UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA UMA METODOLOGIA PARA A SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE COMPRESSORES Disseação submeida à UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA paa a obenção do gau de MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA JOÃO BENTO ROVARIS Floianópolis, maço de 4.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA UMA METODOLOGIA PARA A SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE COMPRESSORES JOÃO BENTO ROVARIS Esa disseação foi julgada adequada paa a obenção do íulo de MESTRE EM ENGENHARIA ESPECIALIDADE ENGENHARIA MECÂNICA sendo apovada em sua foma final. Pof. Césa José Deschamps, PhD. Oienado Pof. José Anônio Bellini da Cunha Neo, D. - Coodenado do Cuso BANCA EXAMINADORA Pof. Cláudio Melo, PhD. Pesidene Pof. Ami Anônio Mains de Oliveia J., PhD. Fancisco Fedeico dos Sanos Maos, D. Eng.
Aos meus pais, pelo esfoço dispendido na minha fomação pofissional.
AGRADECIMENTOS Ao Pofesso Césa José Deschamps, oienado e amigo, pelo apoio, incenivo e conhecimeno fonecidos duane a ealização dese abalho. Ao NRVA, pela infa-esuua disponibilizada e pela opounidade de convívio com os seus ineganes. À EMBRACO S.A, pelo ineesse demonsado nese abalho, e pelas infomações fonecidas. Ao Conselho Nacional de Desenvolvimeno Cienífico e Tecnológico, CNPq, pelo supoe financeio duane a elaboação dese abalho. Aos meus amigos Gusavo Coal Xavie, Rodigo José Tasca, Wandelei Amoim Júnio e Clóvis Raimundo Maliska Júnio, pela vedadeia amizade. Seia difícil, ou mesmo injuso, ena enumea odos as pessoas que conibuíam paa a ealização dese abalho. Desa foma, o agadecimeno esende-se a odos os que influenciaam diea ou indieamene a condução dese abalho.
SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS...vii LISTA DE TABELAS... x SIMBOLOGIA...xi RESUMO...xiv ABSTRACT... xv INTRODUÇÃO.... Consideações iniciais.... Tipos de compessoes... 3.3 Funcionameno de compessoes alenaivos...... 6.4 Sisema de válvulas...... 7.5 Escopo do abalho...... 8 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA... 9. Inodução... 9. Revisão dos abalhos... 9.3 Objeivos do abalho... 4 3 MODELAGEM MATEMÁTICA... 5 3. Inodução... 5 3. Dinâmica das válvulas... 6 3.3 Escoameno no cilindo e em válvulas - Fomulação inegal... 8 3.4 Escoameno no cilindo e em válvulas Fomulação difeencial... 4 3.4. Modelo de ubulência µ consane... 6 3.4. Modelo de ubulência algébico... 6 3.4.3 Modelo de ubulência RNG k-ε... 8 3.4.4 Simulação de gandes escalas (SGE)... 3 4 METODOLOGIA DE SOLUÇÃO... 34 4. Inodução... 34 4. Fomulação difeencial... 35 4.. Equações no sisema de coodenadas móvel... 35 4.. Disceização das equações govenanes... 39 4..3 Malha compuacional... 43 4..4 Condições de conono... 44 4.3 Fomulação inegal... 49
4.4 Acoplameno das fomulações... 5 5 RESULTADOS E DISCUSSÕES... 53 5. Inodução... 53 5. Campos do escoameno... 53 5.. Modelo de viscosidade ubulena consane... 53 5.. Modelo algébico... 6 5..3 Simulação de gandes escalas (SGE) (i) Meodologia de solução implícia... 67 5..4 Simulação de gandes escalas (SGE) (ii) Meodologia de solução semi-explícia... 7 5.3 Diagamas p-v e T-V... 77 5.4 Dinâmica das válvulas... 8 5.5 Análise compaaiva dos modelos... 83 6 CONCLUSÕES... 87 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 89 APÊNDICES... 94
LISTA DE FIGURAS Figua. Aanjo dos componenes de um sisema de efigeação po compessão de vapo... Figua. Pincipais compessoes de deslocameno posiivo... 3 Figua.3 Compesso heméico alenaivo. a) visa de opo. b) visa laeal... 5 Figua.4 Opeação de um compesso alenaivo... 6 Figua.5 Diagama p V paa o ciclo de um compesso alenaivo... 6 Figua. Abeua da válvula e foça esulane sobe a válvula paa o pisão com movimeno peiódico... Figua. Domínio compuacional uilizado po Maos e al. ()... Figua.3 Abeua da válvula e foça esulane em função do empo... 3 Figua 3. Diagama de copo live da palhea com um gau de libedade... 6 Figua 3. Bocal convegene com áea de enada igual a áea do oifício de passagem.... Figua 3.3 Geomeia do poblema... 4 Figua 3.4 Região do domínio que apesenam difeenes valoes paa o cálculo da viscosidade ubulena... 7 Figua 3.5 Especo de enegia cinéica ubulena em função da feqüência... 3 Figua 3.6 Decomposição das escalas de ubulência em SGE... 3 Figua 4. Sisema de coodenadas fixo... 36 Figua 4. Sisema de coodenadas móvel η... 36 Figua 4.3 Volume de conole elemena no domínio compuacional... 4 Figua 4.4 Malha compuacional empegada nas simulações com x 9 volumes (dieções axial e adial, especivamene)... 43 Figua 4.5 Volume de conole uilizado paa pesceve a pessão na foneia de saída... 44 Figua 4.6 Volume de conole uilizado paa calcula a coeção de pessão... 47 Figua 4.7 Modelo de bocal convegene usado paa avalia a vazão mássica aavés da válvula de sucção... 5 Figua 4.8 Acoplameno das fomulações difeencial e inegal... 5
Figua 5. Vaiação de pessão no cilindo duane a abeua da válvula de descaga, e posições uilizadas na análise do escoameno...55 Figua 5. Vaiação do númeo de Reynolds aavés da válvula de descaga...55 * Figua 5.3 Linhas de coene adimensionais ( Ψ ) paa o modelo à viscosidade consane.56 Figua 5.4 Isobáicas duane a abeua da válvula de descaga...57 Figua 5.5 Veoes velocidade do escoameno duane a abeua da válvula de descaga...58 Figua 5.6 Insanes de empo uilizados na análise do escoameno aavés da válvula de descaga paa o modelo algébico...6 Figua 5.7 Cuvas de níveis de linhas de coene paa o modelo algébico...6 Figua 5.8 Cuvas de níveis de pessão paa as posições (a), (b), (c) e (d)...63 Figua 5.9 Campo de velocidade paa as posições (a), (b), (c) e (d)...65 Figua 5. Relação ene viscosidade ubulena e absolua paa a posição (a) no modelo algébico...66 Figua 5. Compaação da cuva de pessão média ene os modelos implemenados paa a egião de sobepessão...67 Figua 5. Cuvas de níveis de linhas de coene paa o modelo de SGE oalmene implício nas posições (a), (b), (c) e (d)...68 Figua 5.3 Cuvas de níveis de pessão paa o modelo de SGE oalmene implício nas posições (a), (b), (c) e (d)...69 Figua 5.4 Campo de velocidade paa as posições (a), (b), (c) e (d)...7 Figua 5.5 Cuvas de níveis de linhas de coene paa as posições (a), (b), (c) e (d)...73 Figua 5.6 Cuvas de níveis de pessão paa o modelo de SGE semi-explício nas posições (a), (b), (c) e (d)...74 Figua 5.7 Campo de velocidade paa as posições (a), (b), (c) e (d)...76 Figua 5.8 Diagamas p - V dos modelos uilizados no pesene abalho...78 Figua 5.9 Região de sobepessão no cilindo...78 Figua 5. Compaação dos diagamas T - V paa os modelos simulados...79 Figua 5. Dinâmica das válvulas em função da pessão média deno da câmaa paa o modelo à viscosidade consane...8 Figua 5. Dinâmica das válvulas em função da pessão média deno da câmaa paa o modelo algébico...8 Figua 5.3 Dinâmica das válvulas em função da pessão média deno da câmaa paa o modelo de SGE oalmene implício...8 Figua 5.4 Dinâmica das válvulas em função da pessão média deno da câmaa paa o modelo de SGE semi-explício...8
Figua 5.5 Compaação dos diagama p x V numéico e expeimenal...84 Figua 5.6 Região de descaga no diagama p x V...84 Figua 5.7 Dealhe dos segundos picos de pessão enconados nos esulados numéicos.85 Figua 5.8 Compaação ene os diagamas T - V de Ussyk, Maos e do pesene abalho 86 Figua A. Sisema de coodenadas uilizado paa o cálculo da velocidade e da posição do pisão...95
LISTA DE TABELAS Tabela. Pedas de eficiência voluméica, segundo Sasano e. al... 7 Tabela 5. Tempo de pocessameno compuacional das meodologias implemenadas... 83 Tabela A. Paâmeos uilizados paa a simulação do compesso... 98
SIMBOLOGIA Alfabeo Laino: A ee Áea efeiva de escoameno [m ] A ef Áea efeiva de foça [m ] A o Áea do oifício de passagem [m ] A sc Áea das paedes inenas do cilindo [m ] c Velocidade do som [m/s] c p Calo específico a pessão consane [kj/kg.k] c v Calo específico a volume consane [kj/kg.k] C PMS Disância do pono moo supeio ao eixo de manivela [m] C Coeficiene de amoecimeno da válvula de descaga [N.s/m] C ij Tenso Cuzado [m /s ] C s Coeficiene de amoecimeno da válvula de sucção [N.s/m] d Diâmeo do oifício de passagem [m] d e Disância do pono de engase da palhea ao ceno do oifício de passagem [m] D Diâmeo do cilindo [m] e Compimeno do oifício de passagem [m] E Enegia oal do gás [J] f Feqüência [Hz] F Foça sobe a válvula de descaga devido à difeença de pessão [N] F col Foça de pé-caga na válvula de sucção [N] F o Foça de pé-caga na válvula de descaga [N] F s Foça sobe a válvula de sucção devido à difeença de pessão [N] h Enalpia específica do gás [J/kg] h s Enalpia específica na câmaa de sucção [J/kg] h d Enalpia específica na câmaa de descaga [J/kg] k Enegia cinéica ubulena [m /s ] K Coeficiene de igidez da válvula de descaga [N/m] K s Coeficiene de igidez da válvula de sucção [N/m] l Espaçameno da malha numa dieção genéica [m] L ij Tenso de Leonad [m /s ] m Massa da válvula de descaga [kg]
m s Massa da válvula de sucção [kg] m& ideal Fluxo de massa ideal de gás pela válvula de sucção [kg/s] m& eal Fluxo de massa eal de gás pela válvula de sucção [kg/s] M Númeo de Mach n Índice poliópico p Pessão [Pa] p d Pessão de descaga [Pa] p cil Pessão na câmaa de descaga [Pa] p cíica Pessão cíica na câmaa de descaga [Pa] Coodenada cilíndica na dieção adial [m] R Consane do gás [J/kg.K] Re Númeo de Reynolds S ij Tenso axa de defomação [/s] φ S Temo fone paa a equação de anspoe de uma popiedade genéica φ Tempo [s] T Tempeaua [K] T d Tempeaua na câmaa de descaga [K] T s Tempeaua na câmaa de sucção [K] u Velocidade do fluido na dieção axial [m/s] u g Velocidade da malha móvel [m/s] u p Velocidade do pisão [m/s] u ~ Velocidade do fluido em elação à malha na dieção axial [m/s] V Veo velocidade [m/s] v Velocidade do fluido na dieção adial [m/s] V Volume [m 3 ] V c Volume moo [m 3 ] x Coodenada na dieção axial [m] y Coodenada caesiana na dieção adial [m] Z(θ) Posição do pisão na dieção axial [m] Alfabeo Gego: α Inveso do númeo de Pandl ubuleno δ Símbolo usado paa medidas de compimeno [m]
δ ij Dela de Konecke δ & Símbolo usado paa medidas de velocidade [m/s] & δ Símbolo usado paa medidas de aceleação [m/s ] ε Dissipação da enegia cinéica ubulena [m /s 3 ] φ γ Γ φ η Vaiável genéica Relação ene os caloes específicos a pessão e volume consanes Coeficiene de difusão da equação de anspoe de uma popiedade genéica Coodenada adimensional no plano ansfomado na dieção axial π ij Tenso de Reynolds sub-malha [m /s ] ϑ Volume específico [m 3 /kg] ρ Massa específica [kg/m 3 ] µ Viscosidade absolua [N.s/m ] µ Viscosidade ubulena [N.s/m ] µ eff Viscosidade efeiva [N.s/m ] θ Coodenada cilíndica na dieção angula [ad] ω Feqüência angula [ad/s] κ Conduividade émica [W/m.K] Índices: o valoes iniciais.
RESUMO O pesene abalho aa do desenvolvimeno de uma meodologia paa a simulação numéica de compessoes alenaivos de efigeação. Em um compesso alenaivo a pessão no cilindo vaia de acodo com a posição do pisão, e de acodo com esa pessão as válvulas de descaga e sucção são acionadas. O enendimeno dealhado do escoameno aavés das válvulas é muio impoane no pojeo de um compesso de ala eficiência, uma vez que o pópio escoameno aua nos seus movimenos de abeua e fechameno. A meodologia desenvolvida nesa disseação combina duas fomulações: i) a pimeia é do ipo difeencial e é empegada paa esolve o escoameno no cilindo e aavés da válvula de descaga, duane o pocesso de esvaziameno do cilindo; ii) a oua é escia na foma inegal e uilizada no esane do ciclo de compessão. O escoameno aavés da válvula de descaga é ubuleno e paa a sua solução foam esados divesos modelos de ubulência (viscosidade ubulena consane, algébico, modelo RNG k-ε e Simulação de Gande Escalas), com o objeivo de deemina o de meno cuso compuacional, sem que houvesse no enano peda na pecisão do esulado. A Simulação de Gandes Escalas foi esada em combinação com o modelo de sub-malha de Smagoinsky e se mosou uma excelene alenaiva. As equações do escoameno foam esolvidas ano na foma implícia como na explícia, visando uma edução do empo compuacional, sendo que a foma explícia foneceu ganhos consideáveis de economia no empo de pocessameno. Os esulados demonsam que a meodologia desenvolvida fonece dealhes impoanes paa o pojeo de sisemas de válvulas e, consideando o cuso compuacional, é viável como feamena de pojeo.
ABSTRACT The pesen wok deals wih he developmen of a mehodology fo he numeical simulaion of ecipocaing compessos used in efigeaion. In a ecipocaing compesso he diffeence pessue esablished by he posiion of he pison is he esponsible one by he valves of dischage and sucion ae se in moion. A deailed undesanding of he fluid flow hough he valves is vey impoan in he pojec of a high efficiency compesso, a ime ha he fluid flow by iself acs in he valve s opening and closing movemen. The mehodology developed in his wok combines wo fomulaions: i) he fis one is he diffeenial equaions ype and is used o solve he fluid flow in he cylinde and hough he valve of dischage, duing he compession pocess; ii) o anohe one is he inegal equaions ype and used in he emain of he cycle. The fluid flow hough he dischage valve is consideed ubulen. Aiming o deemine of lesse compuaional cos, wihou ha i howeve had loss in he pecision of he esul, seveal models of ubulence had been esed (consan ubulen viscosiy model, algebaic model, RNG k-ε model and Lage Eddy Simulaion - LES). The Lage Eddy Simulaion was esed in combinaion wih he model of sub-gid scale of Smagoinsky and i showed an excellen alenaive. The equaions of he fluid flow had been solved in such a way in he implici fom as in he explici one, aiming a a educion of he compuaional ime, being ha he explici fom supplied consideable pofis of economy in he pocessing ime. The esuls demonsae ha he developed mehodology supplies impoan deails he pojec of sysems of valves and, consideing he compuaional cos, ae viable as pojec ool.
CAPÍTULO INTRODUÇÃO. Consideações iniciais Duane as úlimas décadas, os sisemas de efigeação aumenaam significaivamene a sua impoância, deixando de se equipamenos ineficienes e volumosos, com aplicações esias às indúsias e esabelecimenos comecias, paa onaem-se bens de consumo, indispensáveis em nosso coidiano. A gande maioia dos méodos de efigeação, ano em nível indusial quano domésico, usam o pincípio da compessão mecânica de vapo paa a podução de fio. Neses sisemas, o efeio de efigeação é poduzido pela eiada de calo do ambiene aavés da evapoação de um líquido a baixas empeaua e pessão em um cicuio fechado e pela ação de um compesso. Po azões econômicas, o sisema colea o vapo de foma conínua e condensa-o paa que possa se usado epeidas vezes. Ese ipo de ciclo figoífico opea com a uilização de cinco componenes fundamenais: um compesso, um condensado, um disposiivo de expansão, um evapoado e uma ubulação po onde cicula o fluido de abalho, denominado fluido efigeane. Uma visão esquemáica de um sisema assim composo é apesenada na Fig... Independene do poe do sisema de efigeação, eses componenes esaão sempe pesenes em qualque cicuio que funcione po compessão mecânica de vapoes. Basicamene, o fluido efigeane, no esado de vapo supeaquecido e a baixa pessão, poveniene do evapoado, é compimido elevando sua empeaua e pessão e em seguida é levado ao condensado. No condensado o gás é esfiado e condensa ejeiando calo paa um meio exeno. Sob a foma de líquido, o efigeane passa pelo disposiivo de expansão, cuja função é eduzi a pessão de condensação aé a pessão de vapoização. No evapoado, esa edução de pessão pemie a evapoação do gás efigeane a uma empeaua mais baixa que a da condensação. Duane a evapoação, calo é absovido do ambiene ou da subsância a efigea, e o efeio de efigeação é poduzido.
Basicamene, a aefa do compesso é fonece uma difeença de pessão ene as linhas de sucção e descaga, paa que o fluido efigeane pecoa o cicuio e ealize as ocas de calo esabelecidas. Desa foma, fica evidene que o compesso possui uma função de suma impoância em um sisema de efigeação, jusificando os exausivos abalhos ealizados nesa áea. Figua.. Aanjo dos componenes de um sisema de efigeação po compessão de vapo; epoduzido de Maos (). Cada componene do sisema de efigeação apesena um compoameno caaceísico, que é influenciado pelas condições imposas pelos ouos componenes, ou seja, o desempenho individual de cada componene afea o desempenho global do sisema. Assim sendo, paa o pojeo de sisemas de efigeação eficienes, deve-se oimiza o desempenho de odos os componenes (Soecke e Jones, 984). Em sisemas de efigeação de aplicação domésica, bem como em ouos sisemas de poe não muio elevado, os compessoes heméicos são os mais empegados. A azão dese domínio esá na facilidade com que alguns equisios básicos são cumpidos, como po exemplo: pequeno volume ocupado pelo compesso, baixo nível de uído e de consumo de enegia eléica, ausência de vazamenos, obusez esuual dos componenes e facilidade de manuseio pelas monadoas de sisemas de efigeação.
. Tipos de compessoes Os compessoes podem se classificados, segundo seu aspeco consuivo, em dois gupos disinos: compessoes de deslocameno posiivo e compessoes oo-dinâmico. A pincipal caaceísica dos compessoes cenífugos é fonece quanidade de movimeno ao fluido aavés do movimeno oaivo de um oo doado de pás. Nos compessoes de deslocameno posiivo, o fluido efigeane é submeido a uma vaiação de volume. Duane seu funcionameno um volume de gás é inoduzido na câmaa de compessão e compimido aé que sua pessão ainja um valo desejado, sendo em seguida libeado na linha de descaga. Desa foma, odo compesso de deslocameno posiivo poduz um escoameno pulsane e peiódico. A Fig.. apesena a classificação, segundo o ipo de mecanismo de compessão, dos pincipais ipos de compessoes de deslocameno posiivo. Nos compessoes alenaivos, o componene esponsável pela compessão é um pisão, enquano que nos compessoes oaivos, a compessão é feia po uma palhea, olle ou um lóbulo. ALTERNATIVO SIMPLES COMPRESSORES DE PALHETA DESLOCAMENTO POSITIVO ROTATIVO SCROLL MÚLTIPLAS PARAFUSO (SCREW) Figua.. Pincipais compessoes de deslocameno posiivo. Ene os compessoes indicados na Fig.., o alenaivo é o de uso mais difundido nos sisemas de efigeação e sua faixa de aplicação é muio ampla, esendendo-se de efigeadoes domésicos a gandes insalações indusiais.
A Fig..3 apesena os pincipais componenes de um compesso alenaivo, que seá o foco dese abalho. Os compessoes alenaivos são envolos exenamene po uma cacaça, que po sua vez, consise de duas paes soldadas hemeicamene. Fixados à cacaça enconam-se: a placa base, cuja função é fixa o copo do compesso ao equipameno de efigeação; o eminal heméico, que faz a conexão eléica ene o ineio da cacaça e a ede; o limiado de oscilação, que evia danos duane o anspoe; e os passadoes de sucção, descaga e pocesso, que pemiem que o gás seja succionado paa deno do compesso, descaegado paa a linha de descaga e uilizado paa caega o sisema com gás efigeane, especivamene. Os componenes inenos dividem-se em dois gupos fundamenais: pae mecânica (compesso) e pae eléica (moo), conecados ene si po meio de um eixo. A convesão do movimeno oaivo do moo paa movimeno alenaivo do pisão do compesso é execuado po um mecanismo do ipo biela-manivela. O óleo lubificane fica deposiado no fundo do copo e é conduzido às paes supeioes do compesso aavés de asgos no eixo de acionameno. O gás efigeane ena no compesso pelo passado de sucção, onde uma pequena pacela do gás fica no ambiene ineno, e o esane ena dieo paa a câmaa de sucção, que po sua vez, é a pópia câmaa de amoecimeno. Em seguida o gás ena no cilindo passando pela válvula de sucção, sofe a compessão e passa pela válvula de descaga aé a câmaa de descaga, e em seguida as câmaas de amoecimeno. Na seqüência, o gás é conduzido po um ubo aé o passado de descaga. Deve-se saliena que o fluxo de gás que anspõe as válvulas é conolado po palheas flexíveis, confeccionadas em aço mola, e que, po sua vez, são conoladas pelo difeencial de pessão auane sobe esas. Consiuindo-se, poano, em peças viais paa o funcionameno do compesso.
PLACA DE VÁLVULAS CILINDRO PISTÃO PASSADOR DE SUCÇÃO PASSADOR DE DESCARGA CARCAÇA TERMINAL HERMÉTICO PASSADOR DE PROCESSO MOTOR ELÉTRICO (a) EIXO PLACA BASE CÂMARA DE AMORTECIMENTO MECANISMO "BIELA-MANIVELA" (b) Figua.3 Compesso heméico alenaivo. a) visa de opo. b) visa laeal, epoduzido de Cao (996).
.3 Funcionameno de compessoes alenaivos A Fig..4 apesena o pincípio de funcionameno de um compesso alenaivo. Quando o pisão se move de cima paa baixo, chega a um pono em que o vapo a baixa pessão é aspiado paa deno do cilindo aavés da válvula de sucção, que abe auomaicamene devido ao difeencial de pessão pela qual ela esá sujeia. O escoameno do vapo coninua aé que o pisão ainja o pono moo infeio. O pocesso de sucção esá epesenado no diagama p - V da Fig..5. O pisão começa a se move no senido oposo, e a pai dese pono, a pessão aumena aé aingi uma pessão supeio à da câmaa de descaga, que é apoximadamene a pessão do condensado, quando enão a válvula de descaga abe. A abeua da válvula dá início ao pocesso de descaga do vapo, e coninua aé que o pisão alcance o pono moo supeio. Nese pono a descaga do vapo deveia se complea. No enano, sempe exisiá uma quanidade de vapo que pemaneceá deno do cilindo, pois é necessáio que haja algum espaço paa acomoda as válvulas e pemii sua abeua (sucção), além de pemii ajuse das peças duane a monagem. Esse volume é denominado volume moo e é da odem de,3 a 5, % do volume oal do cilindo. Câmaa de sucção Câmaa de descaga Cilindo Pisão Palhea Oifício de passagem Figua.4. Opeação de um compesso alenaivo. Figua.5. Diagama p V paa o ciclo de um compesso alenaivo. À medida que o pisão se move de cima paa baixo, o vapo conido no volume moo se eexpande, diminuindo sua pessão (pocesso AB). Quando o pisão ainge o pono B, a pessão no cilindo é meno que a pessão na linha de admissão, dando início à sucção do vapo paa deno do cilindo (BC). O efeio esulane é que o pisão succiona um volume da
odem de (VC-VB), quando deveia succiona (VC-VA), eduzindo a eficiência voluméica do compesso. Os faoes que endem a diminui o volume de vapo deslocado da linha de baixa paa de ala pessão são: volume moo, aquecimeno do cilindo, vazameno ene a folga pisão/cilindo, efluxo nas válvulas ec. Segundo Sasano e al.(997), as pincipais pedas nos compessoes alenaivos são divididas em duas caegoias: peda de eficiência voluméica e peda de poência eléica. A pimeia é da odem de 3% da capacidade eóica de efigeação, e compeendem as pedas po eexpansão do gás confinado no volume moo, pedas po vazameno e pedas nas ocas de calo, e subdividem-se de acodo com a Tab... Tabela. Pedas de eficiência voluméica, segundo Sasano e. al (997). Reexpansão 36 % Calo ocado 34 % Vazamenos 3 % ouos 7 % A segunda é da odem de 44% da poência oal fonecida ao compesso, e subdividese em: pedas po aio, que ocoem nos mecanismos de ansmissão mecânica, pedas no moo eléico (efeio Joule), pedas po sobe ou subpessão, que dependem das caaceísicas elásicas das válvulas..4 Sisema de válvulas A eficiência voluméica de um compesso depende em gande pae do funcionameno adequado do sisema de válvulas. Paa a melhoia de um iem específico que possa diminui as pedas, é necessáio veifica o ganho em desempenho e o cuso da modificação associada. O pesene abalho daá ênfase ao esudo do sisema de válvulas de um compesso de deslocameno posiivo do ipo alenaivo. Nesses compessoes, o movimeno das válvulas é comandado inicialmene pelo difeencial de pessão exisene ene a câmaa de sucção, cilindo e câmaa de descaga, oiginadas pelo movimeno do pisão. A pai do momeno em que as válvulas esão abeas, o agene esponsável passa a se o pópio campo de pessão do escoameno do fluido efigeane. Po esa azão, paa o pojeo adequado de um sisema de válvulas é fundamenal o conhecimeno dos fenômenos que ocoem quando o fluido esá escoando aavés das válvulas.
Os faoes mais impoanes paa ona a válvula de sucção mais eficiene são: obenção de uma esposa dinâmica adequada (ápida) e edução da peda de caga (edução da subpessão). Paa obe-se uma esposa ápida, algumas modificações êm sido implemenadas, pincipalmene nos úlimos anos. Difeenemene do que ocoe com a válvula de sucção, o pojeo da válvula de descaga em sido aacado po uma gande quanidade de pesquisadoes, que visam aumena os ganhos da eficiência. Po eses moivos, as válvulas são consideadas pae chave do pojeo de um compesso, já que epesenam uma fone significaiva da peda de enegia..5 Escopo do abalho Apesa de possuíem funcionameno simples, as válvulas do compesso possuem uma descição maemáica complexa e exigem assim uma séie de simplificações. O valo de qualque modelo numéico esá na fidelidade com que evenos eais, descios de foma simplificada, são epesenados. O objeivo geal do pesene abalho é conibui paa a modelagem da dinâmica de válvulas do ipo palhea aavés de modelos maemáicos pecisos e de baixo cuso compuacional. O capíulo apesena uma evisão bibliogáfica, visando a fundamenação eóica e a definição do escopo da pesene disseação. Os modelos maemáicos do escoameno aavés das válvulas e da dinâmica da palhea são descios em dealhes no capíulo 3, paa as fomulações difeencial e inegal adoadas. Os pocedimenos numéicos de solução das equações desses modelos enconam-se documenados no capíulo 4. O capíulo 5 az uma análise dos esulados obidos com os divesos modelos, focando ano aspecos físicos do poblema bem como quesões de empo de pocessameno compuacional. Finalmene, no capíulo 6, são apesenadas as pincipais conclusões e indicadas algumas possíveis dieções paa abalhos fuuos.
CAPÍTULO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA. Inodução Como ciado no capíulo, o pojeo adequado de válvulas possui significaiva impoância na eficiência de compessoes. A modelação maemáica é uma alenaiva ineessane paa a análise do compoameno e das pedas dos elemenos de um compesso. Alguns dos abalhos mais significaivos em elação à modelação do escoameno em válvulas são evisados a segui, com ênfase na pevisão da dinâmica da palhea. Paa uma evisão mais abangene, os abalhos de MacLaen (97, 98), Salinas (999) e Maos () são ecomendados.. Revisão dos abalhos Segundo Ussyk (984), Cosagliola (95) foi o pimeio pesquisado a obe sucesso na busca da descição dos fenômenos que ocoem no compesso. Em sua análise, duas equações difeenciais não-lineaes foam esolvidas, uma paa o movimeno das válvulas, e oua paa o fluxo de massa aavés desas. A solução dessas equações ea obida via pocedimeno gáfico e, apesa dos bons esulados, consisia em um pocesso de cálculo exenuane, disane das necessidades da indúsia. Tella e Soedel (974a) desenvolveam uma meodologia paa a análise do compoameno não-linea de um sisema de válvula de descaga de um compesso alenaivo, consideando o escoameno compessível e ansiene. A solução acoplada do escoameno compessível e do movimeno da válvula foi obida a pai das equações da
consevação da massa e da quanidade de movimeno, na suas fomas inegais, e aplicada sobe quao volumes de conole disinos. Fica evidene no abalho a impoância da esolução da dinâmica da palhea em conjuno com o escoameno que passa aavés da mesma. A aplicação da meodologia foi ealizada em Tella e Soedel (974b) e os esulados compaados com aqueles obidos aavés de um modelo quasi-esáico. Devido à inexisência de dados expeimenais, a validação dos esulados foi incomplea. Apesa diso, os auoes exploaam a influência do diâmeo da válvula, da igidez e da feqüência naual sobe a dinâmica da mesma, demonsando que os ansienes devem se consideados na descição do funcionameno da válvula. Ussyk (984) desenvolveu um pogama paa simulação de um compesso alenaivo, consideando as válvulas como lâminas flexíveis e incluindo o efeio do baene sobe a movimenação das válvulas. Além diso, admiiu o vazameno de gás efigeane aavés da folga exisene ene o pisão e o cilindo. Os esulados apesenaam boa concodância quando compaados com dados expeimenais, pemiindo idenifica a influência individual de cada paâmeo sobe o desempenho do compesso. Como limiações do código compuacional, ciam-se o fao de que a simulação não considea a pulsação dos gases na enada e saída dos cilindos, além de faze uso de um índice poliópico médio ao longo de odo o ciclo, o que dificula a análise dos pocessos de peda de enegia ocoidos duane o funcionameno do compesso. Ussyk (984) veificou ambém que a influência da válvula de sucção sobe o desempenho do compesso é muio mais significaiva do que a da válvula de descaga. Lopes (996) analisou numeicamene o escoameno lamina em egime ansiene em difusoes adiais concênicos, esolvendo a dinâmica do disco fonal segundo um modelo de um gau de libedade. Paa caaceiza o movimeno cíclico do pisão, uma vaiação senoidal da vazão foi imposa na enada do oifício de passagem. A meodologia de malhas móveis foi validada a pai de dados expeimenais de Ishizawa e al. (987). Salinas e al. (999) analisaam numeicamene, com validação expeimenal, o escoameno ubuleno idimensional incompessível em difusoes adiais com discos inclinados. O modelo de ubulência uilizado foi o RNG k-ε e os esulados apesenados concodaam bem com os dados expeimenais. Os auoes mencionam o fao de que o desempenho dese modelo esá associado à pevisão mais pecisa dos níveis de ubulência em egiões de eciculação, esagnação e cuvaua de linhas de coene, exaamene o que aconece na egião de enada do difuso.
Maos e al. (999) invesigaam numeicamene o compoameno dinâmico do disco fonal de um difuso com discos paalelos e concênicos, paa a siuação de escoameno lamina bidimensional incompessível. Os auoes fizeam uso da meodologia numéica empegada po Lopes (996) mas, ao invés de adoa uma vazão vaiável no oifício de passagem, adoaam uma condição de pessão ( p) vaiando de foma peiódica: 5 p = sen( ω), ω = πf, f = 6 Hz 6. (.) Os auoes obsevaam que a abeua da válvula fica defasada em elação à foça esulane que aua sobe a mesma, ou seja, elevados valoes paa a foça ocoem paa pequenos afasamenos da palhea, e vice-vesa, confome pode se obsevado na Figua.. A validação numéica foi ealizada com base no expeimeno de Ishizawa e al. (987). Figua. Abeua da válvula e foça esulane sobe a válvula paa o pisão com movimeno peiódico. Consideando a mesma geomeia de seu abalho aneio, Maos e al. () invesigaam a influência da inclinação ene os discos sobe o escoameno. Devido à inclinação, fez-se necessáio o uso de um modelo idimensional que levasse em cona a
vaiação no empo do domínio compuacional, confome ilusado na Figua.. O novo domínio de cálculo inclui a face do pisão, e, ao invés de pesceve uma difeença de pessão peiódica, define a velocidade do pisão (δ P ) como: [.7sen( ω) ], ω = πf δ =.5d, (.) P onde d é o diâmeo do oifício de passagem. A meodologia de cálculo foi validada com auxílio de dados expeimenais de disibuição de pessão na palhea, obidos po Possamai e al. (994). Maos e al. () concluíam que os efeios de ubulência e de compessibilidade devem se incluídos no modelo paa desceve os fenômenos que ocoem no poblema. Figua.. Domínio compuacional uilizado po Maos e al. (). Salinas () analisou numeicamene o escoameno ubuleno incompessível pulsane em um difuso com discos paalelos fixos, com a vazão vaiando segundo uma função senoidal. As simulações foam ealizadas paa váias elações de diâmeos (D/d), afasamenos (s/d) e númeos de Reynolds, bem como paa váios modelos de ubulência. A pincipal conclusão do abalho foi que o escoameno não é afeado pelas condições de pulsação. Maos e al. () analisaam a dinâmica de uma válvula ipo palhea de um compesso alenaivo a pai da siuação de escoameno ubuleno incompessível axissiméico. Os auoes pesceveam um fluxo de massa no oifício de passagem de acodo com a vaiação peiódica da componene axial da velocidade u(), dada po:
µ Re u () = [,9sen( ω) ], ω = πf, f = 6 Hz e Re = 5 ; (.3) ρd onde d é o diâmeo do oifício de passagem, ρ é a densidade e µ a viscosidade cinemáica do fluido de abalho. Os auoes cononaam as simplificações empegadas em seus abalhos aneioes e os esulados de abeua da válvula de descaga, fluxo de massa e foça esulane (Figua.3) mosaam-se fisicamene consisenes. Figua.3. Abeua da válvula e foça esulane em função do empo. Maos () desenvolveu um modelo bidimensional paa a solução do escoameno ubuleno compessível aavés de válvulas, esolvendo ambém a egião do cilindo com o movimeno do pisão. O abalho ouxe um apimoameno consideável aos modelos maemáicos usados aé enão, obendo uma epesenação muio póxima paa os fenômenos físicos envolvidos no funcionameno de compessoes de efigeação. Po ouo lado, o empo de pocessameno compuacional mosou-se elevado em demasia e Maos () sugee abalhos que aem esa quesão, de al foma a ona a meodologia mais adequada como feamena de pojeo.
.3 Objeivos do abalho Da evisão bibliogáfica consaa-se que os abalhos seguem linhas de pesquisa disinas, podendo se divididas em ês áeas. Uma delas invesiga o escoameno aavés da válvula de foma expeimenal. A segunda linha analisa a dinâmica das válvulas a pai de dados expeimenais de paâmeos globais de eficiência, ais como áeas efeivas de escoameno e de foça. Finalmene, a eceia veene desenvolve modelos maemáicos paa a dinâmica de válvulas, acoplando o seu movimeno ao escoameno. O pesene abalho se enquada na eceia foma de análise e oma como pono de paida o abalho de Maos (). A pincipal moivação é desenvolve um modelo que possa esolve o esvaziameno do cilindo do compesso, incluindo a dinâmica da válvula de descaga, de foma pecisa e a um cuso compuacional baixo. Paa alcança ese objeivo geal, é definida uma séie de objeivos específicos: i) Desenvolve uma meodologia paa a análise da dinâmica de válvulas de compessoes, consideando escoameno ubuleno compessível, combinando fomulações inegal e difeencial paa o ciclo de compessão; ii) iii) iv) Implemenação e análise de modelos de ubulência de baixo cuso compuacional paa a solução do escoameno; Implemenação de meodologias numéicas de solução do sisema de equações paa edução do empo de pocessameno compuacional; Analisa o esvaziameno do cilindo do compesso, consideando efeios ansienes da válvula de descaga.
CAPÍTULO 3 MODELAGEM MATEMÁTICA 3. Inodução Os fenômenos físicos envolvidos no escoameno aavés das válvulas possuem uma gande complexidade aliada ao fao de que ocoem em um cuo espaço de empo; desa foma, a maioia dos esudos enconados na lieaua faz uso de uma geomeia simplificada na análise do poblema. O modelo de compesso analisado nese abalho apesena uma válvula paa a sucção do gás efigeane e uma paa a descaga. A válvula de descaga apesena um baene paa limia o seu deslocameno, além de incopoa um boose, cuja função é aumena a igidez e o amoecimeno da válvula em um ceo pono após a sua abeua, eviando que ocoa um choque com o baene. O escoameno aavés desa válvula seá analisado com o auxilio de uma meodologia difeencial desenvolvida po Maos () que seá descia mais adiane. O escoameno do gás aavés da válvula de sucção seá analisado aavés de uma meodologia inegal (Ussyk, 984), combinando um conjuno de equações emodinâmicas e de dados expeimenais. O compesso simulado é um modelo poduzido pela EMBRACO S. A., e o fluido efigeane é o R 34a. O Apêndice apesena os paâmeos envolvidos nesa simulação. Ese capíulo é dedicado à modelação maemáica do poblema paa uma fomulação de escoameno ubuleno bidimensional (axissiméico) compessível.
3. Dinâmica das válvulas O modelo uilizado na análise do compoameno dinâmico de válvulas do ipo palhea assume que esas válvulas são copos ígidos e que seu movimeno ocoe segundo um sisema com um gau de libedade. Esas válvulas são fabicadas em aço mola, e sua modelação faz uso de uma consane efeiva de mola K [N/m]. O amoecimeno causado pela combinação da esisência do fluxo e do amoecimeno ineno do pópio maeial é expesso po um coeficiene de amoecimeno C [N.s/m]. Baseado no diagama de copo live apesenado na Figua 3., e aplicando a segunda Lei de Newon, obém-se a seguine equação paa o movimeno da palhea: m& δ Cδ & Kδ = F, (3.) F onde m é a massa da palhea [kg] e F é a foça de pé-caga, que se deve a exisência de óleo ene a palhea e a placa de válvulas, e que aua apenas enquano as válvulas esiveem fechadas. As quanidades, δ, & δ e & δ são, especivamene, o afasameno, a velocidade e a aceleação da palhea em elação ao asseno. F C. δ & K. δ δ F Figua 3.. Diagama de copo live da palhea com um gau de libedade. A foça F esula da ação do escoameno sobe a válvula, epesenada pela disibuição de pessão na supefície da palhea. Basicamene, dois pocedimenos podem se adoados paa quanifica esa foça. O mais adicional consise na obenção expeimenal de
coelações empíicas, gealmene denominadas áeas efeivas de foça, as quais elacionam a foça com a queda de pessão aavés da válvula. Uma oua possibilidade é esolve o escoameno aavés da válvula e obe o campo de pessão p associado. A foça F sobe a palhea pode enão se obida aavés da inegação dese campo ao longo de sua supefície: π D/ p x= F = d dθ, (3.) onde o sisema de coodenadas uilizado é o cilíndico (x,,θ). No pesene abalho, áeas efeivas são usadas paa a válvula de sucção, enquano que paa a válvula de descaga obém-se o campo de pessão da pópia solução do escoameno. Maioes dealhes dessas meodologias seão fonecidos nese capíulo. É impoane saliena que a foça F vaia com o empo. Paa não ona o poblema ieaivo, consideou-se a foça consane ao longo do inevalo de empo de inegação das equações do modelo. Assim, a Eq. (3.) passa a e a seguine solução analíica, obida pelo méodo dos coeficienes a deemina (Keyszig, 993): δ = e x * o * α x F ( ) c δ& * ω sen( ω ) * K * α c cos ω F, (3.3) onde: C α * =, m xc o F F = δ e K Os emos & o δ e * 4mK C ω =. m o δ são a velocidade e o afasameno da palhea no insane de empo aneio. A segui apesenam-se as meodologias inegal e difeencial paa a solução do escoameno e da ansfeência de calo no ineio do cilindo e aavés das válvulas do compesso.
3.3 Escoameno no cilindo e em válvulas fomulação inegal Um modelo maemáico inegal paa a descição do ciclo de opeação de um compesso foi desenvolvido po Ussyk (984), na foma de quao equações acopladas e cinco conjunos de dados expeimenais. O sisema de equações que pemie avalia o desempenho de um compesso é epesenado po: i) Equação paa o volume do cilindo, elacionando o volume da câmaa de compessão em função do ângulo de manivela; ii) Equações emodinâmicas que fonecem a massa, a pessão e a empeaua insanânea do gás efigeane; iii) Equação do escoameno de gás aavés da válvula de sucção; iv) Equação da dinâmica das válvulas que define, a qualque insane, a abeua da válvula. Os dados expeimenais necessáios são: i) Áeas efeivas de escoameno paa avalia a vazão de massa que ena/sai do cilindo aavés das válvulas; ii) Áeas efeivas de foça paa calcula a foça do escoameno auando sobe a válvula; iii) Feqüência naual e modo de vibação da válvula; iv) Índices poliópicos de compessão e expansão; v) Coeficiene de amoecimeno das válvulas. O volume no cilindo V(θ) é calculado pela soma de um volume fixo (volume moo V c ) e um volume vaiável, volume deslocado pelo pisão. O volume moo considea o espaço esane acima da cabeça do pisão quando ese se encona no pono moo supeio (PMS). O volume insanâneo pode se epesenado pela seguine equação: V π D c, (3.4) 4 ( θ) = V Z( θ) onde D é o diâmeo do cilindo. Tano a fomulação inegal quano a difeencial, calculam o volume da mesma foma, como uma função da posição do pisão na dieção axial Z(θ), que é deeminada pelo ângulo de manivela θ. O desenvolvimeno desa equação é claamene demonsado no Apêndice.
Na dedução das equações emodinâmicas que descevem os pocessos deno do cilindo, algumas hipóeses simplificaivas devem se consideadas: i) O gás compoa-se com um gás ideal; ii) As popiedades do gás no ineio do cilindo popagam-se insananeamene aavés do cilindo, ou seja, são unifomes; iii) O fluido sofe mudanças de um esado paa o ouo segundo um pocesso poliópico; iv) Fluxo unidimensional na enada e na saída do cilindo. Assumindo-se o pocesso poliópico, a pessão no cilindo é enconada a pai da elação poliópica pessão-densidade, como mosa a equação seguine: ( θ ) p n n ( θ ) ρ p ρ =, (3.5) onde: p(θ) é a pessão média no cilindo, ρ(θ) é a densidade mássica média, p e ρ são valoes de efeência e n é o índice poliópico. O índice poliópico pode demonsa que alguma ansfeência de calo esá aconecendo, e pode assumi valoes difeenes paa compessão e expansão, ou ainda, pode se função do ângulo de manivela θ. Po definição sabemos que: ρ ( θ ) ( θ ) ( θ ) m =, (3.6) V e subsiuindo esa equação na Eq. (3.4), emos: p ( θ ) ( θ ) ( θ ) n m = p. (3.7) ρ V Desa foma, conhecendo-se a massa insanânea m(θ) no cilindo e o volume insanâneo V(θ) do cilindo, a pessão média insanânea p(θ) pode se calculada, bem como a empeaua T(θ) aavés de:
T ( ) n ( θ ) p = T. (3.8) p θ De uma foma geal, pocessos emodinâmicos que envolvam expansões aavés de válvulas de sucção e descaga esulam em um fluxo de massa paa deno e paa foa do volume de conole do cilindo, além disso, deve se admiida a possibilidade de efluxo aavés das válvulas. Devido à complexidade de al escoameno, algumas hipóeses devem se adoadas paa a dedução das equações do fluxo de massa aavés da válvula de sucção: i) Fluxo unidimensional e isenópico; ii) Condições à monane da válvula podem se consideadas como condições de esagnação; iii) Equações paa escoamenos em egime pemanene são uilizadas paa o cálculo de um valo insanâneo em um escoameno ansiene; iv) A válvula abea é aada em cada insane como um bocal convegene. A equação, em egime pemanene, paa o fluxo de massa aavés do sisema de válvulas, confome a Figua 3., é deduzida com o empego da seguine nomenclaua: p d pessão à jusane da válvula, [Pa]; p pessão a monane da válvula, [Pa]; ρ d densidade do fluido à jusane, [kg/m 3 ]; A o áea do oifício de passagem, [m ]; T empeaua a monane da válvula, [K]; T d empeaua à jusane da válvula, [K]; M númeo de Mach; V velocidade do fluido, [m/s]; h enalpia de esagnação, [J/kg]; h d enalpia à jusane da válvula, [J/kg]; = p d / p ; R = c p c v consane do gás [J/kg.K]; γ = c = c - elação ene caloes específicos; p / c v p d / p paa M = no oifício (fluxo cíico)
p T V= m& ideal T d p d A o Figua 3.: Bocal convegene com áea de enada igual à áea do oifício de passagem. Da Pimeia lei da emodinâmica, e consideando as condições de esagnação a monane, em-se: V h = hd. (3.9) Paa um gás pefeio ( T T ) h hd = cp d, (3.) e c p γ = R. (3.) γ Subsiuindo-se a Eq. (3.) na Eq. (3.9), obém-se: V cp ( T Td ) =. (3.) Inoduzindo a Eq. (3.) na Eq. (3.), chega-se a: γ R γ ( T T ) d = V. (3.3) Paa um gás ideal, a velocidade do som é dada po:
c = γ R T d, (3.4) e o númeo de Mach é enão, a pai das Eqs. (3.4) e (3.3): V T M = =. (3.5) c γ Td Paa um pocesso adiabáico e evesível aavés de um bocal, consideando-se gás ideal, emse: p ce γ ρ = ; (3.6) e, ainda paa um gás ideal, pode-se esceve: T T d p d γ γ p =. (3.7) Subsiuindo a Eq. (3.7) na Eq. (3.6), em-se: M = γ p p d γ γ. (3.8) O fluxo de massa aavés do oifício é dado po: m & ρ A V, (3.9) ideal = d o onde V = M c. Assim, fixando-se as condições de pessão e empeaua na passagem às condições de descaga da válvula, e subsiuindo-se as Eqs.(3.4) e (3.8) na Eq. (3.9), obém-se:
( ) = p p γ γ R T A ρ m γ γ d d o d ideal &. (3.) A pai da Eq. (3.6) e com auxílio da equação dos gases pefeios, chega-se a: γ d d p p R T p ρ =. (3.) Subsiuindo a Eq. (3.) na Eq. (3.), obém-se: ( ) = p p γ γ R T p p R T p A m γ γ d d γ d o ideal &. (3.) Inoduzindo a Eq. (3.8) na equação aneio, chega-se a: ( ) = γ γ d γ d d o ideal p p p p R T γ γ p A m&. (3.3) Esa equação é válida quando a condição de fluxo subcíico fo aingida, ou seja, V < c, ou enão, quando p d > p cíico. Paa o fluxo cíico e fazendo M = na Eq. (3.8), obém-se: c γ γ cíco γ p p = =. (3.4) Paa ambos os fluxos, cíico e subcíico, supõe-se que p d = p, e a elação cíica de pessões c é consane paa um dado γ, desa foma o fluxo seá sônico paa elações de pessão menoes que a elação cíica. Nesas condições o fluxo de massa é:
γ γ m& ideal = p Ao ( c ) γ ( c ) γ. (3.5) ( γ ) R Td As Eqs. (3.3) e (3.5) são expessões geais paa a vazão de massa nas condições cíica e subcíica, especivamene. Esas equações podem se aplicadas ano paa a válvula de descaga quano paa a de sucção, consideando ambém em ambos os casos a possibilidade de fluxo eveso. 3.4 Escoameno no cilindo e válvulas fomulação difeencial O modelo maemáico adoado paa a solução do escoameno e da ansfeência de calo no cilindo e aavés da válvula de descaga é composo pelas equações de consevação da massa, enegia, quanidade de movimeno linea e uma auxilia epesenada pela equação dos gases pefeios. palhea asseno cabeçoe z x θ y cilindo pisão móvel Figua 3.3. Geomeia do poblema; epoduzida de Maos ().
A fomulação do poblema considea uma geomeia cilíndica axissiméica (Figua 3.3), de al foma que as equações govenanes do escoameno ubuleno compessível em coodenadas cilíndicas podem se escias como: ( ) ( ) ρ v ρ u x ρ =, (3.6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).V µ x.v µ x 3 x v µ x u µ x u µ x u µ x k 3 p x ρ v u ρ u u x ρ u ef ef ef ρ =, (3.7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).V µ.v µ 3 v µ u µ x v µ v µ x v µ x k 3 p ρ v v ρ u v x ρ v ef ef ef ef ρ =, (3.8) ( ) ( ) ( ) = T c µ c α c κ x T c µ c α c κ x.v p ρ v T x ρ u T ρ T v p T v v p T v. (3.9) As gandezas escalaes u e v epesenam as componenes de velocidade nas dieções x e, ρ é a massa específica do fluido, T é a empeaua, µ é a viscosidade absolua, p é a pessão média, µ eff (=µ µ ) é a viscosidade efeiva, κ é a conduividade émica do fluido e α T é o númeo de Pandl ubuleno. Paa complea o sisema de equações a se esolvido, o fluido é aado como gás pefeio, com a sua equação de esado na seguine foma: ρ R T p =. (3.3)
Nas equações acima apaece o coeficiene de difusão ubulena, µ, que pode se oiginado aplicando-se o conceio de média de Reynolds (894) ou de um filo confome a esaégia da Simulação de Gandes Escalas. Naualmene, a solução dese sisema de equações passa pela avaliação da viscosidade ubulena µ. Nese abalho, buscou-se um modelo de ubulência paa o cálculo de µ, que fonecesse pecisão e baixo cuso compuacional. Cada uma das alenaivas esadas é explicada a segui. 3.4. Modelo de ubulência µ consane Naualmene, a foma mais simples de epesena o aumeno das axas de ansfeência de calo e quanidade de movimeno, devido ao movimeno ubuleno, é a pescição de um valo consane paa µ em odo o domínio de solução. Fazendo-se desa foma, não há a necessidade da esolução de equações adicionais. Po ouo lado, não se leva em consideação as vaiações significaivas de µ em ceas egiões do escoameno, ais como juno às paedes sólidas. O valo a se aibuído a µ depende em gande pae da expeiência do usuáio e, po esa azão, não obsane a sua simplicidade, o modelo de viscosidade ubulena consane não possui a genealidade equeida paa a análise de poblemas com geomeias vaiadas. Nese abalho foam invesigadas a aplicabilidade de elações ene viscosidade ubulena e viscosidade molecula ( µ / µ ) iguais a, 5, 5, e. Os esulados associados a ese modelo são apesenados no capíulo 5. 3.4. Modelo de ubulência algébico Pandl (94) desenvolveu a Hipóese do Compimeno de Misua (MLH) e popôs com base nela um modelo algébico de ubulência, imaginando que paa um escoameno ubuleno ao longo de uma paede, poções de fluido se junam e movimenam-se aavés de um deeminado compimeno l m sem alea sua quanidade de movimeno. Em analogia ao que é ealizado paa a eoia cinéica dos gases, Pandl (94) assumiu que a viscosidade ubulena ν (=µ /ρ) fosse popocional a uma escala caaceísica de velocidade u e uma escala de compimeno l m, ou seja: ν = c K u l m, com c K sendo uma consane de popocionalidade. A expessão paa o compimeno de misua vaia de acodo com o ipo de escoameno. Paa um consula sobe os valoes adequados de l m paa divesas siuações de escoameno ubuleno ecomenda-se Launde e Spalding (97).
No pesene abalho, adoa-se a linha de aciocínio de Pandl e desenvolve-se um modelo algébico paa a simulação do escoameno no cilindo e aavés da válvula de descaga, a pai de uma escala de velocidade u e de uma escala de compimeno L, fonecendo ν = C u L, Devido às caaceísicas geoméicas disinas do escoameno, as escalas de compimeno L são escias de foma difeenciada paa cada egião do compesso: i) Região do difuso, ene a palhea e o asseno: ν,.v. = δ ; (3.3) ii) Oifício de passagem: ν =,.V.d oif ; (3.3) iii) Cilindo: ν =,.V.C PMS ; (3.33) onde, C PMS é a disância insanânea do pisão ao cabeçoe, d oif é o diâmeo do oifício de passagem e δ é a disância insanânea ene a palhea e o asseno, confome ilusa a figua 3.4. Po ouo lado, V é a magniude da velocidade local, obida da solução do escoameno. A maio limiação do modelo algébico é o fao do mesmo não leva em consideação os mecanismos de anspoe (advecção e difusão) sobe o nível de ubulência. Além diso, a esimaiva de uma escala de compimeno de misua não se consiui em aefa ivial. δ C PMS d oif Figua 3.4 Regiões do domínio que apesenam difeenes valoes paa o cálculo da viscosidade ubulena.
3.4.3 Modelo de ubulência RNG k-ε No modelo RNG k-ε de Ozag e al. (993), e modificado po Maos (), a viscosidade ubulena e as equações paa as gandezas ubulenas k e ε são descias a segui: eff k C ε µ ρ = µ µ µ, (3.34) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M S k x k x vk uk x k ρε ρε µ µ αµ µ αµ = ρ ρ ρ, (3.35) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).V C R k C S k C x x v u x 3 ρε ρ ρε µ ε ε µ αµ ε µ αµ = ε ρ ε ρ ρε ε ε ε. (3.36) Os valoes de C µ, C ε, C ε são iguais a,844,,4 e,68, especivamene. As funções α e R são escias como: eff.3679 o.63 o 399..399.399.399 µ µ = α α α α, (3.37) e ( ) k / C R 3 3 ε βξ ξ ξ ξ = µ, (3.38) onde α o =,, β =,, ξ = Sk/ε, ξ o 4,38 e S é o módulo da axa de defomação, o qual paa siuação de escoameno compessível é dado po:.v k.v 3 x v u v v x u S µ ρ =. (3.39)
Os ês pimeios emos no lado dieio da Eq. (3.39) efeem-se aos efeios de cisalhameno, enquano que o úlimo emo esá elacionado a efeios de dilaação. Os efeios de compessão são inoduzidos na equação da dissipação ε (Eq. 3.36) aavés do emo Cε µ S ε / k. Como conseqüência, quando o fluido é compimido há um aumeno da escala de compimeno da ubulência. De fao, qualque modelo usando a equação de ε com ese emo pode gea valoes de escalas de compimeno maioes do que o espaço físico ao qual se encona confinado. Po ouo lado, no modelo RNG k-ε de Ozag e al. (993), o emo - ρr pode cone o aumeno da escala de compimeno da ubulência, uma vez que R ambém decesce com a compessão do fluido. Devido a ausência de abalhos que exploem a influência do emo -ρr no escoameno compessível, adiciona-se aqui, de acodo com Reynolds (98) e El Tahy (983), e seguindo o que foi feio no abalho de Maos (), na equação de ε o emo Cε 3 ε V., onde o valo ecomendado paa C 3 é,373. Paa escoamenos com alos númeos de Mach, a compessibilidade afea a ubulência aavés da dilaação, dando oigem a uma elevação dos níveis de dissipação da ubulência, a qual é nomalmene despezada na modelação do escoameno incompessível. Despezando ese efeio, o modelo de ubulência falha na pevisão do decaimeno da axa de espalhameno com o aumeno do númeo de Mach. Paa conona essa falha, Saka e Balakishnan (99) popuseam a adição do emo ρε M na equação de k, onde M é o númeo de Mach ubuleno, definido como: ε k c M =, (3.4) onde c (= γ RT ) é a velocidade do som. A Eq. (3.9) eque uma expessão paa o cálculo de α T. Semelhanemene à Eq. (3.37), a Teoia de Renomalização fonece uma expessão paa α T em emos da viscosidade efeiva, µ eff, como: α α T mol.399.399.63 α α T mol.399.399.3679 = µ µ eff, (3.4)