UM CONTROLADOR DE SEGUIMENTO DE CAMINHOS E POSICIONAMENTO PARA ROBÔS MÓVEIS UNICICLO

UM CONTROLADOR DE SEGUIMENTO DE CAMINHOS E POSICIONAMENTO PARA ROBÔS MÓVEIS UNICICLO Cassius Z. Rsnd, R. Carlli, Mário Sarcinlli-Filho Dp. Engnharia Elétrica, Univrsidad Fdral do Espírito Santo - UFES Av. Frnando Frrari, 514, Goiabiras, Vitoria - ES - Brasil. 2975-91 Instituto d Automática, Univrsidad Nacional d San Juan - UNSJ Av. San Martin Ost 1112, J54ARL, San Juan, Argntina Coordnação d Automação Industrial, Campus Srra, Instituto Fdral d Educação, Ciência Tcnologia do Espírito Santo - IFES Rodovia ES-1, Km 6,5, Manguinhos - Srra - ES - Brasil. 29173-87 Emails: cassius@ifs.du.br, rcarlli@inaut.unsj.du.ar, mario.sarcinlli@ufs.br Abstract This papr prsnts a nw motion controllr for unicycl mobil robots that is capabl of accomplishing both positioning and path-following tasks. Th proposd controllr has th advantag of simultanously prforming th approximation of th robot to th proposd path by th shortst rout and limiting its vlocity. Such faturs ar achivd by th continuous variation of th controllr gains, whos valus ar dtrmind by fuzzy ruls. Kywords Path Following, Positioning Task, TS Fuzzy Modl, Mobil Robots. Rsumo Est trabalho aprsnta um novo controlador d movimnto d robôs uniciclo qu é capaz d ralizar tanto a tarfa d posicionamnto como a tarfa d sguimnto d caminhos. O controlador proposto possui a vantagm d ralizar a aproximação do robô ao caminho proposto plo trajto mais curto,, simultanamnt, limitar sua vlocidad. Tais caractrísticas são alcançadas pla variação contínua dos ganhos do controlador, cujos valors são dtrminados por rgras fuzzy. Palavras-chav Sguimnto d Caminho, Posicionamnto, Modlo Fuzzy TS, Robôs Móvis. 1 Introdução Est trabalho aprsnta um novo controlador d movimnto para robôs uniciclo qu é capaz d ralizar tanto a tarfa d posicionamnto como a tarfa d sguimnto d caminhos. Inicialmnt, a solução do problma d sguimnto d caminhos foi aprsntada no trabalho d Canudas d Wit t al. (1997). Esta solução possui dois inconvnints: aprsnta singularidad não prmit qu o robô assuma vlocidad igual a zro durant o sguimnto do caminho. Isto impd qu o robô móvl par dvido a uma sinalização d control d tráfgo, por xmplo, o qu é uma situação vrossímil. Uma nova abordagm, sm aprsntar o inconvnint da singularidad, foi aprsntada por Sotanto t al. (23). Contudo, Clst t al. (213) xplica qu quando há valors lvados d rros ssa solução satura os atuadors do robô, ocasionando instabilidad no sistma. Altrando as lis d control d Sotanto t al. (23), Clst t al. (213) aprsnta outra proposta para o sguimnto d caminhos, solucionando o problma d saturação dos atuadors. Embora não possuam singularidads, as duas últimas soluçõs citadas também não prmitm qu o robô assuma vlocidad zro durant o sguimnto do caminho. Uma solução qu prmit ao robô assumir vlocidad igual a zro qu não possui singularidad é aprsntada no trabalho d Andaluz t al. (211). Nst trabalho é dmonstrado qu a strutura d control aprsntada m (Martins t al., 28), qu é utilizada para o sguimnto d trajtória para o posicionamnto, também pod sr utilizada para o sguimnto d caminhos. A unificação dsss três controladors é formalizada m (Andaluz t al., 212), mbora st último trabalho aprsnt um controlador d movimnto unificado d manipuladors móvis. O controlador aqui proposto, ao contrário dos antriormnt citados, possui a vantagm d ralizar a aproximação do robô ao caminho proposto plo trajto mais curto. Além disso, l ainda aprsnta as outras vantagns dsjadas: não possui singularidad, prmit qu o robô assuma vlocidad igual a zro durant o sguimnto do caminho limita os sinais d control, vitando a saturação dos atuadors. 2 Modlo Cinmático Adotado Nst trabalho o robô é considrado como um ponto localizado à frnt do ixo virtual qu liga suas rodas (ponto d da Figura 1). Tal ponto daqui m diant srá dnominado como ponto d intrss. Da Figura 1, a vlocidad do ponto d intrss com rspito ao sistma inrcial {I} é dada

Y {I} X a d u Y y c y y~ N c(s) y c T P T D n ~ y d V x c V x Figura 1: O robô sus parâmtros cinmáticos. por [ẋ ] [ ] [ cos ψ asnψ u = ẏ snψ a cos ψ ω] [ u = C, (1) ω] ond a vlocidad linar u a vlocidad angular ω são as ntradas d control do robô, ẋ ẏ são, rspctivamnt, a vlocidad do ponto d intrss nas dirçõs X Y do sistma inrcial, a > rprsnta a distância ntr o ponto d intrss o ponto cntral do ixo virtual, ψ é orintação do robô, dada pla solução d ψ = ω. 3 O Controlador d Sguimnto d Caminhos com Posicionamnto Inicial Na Figura 2, c(s) = (x c (s), y c (s)) é um caminho proposto; o ponto P d = (x c (s D ), y c (s D )) é a projção ortogonal do ponto d intrss sobr o caminho c(s), ond s D a abscissa curvilína qu dfin o ponto P d ; T N são os vtors unitários tangncial normal do sistma d rfrência d Frnt construído no ponto P d ; θ T é a orintação do vtor T m rlação ao sistma inrcial d rfrência {I} θ N é a orintação do vtor N m rlação ao sistma inrcial d rfrência {I}; x = x c (s D ) x é o rro d posição na dirção X, ỹ = y c (s D ) y é o rro d posição na dirção Y ñ = n = n (2) é o rro d posição na dirção N. D acordo com a Figura 2, o problma d sguimnto d caminhos é rsolvido por uma li d control capaz d fazr com qu o ponto d intrss do robô assuma uma vlocidad dsjada igual a V = V = V θ T, (3) além d fazr com qu o robô prmança sobr o caminho, ou sja, qu x = ỹ =, qu é o msmo qu ñ =. Obsrv-s qu o problma d posicionamnto é um caso particular do sguimnto d caminhos, ond V =. 3.1 Estrutura do Controlador A strutura d control proposta para o sguimnto d caminhos combina a cinmática invrsa da plataforma com dois blocos fuzzy d {I} x c Figura 2: Projção do ponto d intrss sobr c. modlo Takagi-Sugno (TS) qu são projtados com a técnica sctor nonlinarity (Tanaka and Wang, 21). Tal strutura foi utilizada com sucsso no sguimnto d trajtória m (Rsnd t al., 213). D acordo com a Figura 3, a nova li d control aqui proposta é [ ur sndo ω r ] x~ x ] ([ẋc = C 1 ẏ c N [ ρx ρ y ]) X (4) ẋ c = V cos(θ T ) ẏ c = V sn(θ T ), (5) ond u r ω r são as saídas do controlador cinmático, V é a ntrada d rfrência d vlocidad do controlador, ẋ c é a projção d V na dirção X, ẏ c é a projção d V na dirção Y, C 1 é a matriz d cinmática invrsa do modlo cinmático, ρ x ρ y são as saídas dos blocos compnsadors fuzzy d vlocidad (CFV). Os blocos fuzzy são assim dnominados por grarm sinais d vlocidad. O bloco d pré-procssamnto da Figura 3 é rsponsávl por dtrminar o ponto P d os ângulos θ T θ N, qu são dados por ( dy θ T = tan 1 ds (s ) d) dx ds (s d) ( ) ỹ θ N = tan 1. (6) x Além disso, o bloco d pré-procssamnto também dtrmina o valor d V pla sguint condição {, n > c [m], V = V d, n (7) c [m], ond c é um valor d rro V d é o valor d vlocidad dsjada para o robô sobr o caminho. Na condição d V =, o controlador stará aproximando o robô ao caminho através d um posicionamnto, na condição d V = V d, o controlador stará sguindo o caminho. Os dois compnsadors fuzzy d vlocidad possum bass d rgras S-Então smlhants,

V d pré-procssamnto do caminho c(s) V T N - x c ( s D ) ~ x y c ( s D ) - y~ cos T sn T N y x Controlador d Sguimnto d Caminhos Posicionamnto y c x c CFV X N y x C CFV Y Robô u x y Figura 3: Esquma do controlador. x r y r -1 C sndo qu o compnsador fuzzy d vlocidad da dirção X tm como variávis prmissas x ẋ c, rspctivamnt o módulo do rro d posição na dirção X o módulo da projção d V na dirção X. O compnsador fuzzy d vlocidad da dirção Y tm como variávis prmissas ỹ ẏ c, rspctivamnt o módulo do rro d posição na dirção Y o módulo da projção d V na dirção Y. As variávis prmissas x ỹ são divididas m 3 conjuntos fuzzy cada: rro pquno (P), médio (M) grand (G). A função d prtinência do conjunto fuzzy rro pquno é dada por f P ( ẽ ) = u r r 1, ẽ < η 1 ; η 1 (η η1 η2 1 ) (η, 1 ) ẽ η 1 ẽ < ;, ẽ < ; (8) nquanto a função d prtinência do conjunto fuzzy rro médio é dada por, ẽ < η 1 ; η 1 f M ( ẽ ) = (η η2 1 ) ẽ (η, η 1 ) 1 ẽ < ; (η η2 η3 2 ) (η, ) ẽ 2 ẽ < ; (9) a função d prtinência do conjunto fuzzy rro grand é dada por {, < η2 ; f G ( ẽ ) = (η η3 2 ) ẽ (η, ) 2 < ; (1) ond ẽ rprsnta o rro d posição x ou ỹ. A Figura 4 aprsnta o sboço d tais funçõs d prtinência. As variávis prmissas ẋ c ẏ c são divididas m 2 conjuntos fuzzy cada: vlocidad baixa (B) lvada (E). D acordo com a Figura 5, tais variávis prmissas são dfinidas d a V dmax, ond V dmax é o limit para a vlocidad dsjada V d. A bas d rgras S-Então do compnsador fuzzy d vlocidad da dirção X é constituída plas 6 rgras Rx i aprsntadas na Tabla 1. Cada uma dlas é xprssa através da forma gral Rx i : S ẋ c é Q i x é N i ntão ρ x = a i x, ond i = 1, 2,..., 6, Q i pod assumir os conjuntos fuzzy vlocidad baixa (B) ou vlocidad lvada (E), N i pod assumir os conjuntos fuzzy rro pquno (P), rro médio (M) ou rro grand (G). Como xmplo, a primira rgra do compnsador fuzzy d vlocidad da dirção X, dada por Rx 1 : S ẋ c é uma vlocidad baixa (B) x é um rro pquno (P), ntão ρ x = a 1 x stá rprsntada na Tabla 1 por Rx 1 : BP a 1. Da msma forma, a bas d rgras S-Então do sgundo compnsador fuzzy d vlocidad é constituída por 6 rgras Ry i também aprsntadas na Tabla 1. Cada uma dlas é xprssa através da forma gral Ry i : S ẏ c é Q i ỹ é N i, ntão ρ y = b i ỹ, com i = 1, 2,..., 6. Na Tabla 1, V max é o limit d vlocidad stablcido para o ponto d intrss fora do caminho. Para garantir a stabilidad do sistma m malha fchada V max > V dmax. Dfinidas as rgras fuzzy, para cada par d ntrada (ẋ c, x), a saída ρ x é dada por i=1 ρ x = f Q i ( ẋ c ) f Ni ( x )a i x i=1 f, (11) Q i ( ẋ c ) f Ni ( x ) sndo f Qi ( ẋ c ) o grau d prtinência da prmissa ẋ c dntro do conjunto fuzzy Q i f Ni ( x ) o grau d prtinência da prmissa x dntro do conjunto fuzzy N i. Da msma forma, para cada par d ntrada (ẏ c,ỹ), a saída do ρ y é dada por ρ y = i=1 f Q i ( ẏ c ) f Ni ( ỹ )b i ỹ i=1 f Q i ( ẏ c ) f Ni ( ỹ ), (12) sndo f Qi ( ẏ c ) o grau d prtinência da prmissa ẏ c dntro do conjunto fuzzy Q i f Ni ( ỹ ) o grau d prtinência da prmissa ỹ dntro do conjunto fuzzy N i. prtinência 1.5 P M G 1 2 3 módulo dos rros d posição [m] Figura 4: Esboço das funçõs d prtinência dos módulos dos rros d posição. prtinência 1.5 B E,5V d max módulo da vlocidad [m/s] V d max Figura 5: Esboço das funçõs d prtinência do módulo da projção d V m X Y.

Tabla 1: As 6 Rgras dos Compnsadors Fuzzy R 1 : BP R 4 : EP a 1 = b 1 (scolhidos) a 4 = b 4 = Vmax V dmax η 1 R 2 : BM R 5 : EM a 2 = Vmax cos θ N V a 5 = b 5 = max V dmax b 2 = Vmaxsnθ N R 3 : BG R 6 : EG a 3 = Vmax cos θ N V a 6 = b 6 = max V dmax b 3 = Vmaxsnθ N Notas: i) o rro η 1 dfin o valor d rro a partir do qual o projtista considra qu o robô já alcançou a caminho. ii) ganhos a 4 b 4 mais lvados rsultam m rros d sguimnto d caminho mnors. iii) ganhos a 1 b 1 pqunos rsultam numa aproximação mais suav ao ponto alvo na tarfa d posicionamnto. iv) O rro dfin o valor d rro a partir do qual o projtista considra qu o robô dv dsaclrar ao s aproximar do caminho. A dsaclração é influnciada plo ganho pquno a 1. v) O rro dfin o rro máximo d posição. 3.2 Projto dos Compnsadors Fuzzy d Vlocidad Para o projto das funçõs d prtinência dos conjuntos fuzzy d rro d posição é utilizada a técnica sctor nonlinarity. Por sta razão, as funçõs d prtinência dos conjuntos d rro são construídas d uma forma spcífica: para ẽ > η 1 somnt duas das três funçõs d prtinência são difrnts d zro fni ( ẽ ) = f P ( ẽ ) f M ( ẽ ) f G ( ẽ ) = 1, (13) ond ẽ rprsnta o rro d posição x ou ỹ. Pla msma razão, as funçõs d prtinência dos conjuntos d vlocidad dvm sr construídas d tal forma qu fqi ( v c ) = f B ( v D ) f E ( v D ) = 1, (14) ond v c rprsnta a vlocidad ẋ c ou ẏ c. Manipulando (1), (4), (11), (12), (13) (14), chga-s ao comportamnto m malha fchada da vlocidad do ponto d intrss, dado por [ẋ ] = ẏ [ẋc k(ẋ c, x) x ẏ c k(ẏ c, ỹ) ỹ ], (15) ond k(ẋ c, x) k(ẏ c, ỹ) são ganhos dados por k(ẋ c, x) = k(ẏ c, ỹ) = 6 a i f Qi ( ẋ c ) f Ni ( x ), (16) i=1 6 b i f Qi ( ẏ c ) f Ni ( x ). (17) i=1 Sguindo, as funçõs d prtinência f P ( ẽ ), f M ( ẽ ) f G ( ẽ ), os ganhos a 4, a 5, a 6, b 4, b 5 b 6 são calculados para limitar a vlocidad do ponto d intrss do robô m ẋ = ẏ = V max ntr η 1 ẽ. Examinando (5) (15), para x = η 1 ẋ c = V dmax, o limit d vlocidad V max é rspitado s k(ẋ x, x) η 1 = V max V dmax. (18) Mas, nsta condição, d acordo com (16), k(ẋ x, x) = a 4, ou sja, o ganho a 4 dv sr a 4 = V max V dmax η 1. (19) Rptindo o procsso antrior para x = x =, rspctivamnt, tm-s a 5 = V max V dmax, (2) a 6 = V max V dmax. (21) Da msma forma, xaminando (5) (15) para ẏ c = V dmax, ỹ = η 1, ỹ = ỹ =, chga-s aos valors d b 4, b 5 b 6. Para x ẋ c = V dmax os valors d prtinência dos conjuntos fuzzy são f P ( x ) =, f M ( x ), f G ( x ), f B ( ẋ c ) = f E ( ẋ c ) = 1. Substituindo sts rsultados m (13) (16), rspctivamnt, tm-s f M ( x ) f G ( x ) = 1 (22) k(ẋ c, c) = a 5 f M ( ẽ ) a 6 f G ( ẽ ). (23) Rsolvndo o sistma d quaçõs formado por (18), (2), (21), (22) (23), obtém-s as funçõs d prtinência f M ( ẽ ) f G ( ẽ ) para ẽ, dadas por (9) (1). Rptindo o procsso antrior para η 1 x ẋ c = V dmax chga-s nas funçõs d prtinência f P ( ẽ ) f M ( ẽ ) para η 1 ẽ, dadas por (8) (9). Sguindo, os ganhos a 2, a 3, b 2 b 3 são calculados para orintar a vlocidad do ponto d intrss na dirção θ N durant o posicionamnto (ẋ c = ẏ c = ), isso nquanto ẽ. A vlocidad do ponto d intrss é orintada na dirção θ N fazndo-s qu ẋ = V max cos θ N ẏ = V max snθ N. Examinando (5) (15), para x = ẋ c =, dsja-s qu k(ẋ c, x) = V max cos θ N. (24) Mas, nsta condição, d acordo com (16), k(ẋ x, x) = a 2, ou sja, o ganho a 2 dv sr a 2 = V max cos θ N. (25)

Examinando (5) (15), para x = ẋ c =, tm-s qu a 3 dv sr a 3 = V max cos θ N. (26) Da msma forma, xaminando (5) (15) para ẏ c =, ỹ = ỹ =, chga-s nos valors d b 2 b 3. Para x ẋ c = os valors d prtinência dos conjuntos fuzzy são f P ( x ) =, f M ( x ), f G ( x ), f B ( ẋ c ) = 1 f E ( ẋ c ) =. Substituindo sts rsultados m (13) (16), rspctivamnt, tm-s f M ( x ) f G ( x ) = 1 (27) k(ẋ c, c) = a 2 f M ( ẽ ) a 3 f G ( ẽ ). (28) Rsolvndo-s o sistma d quaçõs formado por (24), (25), (26), (27) (28), chga-s nas msmas funçõs d prtinência f M ( ẽ ) f G ( ẽ ) já calculadas antriormnt para vlocidad lvada, fchando, assim, o projto dos CFV. 3.3 Anális d Estabilidad Inicia-s o studo da stabilidad do sistma m malha fchada obtndo-s, da Figura 2, as rlaçõs além d x = ñ sn(θ T ) ỹ = ñ cos(θ T ), (29) ṅ = ẋ sn(θ T ) ẏ cos(θ T ). (3) Drivando-s (2), obtém-s ñ = ṅ, (31) substituindo (3) m (31), tm-s ñ = ẋ sn(θ T ) ẏ cos(θ T ). (32) ou sja, (36) srá dfinida ngativa, garantindo a stabilidad do sistma m malha fchada, s k x (ẋ c, x) > k y (ẏ c, ỹ) >. Obsrv-s qu tal condição é garantida fazndo-s a 1 = b 1 > V max > V dmax. Uma vz qu ñ, também x ỹ. Sndo assim, pla quação (15) a vlocidad final do ponto d intrss srá V = V θ T. Para o caso particular do posicionamnto tm-s qu V =, ou sja, uma vz qu ñ o robô ating o ponto alvo fica ali posicionado (porém, sm o control da sua orintação final). 4 RESULTADOS EXPERIMENTAIS O controlador proposto foi implmntado no robô Pionr 3-DX. Os rsultados obtidos são aprsntados comprovam sua ficiência. Lvando-s m considração, além do robô, o spaço d trabalho disponívl, stablcram-s os sguints limits d vlocidad para os xprimntos: V max =, 3 [m/s] V dmax =, 2 [m/s]. Escolhndo η 1 =, 25 [m], =, 3 [m], = 2 [m], c =, 3 2 [m], a 1 = 1 b 1 = 1, os ganhos do controlador são obtidos d acordo com a Tabla 1. No primiro xprimnto, o robô dv sguir um caminho dfinido por c(s) = (x c (s) =, 5s, y c (s) = s) com a vlocidad dsjada V d =, 2 [m/s], partindo d poss iniciais distintas. A Figura 6 aprsnta os prcursos do robô, para três poss iniciais distintas. Not-s qu nquanto ñ > c, indpndnt da pos inicial, o robô s aproxima do caminho sguindo a orintação θ N. Not-s também qu próximo do caminho, a partir d ñ c, o robô muda d orintação para alcançar o caminho suavmnt. No sgundo xprimnto, o robô dv atingir o ponto dfinido por c(s) = (x c (s) =, y c (s) = 1, 5) com V d =, partindo d poss iniciais distintas. Agora, manipulando (5), (15) (32), obtém-s ñ = k(ẋ c, x) x sn(θ T ) k(ẏ c, ỹ) ỹ cos(θ T ). (33) Por fim, substituindo (29) m (33), tm-s o comportamnto d ñ m malha fchada, dado por ñ = k(ẋ c, x) ñ sn 2 (θ T ) k(ẏ c, ỹ) ñ cos 2 (θ T ). (34) A quação (34) só possui um ponto d quilíbrio, ñ =. Propondo-s a função candidata d Lyapunov L = 1 2ñ2 >, a condição para a stabilidad assintótica do ponto d quilíbrio é L = ñ ñ <. (35) Pla substituição d (34) m (35), tm-s qu L = k(ẋ c, x) ñ 2 sn 2 (θ T ) k(ẏ c, ỹ) ñ 2 cos 2 (θ T ), (36) Figura 6: Trajtórias xcutadas durant o primiro xprimnto.

Est artigo propõ valida um novo controlador d sguimnto d caminhos para robôs móvis do tipo uniciclo, sndo qu tal controlador também é capaz d posicionar o robô. O controlador proposto foi implmntado no robô comrcial Pionr 3-DX. Os rsultados xprimntais obtidos são aprsntados, mostrando qu o robô é capaz d sguir o caminho dsjado também ralizar a tarfa d posicionamnto. O controlador aprsntado possui a vantagm d ralizar a aproximação do robô ao caminho dsjado plo trajto mais curto. Além disso, tal controlador não possui singularidad, prmit qu o robô assuma vlocidad igual a zro durant o sguimnto do caminho,, por fim, limita a vlocidad do robô os sinais d control, vitando uma possívl saturação dos atuadors. AGRADECIMENTOS Figura 7: Trajtórias xcutadas durant o sgundo xprimnto. A Figura 7 aprsnta os prcursos sguidos plo robô, para duas poss iniciais distintas. Not-s qu partindo da pos 4 o robô s aproxima do ponto sguindo a orintação θ N. Já quando part da pos 5, primiro o robô ftua um giro para dpois s aproximar do ponto alvo sguindo a orintação θ N. A Figura 8 aprsnta a volução da vlocidad do ponto d intrss do robô durant o sgundo xprimnto, para as duas poss inicias distintas. Not-s qu a vlocidad stá limitada à V max =, 3 [m/s], xmplificando qu o controlador proposto é ralmnt capaz d limitar a vlocidad do ponto d intrss. Not-s também qu partindo da pos 5, durant o giro do robô ( < t < 4 [s]), a vlocidad do ponto d intrss não é fixa m V max =, 3 [m/s]. Figura 8: Evolução da vlocidad do ponto d intrss. 5 CONCLUSÕES Os autors agradcm ao Instituto Fdral d Educação, Ciência Tcnologia do Espírito Santo (IFES), à Univrsidad Fdral do Espírito Santo (UFES), ao Instituto d Automática (INAUT) da Univrsidad Nacional d San Juan (UNSJ), da Argntina, à FAPES - Fundação d Amparo à Psquisa do Espírito Santo. Rfrências Andaluz, V., Robrti, F., Toibro, J. M. and Carlli, R. (212). Adaptiv unifid motion control of mobil manipulators, Control Eng. Practic 2(12): 1337 1352. Andaluz, V., Robrti, F., Toibro, J. M., Carlli, R. and Wagnr, B. (211). Adaptiv dynamic path following control of an unicycl-lik mobil robot, in C.-Y. Su, S. Rakhja and H. Liu (ds), Intllignt Robotics and Applications, Springr Brlin Hidlbrg, pp. 563 574. Canudas d Wit, C., Siciliano, B. and Bastin, G. (1997). Thory of Robot Control. Clst, W. C., Bastos-Filho, T. F., Sarcinlli- Filho, M., D La Cruz, C. and Carlli, R. (213). A robust adaptiv path-following controllr for a robotic whlchair, Journal of Control, Automation and Elctrical Systms 24(4): 397 48. Martins, F. N., Clst, W., Carlli, R., Sarcinlli- Filho, M. and Bastos-Filho, T. F. (28). An adaptiv dynamic controllr for autonomous mobil robot trajctory tracking, Control Eng. Practic 16(11): 1354 1363. Rsnd, C. Z., Carlli, R. and Sarcinlli-Filho, M. (213). A nonlinar trajctory tracking controllr for mobil robots with vlocity limitation via fuzzy gains, Control Enginring Practic 21(1): 132 139. Sotanto, D., Lapirr, L. and Pascoal, A. (23). Adaptiv, non-singular path-following control of dynamic whld robots, IEEE Confrnc on Dcision and Control, Vol. 2, pp. 1765 177. Tanaka, K. and Wang, H. O. (21). Fuzzy Control Systms Dsign and Analysis: A Linar Matrix Inquality Approach, John Wily & Sons, Inc., Nw York, USA.