MATEMÁTICA OPERAÇÕES ALGÉBRICAS 1. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Monômio ou Termo É expressão lgébric mis sintétic. É expressão formd por produtos e quocientes somente. 5x 4y 3x y x x 8 4x x 4 z Um monômio tem sempre dois componentes: A prte numéric, chmd coeficiente, que é seguid pels letrs. As letrs de um termo recebem o nome de prte literl. Dizemos que dois monômios ou temos são semelhntes qundo tiverem mesm prte literl. x y z é semelhnte 3x y z. Adição e Subtrção de Monômios Só podemos somr dois monômios, se eles forem semelhntes. Cso contrário, operção fic indicd. Comumente dição e subtrção de Expressões lgébrics é chmd de redução de termos semelhntes: A redução de dois termos semelhntes se fz conservndo-se prte literl e somndo-se os coeficientes. O último exemplo não stisfz à condição. Note que s prtes literis são distints. Multiplicção e Divisão de Monômios Multiplicm-se (dividem-se) os coeficientes e multiplicm-se (dividem-se) s prtes literis, obedecendo às regrs de potencição. ( )( ) xy 3x y = 6x y 3 3 5 ( 3x y z ) : ( x y) 3 = x y z 4 3 Adição e Subtrção de Polinômios Oper-se como n dição e subtrção de monômios. ( ) ( ) 3 ( x + 5x + ) ( x + 3x x + ) = 3 3 3 x + x + x + 1 + 3x + 8x + x + 4 = 9x + 4x + x + 5 3 = x + 5x + x 3x + x = 4 3 = x x + 6x Multiplicção de Polinômios Multiplic-se cd termo do primeiro por todos os termos do outro e seguir reduz-se os termos semelhntes. ( + (x + y) = x + y + bx + by 3xy (x + 4xy - 3y)= (x 3-3x + x + 1) (x + x + 1)=. PRODUTOS NOTÁVEIS Qudrdo d som ( ) ( ) ( ) ( b c) ( b c) ( b c) + b = + b + b = + b + b b c b bc c + + = + + + + = = + + + + + Qudrdo d diferenç ( ) ( )( ) b = b b = b + b Produto d som pel diferenç ( + ( = b 3. FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉ- BRICAS Ftor comum Por certo, você se lembr de que ( b + c) = b + c. Pel propriedde simétric, temos. b + c = ( b + c). 3x y + 9xy = O ftor comum é: Evidencindo-o fic 3x y 9xy 3xy ( x 3y) + = +. Agrupmento A expressão não dmite um mesmo ftor comum todos os seus termos, ms, grupndo-os, podemos ftorr expressão pelo cso nterior. 4. EQUAÇÃO DO 1º GRAU É tod sentenç bert, redutível e equivlente + =, com R * e b R. Exemplos: São equções do 1º gru s sentençs berts x b 0 5x 1 e 3x x + 3 = 1. Editor Exto 7
0, concluímos que o conjunto-verdde d equção é Notndo que b x + b = 0 x = b x = pr b V =. Exercício resolvido: 3x x + 3 = 1 3x ( x + 3 ) = 4 4 7 6x x 3 = 4 5x = 7 x = 5 7 V =. 5 5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU Qundo temos dus ou mis equções, em que solução de um equção deve stisfzer s outrs equções, tem-se um sistem de equções. Existem vários processos de solução, porém estudremos os dois mis importntes: ADIÇÃO e SUBSTITUIÇÃO Substituição Consiste em escolhermos um ds dus equções e isolrmos um incógnit, substituindo- n outr equção: Adição Consiste em dicionr os membros ds equções de form que se nule um ds incógnits. Cso não ocorr, devemos preprr s equções. 6. EQUAÇÃO DO º GRAU É tod sentenç bert, em x, redutível e e- quivlente : x + bx + c = 0, com R *, b R e c R. Resolução do cso gerl Utilizndo lguns rtifícios, Bskr verificou que equção x + bx + c = 0 é equivlente à e- qução ( ) x + b = b 4c. De fto: x + bx + c = 0 x + bx = c, multiplicndo mbos os membros dest últim iguldde por 4, obtém-se: x + bx = c 4 x + 4bx = 4c. Somndo b os dois membros d iguldde ssim obtid, result: 4 x 4bx b b 4c b x + b = b 4c. + + = ( ) Assim, representndo por o discriminnte 4c, tem solução em R. ) < 0 equção não tem solução em R. 0 x + b = ± x = b ± b ± x =. Portnto, sendo V o conjunto verdde em R, conclui-se que: b + b > 0 V = ; b = 0 V = < 0 V = φ Proprieddes Se 0 e { x ;x 1 } é conjunto verdde d equção x + bx + x = 0, com 0, então: b S = x + x = 1 c P = x x = 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 Resolv expressão lgébric seguir: 3x y + 7x y = ( 3 + 7) x y = 10x y Resolv os seguintes grupmentos: ) b + x + bx + x (b + x) + x(b + x)= (b + x) ( + x) 3 x + 3x - 3x - x Resolução 3 x + 3x - 3x - x x(x - 1) + 3x(x - 1) x(x + 1) (x - 1) + 3x(x - 1) x(x - 1) [(x + 1) + 3] ou x(x - 1) [x + + 3] x(x - 1) (x + 5) 3 Resolv o sistem seguir: x + y = 4 x = 4 y x + y = 4 x + y = 7 Substituindo n ª equção Então: x + y = 7 ( ) 4 y + y = 7 8 y + y = 7 8 y = 7 y = 1 Editor Exto 8
x = 4 y x = 4 1 x = 3 4 Resolv: x + y/ = 3 I x y = 3 II 3x = 6 6 x = x = 3 Volt em I: x + y = 3 + y = 3 y = 3 y = 1 x + y = 3 x-y=3 5 Resolver, em R, equção 10x + x = 0. Notndo que = 1 4 10 ( ) = 81, temos: 1± 81 1± 9 1+ 9 x = = x = ou 10 0 0 1 9 8 10 1 x = x = ou x = V = ; 0 0 0 5 6 Determinr som e o produto ds rízes d e- qução x 7x 3 = 0 Lembrndo que se x 7x 3 = x + bx + c, temos =, b = 7 e x = 3. A som ds rízes é b 7 ( 7) 7 c 3 S = = = e o produto é = =. EXERCÍCIOS 1 Resolver s equções: ) 4x+6=5x+9 (x+3)=3x+7(x+4) c) 5(x+1) (x 3)=10 (x+3) P O número é riz d equção: ) x + 4=7 x + =4 c) x 1=0 d) x + 6=1 = é: 3 A riz de x x 3 1 ) 5 +1 c) 7 d) e) Nenhum. 4 Resolv: ) x = 3 x = 1 c) x = 1 d) x = e) nenhum. 5 Resolv: ) x = 8 x = 8 c) x = 8 d) x = 8 x + y = x y = 4 ;y = 3 ;y = 4 ;y = x 3y = 5 x 8y = 0 ;y = 1 ;y = 1 6 O vlor de x em: ) 3 c) 1 d) 1 x + 3y = 8 5x y = 1 7 A som de dois números é 14, diferenç é. Quis são esses números? ) 9 e 5 10 e 4 c) 8 e 6 d) 11 e 3 é: Editor Exto 9
8 Resolv: x 4x+3=0 ) x = 1 x = 1 c) x = 1 d) x = 1 e x = e x = e x = 3 e x = 3 9 Resolv: x 10x+5=0 ) x = 1 e x =5 x = 5 e x =-5 c) x = x = 5 x e x =5 d) = 10 N equção x 10x+4=0, som e o produto ds rízes vlem, respectivmente: ) { 10;4} { 4;10 } c) { 10;4 } d { 10; 4} 11 As rízes de x -x-3=0, são: ) 3 e 1 3 e 1 c) 1 e 3 d) 1 e 3 e) e 3 1 O vlor de m n equção x 8x+m=0, de modo que ess equção não tenh riz rel: ) m=16 m<16 c) m>16 d) m< 16 14 Resolv: x +9x 4x=7x] ) { 3,5 } c) d) 10 0; 11 11 0; 10 11 3; 10 15 Resolv: x + = 4 ) 14 1 c) 0 d) 1 e) 16 Resolv: x = ) 4 6 c) 8 d) 10 e) 1 17 Resolv: x + = x ) 3 c) 4 d) 1 e) 0 18 Resolv: 3x + 1 = x + 1 ) 1 d) 4 0 e) 3 c) 1 13 Resolv: 16x +3x 10=0 ) { 0;3 } 3 0; 16 c) { 4;1 } d) { 1;4 } Editor Exto 10
GABARITO 1 B 3 B 4 A 5 D 6 C 7 C 8 C 9 C 10 C 11 A 1 C 13 E 14 C 15 A 16 A 17 A 18 B ) x= 3 c) 11 4 4 5 Editor Exto 11