CONJUNTOS NUMÉRICOS - Números Naturais (IN ) Foram os primeiros úmeros a surgir devido à ecessidade dos homes em cotar objetos. IN = { 0,,,,,, 6,... } - Números Iteiros ( Z ) Se jutarmos os úmeros aturais aos úmeros iteiros egativos formamos o cojutos dos úmeros iteiros. Z = {..., -, -, -, -, 0,,,,,... } Números Racioais ( Q ) A motivação para a criação dos úmeros racioais foi a ecessidade de efetuar medidas. O cojuto dos úmeros racioais é formado por todos os úmeros que podem ser escritos a forma de fração, com deomiador ão-ulo. Etre dois úmeros racioais quaisquer existem ifiitos úmeros racioais. Represetamos esse cojuto por meio de uma característica comum a todos os elemetos: Q = { x x = q p, p Z e q Z * } Observação: Verifique que todo úmero iteiro também é racioal. Porque?, 6,, 7 - Números Irracioais ( I ): Existem úmeros que ão podem ser escritos a forma de fração, como por exemplo e π. Estes úmeros formam o cojuto dos úmeros irracioais I, e todo úmero pertecete a este cojuto é chamado de úmero irracioal. Números Reais (IR): A jução dos úmeros racioais Q e dos úmeros irracioais I, formam o cojuto dos úmeros reais IR. - Prof. Daiel Almeida AULA 0/0 Lembrar que a regra de siais só é utilizada para multiplicação e divisão. A ordem a resolução de expressões uméricas º os parêteses ( ) º os colchetes [ ] º as chaves { } Quato aos siais, também precisamos obedecer a ordem correta etre eles: º multiplicação e divisões ( e ) º adições e subtrações (+ e ) Na adição e subtração: + + (+) = 8 siais iguais, soma-se e coservase o sial; (+) = - 6 ote que a operação resulta em siais iguais, etão aplicamos a regra aterior; + 7 ( ) = 8 a operação também resulta em siais iguais, etão aplicamos a mesma regra; ( ) = + a operação resulta em siais diferetes, etão subtrai-se e coserva-se o sial do valor de maior módulo. Na multiplicação e divisão: + (+) = + siais iguais positivo; (+) = 8 siais diferetes egativo; +7 ( ) = 7 siais diferetes egativo 8 ( ) = + siais iguais positivo. Operação com icógitas x + x = x x x = x² x x = 0 x x = Trasformado a liguagem umérica em escrita x o dobro de um úmero; x² o quadrado de um úmero; x y a difereça de dois úmeros; x y o quociete etre dois úmeros; x y o produto de dois úmeros; x + x/ o triplo de um úmero mais sua metade; x/ x a terça parte de um úmero meos o seu quítuplo; x² + x o quadrado de um úmero mais o seu triplo meos dois; x² - y² a difereça do quadrado de dois úmeros. Propriedades gerais da poteciação OPERAÇÕES BÁSICAS Regra de siais * + (+) = + siais iguais positivo; * (+) = siais diferetes egativo; * ( ) = + siais iguais positivo. a a m = a + m. Logo = + = = = a multiplicação de potêcias de mesma base, coservamos a base e somamos os expoetes; a a m = a m. Etão = = = a divisão de potêcias de mesma base coservamos a base a subtraímos os expoetes;
(a m ) = a m. Logo: ( ) = x = 6 = = 6 a potêcia de potêcia, multiplicamos os expoetes; (a = a b. Logo: ( ) = = 9 = 6 observe que o primeiro e o segudo valor estão elevados ao mesmo expoete. a a 8 =, b 0 Etão: = Lembretes b b = 7 ote que tato o umerador quato o deomiador estão elevados ao mesmo expoete. Prof. Daiel Almeida AULA 0/0 FATORAÇÃO Fatorar sigifica escrever uma expressão algébrica a forma de um produto de expressões o mais simples.. ax + ay = a.(x + y). bx + by bz = b.(x+y-z). 9 = 7.7 = 7². =..... =.96 = 6 x 6 x 6 x 6 = 6 EXPRESSÕES NUMÉRICAS a 0 =, logo: 0 = ; 0 = qualquer úmero, ão ulo, elevado a zero é igual a um; a = a, etão: = ; = qualquer úmero elevado a um é igual a ele mesmo; As expressões uméricas são expressões matemáticas que evolvem úmeros. Devemos lembrar de que existe uma ordem para resolvermos qual quer expressão umérica. Resumidamete: a = a, a 0, logo: - = = quado um expoete é egativo, ivertemos a base e o sial do expoete. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Em algumas situações precisamos apeas saber se um úmero atural é divisível por outro úmero atural, sem a ecessidade de obter o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras cohecidas como critérios de divisibilidade. Divisibilidade por Um úmero é divisível por se ele é par, ou seja, termia em 0,,, 6 ou 8 Exemplo: 0,,.08 Divisibilidade por Um úmero é divisível por quado a soma de seus algarismos produz como resultado um úmero múltiplo de. Exemplo: 6 ( + 6 = 9) 7 ( + + 7 = ) Divisibilidade por Um úmero é divisível quado os últimos úmeros formam um úmero divisível por. ) Parêteses ) Colchetes ) Chaves ) Potêcia ou Radiciação ) Multiplicação 6) Soma ou Subtração Veja o exemplo abaixo: [6 + (9 / ). ( + + ) - 70. (0 : 8 -)] / = [6 +. ( + 6) -. ( -)] / = [6 +. (0) -. ] / = [6 + 60 - ] / = 6 / = 6 = 6 MÁXIMO DIVISOR COMUM (mdc) Dois ou mais úmeros aturais sempre têm divisores comus, mesmo que esse divisor seja. Vamos ecotrar os divisores comus de 0 e 60 Exemplo: 80 (0 é divisível por ). ( é divisível por ) 987.6 ( é divisível por ) Divisibilidade por Um úmero é divisível por quado termia em zero ou Exemplo: 0,,.. NÚMEROS PRIMOS Deomiamos úmeros primos todos os úmeros aturais divisíveis apeas por e por eles mesmos. Números primos = {,,, 7,,, 7, 9,...} MINIMO MULTIPLO COMUM (mmc) Dois ou mais úmeros aturais sempre têm múltiplo comus a eles. Vamos ecotrar os múltiplos comus de e 6.,6,, CUIDADO!! O úmero ão é primo.
Os múltiplos comus de 6 são 0, 6,, 8,... Os múltiplos comus de são 0,,, 6, 0,... Observe que os múltiplos comus de e 6 são 0,,... Detre estes, diferetes de zero, é o meor. Etão, ós o deomiamos de míimo múltiplo comum de e 6 e represetamos por: m.m.c. (,6) = FRAÇÕES O que é uma fração? Fração é um úmero que exprime uma ou mais partes iguais em que foi divido uma uidade ou iteiro. Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza iteira e a dividirmos em quatro partes iguais, cada parte represetará uma fração da pizza. Prof. Daiel Almeida AULA 0/0 Simplificação de frações: Para simplificarmos uma fração, devemos dividir o umerador e o deomiador por um mesmo úmero iteiro. Observem comparado com os quadradihos acima. Outros exemplos: ão é possível a simplificação, por isso, é uma fração irredutível. Tipos de fração: Qual o sigificado de uma fração? Uma fração sigifica dividir algo em partes iguais. Seja etão a fração Chamamos o umerador da fração e o deomiador da fração. Fração Decimal: quado o deomiador da fração for igual a 0 ou múltiplo de 0. Fração Ordiária: é quado o deomiador for um úmero diferete de 0 e seus múltiplos. 8 fração ordiária fração ordiária c) 0 fração decimal - Fração própria: é aquela que o umerador é meor que o deomiador. Ex: ( 7<9 ) - Fração imprópria: é aquela que o umerador é maior ou igual ao deomiador. Exemplo: e PROPRIEDADES Propriedades da adição dos aturais Fechameto: A soma de dois úmeros aturais é um umero atural. 7 d) fração decimal 00 Associativa: A adição de três parcelas pode ser feita associado-se as duas primeiras ou as duas últimas parcelas, idiferetemete. Frações equivaletes: são frações que represetam a mesma parte de um todo, como o próprio ome já diz, são equivaletes. Exemplo: (+) + = + (+) Comutativa: A ordem das parcelas ão altera a soma. 8 8 Exemplo: 8 8
Elemeto eutro: No cojuto dos úmeros aturais, zero é chamado de elemeto eutro da adição. Exemplo: + 0 = Propriedades da multiplicação dos aturais Fechameto: O produto de dois úmeros aturais é sempre um umero atural. Associativa: Numa multiplicação de três fatores, podem-se associar aos dois primeiros ou os dois últimos, idiferetemete. () 0 0 Exemplo ( ) ( ) ( ) 0 0 Comutativa: A ordem dos fatores ão altera o produto. 7 8 7 8 Exemplo: 7 7 É importate lembrar que, se um produto de três os mais fatores um deles for zero, o produto será igual a zero: Exemplo: 0 = 0 Distributiva da multiplicação em relação à adição (ou subtração): O produto de um úmero por uma soma (ou difereç pode ser obtido multiplicado-se o úmero por cada um dos termos da soma (ou difereç e adicioado-se (ou subtraido-se) os produtos parciais. Observe essa propriedade os exemplos seguites: 9( ) 9 9 ( ) 9 9 9 9 7 8 Elemeto iverso Exemplo: - = TESTES EM SALA: = 0. (FUVEST-SP) O valor da expressão 6 é: 6 / / c) / d) -/ Prof. Daiel Almeida AULA 0/0 0. (FCC) Os soldados de um batalhão são reuidos a cada 0 dias para tratar de assutos específicos de seguraça e a cada dias para tratar de assutos gerais da comuidade local. Se as duas reuiões coicidiram em º de agosto, deverão voltar a coicidir em 0 de setembro. o de outubro. c) de outubro. d) de outubro. e) 0 de outubro. 0. Três peças de tecidos que medem metros, 0 metros e 8 metros, devem ser cortadas em pedaços todos do mesmo comprimeto e do maior tamaho possivel, sem que haja sobra de tecidos em qualquer uma das peças. Nestas codições. Os pedaços, iguais, medem: m 6m c) m d) 7m e) 0m 0. (FCC/008-TRT-8ª) Na otação cietífica, um úmero é escrito como um produto de dois úmeros x e y, tais que x < 0 e y é uma potêcia de 0. Assim, por exemplo, a otação cietífica do úmero 0,0806 é. Com base essa iformação, é correto afirmar que a otação cietífica do úmero 0,006x,0 A é, 8, 0 7, 0 c) 8, 0 d) 7, 0 e) 8,0 TESTES: 0. No poto de ôibus passa ôibus para o bairro X de em miutos e um ôibus para o bairro Y de em miutos. Se os dois passaram jutos às 8 horas e 0 miutos, a que horas vão passar jutos ovamete? 8h mi 9h mi c) 9h 0mi d) 9h mi e) 8h 0mi 0. (ACAPLAM) Num país Latio as eleições para presidete da república ocorrem de em aos e as eleições para primeiro miistro ocorrem de 6 em 6 aos. Se as últimas eleições para presidete e para primeiro miistro ocorreram em 00 em que ao mais próximo as eleições poderão voltar a coicidir? 0. 06. c) 0. d) 06. e) 0.
0. Um carpiteiro deve cortar três tábuas de madeira com comprimeto,0m,,70m, e m, respectivamete, em pedaços iguais e de maior comprimeto possível. Assim, o comprimeto de cada parte cortada será: 0 cm 0 cm c) 0 cm d) 0 cm e) 60 cm 0. Alberto foi ao médico e este lhe receitou quatro medicametos, A, B, C, D, que devem ser tomados da seguite forma: O medicameto A deve ser tomado de em horas. O medicameto B de 6 em 6 horas e o medicameto C de em horas, e o medicameto D de em horas. Se Alberto tomou todos os medicametos jutos, às 0 horas da mahã de uma sexta feira, quado estará igerido todos os medicametos jutos outra vez? às 0 horas da mahã de domigo às 0 horas da oite de domigo c) às 0 horas da mahã de seguda-feira d) às 0 horas da oite de seguda-feira e) às horas da mahã de terça-feira 0. (FCC) Três fucioários fazem platões as seções em que trabalham: um a cada 0 dias, outro a cada dias e o terceiro a cada 0 dias, iclusive sábados domigos e feriados. Se o dia 8/0/00 os três estiveram de platão, a próxima data em que houve coicidêcia o dia de seus platões foi: 8//0 7/09/0 c) 8/08/0 d) 7/07/0 e) 8/06/0 06. (FESP-PE) Resolvedo a expressão 9 :. 6 7/ /7 c)/8 d)/8 07. (UTFPR 009) Duas empresas de ôibus fazem o trajeto de Curitiba até as praias do Paraá. Todos os dias os primeiros ôibus das duas empresas saem simultaeamete, da Rodoviária, às 6 horas da mahã. A partir de etão, a primeira empresa tem ôibus de em horas e a seguda empresa tem ôibus de em horas. O próximo horário em que os ôibus destas empresas sairão simultaeamete será: h 8h c) h d) h e) somete às 6 horas do dia seguite. Prof. Daiel Almeida AULA 0/0 08. (UTFPR) Qual o meor algarismo que se deve colocar o lugar da letra a, o úmero 798a; para que este seja divisível por e ao mesmo tempo? 0 c) d) 09.(UTFPR) A expressão... 6 7 c) d) 7 e) 6 0. (UTFPR-0) A expressão a:.. c) 6. d) 6. e)/. GABARITO: é igual a: 0 6 7 8 9 0 D C B B D D B C E A é equivalete