Adição de probabilidades O número de elementos da união dos conjuntos A e B n(aub) = n(a B) Dividindo os dois membros por n(e):
Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos se, e somente se, A B = Ø. Nesse caso, P(AUB) = P(A) + P(B) Exemplo: Dado o espaço amostral E={1,2,3,4,5,6,7,8} e os Eventos A={1,3,4,5} e B={2,4,5,7,8}, determinar a probabilidade de ocorrer o evento AUB. Solução A probabilidade de ocorrer AUB é dada pela fórmula Os dados do exercício permitem escrever E={1,2,3,4,5,6,7,8} n(e) =8 A={1,3,4,5} n(a)=4 B={2,4,5,7,8} n(b)=5 A B={4,5} n(a B)= 2
Então, Exemplo 2: Um baralho completo é constituído de 52 cartas, sendo 26 vermelhas e 26 pretas. Existem 13 cartas de cada um dos seguintes naipes: ouros, copas, espadas e paus. Escolhendo uma dessas cartas, ao acaso, qual é a probabilidade de: A- ocorrer um ás de ouros? B- ocorrer um ás? C- ocorrer uma carta de copas? D- ocorrer uma carta vermelha? E- ocorrer um ás ou uma carta de copas? F- ocorrer uma carta que não seja rei? G- ocorrer uma dama ou um valete ou um rei?
Solução: O espaço amostral E é constituído pelas 52 cartas do baralho, portanto n(e)=52. Os índices o, c, p, e indicarão, respectivamente, os naipes de ouros, copas, paus e espadas. A- Evento A: ocorrer um ás de ouros. Existe um único ás de ouros entre as 52 cartas do baralho, portanto o evento A é um conjunto unitário: A={um ás de ouros} =
B- Evento B: ocorrer um ás. Existem 4 ases entre as 52 cartas do baralho: de ouros, de copas, de paus e de espadas, portanto o evento B é o conjunto C- Evento C: ocorre uma carta de copas. Existem 13 cartas de copas entre as 52 cartas do baralho, portanto o evento C é o conjunto constituído por essas 13 cartas.
D- Evento D: ocorrer uma carta vermelha Existem 26 cartas vermelhas entre as 52 cartas do baralho, portanto o evento D é o conjunto constituído por essas 26 cartas. Assim, n(d)=26 E- Evento E: ocorrer um ás ou uma carta de copas. Esse evento é a união de dois eventos: B: ocorrer um ás. e C: ocorrer uma carta de copas. Portanto, ocorrer um ás ou uma carta de copas é equivalente a BUC. Assim, P(BUC) = P(B) + P - P(B C), Sendo P(B) =1/13 e P(C)= 1/4 (veja as soluções a e b) Necessitamos ainda de calcular P(B C), para que possamos calcular P(BUC).
F- Os eventos: F: ocorrer uma carta que não seja um rei. e B: ocorrer um rei. são complementares. P(B)= 1/13 (veja o item b) Isto é, P(F) + P(B) = 1 P(F) + 1/13 = 1 P(F)= 12/13 G- Evento G: ocorrer uma dama ou um valete ou um rei. Esse evento é a união de 3 eventos: X: ocorrer uma dama. Y: ocorrer um valete. Z: ocorrer um rei. Portanto, ele é equivalente a XUYUZ, cuja probabilidade é dada pela fórmula
Probabilidade condicional Uma caixa contém 12 esferas numeradas de 1 a 12. Ao retirar uma esfera dessa caixa, ficou-se sabendo que ela possuía um número par. Qual seria então, a probabilidade de que essa esfera fosse um múltiplo de 3? O espaço amostral pode ser considerado, inicialmente, como o conjunto constituído por todas as esferas numeradas de 1 a 12. E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} Entretanto, ao retirar uma esfera, ficou-se sabendo que ela possuía um número par. Isso nos mostra que é possível definir um novo espaço amostral A, constituído pelas esferas pares. A={2,4,6,8,10,12} n(a)=6 O evento B: ocorrer uma esfera com número múltiplo de 3. é o conjunto B={3,6,9,12}. Os múltiplos de 3 que são também múltiplos de 2 pertencem à interseção dos eventos A e B.
Logo, a probabilidade de ocorrer o evento B, já tendo ocorrido o evento A, é igual a Essa probabilidade indicada por P(B/A) é chamada probabilidade condicional do evento B, já tendo ocorrido o evento A. A fórmula para calcular P(B/A) (lê-se: probabilidade de B, tendo ocorrido A ) é a seguinte:
Exemplo: No lançamento de dois dados obteve-se, nas faces voltadas para cima, a soma dos pontos iguais a 6. Determinar a probabilidade de que, nas faces desses dados, o maior número observado seja igual a 3. Solução: Já tendo ocorrido o evento A: soma dos pontos é igual a 6. O espaço amostral inicial fica reduzido ao evento A. A={(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} Para calcular a probabilidade condicional Cálculo de n(a B) Sendo o evento B: o maior número observado ser igual a 3. temos A={(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} n(a)=5 B={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)} Então, A B={(3,3)} n(a B)=1 Logo, P(B/A)= 1/5, necessitamos de n(a B).
Cálculo da probabilidade condicional em função das probabilidades relativas ao espaço amostral inicial E Considere o espaço amostral E finito e não-vazio, os eventos A e B e a probabilidade condicional
Exemplo: Considere todos os números naturais de 3 algarismos distintos, formados com os algarismos 1, 2 e 3. Um deles foi escolhido e observou-se que ele é maior que 150. Determinar a probabilidade de que o número escolhido seja ímpar. Solução O espaço amostral é o conjunto E E={123, 132, 213, 231, 312, 321} n(e)=6 O evento A: não maior que 150 é o conjunto A={213, 231, 312, 321} n(a)=4 O evento B: número ímpar é o conjunto B={123, 213, 231, 321} n(b)=4 O evento A B={213, 231, 321} n(a B)=3 Vamos calcular P(B/A) por meio das duas fórmulas:
Eventos independentes e multiplicação de probabilidades A e B são eventos independentes de um espaço amostral E, se a probabilidade de ocorrer um deles não depender de ter ou não ocorrido o outro. Expressamos esse fato escrevendo P(B/A) = P(B). Isto é, a probabilidade de B, tendo ocorrido A, é igual à probabilidade de B. Resumindo: Se B independe de A, então A independe de B, isto é, se P(B/A) = P(B), então P(A/B) = P(A).
Multiplicação de probabilidades Dados dois eventos A e B de um espaço amostral E, sendo A Ø, B Ø e E Ø, diz-se que A e B são independentes se, e somente se, P(A B) = P(A). P(B) P(A B) = P(A). P(B) A e B não são independentes. Exemplo 1:
Exemplo 2: