Aula 4 Matemática e Raciocínio Lógico Senado Federal 1. Comentários... 2 2. Ângulos... 2 I. Ângulo reto, agudo, obtuso... 2 II. Bissetriz de um ângulo... 3 III. Ângulos complementares, suplementares e replementares... 4 IV. Ângulos opostos pelo vértice... 4 3. Paralelismo... 7 I. Lei Angular de Tales... 9 4. Polígonos... 11 I. Polígono Regular... 12 II. Número de diagonais de um polígono de n lados... 13 III. Soma dos ângulos internos de um polígono convexo... 17 5. Classificação dos Triângulos... 24 I. Síntese de Clairaut... 26 6. Teorema de Tales... 29 7. Teorema de Pitágoras e suas aplicações... 33 I. Diagonal do quadrado... 33 II. Altura do triângulo equilátero... 34 8. Semelhança de Triângulos... 43 9. Quadriláteros... 48 I. Trapézios... 49 II. Paralelogramo... 50 III. Losango... 51 IV. Retângulo... 51 V. Quadrado... 52 10. Circunferência e Círculo... 58 I. Corda, diâmetro e tangentes... 72 II. Relações entre cordas e secantes... 80 11. Triângulos, circunferências e áreas... 82 12. Questões FGV... 86 13. Relação das questões comentadas... 90 14. Gabaritos... 104 1
1. Comentários Olá pessoal! Vamos iniciar a aula 4 do nosso curso de Raciocínio Lógico e Matemática para o Senado Federal. Apesar de este assunto aparecer explicitamente no edital (geometria), não encontrei muitas questões de concursos da FGV, exceto em provas de concursos para Professor de Matemática. Por se tratar de um concurso com Matemática como matéria específica, deixei para comentar tais questões no final da aula como um extra. Mesmo assim, não resolverei algumas questões desta prova por estarem envolvidos assuntos avançados de Geometria como Teorema de Menelaus, Teorema de Pappus, tópicos de Geometria Espacial (troncos de cone), dentre outros. Sem mais delongas, vamos começar. 2. Ângulos Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem. Essas semi-retas são os lados do ângulo e a origem comum das semi-retas é o vértice do ângulo. A O B O vértice do ângulo é o ponto O. Os lados do ângulo são as semi-retas AO e OB. I. Ângulo reto, agudo, obtuso Os ângulos são medidos em graus ou em radianos. Nesta aula trabalharemos apenas com graus. Na próxima aula (trigonometria) trabalharemos com os ângulos medidos em radianos. Quando as semi-retas que formam o ângulo são opostas, dizemos que o ângulo é raso e sua medida é, por definição, 180º (180 graus). 180º O Pois bem, a partir da figura anterior, vamos traçar uma semi-reta que divida 2
exatamente o ângulo ao meio. Teremos dois ângulos de 90º que são chamados de ângulos retos. Quando este símbolo aparecer em alguma figura, estará indicado que se trata de um ângulo reto. Ângulo agudo é um ângulo menor que um ângulo reto. Ângulo obtuso é um ângulo maior que um ângulo reto e menor que um ângulo raso. Ângulo obtuso Podemos dizer que o ângulo de 1 grau (1º) é um ângulo reto dividido em 90 partes iguais. O ângulo reto tem 90 graus (90º). O Existem ainda submúltiplos do grau. Dizemos que um grau (1º) é igual a um ângulo de 60 minutos (60 ). 1 60 Podemos ainda dizer que o ângulo de um minuto (1 ) é igual a um ângulo de 60 segundos (60 ). 1 60 Ângulo agudo II. Bissetriz de um ângulo Considere um ângulo de vértice O. Uma semi-reta interna ao ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes. O 3
III. Ângulos complementares, suplementares e replementares Dois ângulos são complementares se e somente se a soma de suas medidas é 90º. Um deles é o complemento do outro. Se um dos ângulos mede, diremos que a medida do outro é 90. Por exemplo, o complemento de 30º é 30 90 30 60. Dois ângulos são suplementares se e somente se a soma de suas medidas é 180º. Um deles é o suplemento do outro. Se um dos ângulos mede, diremos que a medida do outro é 180. Por exemplo, o suplemento de 30º é 30 180 30 150. Dois ângulos são replementares se e somente se a soma de suas medidas é 360º. Um deles é o replemento do outro. Se um dos ângulos mede, diremos que a medida do outro é 360. Por exemplo, o replemento de 30º é 30 360 30 330. IV. Ângulos opostos pelo vértice Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são as semi-retas opostas dos lados do outro. Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes (têm a mesma medida). Ângulos opostos pelo vértice 4
01. (Prefeitura Municipal de São José FEPESE/2007) Se dois ângulos são suplementares e a medida do maior é 35º inferior ao quádruplo do menor, assinale a alternativa que indica a medida do menor desses dois ângulos: a) 25º b) 36º c) 43º d) 65º e) 137º Resolução Dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é 180º. Em tempo, dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é 90º e dois ângulos são replementares se a soma de suas medidas é 360º. Se um ângulo mede xº, o seu suplemento é denotado por sup, o seu complemento é denotado por e o seu replemento é denotado por. Assim, tem-se as seguintes relações: sup 180 comp 90 rep 360 Voltemos ao enunciado: Dois ângulos são suplementares. Digamos que o maior meça x graus. Assim, o menor medirá (180 x) graus. A medida do maior é 35º inferior ao quádruplo do menor. 4 180 35 720 4 35 5 685 137 Atenção!!! A resposta não é a letra E!!! O problema pede o menor dos ângulos. Como os ângulos são suplementares, o menor ângulo será 180 137 43. Letra C 5
02. (Agente de Trânsito Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Na figura abaixo, as duas aberturas angulares apresentadas são suplementares. Qual o valor da medida do ângulo X? (A) 100º 45 (B) 106º 37 (C) 98º 99 (D) 360º (E) 111º 11 Resolução Vimos na questão passada que dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é 180º. Se um ângulo mede xº, o seu suplemento é denotado por sup e sup 180 sup 72 83 180 72 83 Lembremos que 1º é o mesmo que 60 (60 minutos). Assim, 180º = 179º60 e 72º83 =73º23 sup 72 83 179 60 73 23 Letra B sup 72 83 106 37 EP 1. Qual é o ângulo que excede o seu complemento em 58º? Resolução Vamos considerar que o ângulo mede graus. Desta forma, seu complemento é igual a 90. Podemos reescrever o enunciado assim: Â é 58 90 58 90 58 2 148 6
O ângulo procurado é 74º. 74 EP 2. Determine dois ângulos suplementares, sabendo que um deles é o triplo do outro. Resolução Se um dos ângulos mede graus, então o outro medirá 180. O outro ângulo é 180 135 45. Resposta: Os ângulos são 135º e 45º. 3 180 540 3 4 540 135 3. Paralelismo Duas retas são paralelas se são coincidentes (iguais) ou se são coplanares (pertencem ao mesmo plano) e não possuem pontos comuns. Para os nossos objetivos, vamos trabalhar apenas com retas paralelas distintas. r s As retas r e s são paralelas e indicamos assim:. Vamos agora considerar duas retas paralelas distintas r e s, e uma reta t concorrente com r e s. Desta forma, 8 ângulos importantes ficam determinados. t 3 2 1 4 r 6 5 7 8 s 7
Vamos considerar dois grupos de ângulos: Grupo I 1,3,5,7. Grupo II 2,4,6,8. Todos os ângulos do grupo I são congruentes entre si. Todos os ângulos do grupo II são congruentes entre si. Escolhendo-se um ângulo qualquer do grupo I e um ângulo qualquer do grupo II, certamente eles serão suplementares (a soma é igual a 180º). Se a reta t for perpendicular às retas r e s, então os oito ângulos serão congruentes. Resumindo: Vamos considerar que a reta t é concorrente obliqua. Então dos oito ângulos determinados, 4 são agudos e 4 são obtusos. Escolhendo-se 2 ângulos dentre os agudos, então eles são congruentes (têm a mesma medida). Escolhendo-se 2 ângulos dentre os obtusos, então eles são congruentes (têm a mesma medida). Escolhendo-se 1 ângulo agudo e 1 ângulo obtuso, então eles são suplementares (a soma é igual a 180º). 03. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Se o ângulo a mede 44 30 e o ângulo q mede 55 30, então a medida do ângulo b é: a) 100. b) 55 30. c) 60. d) 44 30. e) 80. Resolução 8
Tracemos uma reta paralela às retas r e s pelo ponto de interseção dos segmentos inclinados. O ângulo que fica acima da reta vermelha é igual a e o ângulo que fica abaixo da reta vermelha é igual a. Isso é verdade pois quando temos duas retas paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos agudos são congruentes. Assim, Letra A 44 30 55 30 99 60 100 I. Lei Angular de Tales A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º. 04. (CGU 2003-2004/ESAF) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2:3:4. O ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a: a) 40 b) 70 c) 75 d) 80 e) 90 Resolução Se os ângulos do triângulo encontram-se na razão 2:3:4, podemos chamá-los de 2x, 3x e 4x. Lembremos da Lei Angular de Tales: a soma dos ângulos de um triângulo qualquer é sempre 180º. Assim, 2 3 4 180 9 180 9
O maior ângulo é 4 4 20 80 Letra D 20 05. (Assistente de Chancelaria MRE 2002/ESAF) Num triângulo ABC, o ângulo interno de vértice A mede 60º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B e C mede: a) 45º b) 60º c) 90º d) 120º e) 150º Resolução A Lei Angular de Tales garante que 180. Como 60, então: 60 180 120 Vamos traçar as bissetrizes dos ângulos B e C. Lembre-se que uma bissetriz é uma semi-reta interna ao ângulo que o divide em duas partes de mesma medida. A bissetriz do ângulo B o divide em dois ângulos de medida B/2. A bissetriz do ângulo C o divide em dois ângulos de medida C/2. 60º B/2 X C/2 Vamos aplicar novamente a Lei Angular de Tales: Como 120 : 2 2 180 2 180 120 2 180 60 180 10
Letra D 120 4. Polígonos De acordo com o número de lados, os polígonos recebem nomes especiais. Número de Lados Nome do polígono 3 Triângulo ou Trilátero 4 Quadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono O perímetro de um polígono é a soma dos seus lados. Temos o costume de indicar o perímetro de um polígono por 2 e o seu semiperímetro (metade do perímetro) por. 06. (Prefeitura Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Calcule o perímetro de um terreno retangular de medida 94 m e 36 m. (A) 320 m (B) 280 m (C) 260 m (D) 270 m (E) 300 m Resolução Temos o costume de denotar o perímetro (soma das medidas de todos os lados de um polígono) por 2p. Assim, 2 94 94 36 36 260. 11
Polígono equilátero Polígono equiângulo CURSO ON-LINE MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO Letra C 07. (Agente de Trânsito Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Um pedreiro construiu um muro ao redor de um terreno retangular que tinha um perímetro de 96 metros. O comprimento desse terreno equivale ao triplo de sua largura. As dimensões desse terreno valem (A) 12 m por 36 m. (B) 25 m por 50 m. (C) 1 km por 12 km. (D) 15 m por 32 m. (E) 18 m por 36 m. Resolução Denotando a largura por x, o comprimento será 3x. O perímetro é igual a 96m. Assim, 3 3 96 8 96 12 Assim, a largura é 12m e o comprimento 3 x 12 = 36m. Letra A I. Polígono Regular Um polígono que possui todos os lados congruentes (com mesma medida) é dito equilátero. Um polígono que possui todos os ângulos congruentes (com mesma medida) é dito equiângulo. 12
Um polígono convexo é regular se e somente se é equilátero e equiângulo. É muito importante observar o seguinte fato: O único polígono que se é equilátero, então é equiângulo e se é equiângulo, então é equilátero é o triângulo. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, podemos concluir que cada ângulo interno de um triângulo equilátero mede: 180 3 60 60º 60º 60º II. Número de diagonais de um polígono de n lados Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não consecutivos do polígono. www.po s.com.br 13
Um pentágono e suas 5 diagonais. Vamos deduzir a fórmula que fornece o número de diagonais de um polígono de duas maneiras: i) Argumento combinatório Um polígono de lados possui vértices. Para determinar uma diagonal devemos escolher dois dos vértices. Observe que uma diagonal AB é igual a uma diagonal BA. Portanto, não é relevante a ordem dos vértices. A priori, o número de diagonais seria igual a. Destas há alguns segmentos que são pseudo-diagonais. São os lados do polígono. Devemos das pseudo-diagonais retirar os lados. Portanto, o número de diagonais é igual a: 2 1 2 1 2 2 3 2 3 2 ii) Argumento geométrico Considere um polígono com lados. De cada vértice partem 3 diagonais. Subtraímos o número 3, porque não podemos mandar uma diagonal para o próprio vértice e nem para os vértices que estão ao lado. Vamos ver, por exemplo, um heptágono (polígono de 7 lados). Observe que cada vértice manda 4 diagonais (7 3). 14
Pois bem, então de cada vértice partem 3 diagonais. Isso é importantíssimo e já foi perguntado em prova!! Como são vértices, então o total de diagonais seria igual a 3. Porém, nesta conta cada diagonal é contada duas vezes, pois tem extremidades em 2 vértices. Portanto, o número de diagonais é igual a: 3 2 08. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Assinale a alternativa que corresponde ao número de diagonais de um icoságono. a) 340 b) 190. c) 170. d) 380. e) 95. Resolução Vamos lembrar os nomes dos polígonos em função do número de lados. Número de Nome do polígono Lados 3 Triângulo ou Trilátero 4 Quadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono Portanto, o icoságono é um polígono com 20 lados. O número de diagonais de um polígono com n lados é igual a 3 2 15
Assim, o número de diagonais do icoságono é igual a Letra C 20 20 3 2 170. 09. (AFT 2006/ESAF) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a: a) 11 b) 12 c) 10 d) 15 e) 18 Resolução Mostramos anteriormente a fórmula que fornece o número de diagonais de um polígono convexo. 3 2 De cada vértice partem (n 3) diagonais. Isso porque não podemos traçar diagonais para o próprio vértice nem para os vértices adjacentes. Um hexágono possui 6 6 3 2 9. Assim, se o polígono possui n lados, de cada vértice partem n 3 diagonais. Dessa forma, Letra B 3 9 12 10. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Um joalheiro recebe uma encomenda para uma jóia poligonal. O comprador exige que o número de lados seja igual ao número de diagonais. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma jóia (A) triangular. (B) quadrangular. (C) pentagonal. (D) hexagonal. (E) decagonal. Resolução 16
O número de diagonais é igual ao número de lados. 3 2 3 2 Como n > 0, podemos cortar n em ambos os membros. 3 2 5 Trata-se, portanto, de um pentágono. O pentágono possui 5 diagonais. Letra C III. Soma dos ângulos internos de um polígono convexo A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com lados é 180 2 Quem sabe que a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180 pode facilmente entender a fórmula acima. Ou seja, saber o valor da soma dos ângulos internos de um triângulo permite calcular a soma dos ângulos de qualquer outro polígono convexo. Como exemplo, considere o polígono de cinco lados disposto abaixo (pentágono). 17
Vamos tomar o vértice de cima como referência. A partir deste vértice, quantas diagonais podemos traçar? Diagonal é qualquer segmento de reta que une dois vértices de um polígono. Embora eu tenha dito qualquer, este qualquer tem exceção. Cada lado do polígono liga dois vértices. Só que os lados não são diagonais. Então uma diagonal seria qualquer segmento de reta que liga dois vértices não adjacentes de um polígono. Para exemplificarmos, vamos tomar como referência o vértice de cima (destacado em vermelho na figura abaixo). Queremos construir diagonais a partir deste vértice. As diagonais devem ligar este vértice aos demais. Não podemos ter diagonais ligando este vértice aos dois vizinhos, pois aí teríamos lados. Não podemos ter diagonal ligando este vértice a ele próprio. Assim, dos 5 vértices do pentágono, este vértice em destaque só pode formar diagonal quando ligado a dois dos demais vértices. Ou seja, só é possível construirmos 2 diagonais a partir dele. Abaixo detalhamos as duas diagonais: 18
Você pode guardar isso como regra. A partir de um vértice, sempre conseguiremos traçar n 3 diagonais (onde n é o número de vértices do polígono). Por que precisamos subtrair 3? Porque não podemos formar diagonais com os dois vértices vizinhos, nem com o próprio vértice em análise. Número de diagonais que partem de um dado vértice do polígono de n lados: n 3 Muito bem, traçadas as duas diagonais, nós conseguimos dividir o pentágono em 3 triângulos. Ora, se a soma dos ângulos internos do triângulo é 180 e com 3 triângulos nós formamos um pentágono, então a soma dos ângulos internos de um pentágono fica: 3 180º = 540º E nós podemos fazer isto para qualquer figura. Para um polígono de n lados ficaria assim. Partindo de um dos vértices nós conseguimos traçar n 3 diagonais. Com isso, dividimos a figura em n 2 triângulos. Logo, a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por: ( n 2) 180º Soma dos ângulos internos de um polígono de n lados ( n 2) 180º Observe que quando um polígono é regular, todos os seus ângulos têm a mesma medida. Portanto, a medida de cada ângulo interno de um polígono convexo de lados é igual a: 180 2 Vamos determinar a soma dos ângulos internos de alguns polígonos para exercitar. 3 â 19
180 3 2 180 1 180 Que já sabíamos através da Lei Angular de Tales 4 á 180 4 2 180 2 360 5 á 180 5 2 180 3 540 11. (SUSEP 2010/ESAF) A soma S 1 dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados, com n 3, é dada por S i =(n-2).180 0. O número de lados de três polígonos convexos, P 1, P 2, e P 3, são representados, respectivamente, por (x-3), x e (x+3). Sabendo-se que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 3240 0, então o número de lados do polígono P 2 e o total de diagonais do polígono P 3 são, respectivamente, iguais a: a) 5 e 5 b) 5 e 44 c) 11 e 44 d) 5 e 11 e) 11 e 5 Resolução O enunciado foi muito generoso já fornecendo a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono. O primeiro polígono tem (x 3) lados. Assim, na fórmula devemos substituir o n por x 3 obtendo 3 2 180. O segundo polígono tem x lados, e, portanto, devemos substituir o n por x obtendo 2 180. Por fim, o terceiro polígono tem (x+3) lados e a soma dos seus ângulos internos será 3 2 180. Já que a soma de todos os ângulos internos é 3240º, temos a seguinte equação: 3 2 180 2 180 3 2 180 3.240 5 180 2 180 1 180 3.240 180 900 180 360 180 180 3.240 Portanto, o número de lados de P 2 é 8. 540 1.080 3.240 540 1.080 3.240 540 4.320 8 O primeiro polígono P 1 possui 8 3 = 5 lados. O polígono P 3 possui 8+3 = 11 lados. O número de diagonais de um polígono de n lados é dado por 20
Assim, o número de diagonais de P 3 é 3 2 11 11 3 2 44 A questão não tem resposta e foi anulada pela ESAF. 12. (APO-MPOG 2008/ESAF) Dois polígonos regulares, X e Y, possuem, respectivamente, (n+1) lados e n lados. Sabe-se que o ângulo interno do polígono A excede o ângulo interno do polígono B em 5º (cinco graus). Desse modo, o número de lados dos polígonos X e Y são, respectivamente, iguais a: a) 9 e 8 b) 8 e 9 c) 9 e 10 d) 10 e 11 e) 10 e 12 Resolução Esta questão foi anulada porque no início falava-se em polígonos X e Y e em seguida falava-se em polígonos A e B. Mas não vamos perder uma questão aqui só por causa disso. Vamos considerar que o polígono X é o polígono A e o polígono Y é o polígono B (esta era a intenção da ESAF). Vimos anteriormente que quando um polígono é regular, todos os seus ângulos têm a mesma medida. Portanto, a medida de cada ângulo interno de um polígono convexo de lados é igual a: 180 2 O enunciado diz que o ângulo interno do polígono A excede o ângulo interno do polígono B em 5º (cinco graus). 180 2 180 1 2 1 180 1 1 180 1 1 5 180 2 5 180 2 5 180 2 5 180 2 5 21
180 180 1 180 180 1 180 360 5 185 360 Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 185 360 1 180 180 185 185 360 360 180 180 Para evitar uma poluição visual, vamos deixar de escrever o símbolo do grau. 5 5 360 0 Vamos dividir os dois membros da equação por 5. 72 0 4 2 1 1 4 1 72 2 1 1 289 2 Como é positivo, só devemos usar o +. 1 17 2 1 17 2 16 2 8 Como o polígono X tem 1 lados, então ele possui 9 lados. O polígono Y tem lados, então ele possui 8 lados. Poderíamos ter resolvido a equação do segundo grau da seguinte maneira: n 2 + n = 72 n ( n + 1) = 72 Um produto entre dois naturais seguidos que dá 72, só poderia ser 8 e 9. Letra A Questão anulada Mesmo que o candidato não soubesse como resolver a questão, dava para marcar a alternativa certa. Sabemos que X tem n + 1 lados. Sabemos que Y tem n lados. Logo, X tem 1 lado a mais que Y. 22
A única alternativa que prevê isso é a letra A. Em todas as outras, Y tem mais lados que X, o que é falso. 13. (Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra dois pentágonos regulares colados. O valor do ângulo ABC é: A) 18 o B) 20 o C) 22 o D) 24 o E) 26 o Resolução Para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono com lados utilizamos a fórmula: 180 2 Desta forma, a soma dos ângulos internos de um pentágono é igual a: 180 5 2 180 3 540 Como os pentágonos do problema são regulares, então os pentágonos são eqüiângulos (têm todos os ângulos com as mesmas medidas). Para calcular a medida de cada ângulo dos pentágonos, devemos dividir 540 por 5. 540 5 108 Vamos calcular a medida do ângulo : 23
108 108 360 216 360 144 A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Como o triângulo ABC é isósceles, então os ângulos B e C são congruentes. Vamos chamar os ângulos B e C de. 180 2 144 180 2 36 18 Letra A 5. Classificação dos Triângulos Os triângulos podem ser classificados: i) Quanto aos lados Triângulo Equilátero Triângulo Isósceles Triângulo Escaleno Tem os três lados congruentes. Tem dois lados congruentes. Tem os três lados nãocongruentes. 24
Quanto aos ângulos: Triângulo Acutângulo Triângulo Retângulo Triângulo Obtusângulo Tem três ângulos agudos. Tem um ângulo reto. Lados menores: catetos Lado maior (oposto ao ângulo reto): hipotenusa Tem um ângulo obtuso. Observe que todo triângulo equilátero é isósceles, mas nem todo triângulo isósceles é equilátero. Um triângulo com dois lados congruentes é isósceles; o outro lado é chamado base e o ângulo oposto é o ângulo do vértice. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes (este teorema é conhecido como Pons Asinorum). Ângulo do vértice Ângulos Congruentes BASE O triângulo equilátero também é equiângulo (possui os três ângulos congruentes) e seus ângulos medem 60º. Como classificar um triângulo quanto aos lados sabendo apenas os valores dos ângulos? 25
Se os três ângulos forem congruentes (o triângulo for equiângulo), então o triângulo será equilátero. Se apenas dois ângulos forem congruentes, então ele é isósceles (Pons Asinorum que foi visto no início desta página). Se os três ângulos forem diferentes, então o triângulo é escaleno. E como classificar um triângulo quanto aos ângulos, sabendo a medida de seus lados? Neste caso devemos utilizar a Síntese de Clairaut. I. Síntese de Clairaut Em geometria nós consideramos que o lado a é oposto ao ângulo A, o lado b é oposto ao ângulo B e o lado c é oposto ao ângulo C. A c b B a C Vamos considerar que o lado a é o maior lado do triângulo. O triângulo é acutângulo se e somente se. O triângulo é obtusângulo se e somente se. O triângulo é retângulo se e somente se (esta parte da Síntese de Clairaut é conhecida como TEOREMA DE PITÁGORAS). 14. (Prefeitura de São José 2009/FEPESE) Relacione as colunas 1 e 2. Cada número pode ser usado apenas uma vez. Coluna 1 1. Triângulo retângulo 2. Triângulo acutângulo 3. Triângulo obtusângulo 26
Coluna 2 ( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13 ( ) Triângulo cujos lados medem 5, 12 e 13 ( ) Triângulo cujos lados medem 6, 10 e 12 Assinale a alternativa que indica a sequência correta, assinalada de cima para baixo. a) 1, 2, 3 b) 3, 2, 1 c) 2, 3, 1 d) 3, 1, 2 e) 2, 1, 3 Resolução Foram dados os lados de três triângulos e devemos classificá-los quanto aos ângulos. Para resolver esse problema utilizaremos a conhecida Síntese de Clairaut. Seja um triângulo de lados a, b e c. Consideraremos a como o maior lado. O triângulo é acutângulo se e somente se. O triângulo é retângulo se e somente se (Teorema de Pitágoras). O triângulo é obtusângulo se e somente se. Coluna 1 1. Triângulo retângulo 2. Triângulo acutângulo 3. Triângulo obtusângulo Coluna 2 ( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13 13? 6 12 169? 36 144 169 180 O triângulo é acutângulo (2). ( ) Triângulo cujos lados medem 5, 12 e 13 O triângulo é retângulo (1). 13? 5 12 169? 25 144 169 169 ( ) Triângulo cujos lados medem 6, 10 e 12 12? 6 10 144? 36 100 27
O triângulo é obtusângulo (3). 144 136 Letra E 15. (Pref. Municipal de Serra Negra 2006/CETRO) Um triângulo equilátero possui (A) os três lados com medidas diferentes. (B) dois lados com medidas iguais. (C) os três lados com medidas iguais. (D) um ângulo reto. (E) dois ângulos obtusos. Resolução Vimos no resumo anterior que um triângulo equilátero possui os três lados com medidas iguais. O gabarito oficial é a letra C. Por outro lado, quem possui três lados com medidas iguais também possui dois lados com medidas iguais. Ou seja, todo triângulo equilátero também é isósceles. A banca também deveria aceitar a letra B. Obviamente, o objetivo nosso é passar no concurso e não brigar com a banca organizadora. Facilmente se percebe que o objetivo da banca é fazer com que o candidato marque a alternativa C. 16. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Um triângulo que possui os três lados com a mesma medida, é chamado de triângulo (A) isósceles (B) retângulo (C) equilátero (D) normal (E) escaleno Resolução Aqui não há discussão. O triângulo é chamado de equilátero. Letra C 17. (EPPGG MPOG 2000/ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, e, onde,, são números reais. Sabendo que o ângulo oposto ao cateto que mede é igual a 45º, segue-se que: a) 2 b) 3 2 c) 3 d) e) 2 Resolução 28
O triângulo é retângulo e um dos ângulos agudos mede 45º. Vamos considerar que a medida do terceiro ângulo é x. Pela Lei Angular de Tales, 45 90 180 45 Portanto, os ângulos do triângulo são 45º, 45º e 90º. Como o triângulo possui dois ângulos congruentes, então ele é isósceles (também possui dois lados congruentes). Como a hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo, podemos concluir que os catetos são iguais. Letra D 6. Teorema de Tales Antes de enunciar o Teorema de Tales propriamente dito, vamos definir algumas coisas... Feixe de retas paralelas é um conjunto de retas paralelas (em um mesmo plano) entre si. Uma reta é transversal a este feixe se concorre com todas as retas do feixe. a c Feixe de retas paralelas b d Transversais 29
Pois bem, o Teorema de Tales afirma que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. Na figura anterior, podemos afirmar, por exemplo, que: 18. (Pref. de Taquarivaí 2006/CETRO) Na figura abaixo, as retas R, S e T são paralelas. Então o valor de X será de: (A) 6 (B) 5 (C) 3 (D) 4 (E) 2 Resolução O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. Assim, 4 8 2 2 5 1 4 5 1 8 2 2 20 4 16 16 4 20 Letra B 5 19. (Prefeitura Municipal de São José FEPESE/2007) Tales de Mileto foi um grande matemático grego que conseguia calcular a altura de pirâmides. O famoso Teorema de Tales poderá ajudar você a encontrar as medidas indicadas na figura, 30
sendo que as retas r, s e t são paralelas e a distância entre os pontos A e B é igual a 21. Assinale a alternativa que represente o produto dos valores x e y. a) 36. b) 42. c) 49. d) 96. e) 98. Resolução O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. Observe que o segmento de comprimento 10 na reta da esquerda corresponde ao segmento de comprimento y na reta da direita. O segmento de comprimento 30 (10+20) na reta da esquerda corresponde ao segmento AB de comprimento 21 (este valor encontra-se no enunciado). Assim, 10 30 21 Em toda proporção, o produto dos meios (30 e y) é igual ao produto dos extremos (10 e 21). 30 10 21 30 210 7 Como o segmento AB mede 21 e y=7, então o segmento de comprimento 2x+2 mede 14. 31
O produto dos valores x e y é 6 x 7 = 42. Letra B 2 2 14 2 12 6 20. (AFC 2005/ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta transversal, A, segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transversal, B, outros três segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm. Desse modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal B são iguais a: a) 6, 30 e 54 b) 6, 34 e 50 c) 10, 30 e 50 d) 14, 26 e 50 e) 14, 20 e 56 Resolução Vamos construir uma figura que descreva bem a situação acima. 2 a 30 10 b 90 18 c A B O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. Observe que, na reta A, o segmento compreendido entre a primeira e a quarta reta paralela do feixe mede 2 10 18 30. O seu segmento correspondente na reta B mede 90 cm (exatamente o triplo). Então os segmentos correspondentes na reta B de 2, 10 e 18 serão exatamente o triplo. Podemos afirmar que: 32
Letra A 3 2 6 3 10 30 3 18 54 7. Teorema de Pitágoras e suas aplicações Vamos considerar um triângulo retângulo. c a b O maior lado de um triângulo retângulo sempre fica oposto ao ângulo reto e é chamado de hipotenusa. Na figura acima, a hipotenusa é o lado a. Os outros lados são chamados de catetos. Vimos anteriormente que o Teorema de Pitágoras afirma que um triângulo é retângulo se e somente se. Vamos ver duas aplicações imediatas do Teorema de Pitágoras e em seguida resolver alguns problemas envolvendo diretamente este assunto. I. Diagonal do quadrado Vamos considerar um quadrado de lado l. Um quadrado, por definição, é um quadrilátero regular, ou seja, possui todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes (retos). l l l l Pelo Teorema de Pitágoras: l l 2l 33
l 2 Desta forma, a diagonal de um quadrado de lado 5 mede 5 2. II. Altura do triângulo equilátero Por definição, a altura de um triângulo equilátero é um segmento que parte de um vértice e atinge o lado oposto formando um ângulo reto. Há uma propriedade que diz que a altura de um triângulo equilátero divide o lado oposto em dois segmentos de mesmo comprimento. Então se considerarmos que o lado do triângulo equilátero é igual a l, então o lado oposto fica dividido em dois segmentos de comprimento l/2. l l l/2 Pelo Teorema de Pitágoras, podemos afirmar que: l l 2 l l 4 Vamos multiplicar os dois membros da equação por 4 para eliminar o denominador. 4l 4 l 3l 4 3l 4 l 3 2 Desta forma, a altura de um triângulo equilátero com 4 de lado é igual a: 4 3 2 2 3 21. (EPPGG SEPLAG/RJ 2009 CEPERJ) Os catetos de um triângulo retângulo medem 9 cm e 12 cm. O perímetro desse triângulo é igual a: 34
a) 36 cm b) 38 cm c) 40 cm d) 42 cm e) 44 cm Resolução O teorema de Pitágoras fora impresso em milhões, se não bilhões, de mentes humanas. É o teorema fundamental que toda criança inocente é forçada a aprender. Simon Singh O Último Teorema de Fermat Editora Record O teorema de Pitágoras nos diz que em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. Vamos decodificar esta frase. Tem um triângulo retângulo na história. Ei-lo: b a c A hipotenusa de um triângulo retângulo é o lado oposto ao ângulo reto. É sempre o maior lado do triângulo retângulo. No nosso exemplo, é o lado de medida a. Os outros lados, adjacentes ao ângulo reto, são chamados de catetos. O teorema de Pitágoras afirma que: Os catetos do problema medem 9 cm e 12 cm. Podemos calcular a hipotenusa com o auxílio do teorema de Pitágoras. 9 12 81 144 35
225 15 O perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados. É comum em geometria plana indicar o perímetro por 2 (desta forma o semiperímetro é indicado por. Letra A 2 9 12 15 36 22. (ATRFB 2009/ESAF) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de 90º uma com a outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km do cruzamento, com outro que se encontra na segunda estrada, a 4 km do cruzamento? a) 5 km b) 4 km c) 4 2 km d) 3 km e) 5 2 km Resolução. A figura abaixo representa a situação dada: Vamos chamar a distância entre os dois carros de x. 36
O triângulo de lados 3, 4, e x é retângulo. A hipotenusa, que é o maior lado, vale x. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: Letra A x 2 x 2 2 2 = 3 + 4 = 9 + 16 = 25 x = 5 23. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Durante um vendaval, um poste de iluminação de 18 metros de altura quebrou-se em um ponto a certa altura do solo. A parte do poste acima da fratura, inclinou-se, e sua extremidade superior encostou no solo a uma distância de 12 metros da base dele. Calcule a quantos metros de altura do solo quebrou-se o poste. (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 (E) 2 Resolução O poste quebrado está mais espesso no desenho. Se o segmento vertical mede x metros, então o segmento inclinado medirá 18 x, já que a soma dos dois segmentos deve ser 18 m (altura do poste). Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo. 37
Letra B 12 18 12 18 144 324 36 36 324 144 36 180 5 24. (ENAP 2006/ESAF) A base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 36 metros, então a altura e a base medem, respectivamente a) 8 m e 10 m. b) 12 m e 10 m. c) 6 m e 8 m. d) 14 m e 12 m. e) 16 m e 14 m. Resolução Todo triângulo isósceles possui dois lados congruentes. O lado não-congruente é chamado de base. A altura relativa à base divide-a em dois segmentos de mesmo comprimento: chamemo-los de x. Assim, a base mede 2x. Como a base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura relativa à base, então essa altura mede 2x+2. Chamaremos os lados congruentes de y. O enunciado nos informou que o perímetro do triângulo é igual a 36. Assim, Dividindo ambos os membros por 2, temos 2 36 2 2 36 18 38
18 çã Ao traçarmos a altura relativa a base, obtemos dois triângulos retângulos que podemos aplicar o Teorema de Pitágoras. 2 2 çã Agora precisaríamos resolver este sistema de duas equações. Os valores de x e y que atenderem às duas equações simultaneamente são a nossa solução. Só que estas equações não são nada amigáveis. Dá certo trabalho resolvê-las. Então vamos parar um pouco para analisar as alternativas. Como a altura é maior que a base (informação dada no próprio enunciado), já podemos descartar algumas alternativas: a) 8 m e 10 m. b) 12 m e 10 m. c) 6 m e 8 m. d) 14 m e 12 m. e) 16 m e 14 m. Vamos testar a letra B. A base seria 10 m. Logo, metade da base valeria 5 m. x = 5 Da equação I, temos: y = 18 x y = 13 Vamos substituir estes valores de x e y na equação II, para ver se ela é obedecida. 2 2 2 y = ( 2x + 2) + x 2 2 13 = (2 5 + 2) + 169 = 144 + 25 169 = 169 As duas equações foram obedecidas. Logo, esta é a alternativa correta. 5 2 Vamos agora resolver o sistema utilizando a força braçal. 18 çã 2 2 çã Como 18, 39
2 2 18 4 8 4 324 36 4 44 320 0 Dividindo ambos os membros por 4, obtemos: Como x > 0, então A base é 2x, logo a base é 11 80 0 4 2 11 11 4 1 80 2 1 11 441 2 11 21 2 11 21 2 5 2 2 5 10 Como a altura é 2x+2, então 2 5 2 12 Letra B 25. (RIOPREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Na figura abaixo, os ângulos de vértices B e C são retos, AB = 9m, BC = 11m e CD = 4m. 40
Então, entre as alternativas abaixo, a que mais se aproxima da distância entre os pontos A e D é: a) 15m b) 16m c) 17m d) 19m e) 21m Resolução Já que o objetivo é calcular a distância entre os pontos A e D, o primeiro passo é traçar um segmento que ligue estes dois pontos. 4 11 9 4 E Vamos também prolongar o segmento AB para a direita até o ponto E, de forma que BE = CD. Vamos ligar o ponto D ao ponto E. Obviamente 11. Está formado o triângulo retângulo ADE. O cateto AE mede 13, o cateto DE mede 11 e queremos calcular a hipotenusa AD. Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras que diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 11 13 290 O problema pede o valor mais próximo da medida de AD. Observe que 17 289, portanto: Letra C 17 26. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O terreno de uma grande fazenda é muito plano. Certo dia, o fazendeiro saiu de casa com seu jipe e andou 11 km para o norte. Em 41
seguida, andou 6 km para o leste, 3 km para o sul e 2 km para oeste. Neste ponto, a distância do fazendeiro à sua casa é de, aproximadamente: a) 7 km b) 8 km c) 9 km d) 10 km e) 11 km Resolução O trajeto feito pelo fazendeiro é o seguinte: 6 3 11 2 Para calcular a distância do fazendeiro até sua casa, devemos ligar o ponto inicial e o ponto final do trajeto. Podemos formar um triângulo retângulo como é feito na figura abaixo. Devemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo vermelho. 8 4 80 Como 9 81, então: 42
Letra C 9 8. Semelhança de Triângulos Observem os dois triângulos da figura abaixo: Eles são muito parecidos. Pegamos o triângulo menor, da esquerda, e demos um zoom. Com isso, chegamos ao triângulo da direita. Quando isso acontece, dizemos que os triângulos são semelhantes. Um é o outro aumentado. Explicação meio grosseira esta que nós demos, né? Bom, melhorando um pouquinho a definição, dizemos que dois triângulos são semelhantes se e somente se possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (correspondentes) proporcionais. Dois triângulos são semelhantes se e somente se possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (correspondentes) proporcionais. c b c' b' a a Os segmentos correspondentes são proporcionais. Isto é: A constante de proporcionalidade é a chamada razão de semelhança. Esta constante indica em quantas vezes precisamos aumentar o triângulo menor para chegar no maior. Ou seja, ela nos diz de quantas vezes foi o zoom. 43
Exemplo: se a razão de semelhança é 3, isto significa que pegamos cada lado do triângulo pequeno e triplicamos. Com isso, obteremos o triângulo grande. Se a razão entre os segmentos correspondentes dos triângulos é, pode-se afirmar que a razão entre as áreas dos triângulos é. Isto significa que se multiplicamos os lados de um triângulo por 4, então a área será multiplicada por 16 = 4². 27. (Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Em um terreno plano, a sombra de um prédio, em determinada hora do dia, mede 15m. Próximo ao prédio, e no mesmo instante, um poste de 5m. de altura, produz uma sombra que mede 3m. A altura do prédio, em metros, é: (A) 75 (B) 45 (C) 30 (D) 29 (E) 25 Resolução Os dois triângulos acima são semelhantes, assim: Letra E 15 5 3 3 75 25 44
28. (Prefeitura Municipal de Mairinque 2009/CETRO) Uma criança está ao lado de um poste. Sabe-se que ela mede 80cm e que a medida da sombra do poste é de 5,4 metros. Se a sombra da criança mede 60cm, então, a altura do poste é de (A) 6,2 metros. (B) 6,6 metros. (C) 6,8 metros. (D) 7,0 metros. (E) 7,2 metros. Resolução Os dois triângulos acima são semelhantes, assim: Letra E 5,4 80 60 60 432 7,2 29. (APO SEPLAG/RJ 2009 CEPERJ) Um poste de 8m de altura tem no alto uma forte lâmpada. Certa noite, uma criança de 1,60m de altura ficou parada a uma distância de 6m do poste. O comprimento da sombra dessa criança no chão era de: a) 1,5m b) 1,6m c) 1,75m d) 1,92m e) 2,00m Resolução 8 1,6 45
6 x Usemos a semelhança dos triângulos: Letra A â â â â 6 6 8 1,6 5 5 6 4 6 1,5 30. (ENAP 2006/ESAF) A razão de semelhança entre dois triângulos, T 1, e T 2, é igual a 8. Sabe-se que a área do triângulo T 1 é igual a 128 m 2. Assim, a área do triângulo T 2 é igual a a) 4 m 2. b) 16 m 2. c) 32 m 2. d) 64 m 2. e) 2 m 2. Resolução Relembremos uma propriedade importantíssima: A razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança. Assim, 128 8 128 64 64 128 2 46
Letra E 31. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O triângulo retângulo ABC da figura abaixo tem catetos AB = 8 e AC = 6. Pelo ponto M, médio da hipotenusa, traçou-se o segmento MN perpendicular a BC. O segmento AN mede: a) 7/4 b) 2 c) 9/4 d) 5/2 e) 11/4 Resolução Vamos calcular o valor da hipotenusa do triângulo retângulo ABC. 8 6 100 10 Observe que os triângulos ABC e MNB são semelhantes: ambos são triângulos retângulos e têm um ângulo em comum B. Vamos chamar o ângulo B de. O outro ângulo agudo do triângulo ABC e o outro ângulo agudo do triângulo MNB serão chamados de. 47
Como o ponto M é o ponto médio da hipotenusa BC, então 5. Os triângulos ABC e MNB são semelhantes. â â â â 10 5 8 8 5 10 50 8 6,25 Letra A 6,25 8 1,75 175 100 7 4 9. Quadriláteros De acordo com a teoria já vista, os quadriláteros (polígonos com 4 lados) possuem 2 diagonais a soma dos ângulos internos é igual a 360º. 48
Os quadriláteros notáveis são os trapézios, os paralelogramos, os retângulos, os losangos e os quadrados. I. Trapézios Um quadrilátero é um trapézio se e somente se possui dois lados paralelos. Os lados paralelos do trapézio são as bases. Base Menor (b) Base Maior (B) De acordo com os dois lados que não são bases, temos: - trapézio escaleno (como o da figura acima), se estes lados não são congruentes. - trapézio isósceles (como o da figura abaixo), se estes lados são congruentes. O trapézio é retângulo quando possui dois ângulos retos. 49
Em qualquer trapézio, os ângulos opostos são suplementares (a soma é 180º). c b a d 180 Se o trapézio é isósceles, então os ângulos da base são congruentes. b b a a O segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é chamado de base média e a sua medida é igual à média aritmética das bases. Base Menor (b) B M Base Maior (B) 2 A área de um trapézio qualquer é calculada da seguinte forma: 2 Onde é a altura do trapézio. A altura do trapézio é a distância entre as bases. II. Paralelogramo Um quadrilátero é paralelogramo se e somente se possui os lados opostos paralelos. 50
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes e os ângulos adjacentes são suplementares (a soma é 180º). Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes. As diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio. A área do paralelogramo é o produto da base pela altura. A altura é a distância entre as bases. III. Losango Um quadrilátero é losango se e somente possui os quatro lados congruentes (quadrilátero equilátero). Todo losango é um paralelogramo. As diagonais de um losango são perpendiculares (formam quatro ângulos retos. Como todo losango é um paralelogramo, então os losangos possuem todas as propriedades dos paralelogramos. A área do losango é o semi-produto das diagonais. 2 IV. Retângulo Um quadrilátero é um retângulo se e somente se possui os quatro ângulos retos. O retângulo é um quadrilátero equiângulo (ângulos com mesma medida). 51
Todos os retângulos são paralelogramos. As diagonais do retângulo são congruentes e podem ser calculadas com o auxílio do Teorema de Pitágoras. a d b A área de um retângulo é igual ao produto dos lados (base vezes altura). V. Quadrado Um quadrilátero é um quadrado se e somente se é equilátero e equiângulo (quadrilátero regular). Seus quatro ângulos são retos e os quatro lados são congruentes. Podemos afirmar que o quadrado é um quadrilátero que é simultaneamente retângulo e losango. Já vimos que um quadrado de lado l tem diagonal com medida l 2. A área de um quadrado é igual ao quadrado do lado. l 32. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Para construir um jardim, um jardineiro recebeu as seguintes recomendações da dona da casa: o jardim tem que ocupar uma área de 36m 2, perímetro de 26m e formato retangular. As dimensões desse jardim são de: (A) 2m e 18m (B) 20m e 6m (C) 4m e 9m 52
(D) 3m e 12m (E) 10m e 16m Resolução A área é o produto do comprimento da base pelo comprimento da altura. Assim, temos que 36 Como o perímetro é igual a 26m, então Dividindo ambos os membros por 2, temos 2 2 26 13 Devemos pensar em dois números cuja soma é 13 e o produto é 36. Podemos testar as alternativas ou resolver o sistema. Rapidamente verificamos que a alternativa C satisfaz as condições do problema. 13 13 Substituindo essa expressão na equação (I): 36 13 36 13 36 13 36 0 4 2 13 13 4 1 36 2 1 13 169 144 2 13 5 2 53
Assim, 9 13 9 4 Ou 4 13 4 9. Logo, as dimensões são 4m e 9m. Letra C 33. (Assistente de Informática Pref. de Itapeva 2006/CETRO) A soma das áreas de dois quadrados é de 25 m 2 e a soma dos seus perímetros é igual a 28m. Portanto, as medidas dos lados x e y desses quadrados são, respectivamente: Obs.:Figuras fora de escala. (A) 3m e 4m (B) 3,5m e 3,5m (C) 5m e 2m (D) 7m e 7m (E) 20m e 8m Resolução A área de um quadrado é igual ao quadrado do seu lado. Assim, um quadrado de lado l tem área l. A soma das áreas é igual a 25 m 2. Podemos escrever que 25 Os quatro lados de um quadrado têm a mesma medida. Assim, o perímetro do primeiro quadrado é 4x e o perímetro do segundo quadrado é 4y. Como a soma dos perímetros é 28m, temos que Dividindo ambos os membros por 4, temos 4 4 28 7 Neste ponto, podemos testar as alternativas e marcar a letra A. Isolando o y: 7 Devemos agora substituir na primeira equação para encontrarmos os valores das incógnitas: 54
Dividindo ambos os membros por 2, Assim, 4 3 Ou 3 4 Assim, as dimensões são 3m e 4m. Letra A 25 7 25 49 14 25 2 14 24 0 7 12 0 4 2 7 7 4 1 12 2 1 7 1 2 34. (Analista de Sistemas UDESC FEPESE/2010) Seja ABCD o paralelogramo abaixo, e seja E um ponto no segmento AD, conforme descrito na figura abaixo: Sabendo que AB = 5, AE = 3 e AD = 8, a área do paralelogramo ABCD é: a) 15. b) 24. c) 30. d) 32. e) 40. Resolução A área de um paralelogramo é o produto do comprimento da base pelo comprimento da altura. O comprimento da base AD já foi fornecido: 8. Precisamos calcular o comprimento da altura do paralelogramo. A altura é a distância entre as bases: o segmento BE. 55
Para calcularmos o comprimento de BE, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras (já visto na aula passada) no triângulo ABE. Os valores 5 e 3 foram fornecidos no enunciado. O Teorema de Pitágoras diz que um triângulo é retângulo se e somente se a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Assim, Assim, a área do paralelogramo é dada por Letra D 3 5 9 25 16 4 Á 8 4 32 35. (Pref. Municipal de Arujá 2006/CETRO) Em um trapézio, os lados paralelos medem 16m e 44m, e os lados não paralelos, 17m e 25m. A área do trapézio, em m 2, é: (A) 600. (B) 550. (C) 500. (D) 450. (E) 400 Resolução Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se e somente se possui dois lados paralelos. 56
Lembremos a fórmula da área de um trapézio: 2 Onde B é a base maior, b é a base menor e h é a altura. Para calcularmos a altura, devemos projetar a base menor sobre a base maior. A base maior ficou dividida em três segmentos. O da esquerda foi chamado de x. O do meio é igual à base menor: 16. Já que a base maior mede 44, então o segmento da esquerda mede 44 x 16 = 28 x. Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da esquerda: 17 289 Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da direita: 28 25 784 56 625 Sabemos por (I) que 289. Assim, 784 56 289 625 57
Voltemos para (I). 1.073 56 625 56 448 8 289 8 289 289 64 225 15 A fórmula da área de um trapézio: 2 44 16 15 2 60 15 2 450 Letra D 10. Circunferência e Círculo Circunferência é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado (centro) desse plano é igual a uma distância dada (raio). O dobro do raio é denominado diâmetro. Portanto, um diâmetro é um segmento que tem as duas extremidades no círculo e que passa pelo seu centro. r Círculo é a reunião da circunferência com o seu interior. Portanto, o círculo é uma região do plano e a circunferência é apenas a linha que delimita o círculo. Como a circunferência é uma linha, podemos calcular o seu comprimento. 58
Como o círculo é uma região, podemos calcular a sua área. Existe um número muito famoso em matemática chamado (pi). Este é um número irracional e suas primeiras casas decimais são: 3,1415926535 Pois bem, o comprimento da circunferência é dado por: A área do círculo é dada por: 2 36. (APO SEPLAG/RJ 2009 CEPERJ) A figura a seguir mostra três circunferências com centros em A,B e C, tangentes entre si duas a duas. As distâncias entre os centros são conhecidas: AB = 34, BC = 18 e CA = 30. O raio da circunferência de centro A é: a) 24 b) 23 c) 22 d) 21 e) 20 Resolução Havendo circunferências tangentes, é importantíssimo ligar os centros. 59
AB = 34, BC = 18 e CA = 30 Temos o seguinte sistema: 34 18 30 Este é um sistema linear muito famoso em questões de matemática. É um sistema com 3 incógnitas. Só que em cada equação aparece a soma de duas das três incógnitas. O processo mais rápido para resolver esse tipo de sistema é o seguinte: i) Escolha a incógnita que você quer calcular. ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a incógnita escolhida por você. iii) Some as três equações. Nosso objetivo é calcular o raio da circunferência de centro A. Logo, queremos calcular o valor de. O termo não aparece na segunda equação. Portanto, multiplicaremos os dois membros da segunda equação por -1. Em seguida somaremos as três equações. Desta forma, serão cancelados. 34 18 30 34 18 30 2 46 23 60
Letra B 37. (TRT-SC 2005/FEPESE) Um círculo de área 16π está inscrito em um quadrado. O perímetro do quadrado é igual a: a) 32 b) 28 c) 24 d) 20 e) 16 Resolução A área de um círculo de raio r é igual a. Como a área é igual a 16, então O círculo está inscrito em um quadrado. 16 16 4 Observe que o lado do quadrado é igual ao dobro do raio do círculo (diâmetro). Assim, l 2 4 8. O perímetro do quadrado é igual a Letra A 2 l l l l 4 l 4 8 32 38. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A figura abaixo é formada por um quadrado de lado 6m cortado por um arco de circunferência. 61