das seguintes series: a) b) c) d) e) f) 4) Represente cada uma das seguintes funções em serie de potencia. a) b) c) d) 5) Determine o desenvolvimento em serie de potencia para as seguintes funções, em torno do zero. a) b) c) d)