Instruções: Indique claramente as respstas ds itens de cada questã, frnecend as unidades, cas existam Apresente de frma clara e rdenada s passs utilizads na resluçã das questões Expressões incmpreensíveis, bem cm respstas nã fundamentadas, nã serã aceitas A apresentar a resluçã das questões, evite texts lngs e dê preferência às fórmulas e expressões matemáticas Nã use aprximações para s valres de π u e Tda a resluçã das questões deve ser a caneta, nã apenas as respstas numéricas Questã A figura abaix mstra um fragment de mapa, em que se vê trech ret da estrada que liga as cidades de Paraguaçu e Piripiri Os númers apresentads n mapa representam as distâncias, em quilômetrs, entre cada cidade e pnt de iníci da estrada (que nã aparece na figura) Os traçs perpendiculares à estrada estã unifrmemente espaçads de cm Questã Pã pr quil divide piniões em Campinas (Crrei Ppular, /0/006) Uma padaria de Campinas vendia pães pr unidade, a um preç de R$ 0,0 pr pãzinh de 50 g Atualmente, a mesma padaria vende pã pr pes, cbrand R$,50 pr quilgrama d prdut a) Qual fi a variaçã percentual d preç d pãzinh prvcada pela mudança de critéri para cálcul d preç? b) Um cnsumidr cmpru pãezinhs de 50 g, pagand pr pes, a preç atual Sabend que s pãezinhs realmente tinham pes previst, calcule quants reais cliente gastu nessa cmpra a) O preç de 50 g de cada pãzinh, atualmente, 50,5 é dad pr 0,5 real 000 0,5 0, Assim a variaçã percentual é 0,,5% b) Cm preç de cada pãzinh de 50 g, atualmente, é 0,5 real, a cmprar pães cm essa massa cnsumidr paga 0,5 3,5 reais a) Para representar a escala de um mapa, usams a ntaçã : X, nde X é a distância real crrespndente à distância de unidade d mapa Usand essa ntaçã, indique a escala d mapa dad acima b) Repare que há um pst exatamente sbre um traç perpendicular à estrada Em que quilômetr (medid a partir d pnt de iníci da estrada) encntra-se tal pst? c) Imagine que vcê tenha que reprduzir mapa dad usand a escala : 500000 Se vcê fizer a figura em uma flha de papel, qual será a distância, em centímetrs, entre as cidades de Paraguaçu e Piripiri? a) A distância entre Paraguaçu e Piripiri é 7 3 3 km Entre essas duas cidades há 8 espaçs de cm cada Lg cm n mapa crrespnde à distância de 3,5 km 5 000 cm, 8 u seja, a escala d mapa apresentad é : 5 000 b) Medind a partir d pnt de iníci da estrada, pst se encntra n quilômetr 3 + 5,5 3,5 c) A distância entre essas duas cidades é 3 km 3 00 000 cm Usand a escala : 500 000, a 3 00 000 distância entre elas na flha será 500 000 6,8 cm
matemática Questã 3 Pr nrma, uma flha de papel A deve ter 0mm 97mm Cnsidere que uma flha A cm 0,mm de espessura é seguidamente dbrada a mei, de frma que a dbra é sempre perpendicular à mair dimensã resultante até a dbra anterir a) Escreva a expressã d term geral da prgressã gemétrica que representa a espessura d papel dbrad em funçã d númer k de dbras feitas b) Cnsidere que, idealmente, papel dbrad tem frmat de um paralelepíped Nesse cas, após dbrar papel seis vezes, quais serã as dimensões d paralelepíped? a) Cada dbra faz cm que a espessura d papel seja multiplicada pr Assim, após k dbras, papel dbrad tem sua espessura multiplicada pr k, u seja, é 0, k mm b) A mair dimensã da flha de papel é dividida pr a cada dbra Assim, as dimensões d papel dbrad sã: Dbra Dimensões 0 8,5 mm 05 8,5 mm 3 05 7,5 mm 5,5 7,5 mm 5 5,5 37,5 mm 6 6,5 37,5 mm Assim, as dimensões d paralelepíped sã 6 6,5 mm, 37,5 mm e 0, 6, mm Questã Um pluviômetr é um aparelh utilizad para medir a quantidade de chuva precipitada em determinada regiã A figura de um pluviômetr padrã é exibida a seguir Nesse pluviômetr, diâmetr da abertura circular existente n tp é de 0 cm A água quecaisbreapartesuperirdaparelhé reclhida em um tub cilíndric intern Esse tub cilíndric tem 60 cm de altura e sua base tem/0daáreadaabertura superir d pluviômetr (Obs: a figura a lad nã está em escala) a) Calcule vlume d tub cilíndric intern b) Supnd que, durante uma chuva, nível da água n cilindr intern subiu cm, calcule vlume de água precipitad pr essa chuva sbre um terren retangular cm 500 m de cmpriment pr 300 m de largura a) A área da base d tub cilíndric intern é 0 0 cm 0 π π Prtant seu vlume é0π 60 600π cm 3 b) Para uma altura de cm, vlume de água dentr d tub cilíndric intern é 0π 0π cm 3 O vlume captad pr este pluviômetr é referente à área da abertura circular d seu tp, que é π π 0 00 cm A área d terren é 500 300 5 0 m 5 0 8 cm Admitind-se que td terren recebeu chuva na mesma prprçã, vlume de água precipitad pr essa chuva n terren é 8 5 0 0π 8 3 3 3 0 cm 3 0 m 00π Questã 5 Um restaurante a quil vende 00 kg de cmida pr dia, a R$ 5,00 quilgrama Uma pesquisa de piniã revelu que, a cada real de aument n preç d quil, restaurante deixa de vender equivalente a 5 kg de cmida Respnda às perguntas abaix, supnd crretas as infrmações da pesquisa e definind a receita d restaurante cm valr ttal pag pels clientes a) Em que cas a receita d restaurante será mair: se preç subir para R$ 8,00 / kg u para R$ 0,00 / kg?
matemática 3 b) Frmule matematicamente a funçã f(x), que frnece a receita d restaurante cm funçã da quantia x, em reais, a ser acrescida a valr atualmente cbrad pel quil da refeiçã c) Qual deve ser preç d quil da cmida para que restaurante tenha a mair receita pssível? Dis prêmis iguais serã srteads entre dez pessas, send sete mulheres e três hmens Admitind que uma pessa nã pssa ganhar s dis prêmis, respnda às perguntas abaix a) De quantas maneiras diferentes s prêmis pdem ser distribuíds entre as dez pessas? b) Qual é a prbabilidade de que dis hmens sejam premiads? c) Qual é a prbabilidade de que a mens uma mulher receba um prêmi? a) Cm s prêmis sã iguais, deve ser esclhid um subcnjunt de duas dentre as dez pessas Lg númer de maneiras de distribuí-ls é 0 0 9 5 b) Há 3 3 subcnjunts de dis hmens Lg, cm existem 5 maneiras de distribuir-se s prêmis, a prbabilidade pedida é 3 a) Se preç subir para R$ 8,00/kg, haverá um 5 5 aument de R$ 3,00 n preç, que acarretará uma queda de 3 5 5 kg na venda diária de c) A mens uma mulher recebe um prêmi se, e smente se, s dis premiads nã sã ambs cmida e, cnseqüentemente, a receita será hmens Ou seja, event d qual fi pedida a 8 (00 5) 530 reais prbabilidade é event cmplementar d event Analgamente, cas preç aumente para d item b R$ 0,00/kg, a receita será 0 (00 5 5) Prtant a prbabilidade é 500 reais 5 5 Lg a receita será mair se preç subir para R$ 8,00/kg b) Se preç d quilgrama da cmida subir x Questã 7 reais, nv preç será, em reais, 5 + x Além diss, tal aument acarretará uma queda de 5x kg Na execuçã da cbertura de uma casa, ptu-se pela cnstruçã de uma estrutura, na venda diária de cmida Assim, tems f(x) (5 + x) (00 5x) e, além diss, cmpsta pr barras de madeira, cm frmat indicad na figura abaix x 0 x D(f) x + 5 0 0 x 0, u seja, 00 5x 0 D(f) [0; 0] Lg a funçã pedida é f: [0; 0] R, definida pr f(x) (5 + x) (00 5x) 5(x +5) (x 0), cm x ef(x)emreais c) Nte que gráfic da funçã f(x) é uma parábla cm cncavidade vltada para baix Reslva as questões abaix supnd que Lg seu valr máxim é btid para 0 + ( 5) α 5 Despreze a espessura das barras x,5, ist é, preç d quilgrama de madeira e nã use aprximações ns seus da cmida a5 +,5 7,50 reais cálculs a) Calcule s cmpriments b e c em funçã de a, que crrespnde a cmpriment da barra da base da estrutura Questã 6 b) Assumind, agra, que a 0m, determine cmpriment ttal da madeira necessária para cnstruir a estrutura a) Observe a figura:
matemática Nte que s triânguls ABC, DBM e D MC sã isósceles; lg AB AC b, DB DM, D M D C e, cm m (DEB) 90, E é pnt médi de BM Além diss, ΔABM ~ ΔDBE (cas AA) Assim m (BMA) 90 e, prtant, M é pnt médi de BC Dessa frma, ΔBDM ΔMD C (cas LAL) Entã DE c e, pr semelhança, BM BA BE BD b BD e AM AM c DE Send sen 5 sen(5 30 ) 3 6 e bservand que, para α5, m (BAC) 80 5 50,tems, pela lei ds sens, a b sen 50 sen 5 a b 6 a( 6 ) b Além diss, n ΔBDE, sen 5 c b a( 3 ) c b) O cmpriment ttal da madeira é AB + BC + + AM + DM + DE b + a + c + b + c 3a( 6 ) a( 3 ) a + 3b + c a + + + 0 6 3 6 3 3 5(6 + 3 6 3 3 ) m Questã 8 Seja dad sistema linear: x + x x x x + x a) Mstre graficamente que esse sistema nã tem sluçã Justifique b) Para determinar uma sluçã aprximada de um sistema linear Ax b impssível, utiliza-se métd ds quadrads mínims, que T T cnsiste em reslver sistema AAx Ab Usand esse métd, encntre uma sluçã aprximada para sistema dad acima Lembre-se de que as linhas de M T (a transpsta de uma matriz M) sã iguais às clunas de M a) Chamand de r, s e t as retas representadas pelas equações x + x, x x e x + x, respectivamente, tems: Cm nã existe um pnt cmum às 3 retas, sistema nã tem sluçã b) Para sistema dad, tems A, x x x e b T T Prtant A Ax A b x x 6 3 x 3 6 x 6x 3x 3x + 6x 3x 6x 9x 3x 6x 3x + (6x ) x 3 x 3 Uma sluçã aprximada para sistema dad é 3 ; 3
matemática 5 Questã 9 Em um triângul cm vértices A, B e C, inscrevems um círcul de rai r Sabe-se que ângul A tem 90 e que círcul inscrit tangencia lad BC n pnt P, dividind esse lad em dis trechs cm cmpriments PB 0 e PC 3 a) Determine r b) Determine AB e AC c) Determine a área da regiã que é, a mesm temp, interna a triângul e externa a círcul Sejam Q e R, respectivamente, s pnts de intersecçã da circunferência inscrita cm s lads AC eab Seja O centr da circunferência inscrita Vams prvar que AROQ é um quadrad de lad r Inicialmente, cm m (A) 90,m(ARO) 90, m (AQO) 90 em(roq) 360 (90 + 90 + + 90 ) 90, tems que AROQ é um retângul Tems ainda que OR OQ r Assim, AROQ é um quadrad de lad r a) N triângul retângul ABC, AB AR + RB AR + PB r + 0, AC AQ + QC AQ + PC r + 3 e BC 0 + 3 3 Lg, pr Pitágras, (r + 0) + (r + 3) 3 r + 3r 30 0 r b) AB r + 0 e AC r + 3 5 c) Cm círcul é intern a triângul, a área AB AC pedida é área ABC área πr 5 π 30 π Questã 0 O decaiment radiativ d estrônci 90 é bt descrit pela funçã Pt () P0,ndet é um instante de temp, medid em ans, b é uma cnstante real e P 0 é a cncentraçã inicial de estrônci 90, u seja, a cncentraçã n instante t 0 a) Se a cncentraçã de estrônci 90 cai pela metade em 9 ans, ist é, se a meia-vida d estrônci 90 é de 9 ans, determine valr da cnstante b b) Dada uma cncentraçã inicial P 0,deestrônci 90, determine temp necessári para que a cncentraçã seja reduzida a 0% de P 0 Cnsidere lg 0 3, 3 a) Se a meia-vida d estrônci-90 é de 9 ans, entã P(9) P(0) P b 9 0 P0 b 9 b 9 t b) P(t) 0, P 0 P0 9 0, P0 t 9 t lg 0 9 0 t 9( lg lg 0) t 9(lg 0 ) Usand a aprximaçã lg 0 3,3, tems t 9 (3,3 ) 67,8 ans Questã Seja dada a reta x 3y + 6 0 n plan xy a) Se P é um pnt qualquer desse plan, quantas retas d plan passam pr P e frmam um ângul de 5 cm a reta dada acima? b) Para pnt P cm crdenadas (, 5), determine as equações das retas mencinadas n item (a) a) Seja r : x 3y 6 0 y 3 x, u seja, ceficiente angular da reta r é 3 Cnsidere m s ceficiente angular das retas que frmam 5 cm r, assim: 3ms m 3 + m s s tg 5 3 u + 3 m s 3ms 3 + m s m s u ms
matemática 6 Lg send P um pnt qualquer d plan, existem sempre duas retas que passam pr P e frmam 5 cm a reta r b) As equações pssíveis para P (; 5) sã: y 5 (x ) y x + 6 u u y 5 (x ) y x + Questã Seja ABCDABCD um cub cm aresta de cmpriment 6 cm e sejam M pnt médi de BC e O centr da face CDD C, cnfrme mstrad na figura a seguir Cm CM e AD sã paralels, pel cas AA, s triânguls ADP e MCP sã semelhantes, de md que: DP AD DP 6 CP MC DP 6 3 DP cm Agra, cnsidere plan que cntém C, D, C, D, O, P, L e K: a) Se a reta AM intercepta a reta CD n pnt P e a reta PO intercepta CC e DD em K e L, respectivamente, calcule s cmpriments ds segments CK e DL b) Calcule vlume d sólid cm vértices A, D, L, K, C e M a) Cnsidere primeir plan que cntém A, B, C, D, M e P: Nvamente pel cas AA, s triânguls PM O, PCK e PDL sã semelhantes Send OM CD 6 CM 3 cm e, prtant, PM 9 cm, DL CK MO 3 DL CK PD PC PM 9 6 3 DL cm e CK cm b) O sólid de vértices A, D, L, K, C e M é um trnc de pirâmide de bases ADL e MCK, e seu vlume é igual à diferença entre s vlumes das pirâmides PADL, de base ADL e altura PD, e PMCK, de base MCK e altura PC Assim, vlume pedid é: AD DL MC CK PD PC 3 3 6 3 6 cm 3 3 3