Aula 4 Função do 2º Grau

1 Tecnólogo em Construção de Edifícios Aula 4 Função do 2º Grau Professor Luciano Nóbrega

GABARITO 46) f(x) = x 2 + x + 1 www.professorlucianonobrega.wordpress.com 2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Uma função polinomial do 2º grau é uma relação entre as variáveis y e x, tal que f(x) = ax 2 + bx + c, com a, b, c R, e a 0. EXEMPLOS: f(x) = 3x 2 + 2x 3 ; f(x) = ( ½).x 2 9 ; f(x) = 5x 2x 2 ; f(x) = x 2 Determine os valores de a, b e c nos exemplos acima. DEFINIÇÂO Uma função f: R R é do 2º grau quando a todo valor de x está associado um único valor y = f(x) = ax 2 + bx + c, com a, b e c sendo números reais e a 0 FUNÇÕES DO 2º GRAU COMPLETAS E INCOMPLETAS Quando todos os coeficientes de uma função do 2º grau são diferentes de zero, dizemos que trata-se de uma função do 2º grau completa. EX: Se os coeficientes b e / ou c de uma função do 2º grau são zero, então a função do 2º grau é incompleta. EXS: 46 Determine a função do 2º grau em que f(0) =1, f(1) = 3 e f( 1) = 1 47 Dada a função f(x) = x 2 6x + 8, determine: a) Os coeficientes a, b e c; b) f(1) ; f(0) ; f( 2) e f( 1 / 2 ) c) O valor de x tal que f(x) = 3 d) O valor de x tal que f(x) = 3

3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU GRÁFICOS DA FUNÇÃO DO 2º GRAU O gráfico da função do 2º determina uma curva denominada PARÁBOLA. Inicialmente, podemos construir o gráfico de uma função do 2º grau, simplesmente, atribuindo valores para x e calculando os valores de y. EXEMPLO: Construa o gráfico de f(x) = x 2 / 2 +3. OUTRO EXEMPLO: f(x) = 1 + 4x 2 3x; a =, b = e c = OBS: Toda função do 2 o grau corta o eixo y no termo independente de x, ou seja, corta o eixo y na altura c. y x 48 Sendo n o número de lados de um polígono e d o número de diagonais, tal que: Calcule: a) O valor de d, quando n = 7 b) O valor de n, quando d = 27 y x

4 RAIZ DA FUNÇÃO DO 2º GRAU É todo número x que possui imagem nula. Isto é, f(x) = 0. As raízes da função determinam onde o gráfico intercepta o eixo x. Determinando os zeros da função do 2º grau f(x) = ax 2 + bx + c 49 Determine as raízes (ou zeros) de cada uma das seguintes equações: a) f(x) = 2x 2 5x+ 9 b) f(x) = ( 3 / 4 )x 2 d) f(x) = x 2 6x + 5 c) f(x) = x 2 + 49 e) f(x) = x 2 +6x 5 50 Sendo x = ( b + ) / 2a e x = ( b ) / 2a, determine: a) x + x b) x. x

5 VÉRTICE DA FUNÇÃO DO 2º GRAU O vértice da parábola é o ponto extremo da função do 2º grau dado pelo ponto b V 2a ; 4a Onde: x v = b / 2a e y v = / 4a Essas fórmulas são obtidas da seguinte maneira: 1º) Determinamos x v como sendo a média aritmética entre x e x ; 2º) Substituímos o valor encontrado ( -b / 2a ), na função genérica ƒ(x) = ax 2 +bx + c, e obtemos y v. 51 Demonstre as fórmulas para determinação do vértice da parábola.

6 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 52 Observe os gráficos ao lado. Na 1ª figura, temos os gráficos das funções f(x) = x 2, f(x) = x 2 + 1 e f(x) = x 2 + 3 y x Na 2ª figura, temos os gráficos das funções f(x) = x 2, f(x) = (x + 1) 2 e f(x) = (x 3) 2 y O que podemos concluir à respeito do coeficiente a de x 2? Como seria o esboço do gráfico de f(x) = x 2 2? x Como seria o esboço do gráfico de f(x) = (x + 2) 2? O que podemos concluir com relação ao eixo de simetria e o coeficiente b? Quais são os vértices dos gráficos de todas as funções anteriores?

7 O PAPEL DO DISCRIMINATE (DELTA) Quando o valor de = 0, podemos verificar que x = x. EXEMPLO: Sendo y = f(x) = x 2 + 2x + 1, calcule o valor de delta e justifique o que acontece com o gráfico. Em seguida, faça o esboço do gráfico.

8 O PAPEL DO DISCRIMINATE (DELTA) Quando o valor de > 0, podemos verificar que x x. EXEMPLO: Sendo y = f(x) = x 2 4x + 3, calcule o valor de delta e justifique o que acontece com o gráfico. Em seguida, faça o esboço do gráfico.

9 O PAPEL DO DISCRIMINATE (DELTA) Quando o valor de < 0, podemos verificar que NÃO existe raiz. EXEMPLO: Sendo y = f(x) = x 2 x + 2, calcule o valor de delta e justifique o que acontece com o gráfico. Em seguida, faça o esboço do gráfico. RESUMINDO:

10 MÁXIMOS & mínimos DA PARÁBOLA Existem muitas aplicações para a função quadrática e uma delas está relacionada com a questão de MÁXIMOS e mínimos. Dependendo do sinal do coeficiente a, a função terá um ponto de máximo ou um ponto de mínimo. Em ambos os casos, como já vimos, tal ponto é denominado de vértice da parábola. 53 Sabe-se que o custo C (em reais) para produzir x unidades de um certo produto é dado por: C = x 2 80x + 3000. Determine: a) A quantidade de unidades que a empresa deveria produzir, para que seu custo fosse mínimo. b) O valor mínimo desse custo de produção. 54 Sabe-se que, sob certo ângulo de tiro, a altura máxima atingida por uma bala, em metros, em função do tempo, em segundos, é dada por h(t) = 20t 2 + 200t. Qual a altura máxima atingida pela bala?

11 LEMBRE-SE: ESTUDO DO SINAL Estudar o sinal de uma função significa avaliar para quais valores de x temos f(x) < 0, f(x) = 0 ou f(x) > 0. 1º CASO: a > 0 2º CASO: a < 0 + + + + + + +

12 INEQUAÇÃO DO 2º GRAU Uma inequação do 2º grau é uma função do 2º grau que apresenta um sinal de desigualdade. Assim: ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c < 0 ax 2 + bx + c 0 ax 2 + bx + c 0 55 Determine todos os possíveis números inteiros positivos para os quais satisfaça a inequação x 2 6x + 8 < 0 56 Determine o conjunto solução da inequação 1000 < x 2 +140x 1875 < 2400 57 Resolva em R a inequação (x 2 25) / ( 2x + 4) 0 58 (Prise-2005) Ao chutar uma lata, um cientista observou que sua trajetória seguiu a lei matemática h(t) = 6 + 4t t², na qual h é a altura, em metros, atingida pela lata em função do tempo t, em segundos, após o chute. Com base nesta situação e analisando as afirmativas a seguir: I. O gráfico que traduz a função acima descrita é uma parábola com concavidade voltada para cima. II. A altura máxima atingida por essa lata é de 10m. III. Essa função possui duas raízes reais. É correto afirmar que: a) todas as afirmativas são verdadeiras b) todas as afirmativas são falsas c) somente a afirmativa I é falsa d) somente a afirmativa II é verdadeira e) somente a afirmativa III é verdadeira

13 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 59 (UFRGS) Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro segue uma trajetória plana vertical de equação y = 1 / 7 x 2 + 8 / 7 x+2, na qual os valores de x e y são dados em metros. Oscar acerta o arremesso, e o centro da bola passa pelo centro de cesta, que está a 3 metros de altura. Determine a distância do centro da cesta ao eixo y. 60 (UMC-SP) Uma loja fez campanha publicitária para vender seus produtos importados. Suponha que x dias após o término da campanha, as vendas diárias tivessem sido calculadas segundo a função y = -2x 2 + 20x + 150, conforme o gráfico. Calcule: a) depois de quantos dias, após encerrada a campanha, a venda atingiu o valor máximo. b) Depois de quantos dias as vendas se reduziram a zero.

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