Cálculo I (015/1) IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 17.03.015 Para o Aluno O sucesso (ou insucesso) no Cálculo depende do conhecimento de tópicos do ensino médio que chamaremos de pré-cálculo. Quanto antes foram revistos e dominados melhor. Recomendamos que o aluno, além de fazer esta lista, estude e revise estes tópicos utilizando livros do ensino médio ou Cálculo e a Internet. Recomendamos o uso de softwares: (a) para visualização de grácos (uma sugestão é fooplot, que é um site que plota grácos sem precisar instalar programa). (b) CAS (computer algebra sstem) que faz manipulações algébricas (sugerimos maima, que tem versão para Linu e Windows). Tópicos do Pré-Cálculo 1. Aritmética e Álgebra. (a) Propriedades de potências de mesma base e de raízes. Potências fracionárias e negativas. (b) Racionalizar epressões algébricas envolvendo raízes. (c) Divisão de polinômios. (d) Teorema de D'Alambert: Se a é raiz de um polinômio, então ele é divisível por a. 3 (e) Signicado de somatórios, como por eemplo (i 5i) = (1 5 1)+( 5 )+(3 5 3). (f) Produtos notáveis: (a ± b) = a ± ab + b e (a + b)(a b) = a b.. Funções. (a) Domínio e imagem de função. (b) Funções denidas por palavras, por grácos, por tabelas e por fórmulas eplícitas. Função denida por partes. (c) Composição de funções. (d) Função injetiva, sobrejetiva, crescente/decrescente. (e) Grácos de funções. Translação de gráco de funções (horizontal e vertical). (f) Quando uma curva no plano é o gráco de uma função? Teste da reta vertical. Dado o gráco de uma função, quando (e onde) ela possui inversa? Teste da reta horizontal. (g) Função par/impar: denição e simetrias no gráco. (h) Função inversa e seu gráco, obtido por reeão em torno da reta =. Eemplos importantes: arcsen, arctan, log e 1 (não é verdade que arsen é igual a sen!). (i) Sinal de funções racionais, função da forma f() = p(), onde p e q são polinômios. Técnica: q() Quadro de sinais. (j) Máimo e mínimo de função do segundo grau em intervalos fechados (pode estar nos etremos). (k) Funções logaritmo e eponencial. Propriedades básicas (soma/produto). Uma inversa da outra. Observação: log e = ln. Em cálculo log = ln, embora para alguns autores log = log 10. Ao longo do Cálculo será eplicado porque utilizamos e como base do logaritmo. i=1 1
(l) Funções Trigonométricas. Ângulo medido em radianos (em Cálculo esta é a unidade conveniente). Comprimento do arco de círculo. Determinar quadrante de ângulo no círculo trigonométrico. Saber determinar sinal e/ou valor de seno, cosseno e tangente de ângulo qualquer. Saber localizar no círculo trigonométrico seno, cosseno, tangente. Propriedades básicas: sen( ) = sen, cos( ) = cos. sen(a ± b) =..., cos(a ± b) =... etc. sen () + cos () = 1. 3. Geometria Analítica no Plano Básica. (a) Equação da reta no plano: signicado geométrico do coeciente angular (incluindo como determinar que retas são perpendiculares entre si pelo coeciente angular), saber calcular equação da reta que passa em dois pontos no plano, e que passa em um ponto com certo coeciente angular (b) Saber calcular interseção entre: duas retas (= resolver sistema linear); reta e equação do o grau; duas equações do o grau. (c) Distância entre dois pontos no plano e Pitágoras. Função módulo e distância. = (não é ). Eercícios Aritmética e Álgebra. 1. Determine k e m se 7 3 = 3 k e. Escreva 7 4 4 13 9 15 na forma 3. 5 5 m+1 5 3 = 5. 3. Determine p, q inteiros tais que 811/4 3 3 9 1/ 3 0 = p q. 4. Escreva epressão equivalente a 3 + 1 1 + sem raiz no denominador (racionalize). 5. Determine o quociente e o resto da divisão de 4 3 + + 1 por 1. 6. (Verique o Teorema de D'Alambert.) Verique que é raiz de 3 + 4 11 30. Aplique o teorema de D'Alambert para dividir o polinômio e obter TODAS raizes. 5 7. Determine o valor de (i + 1). i= 8. Calcule (a + b) (a b). Funções. 1. Determine imagem da função g() = (3 ) 5. log(1 ). Determine o domínio da função g() = 1 +. 3. Dado R, dena f() como o maior inteiro menor que. Determine: f(π) e f( π). Esta função é injetiva? É sobrejetiva? Qual sua imagem? { 4. Esboce o gráco de, se < 1, f() = 4 3, se 1. 5. Se f() = 3 1 e g() = 5 4, determine: g(f()) e f(g()). 6. Determine o maior intervalo contendo 10 onde f() = ( + 1) + 1 é injetiva. Esta função é sobrejetiva? 7. Determine, caso seja possível, TODOS intervalos onde é crescente: (a) f() = 9. (b) f() = 6. (c) f() = log() 4. (d) f() = 3 7. (e) f() = sen() 4. (f) f() = e.
8. Baseado no gráco de f() =, esboce o gráco de g() = ( + ) 3. 9. Esboce os grácos de f() = 1 e f() = 1. Elas são funções par ou impar? 10. Esboce o gráco de f() = e, fazendo translações, de g() = 3 + + 4. 11. Determine intervalos onde a curva abaio pode representar o gráco de uma função. 1. Considere o gráco de g da gura abaio. (a) Determine intervalos onde g é injetiva. (b) Nestes intervalos pode-se dena uma função inversa g 1. Determine o domínio de g 1 associado a estes intervalos. g() 1 13. Esboce o gráco de f() = 3 e f() = 4 (são semelhantes ao de e respectivamente). Baseado nestes grácos, esboce o gráco das inversas 3 4, (reeão em torno da reta = ). 14. Baseado no gráco de f() = e, esboce o gráco da sua inversa log (reeão em torno da reta = ). 15. Determine intervalos onde é positiva e onde é negativa cada função abaio. (a) f() = + 5 + 6 ( + ). (b) 1 g() = 1. 16. Determine o máimo e mínimo de f() = ( 1) + nos intervalos: (a) [0, 3]. (b) [, 3]. 17. Determine a R se log 10 (100 3a 10) = 9. 18. Determine o valor de: (a) e 0. (b) log 0. (c) ln 1. (d) ln e. (e) e ln 3. (f) ln(e 5 ). 19. Determine o valor de: (a) sen(3π/). (b) cos(3π). (c) tan(3π/4). (d) cos(5π/4). 0. Epresse log 5 30 utilizando ln. 1. Determine em qual quadrante do círculo trigonométrico ca o ângulo (em radianos): (a) 3π/3. (b) 13π/4. (c) 1π/5.. Determine o sinal de seno e cosseno de β = π 1 e θ = 1 + 3π/. 3. Sabendo que sen β = /3, determine valores possíveis para cos β. 4. Sabendo que tan γ = 5 e que cos γ > 0, determine sen γ. 5. Determine em termos de sen a e cos a (utilizando fórmulas de sen(a+b) e cos(a+b)): cos(3a) e sen( 4a). Geometria Analítica no Plano Básica. 1. Ordene as retas de acordo com seu coeciente angular: 3 + 4 = 0, 3 + = 4, 5 + 3 = 0.. Determine a equação da reta que passa em (1, ): (a) e em (, 3). (b) com coeciente angular. (c) perpendicular à reta 3 + = 1. 3. Determine a interseção (todos os pontos) entre o gráco de = + e o gráco de: (a) + 1 = 0. (b) + = 0. 4. Determine a distância entre os pontos do plano (, 1) e (4, 1). 5. Determine todo a, R tal que: (a) a + = 4. (b) < + 1. 6. Verique se 4 + = + 1 para todo R. 3
Respostas dos Eercícios Aritmética e Álgebra. 1. k = 5, m = 4.. = 13/, = 1/. 3. p = 1, q = 3. 4. 3 + + 1, obtida multiplicando numerador e denominador por 1. 1 Com maima: epand((3*sqrt()+1)*(1-sqrt())); 5. Quociente:, resto: 1. Com maima: divide(^4-3*^ + + 1, ^-1); 6. Raizes:, 5, 3. Como é raiz, divida polinômio por ( ( )) = +. Obtenha polinômio do o grau e determine suas raizes. 7. 3. Com maima: sum(*i+1, i,, 5); 8. 4ab. Funções. 1. ( 5, ) pois g() 5 para todo (note que (3 ) é sempre não-negativo).. Resposta: os intervalos [, 1) e ( 1, 1). Como eiste logaritmo somente de números positivos, 1 deve ser positivo, ou seja, 1 > 0, logo 1 >. Por outro lado, + 0, logo. Além disso o denominador não pode se anular: 1 + 0, o que implica 1. Assim 1 > > 1 ou 1 >. 3. f(π) = 3 e f( π) = 4. Não é injetiva pois f(π) = f(3, 5). Não é sobrejetiva pois a imagem é somente os inteiros: Imagem de f: Z. 4. 1 1 5. g(f()) = 45 30 + 1 e f(g()) = 15 13. Com maima: f() := 3*-1; g() := 5*^-4;epand(f(g())); 6. (, 1), pois a função é decrescente (e portanto injetiva) para < 1. Basta ver que seu vértice é em = 1. Não é sobrejetiva pois sua imagem é somente o intervalo (1, ). 7. (a) (, 0). (b) Sempre decrescente. (c) (0, ). (d) (, ) = R. (e) Em ( π/, π/) é crescente. De forma geral em (kπ π/, kπ + π/) para todo k Z. (f) Sempre decrescente. 8. Basta transladar em 3 unidades verticalmente para baio e unidades para esquerda. Veja grácos utilizando algum software (como o fooplot). Eperimente modicar o e 3 para ver efeito no programa. 9. Faça um tabela de valores e verique o que ocorre quando ca próimo de 0 (por eemplo 1/100, 1/10 3, 1/10 5 e 1/100, 1/10 3, 1/10 5, 1/1000) e também muito grande em módulo próimo de ± (por eemplo 10, 10 3, 10 5 e 10, 10 3, 10 5 ). Depois (somente após tentar pela tabela) veja os grácos utilizando algum software (como o fooplot). A função 1/ é impar e 1/ é par. Veja que são similares 1/ 3, 1/ 4,.... 10. Partindo do gráco de, reita o gráco na reta = para obter gráco de. Depois faça translações para obter o gráco de g() = 3 + + 4. Veja os grácos de =, = e = utilizando algum software (como o fooplot) para ver a reeão. 11. (, ) ou (0, ) ou (0, ) dependendo de qual parte do gráco será utilizada. 1. (a) (, 1), ( 1, ) e (, ). (b) Pelo gráco pode-se ver que a imagem destes intervalos são, respectivamente, os intervalos: (, ), (0, ) e (0, ). Logo domínios possíveis para g 1 (não será a mesma função!): (, ), (0, ) e (0, ). Comprove a eistência de mais de uma inversa observando que eistem três possibilidades para g 1 (1): aproimadamente, 1 e 3 pelo gráco. 13. Faça um tabela de valores positivos e negativos. Depois (somente após tentar pela tabela) veja os grácos com algum software (como o fooplot). Obtenha inversas por reeão. Veja os grácos de = 3, = 1/3 = 3 e = utilizando algum software (como o fooplot) para ver a reeão. 4
14. Verique com algum software (como o fooplot) plotando = ep() = e, = log() e =. 15. (a) Positiva nos intervalos ( 3, ) e ( 1, 1). Negativa em < 3 ou < < 1 ou > 1. (b) Positiva nos intervalos (, 1) e (0, 1). Negativa em < ou 1 < < 0 ou > 1. Com maima: load("solve_rat_ineq"); solve_rat_ineq((*(+))/(1-^)<0); 16. O vértice da parábola tem coordenada = 1. (a) Mínimo em = 1, com f(1) =, máimo em = 3 com f(3) = 6 (veja que f(0) = 3 < f(3) = 6). (b) Comparando valor de f nos etremos (o vértice não pertence ao intervalo): Mínimo em =, f() = 3, máimo em = 3, f(3) = 6. 17. a = 4/3. 18. (a) e 0 = 1. (b) log 0 não eiste. Mas quando se aproima de 0 pela direita (isto é > 0), log se aproima de. Veja gráco de log próimo do 0. (c) ln 1 = 0. (d) ln e = 1. (e) e ln 3 = 3. (f) ln(e 5 ) = 5. 19. (a) sen(3π/) = 1. (b) cos(3π) = 1. (c) tan(3π/4) = 1. (d) cos(5π/4) = /. ln 30 0. Por propriedade do logaritmo, log 5 30 = ln 5. 1. (a) o quadrante pois 3π/3 = π/3 + 5 π e π/3 está no o quadrante. (b) 3o quadrante pois 13π/4 = π + π/4 + π. (c) 4o quadrante 1π/5 = π π/5.. Como β está no o quadrante e θ no 4o, sen β > 0, cos β < 0, sen θ < 0, cos θ > 0. 3. cos β = 5/3 ou cos β = 5/3. No maima: solve(^ + (-/3)^=1);. 4. sen γ = 5/ 6. Dica: utilizar 1 + tan = sec = 1/ cos. 5. cos(3a) = cos 3 a 3 cos a sin a e sen( 4a) = 4 cos a sin 3 a 4 cos 3 a sin a. No maima: trigepand(cos(3*a)). Geometria Analítica Básica. 1. Maior coeciente para menor: 3 + 4 = 0 (/3), 3 + = 4 ( 3/) e 5 + 3 = 0 ( 5/3).. (a) = 7/3 /3. (b) =. (c) = (3 + 1)/. 3. (a) = 1, = 0 e = 3/, = 5/4. (b) = 1, = e = 1, = 0. No maima: algss([=^ + -, ^ + -=0], [,]);. 4. 10. 5. (a) R: a = 6 ou a =. Dica: distância de a até deve ser 4. (b) R: > 1/. Dica 1: Separe em casos: se > 0... e se < 0. Em cada um destes casos eistem subcasos: + 1 > 0 ou + 1 < 0. Alguns destes casos não tem solução alguma. Dica : Em termos de distância, deve estar mais perto de do que de 1. Faça uma gura. 6. Errado. O correto é 4 + = + 1 pois =. Para > 0 é correto, mas para < 0 não (verique!). 5