UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUITA FILHO" FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUITA FILHO" FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA ELE 33 PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÕES SINAIS E SISTEMAS Ricardo Tokio Higui & Cláudio Kiao ISA Julho/3

SINAIS E SISTEMAS Vrsão.: 997 Vrsão.: 3 Ricardo Tokio Higui & Cláudio Kiao Dparamo d Egharia Elérica da Faculdad d Egharia d Ilha Solira UNESP Todos os dirios rsrvados. Rprodução por quaisqur mios proibida sm auorização dos auors. Pro. Ricardo Tokio Higui -mail: okio@d.is.usp.br xx8 3743 8 Pro. Cláudio Kiao -mail: kiao@d.is.usp.br xx8 3743 6 DEE-FEIS-UNESP Av. Brasil Nor, 364 - Caixa Posal 3 5 385 - Ilha Solira SP

SINAIS E SISTEMAS Ídic: PG. CAPÍTULO : REPRESENTAÇÃO DE SINAIS. CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS.. Siais uidimsioais mulidimsioais 3.. Siais d mpo coíuo d mpo discro 3..3 Siais drmiísicos alaórios 3..4 Siais rais complxos 4..5 Siais limiados o mpo 4..6 Siais limiados m ampliud 5..7 Siais isicam ralizávis 5.. TRANSFORMAÇÕES DA VARIÁVEL INDEPENDENTE 5.. Rbaimo ou splhamo 5.. Comprssão xpasão 6..3 Dslocamo o mpo 6..4 Rlaçõs d simria 7..5 Siais priódicos 7.3. SINAIS ELEMENTARES 8.3.. Siais soidais ros 8.3.. Expocial ral 9.3.3. Expocial complxa priódica 9.3.4. Expocial complxa - caso gral.3.5. Fução sic.3.6. Fução pulso riagular.3.7. Fução pulso Gaussiao d ára uiária 3.4 FUNÇÕES DESCONTÍNUAS 3.4. Fução dgrau uiário 3.4.. Fução sial 4.4.3. Fução pora ou pulso uiário 4.4.4. Fução impulso 5.4.5 Sobr a xisêcia do impulso 7.4.6 Impulsos o limi 8.5 CONVOLUÇÃO DE SINAIS.6 SINAIS DE ENERGIA E SINAIS DE POTÊNCIA 6.6. Siais d Ergia 7.6. Siais d Poêcia 8.7. FUNÇÕES DE BESSEL DE PRIMEIRA ESPÉCIE 3.8 EXERCÍCIOS 3 CAPÍTULO : ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS : SÉRIE DE FOURIER 35. FASORES GIRANTES 35.. Espcro d lihas uilaral 36.. Espcro d lihas bilaral 38.. PRODUTO ESCALAR SEMELHANÇA ENTRE SINAIS 39.3 SÉRIE DE FUNÇÕES 43.3. Orogoalidad d uçõs rais 43.3. Orogoalidad d Fuçõs Complxas 48.3.3 Séri rigoomérica d Fourir 5 RTH/CK i

ÍNDICE.3.4 Séri d Fourir-Lgdr 5.3.5 A Séri xpocial d Fourir 5.3.6 Rprsação d uma ução priódica pla séri d Fourir 5.4 ESPECTRO DE FREQUÊNCIA DISCRETO 55.5 EXISTÊNCIA DA SÉRIE DE FOURIER 59.6- FÓRMULA DE PARSEVAL E DISTRIBUIÇÃO DE POTÊNCIA 6.7 EXERCÍCIOS 63 CAPÍTULO 3: ANÁLISE DE SINAIS APERIÓDICOS: TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO 65 3. A TRANSFORMADA DE FOURIER 67 3... Pulso ragular d duração (ução pora) 69 3... Impulso d ára uiária 7 3. CONVERGÊNCIA DA TRANSFORMADA DE FOURIER 7 3.3 RELAÇÕES DE SIMETRIA 73 3.4 TEOREMA DE PARSEVAL 75 3.5 LARGURA DE BANDA ESPECTRAL 76 3.6. RELAÇÃO ENTRE A TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO E SINAIS PERIÓDICOS 78 3.7. TRANSFORMADA DE FOURIER DE SINAIS PERIÓDICOS 78 3.7. Trasormada d Fourir d so co-so ros 8 3.8. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER 8 3.8. Liaridad 8 3.8. Dslocamo o mpo 8 3.8.3 Torma da dualidad 83 3.8.4 Traslação m rquêcia 84 3.8.5 Escaloamo o mpo rquêcia 85 3.8.6 Propridad das áras 85 3.8.7 Dirciação igração o mpo 85 3.8.8 Dirciação igração m rquêcia 87 3.8.9 Covolução muliplicação 87 3.8. Modulação ral 88 3.9 TRANSFORMADAS NO LIMITE 9 3.9.. Fução sial 9 3.9.. Fução cosa 9 3.9.3. Dgrau uiário 9 3. EXERCÍCIOS 93 CAPÍTULO 4: ANÁLISE DE SISTEMAS 99 4.. INTRODUÇÃO 99 4.. CARACTERÍSTICAS DE SISTEMAS 4.. Sismas com sm mmória 4... Ivrsibilidad sismas ivrsos 4..3. Causalidad (ou ralizabilidad) 4..4. Esabilidad 4..5. Ivariâcia o mpo 3 4..6. Liaridad 5 4.3 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA 8 4.4 RESPOSTA PARA SINAIS ARBITRÁRIOS 4.5 RESPOSTA IMPULSIVA E RESPOSTA EM FREQUÊNCIA 3 ii RTH/CK

SINAIS E SISTEMAS 4.5. Associação d SLITs 8 4.5. Rsposa impulsiva, sabilidad causalidad 9 4.6 TRANSMISSÃO SEM DISTORÇÃO 4.6. Disorção liar ão-liar 4.6. Equalização 4.7 FILTROS IDEAIS 3 4.8 TRANSFORMADA DE HILBERT 5 4.9 EXERCÍCIOS 3 CAPÍTULO 5: AMOSTRAGEM DE SINAIS 33 5.. AMOSTRAGEM DE SINAIS 33 5.. Amosragm idal 34 5.. Eio d subamosagm sobr siais soidais 4 5. RECONSTRUÇÃO DO SINAL 4 5.3 AMOSTRAGEM POR PULSOS 4 5.4 EXERCÍCIOS 47 CAPÍTULO 6: CORRELAÇÃO DE SINAIS 49 6.. DENSIDADES ESPECTRAIS DE POTÊNCIA E DE ENERGIA 49 6.. CORRELAÇÃO ENTRE SINAIS DE POTÊNCIA 5 6... Valor médio mporal 5 6... Produo scalar 5 6..3. Fução d corrlação cruzada 5 6..4. Fução d auocorrlação 5 6.3. CORRELAÇÃO ENTRE SINAIS DE ENERGIA 53 6.4. CORRELAÇÃO ENTRE ENTRADA E SAÍDA EM SLIT 55 6.5. TEOREMA DE WIENER-KINCHINE 57 6.6. EXERCÍCIOS 58 BIBLIOGRAFIA 6 RTH/CK iii

SINAIS E SISTEMAS CAPÍTULO : REPRESENTAÇÃO DE SINAIS No dia-a-dia, quas qu cosam os dparamos com siais. Um sial gralm coém iormação sobr algum ômo ou acocimo. Quado alamos ao lo, a voz, qu é um sial acúsico, é covrida m siais léricos plo microo. Es sial lérico é rasmiido, por xmplo, por um sisma d saélis rcbido do ouro lado da Trra, covrido ovam um sial d voz. Quado alguém s subm a um xam d lrocardiograma, o rsulado, qu é um idicaivo da aividad lérica do coração, é um sial qu, aalisado, mosra as codiçõs cardiológicas do paci. O ídic msal d ilação ao logo do ao ambém pod sr cosidrado um sial. A rgia lérica qu é disribuída para as rsidêcias é um sial soidal com drmiada ampliud rquêcia. Na Fig., são ilusrados algus xmplos d siais, a sabr: a) O ídic d aqucimo global do plaa r os aos d 85 ; b) Um sial ípico d lrocardiograma (ECG ou EKG); c) Um rcho d algus sgudos d um sial d áudio. Nsa m ouras disciplias do curso d graduação m gharia lérica srá d irss a maipulação dsss siais, qur aalógica ou digialm. O ipo d procssamo qu pod sr xcuado dpd muio do ipo do sial []. Na aális do aqucimo global do plaa, por xmplo, objiva-s xrair iormaçõs dos rgisros d mpraura média mdidas ao logo dos aos a im d dcar dêcias. Eão, pod-s prguar: os dados são cíclicos ou priódicos? Normalm dm a crscr moooicam? Podm sr ajusados por ras ou poliômios? Podm sr sablcidas prvisõs uuras com cro grau d coiaça? É possívl prvr mdidas d corol d orma a alrar a sua variação mporal d alguma orma? No caso dos gráicos d ECG pod-s prguar: qual a orma spcíica do padrão d ECG? Como l s dsvia daquilo qu é cohcido como caracrísica ormal? E, para os siais d áudio, prgua-s, por xmplo s é possívl xcuar o rcohcimo auomáico da voz? Como xcuar a covrsão d áudio para xo um cro idioma? E quao a radução auomáica d um idioma para ouro? Ns xo prd-s orcr as rramas básicas para qu o lior possa iiciar os primiros sudos as áras d procssamo d siais, bm como, m isrumação lrôica, lcomuicaçõs, dr ouras disciplias qu são abordadas o curso d gharia lérica. Ns capíulo iicia-s aprsado-s os siais, cuja aális srá ralizada o dmais capíulos, juam com o sudo d sismas liars ivarias o mpo.. CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS A sguir são ias algumas cosidraçõs básicas [] qu srão uilizadas posriorm a aális dos siais d irss ds curso:

REPRESENTAÇÃO DE SINAIS (a).5 Elrocardiograma Ampliud [mv].5.5 mpo [s] 3 4 (b) (c) Figura. Exmplos d siais corados o dia-a-dia. a) Ídic d aqucimo global do plaa. b) Elrocardiograma ípico. c) Sial d áudio (uma gargalhada).

SINAIS E SISTEMAS.. Siais uidimsioais mulidimsioais Os siais ciados ariorm possum apas uma variávl idpd (ao, mpo, c) são chamados d uidimsioais. Por ouro lado, uma imagm d vído é um sial bidimsioal, qu idica uma ução (lumiosidad) com duas variávis idpds d posição. Uma projção holográica ou um diagrama d irradiação d uma aa são siais ridimsioais com rês variávis d posição. E assim por dia, para o caso d siais mulidimsioais. Ns xo, rabalha-s mim com siais uidimsioais m ução do mpo... Siais d mpo coíuo d mpo discro Siais diidos para odo isa d mpo são chamados d siais d mpo coíuo, porém, siais diidos apas m drmiados isas d mpo são chamados d siais d mpo discro. O sial soidal rprsado a Fig..a é um sial d mpo coíuo, o sial da Fig..b é um sial d mpo discro, pois sá diido apas para os isas d mpo,,, c. Es sial pod sr obido a parir da amosragm do sial d mpo coíuo. Um ouro xmplo d sial d mpo discro é um ídic d ilação msal. Pod-s diir aida uma class d siais qu são discros o mpo m ampliud, i.., podm assumir som drmiados valors d ampliud, qu são os siais digiais. Um xmplo sá ilusrado a Fig..c, od a sóid assum apas os valors d ampliud iguais a, -,5,, +,5 +. (a) - 5 5 5 3 (b) - 5 5 5 3 35 (c) - 5 5 mpo 5 3 35 Figura. Classiicação d siais. a) Sial d mpo coíuo. b) Sial d mpo discro (obido aravés d amosragm. c) Sial digial (ampliuds, -,5,, +,5 +). Um sial pod sr rprsado mamaicam por uma ução d uma ou mais variávis. Para um sial d mpo coíuo, uilizarmos a variávl idpd como sdo o mpo,, rprsada r parêsis como, por xmplo, x(). Para um sial d mpo discro, ormalm uiliza-s a variávl idpd idicada por ou k, r colchs, como x[] ou x[k], od k são úmros iiros...3 Siais drmiísicos alaórios Siais drmiísicos são aquls qu podm sr dscrios sm huma icrza. Es ipo d sial pod sr rproduzido d maira xaa rpida. Um sial soidal puro é um xmplo d um sial drmiísico, como ilusra a Fig..3a. 3

REPRESENTAÇÃO DE SINAIS Um sial é alaório s ão pod sr dscrio com crza as d ocorrr. Por xmplo, o cojuo dos rsulados obidos quado s joga um dado ão-viciado é um sial alaório. Um sial d um xam d ECG ou EEG ambém é um sial alaório, pois ão pod sr prviso com crza. Porao siais alaórios ão podm sr rproduzidos d maira xaa rpida. Um xmplo d sial alaório (ruído) sá idicado a Fig..3b. (a) -.5.5 5 (b) -5.5.5 mpo [s] Figura.3 Classiicação d siais. a) Sial drmiísico (sóid). b) Sial alaório (ruído)...4 Siais rais complxos Siais corados a práica são rais (i.., êm par imagiária ula). No ao, sdrmos a aális a siais complxos...5 Siais limiados o mpo Siais limiados o mpo são siais ão priódicos cocrados m irvalos d mpo com duração bm diida. Basicam, ss siais podm sr subdivididos m siais sriam assioicam limiados o mpo. x() x() (a) (b) x() x() (c) (d) Figura.4 Siais limiados o mpo. a) Esriam limiado. b) Assioicam limiado. Siais sriam limiados o mpo são aquls qu êm valors ão-ulos som um irvalo d mpo [, ], ou sja, iiciam rmiam m isas d 4

SINAIS E SISTEMAS mpo diidos valdo zro para < >, como os siais mosrados as Figs..4a) b). Por ouro lado, siais assioicam limiados o mpo são aquls od x() quado, como aqul mosrado a Fig..4 c). Na Fig..4 d) ilusra-s um xmplo d sial ão limiado o mpo, uma vz qu x() quado +...6 Siais limiados m ampliud Um sial é limiado m ampliud s xis um valor M al qu x() <M para odo. Os siais mosrados as Figs..4 a) c) são limiados m ampliud, porém aquls as Figs..4 b) d) ão são limiados...7 Siais isicam ralizávis Siais isicam ralizávis são siais práicos qu podm sr mdidos um laboraório. Basicam, ss siais saisazm às sguis codiçõs: a) São siais limiados o mpo; b) São siais limiados m ampliud; c) Suas compos spcrais sigiicaivas cocram-s um irvalo d rquêcias iio; d) Sua orma d oda é uma ução mporal coíua; ) Sua orma d oda assum apas valors rais. Coudo, modlos mamáicos qu violam uma ou mais dssas codiçõs srão uilizadas s xo, pla simpls razão d simpliicarm a aális mamáica... TRANSFORMAÇÕES DA VARIÁVEL INDEPENDENTE Muias vzs é cssário cosidrar siais rlacioados por uma rasormação da variávl idpd. Por xmplo, cosidr o sial x() mosrado a Fig..5 como sdo um rcho d música gravada uma ia. Nos is a sguir são aprsadas algumas rasormaçõs sobr x(). x() Figura.5 Pquo rcho d um sial d música x()... Rbaimo ou splhamo O sial y() diido a parir d x() como y() = x(-), é irprado como sdo o rbaimo (splhamo) do sial m oro do isa =, corrspod, o caso do xmplo cosidrado, a ocar a música o sido ivrso. Esa é a opração d ivrsão o mpo o rsulado da rasormação sá ilusrado a Fig..6. 5

REPRESENTAÇÃO DE SINAIS y()=x(-) Figura.6 Sial y()=x(-). Ivrsão o mpo... Comprssão xpasão Os siais x() x(/) são, rspcivam, as vrsõs comprimida xpadida d x(), corrspodm a ocar a música o dobro da vlocidad ormal, o caso d x(), a mad da vlocidad ormal, o caso d x(/). Ambos os casos são ilusrados a Fig..7. x() x(/) (a) (b) Figura.7 Trasormaçõs d comprssão xpasão. (a) Sial x(): comprssão. (b) Sial x(/): xpasão...3 Dslocamo o mpo Frqum é cssário s rabalhar com siais dslocados o mpo. O sial x(-) dsloca x() d sgudos para a diria, ou arasa x() por sgudos. Similarm, x(+) dsloca x() d sgudos para a squrda, ou avaça x() por sgudos. Iso pod sr vriicado acilm aravés do valor da ução para drmiados isas d mpo. Cosidr-s o sial x() mosrado a Fig..8. Por xmplo, para =, x(-)=x()= x(+)=x()=; para =3, x(-)=x()= x(+)=x(4)=, assim por dia. Um sial uma ia cass pod, por xmplo, sr avaçado ou arasado m rlação a uma rrêcia =. x() x(-) x(+) - - 3 4 - - 3 4 - - 3 4 (a) (b) (c) Figura.8 Trasormaçõs d dslocamo o mpo. (a) Sial x() origial. (b) Sial arasado d s. c) Sial adiaado d uidad d mpo As opraçõs d ivrsão o mpo dslocamo podm sr combiadas para obr ouros siais. Sja x() cosidrado a Fig..8, as opraçõs ilusradas a Fig..9. O sial x(-) é o sial x() rbaido m rlação ao poo =. O sial x(--), >, dsloca x(-) para a squrda por sgudos. Obsrv qu x(-) é obido dslocado-s x() para a diria. scrvdo x(--)=x(-(+)), ão x(--) pod sr obido aravés do rbaimo d x(+) m oro d =-. Aalogam, x(-+) é 6

SINAIS E SISTEMAS obido a parir do dslocamo d x(-) para a diria por sgudos, ou aravés do rbaimo d x(-) m oro d =. x(-) x(--) x(-+) -4-3 - - (a)..4 Rlaçõs d simria -4-3 - - (b) Figura.9 Opraçõs d ivrsão dslocamo o mpo. -4-3 - - (c) Um sial é cosidrado par s é simérico m rlação à origm, i.., x()=x(-), al qual o ilusrado a Fig.. a). Um sial é ímpar s é ai-simérico m rlação à origm: x()=-x(-), como o ilusrado a Fig.. b). Ns úlimo caso, dv-s obsrvar qu smpr x()=. (a) (b) Figura. Rlaçõs d simria. (a) Sial par. (b) Sial ímpar. Um aor impora é qu qualqur sial pod sr rprsado como a soma d dois siais, um par ouro ímpar. Cosidr um sial ral x(). Eão os siais: x x x () () ( ) (.a) x x xo () () ( ), (.b) são ais qu: x () x() x() (.) o od vriica-s acilm qu x () é um sial par x o () é um sial ímpar...5 Siais priódicos A priodicidad d siais ambém é um aor impora o sudo d siais sismas. Um sial priódico com príodo T dv obdcr a codição: x () x ( kt),, k iiro. (.3) Um sial qu ão aprsa priodicidad é chamado d apriódico. 7

REPRESENTAÇÃO DE SINAIS Um xmplo d um sial priódico cora-s ilusrado a Fig.., od oa-s qu o sial ambém é priódico com T, 3T,...... x()... -T T T Figura. - Sial priódico com príodo T..3. SINAIS ELEMENTARES Os siais básicos aprsados a sguir são imporas isoladam, a rprsação d siais mais complxos o sudo d sismas m gral [3], [4]..3.. Siais soidais ros Um sial soidal é rprsado por: x () Acos( ), (.4) od A é a ampliud; é a rquêcia agular, mdida m radiaos por sgudo; =/ é a rquêcia mdida m ciclos por sgudo ou Hrz; é a as, mdida m radiaos. O sial x() é priódico com príodo: T, (.5) uma vz qu x( T ) Acos( T ) Acos( ) Acos( ) x( ). (.6) Es sial, rprsado a Fig.., raa-s d uma aproximação idalizada, domiada (idpdm do âgulo d as) d sóid ra m visa d cosidrar < <. Es modlo ora-s mais prciso para aplicaçõs práicas, à mdida qu os mpos d obsrvação são logos comparados com o su príodo T = /. A T Figura. Sial soidal d ampliud A, as príodo T. 8

SINAIS E SISTEMAS.3.. Expocial ral A ução xpocial ral é diida por: a x () A, Aarais,. (.7) Com a=, m-s x()=a, qu é uma ução cosa. A ução xpocial ral sá ilusrada a Fig..3. Para valors d a posiivos, a ução x() é crsc com o mpo, s a or gaivo, x() é uma ução dcrsc com. A A (a) (b) Figura.3 Expocial ral. (a) Para a>. (b) Para a<. A axa d crscimo ou dcaimo d x() dpd da magiud d a. Para a<, quado =, x()=a. Quado =/ a, x()=a -.37A, ou sja, a ução cai a aproximadam 37% do valor m =. Ess valor =/ a é chamado d cosa d mpo. Quao maior a cosa d mpo (mor o valor d a), mais mpo a ução lva para crscr ou dcrscr, vic-vrsa..3.3. Expocial complxa priódica Os siais dscrios aé agora são rprsados por uçõs rais o mpo. Uma class impora d siais são as xpociais complxas priódicas: j x (), ral. (.8) Uilizado a órmula d Eulr: j x () cos jsi, j. (.9) Assim, aplicado-s a propridad (.9) quado = ), ocorr x()= j cos(+j.s(jouros valors imporas da xpocial complxa são lisados a Tab.. Noa-s qu x() é um sial complxo cuja par ral é cos a par imagiária é si, porao é um sial priódico com príodo T =/. Iso pod sr vriicado com mais propridad, obsrvado-s qu xp[ j ( T )] xp[ j ( / )] xp(j).xp(j) xp(j). 9

REPRESENTAÇÃO DE SINAIS Tabla. Algus valors pariculars da xpocial complxa. Forma Expocial (polar) Forma ragular j j / j j - j3 / -j j Podmos rprsar x() m ução do mpo um gráico ridimsioal, com ixos rprsado as pars ral imagiária m ução do mpo, coorm mosrado a Fig..4:.5 Im -.5 - - Figura.4 - Rprsação da xpocial complxa um gráico ridimsioal. R No ao, é mais comum rprsar o sial complxo um plao complxo, paramrizado plo mpo, coorm a Fig..5: Im - j o, > R j o, < Figura.5 - Rprsação da xpocial complxa um plao. Ns caso, a magiud do asor é smpr uiária, pois: j cos si, / (.) o âgulo é dado por: si aa. (.) cos

SINAIS E SISTEMAS No caso d sr posiivo, à mdida qu o mpo volui, o asor gira o sido ai-horário, quado compla uma vola, =, ou =/, qu é o príodo. A parir dss isa, udo vola a s rpir, xpliciado a priodicidad do sial. No caso d sr gaivo, à mdida qu o mpo passa, o asor gira o sido horário. Como é chamada d rquêcia agular, uma rquêcia gaiva idicaria apas um sido d roação dir para o asor qu rprsa o sial. Da órmula d Eulr (.9), pod-s mosrar qu: cos( ) si( ) j ( ) j ( ) j( ) j( ) j (.) (.3) E aida, pod-s rprsar siais soidais m ução d xpociais complxas, aplicado-s os opradors ral, R{. }, imagiário, Im{. }: ( ) cos( ) R (.4) si( ) Im j( ). (.5).3.4. Expocial complxa - caso gral Um caso mais gral d xpocial complxa é: x (), (.6) A a com A a complxos: A = A j, a = r + j. A r, r< A r, r> Figura.6 Expociais complxas. (a) r<. (b) r>. Assim, ica-s com: j r j r j( ) x () A A r r, (.7) A cos( ) ja si( )

REPRESENTAÇÃO DE SINAIS od oa-s qu, s r<, as pars ral imagiária d x() são sóids amorcidas, ou qu êm ampliuds crscs, caso r>. Na Fig..6 ilusram-s ssas obsrvaçõs. Noa-s plas iguras qu A r é a magiud da xpocial complxa, é chamada d volória. Es ipo d sial aparc a aális d circuios RLC da suspsão d auomóvis, por xmplo..3.5. Fução sic A ução sic é diida por: si( ) x () sic (), (.8) sdo o su gráico mosrado a Fig..7..8.6.4. -. -.4-5 -4-3 - - 3 4 5 Figura.7 Fução sic(). Uma ação spcial dv sr dada ao cálculo d sic() m =, o qual dv sr xcuado com o auxílio da rgra d L Hospial, obdo-s sic()= (o lior dv vriicar iso!)..3.6. Fução pulso riagular O pulso riagular d ampliud uiária largura, coorm dshado a Fig..8, é diido aravés d, / ri ( / ). (.9), / ri() Figura.8 Fução pulso riagular.

SINAIS E SISTEMAS.3.7. Fução pulso Gaussiao d ára uiária O pulso Gaussiao (ou simplsm Gaussiaa) d ára uiária dsvio padrão, coorm dshado a Fig..9, é diido como g ( ) xp. (.) g(),665 Figura.9 Fução pulso Gaussiao. Quado usada m cálculos probabilísicos a Gaussiaa é domiada d disribuição ormal, sdo úil m vários problmas d gharia, ísica saísica..4 FUNÇÕES DESCONTÍNUAS Algumas uçõs qu xibm rasiçõs abrupas o mpo srão discuidas sa sção. Na práica, ssas uçõs rigorosam uca ocorrm, pois os mpos r rasiçõs smpr são iios, porém, são xrmam imporas sob o poo d visa d modlo mamáico..4. Fução dgrau uiário A ução dgrau uiário é diida por:, u (), (.) sdo su gráico mosrado a Fig... Noa-s qu u() é dscoíuo m =. u() Figura. Fução dgrau uiário. A ução dgrau rqum é usada quado opraçõs d chavamo sobr os DC são volvidas. Além disso, várias ouras uçõs sigulars podm sr dla dduzidas a parir d opraçõs como igraçõs drivaçõs sucssivas. 3

REPRESENTAÇÃO DE SINAIS Fialm, é muio úil a rprsação d siais práicos, qu xism apas para..4.. Fução sial A ução sial orc o sial do argumo, ou sja:, sg( ), (.), sdo su gráico mosrado a Fig... sg() - sg( ) Figura. Fução sial. Coorm s obsrva, as uçõs dgrau sial podm sr rlacioadas por.u(). (.3).4.3. Fução pora ou pulso ragular por: A ução pora (ou pulso) d duração T ampliud uiária é rprsada x( ) rc (.4) T T cora-s dshada a Fig... A rprsação como rc(/t) ou (/T) dpd muio da rrêcia bibliográica uilizada. rc(/t) -T/ T/ Figura. Fução pora d duração T. A ução pora pod sr rlacioada com a ução dgrau aravés d: T T rc( / T) u( ) u( ). (.5) 4

SINAIS E SISTEMAS.4.4. Fução impulso d Dirac Ouro sial d xrma imporâcia é a ução impulso d ára uiária ou dla d Dirac, (), rlacioada com o dgrau uiário por: d u () ( ) (.6) d porao, u () () d. (.7) No ao, como u() é dscoíua m =, ormalm ão é dirciávl ss poo. Vamos irprar a ução dgrau uiário como uma aproximação da ução u (), al qual diida a Fig..3, para : u () Figura.3 Fução u (). A ução () corrspod à drivada d u (), é mosrada a Fig..4: / () Figura.4 Fução (). od oa-s qu () m ára uiária, é zro ora do irvalo. À mdida qu, () ica mais srio com maior ampliud, mas a ára coiua igual a. Assim, o limi: () lim () (.8) a rprsação gráica da ução impulso d ára uiária é dada a Fig..5: () Figura.5 Impulso d ára uiária. 5

REPRESENTAÇÃO DE SINAIS Iso sugr qu ()= para odo, xco para =, od xib uma sigularidad. O úmro ao lado do impulso idica a ára sob a ução. Iclusiv é mais corro s dizr qu () é um impulso d ára uiária. Exmplo.: Rprsar graicam a ução v()=a.(-t). Solução: Traa-s d um impulso d valor A, cuja rprsação é mosrada a Fig..6. v() T Figura.6 Impulso d valor A aplicado o isa T. Rssala-s, ovam, qu a ras d valor A ão s rr à ampliud do impulso, qu é iiia, mas à sua ára à ampliud do dgrau cuja drivada l rprsa. A Uma propridad impora da ução impulso é a sgui: cosidr x() uma ução coíua m =, ão a igral x () () d x(). (.9) A prova é dada a sguir. Sja I x() () d lim x() d x d () lim (). Uilizado o orma do valor médio: b xd () xc ().( ba), c(, ab). a Logo, I lim x( )( ) x(), lim x( ), (, ) pois como x() é coíua m =, x( - )=x()=x( + ). Porao, x () () d x(). 6

SINAIS E SISTEMAS Em paricular, s x()=, obém-s o impora rsulado ( ) d (.3) ou sja, () é uma ução d ára uiária. Num caso mais gral, para um impulso m =, x () ( ) d x(). (.3) ou sja, a ução x()(-) m ára x(), ára sa qu é igual ao valor da ução x() o isa =. Iso é quival a s r um impulso d ára x(). Porao pod-s scrvr ambém: x ( ) ( ) x( ) ( ) (.3) A quação (.3) corrspod à propridad d amosragm do impulso, ou sja, quado s muliplica uma ução x() por um impulso d ára uiária um isa =, a ára sob a ução rsula quival ao valor da ução x() o isa =. Uma propridad adicioal do impulso rr-s à mudaça d scala: ( ) (),, (.33) o qual pod sr dmosrado igrado-s ambos os lados m - < <. S = -, ão, (-)=(), vidciado qu o impulso m simria par..4.5 Sobr a xisêcia do impulso O impulso uiário prova sr muio úil, às vzs, sscial, a aális d siais sismas. O impulso ão é uma ução o sido mamáico srio [5]. Ao corário, a igral diida d uma ução qu é ula m odos os poos, xco um, dvria r um valor ulo. Por ouro lado, x() srá uma ução d s, som s, la pudr sr complam dscria por uma rlação poo-a-poo, ou sja, aribuido-s a x um valor úico para cada valor d dro da aixa d irss. Assim, por xmplo, uma airmaiva d qu x() é zro para, ão xis m =, aé qu diiria uma ução saisaória m odos os poos. Embora algumas quaçõs, iclusiv igrais, possam sr usadas para diir idiram uma ução, las ão podm cor iormação qu ão possa sr dduzida da dscrição dira, poo-a-poo da ução. A airmaiva d qu () m ára igual à uidad é porao iadmissívl sob o poo d visa da mamáica covcioal. Obsrv ambém qu as quaçõs (.6) (.7) rsulam d ) du () / d u () ( ). d dvido a qu as uçõs u () () s ( 7

REPRESENTAÇÃO DE SINAIS oram u() (), rspcivam, quado s aproxima d zro. Esa hipós é corra, rao, som s du () lim d d d lim u () lim ( ).d [lim ( )].d. Como as diiçõs d dirciação igração volvm um procsso limi, o qu oi io, d ao, oi rocar a ordm d dois procssos limis, o qu m smpr é jusiicávl. Uma maira d jusiicar rigorosam os rsulados dssa sção pod sr xcuada rcorrdo-s à oria das disribuiçõs, a qual cosidra o impulso uiário como ução gralizada ou disribuição, o qu iclui as uçõs ordiárias da mamáica covcioal como casos pariculars. Erao, iso sá ora do scopo ds xo..4.6 Impulsos o limi Embora um impulso ão xisa isicam, várias uçõs covcioais possum as propridads d () o limi, quado algum parâmro d a zro. Em paricular, s a ução () or al qu lim v(). ().d v() (.34) ão, é dio qu lim () (). (.35) Exmplo.: Mosrar qu (.34) é saisio para () a orma do pulso mosrado a Fig..7. () - Figura.7 Impulso o limi. Solução: Pla igura vriica-s qu ( ) rc( / ). Sja v() uma ução arbirária a origm cuja séri d McLauri é 8

SINAIS E SISTEMAS v() v() v() v().! Eão,... lim v(). v() ().d lim / / v() d / / v().d! 3 v() v() limv()..... v()! / / d... o qu coclui a dmosração. Ouras uçõs qu saisazm o criério (.34) são lisadas a sguir, cujos gráicos coram-s dshados a Fig..8: () () (a) (b) () () / / (c) (d) Figura.8 Ouros xmplos d impulsos o limi. a) Pulso sic. b) Pulso gaussiao. c) Pulso riagular. d) Pulso xpocial. a) Pulso sic ( ) sic. (.36) 9

REPRESENTAÇÃO DE SINAIS b) Pulso Gaussiao ( ) xp. (.37) c) Pulso riagular ( ) ri. (.38) d) Pulso xpocial ( ) xp. (.39).5 CONVOLUÇÃO DE SINAIS A covolução r dois siais x () x () é diida pla igral x () x () x( ) x ( )d. (.4) A igral d covolução é xcuada m rlação à variávl muda, sdo cosidrada como cosa. O rsulado da covolução smpr rsula uma ução mporal, por isso, m cros livros uiliza-s a oação simpliicada x ()*x () = x *x () para idicar qu a ução rsula x *x dpd d [3]. Cosidr as uçõs x (), x () x 3 (). A parir da diição (.4), podm sr dmosradas as sguis propridads: a) Propridad comuaiva x () * x () x () * x() x ( ) x ( )d. (.4) b) Propridad associaiva x. (.4) *(x * x3) (x * x ) * x3 c) Propridad disribuiva x *(x x3) (x * x ) (x * x3). (.43) d) Drivada do produo d d (x dx dx. (.44) d d * x ) x * * x

SINAIS E SISTEMAS Exmplo.3: Calcular a covolução v*w() para os siais v() w() mosrados a Fig..9. Solução: As uçõs v() w() podm sr dscrias por: v() assim u( ) u( ) w() u( ) u( ) v( )w( ) [u( ) u( )].[u( ) u( )]. v() w() - (a) - (b) (+3).u(+3) 3 (-3).u(-3) -3 - - 3 -(-).u(-) v*w() -(+).u(+) -3 - (c) 3 Figura.9 Cálculo da covolução. a) Fução v(). b) Fução w(). c) Rsulado da covolução: v*w() é suprposição das ras dshadas. Aplicado a diição (.4), obém-s v * w() u( ).u( ).d u( ).u( ).d u( ).u( ).d u( ).u( ).d.

REPRESENTAÇÃO DE SINAIS Como, u ( ),, u ( ),, ão v * w() u( ).d u( ).d, Também u ( ), u( ).d u( ).d, u ( ), ão, u( u( ).d ).d d 3 d 3 dsd qu +>-, i.., >-3, dsd qu ->, i.., >, u ( ).d d 3 dsd qu +>, i.., >- u( ).d d 3 dsd qu ->, i.., >3. v * w() Porao, a xprssão ial da covolução é ( 3).u( 3) ( ).u( ) ( ).u( ) ( 3).u( 3) cujo gráico sá dshado a Fig..9 c). Coorm s obsrva plo xmplo arior, o gráico da covolução v*w() m largura ial igual à soma das larguras das uçõs idividuais v() w(). Es rsulado ambém s aplica para uçõs v() w() arbirárias, idicado qu a opração d covolução implica um alargamo mporal. Além disso, a ução rsula ora-s mais suav qu as uçõs idividuais [6]. Embora sa opração possa sr xcuada aaliicam (m algus poucos casos com cra diiculdad) ou umricam, ora-s irssa discuir o procsso d drmiação gráica, o qual pod simpliicar ssivlm os cálculos. Exmplo.4: Covolução gráica Excuar a covolução dos siais x() y() mosrados a Fig..3: x() y() -3 - - 3 4 Figura.3 Siais x() y(). -3 - - 3 4

SINAIS E SISTEMAS Solução: A covolução r x() y() é dada por: c () x () y () x() y ( ) d, ou sja, para cada isa d mpo, o sial c() é a igral (ára) do sial qu é obido da muliplicação d x() por y(-). No qu, como s sá igrado m, dv-s ralizar m y uma ivrsão sguida d um dslocamo d. Tm-s a Fig..3 os siais x() y(-), ou sja, para =: y(-) x() -3 - - 3 4 = Figura.3 x() y(-). =. od s obsrva acilm qu a muliplicação r as uçõs é igual a zro, porao c(=)=. Como para <, y(-) é dslocado para a squrda, para <, ambém m-s qu c()=. Para >, oa-s qu a muliplicação r x() y(-) srá igual a zro (x y ão vão s sobrpor) aé o isa =, porao, c()= para <. No isa =, m-s a Fig..3: y(-) x() -3 - - 3 4 = Figura.3 x() y(-). =. No isa =+, a muliplicação r x y ão srá mais zro, coorm squmaizado a Fig..33: y(+-) x().y(+-) x() -3 - - 3 4 =+ (a) 3 4 Figura.33 (a) x() y(+-). =+. (b) x(). y(+-). A ára hachurada é igual a c(+). a ára hachurada a igura é igual ao valor d c(=+), qu é igual a () /. Para, m-s qu y sá sobrpodo-s a x,, porao: (b) 3

REPRESENTAÇÃO DE SINAIS c ( ), ou, a variávl : c () ( ),. Para =+, a poa do riâgulo comça a sair do quadrado, os siais icam como a Fig..34: y(+-) x() x().y(+-) -3 - - 3 4 =+ (a) 3 4 Figura.34 (a) x() y(+-). =+. (b) x(). y(+-). A ára hachurada é igual a c(+). (b) a rgião hachurada m ára, ( ) 3 3 ou, c(), 3 Para =3+, m-s a Fig..35: y(3+-) x().y(3+-) x() -3 - - 3 4 =3+ (a) 3 4 Figura.35 (a) x() y(3+-). =3+. (b) x(). y(3+-). A ára hachurada é igual a c(3+). ou sja, a ára hachurada comça a dimiuir, com valor: ( )( ) 3, 3 ( 3 ) 4 4 ou c(), 3 4 (b) 4

SINAIS E SISTEMAS para >4, os siais ão mais s sobrpõm, c()= para >4. Rsumido, obém-s:, ( ), 3 c (), 3 4, 3 4, 4 cujo gráico cora-s dshado a Fig..36..5 c().5 3 4 5 Figura.36 Sial rsula da covolução c(). A ução impulso uiário, como já oi visa, aprsa a impora propridad rlacioada à amosragm (.3). Uma oura propridad impora é obida cosidrado-s a covolução: x () () x() ( ) d, Como já oi viso, a igral acima é igual ao valor da ução x() m =, ou sja, x () () x() ( ) d x () (.45) o rsulado é qu a covolução d um sial com um impulso é igual à própria ução. Esa propridad é domiada d rplicação. S o impulso sivr dslocado d : x ( ) ( ) x( ) ( ) d x ( ) (.46) ou sja, az-s um dslocamo d a ução x(). 5

REPRESENTAÇÃO DE SINAIS Exmplo.5: a) Esboçar o gráico da ução rm d impulsos diida por rp T [ ()] ( T), para iiro b) Esboçar o gráico d rpt[v()] v() * rpt[ ()], od v() A.rc( / ), para <T. Solução: a) O gráico d rp T [()] cora-s dshado a Fig..37 a) b) Usado-s a propridad d rplicação, obém-s rp [v()] v() * T v() * ( T) v( T) ( T) cujo gráico cora-s dshado a Fig..37 b). rp T ()... -T -T T T (a) v() A...... -T -T T T (b)... Figura.37 Trm d uçõs. a) Trm d impulsos. b) Trm d pulsos..6 SINAIS DE ENERGIA E SINAIS DE POTÊNCIA Em sismas léricos, gralm s rabalha com corrs sõs. S uma são v() é aplicada um rsisor d, a corr qu passa por l é i()=v() a poêcia dissipada é igual a p()=v().i()=v (). Assim, a rgia orcida plo sial v() um irvalo d mpo [, ] é: Ergia = v () d. 6

SINAIS E SISTEMAS D maira similar, s uma corr i() passa por um rsisor d, a são sobr l é v()=i(), a poêcia dissipada igual a p()=v().i()=i (). Assim, a rgia orcida plo sial i() um irvalo d mpo [, ] é: Ergia = i () d..6. Siais d rgia Esddo-s a discussão para um sial x() ral ou complxo, sua rgia (E x ) o irvalo [, ] é diida como: E x = x (). x() d x () d (.47) od, s x() or ral, x().x * ()=x (). Um sial é chamado d sial d rgia, s m rgia iia (E ) o irvalo (-, ): E x ( ) d. (.48) Exmplo.6: Avaliar s o sial v()= - Solução: Valos avaliar a igral é um sial d rgia 4 4 d d 4 porao, v() é um sial d rgia. As d prossguir, vamos lmbrar qu uma ução x() é sriam limiada o mpo s m valors ão-ulos som um irvalo d mpo [, ], sdo ula para < >. As uçõs pora pulso riagular são xmplos d uçõs sriam limiadas o mpo. Já uma ução x() é dia assioicam limiada o mpo s x() quado. Esss dois ipos d uçõs são d duração iia. Como cora-xmplo, cia-s a sóid ra qu, como o próprio om spciica, ão m duração iia. Por ouro lado, um sial é limiado s xis um valor M al qu x() <M para odo. A ução dgrau, por xmplo, é limiada pois u()<m, para qualqur M>, para odo. Por ouro lado, o dla d Dirac a ução xpocial ral ão são limiadas. Assim, pod-s airmar qu s um sial or limiado d duração iia l srá um sial d rgia, pois 7

REPRESENTAÇÃO DE SINAIS x ( ) d x ( ) d M d M ( ). A maioria dos siais corados a práica são limiados d duração iia, porao são siais d rgia..6. Siais d poêcia A poêcia média (P m ) d um sial x() um irvalo [, ] é diida como P m x ( ) d. (.49) Um sial é chamado d sial d poêcia s a poêcia média diida por P T lim x d x T T ( ) ( ) T (.5) or dir d zro iia. Diido-s ão: E x( ) d, (.5) T T T obsrva-s qu E lim E (.5) T para siais d rgia, T P lim T E T T. (.53) para siais d poêcia. Para um sial d rgia, a rgia oal é iia, porao P =. A rgia oal d um sial d poêcia dv sr iiia, pois são a poêcia sria ula. Logo, um sial pod sr um sial d poêcia ou um sial d rgia, mas ão ambos simulaam. No ao, um sial pod ão sr um sial d rgia m d poêcia. Exmplo.7: Cosidr o sial v()= -. Vriicar s v() é um sial d rgia ou d poêcia. Solução: A rgia do sial é: 8

SINAIS E SISTEMAS T 4 4T 4T ET d d 4 ( ) T T T para T, E T. A poêcia média do sial é: P T 4T 4T 4T 4T T E 4 lim T lim lim lim T T 8T T 8T T 8 porao - ão é um sial d rgia m d poêcia. Para siais priódicos, com príodo T, o cálculo da poêcia média pod sr simpliicado: P m P lim x ( ) d x ( ) d x ( ) T T T T T T T / T / T d (.54) S o sial priódico x() or limiado, ão l é um sial d poêcia. Exmplo.8: Cosidr o sial soidal x()=a cos( + ). Calcular sua poêcia média. Solução: Aplicado-s (.53) T T A cos ( P lim A cos ( )d lim T T T T T T A si(t ) si( T ) lim T T 4T 4 A A si(t ) A si( T ) lim T 6T A ) d Pod sr vriicado qu, igrado um príodo, chga-s o msmo rsulado. Um sial d rquêcia modulada, FM, com sial modula soidal d ampliud A m rquêcia m, é rprsado por v() Ap.cos[ p Am s m] = Ap cosp.cos[am s m] s p.s[a m s m], od A p p são as ampliud rquêcia da poradora [3]. Es sial volv rmos do ipo cos[cos(x)] s[s(x)], os quais podm sr adquadam xpadidos m séri d uçõs d Bssl. Dvido à imporâcia dss ipo d ução, al ópico srá aalisado a próxima sção. 9

REPRESENTAÇÃO DE SINAIS.7. FUNÇÕES DE BESSEL DE PRIMEIRA ESPÉCIE Exis uma class d uçõs da ísica mamáica, domiada d uçõs spciais, qu s prsam a dscrvr soluçõs para quaçõs dirciais spcíicas como, por xmplo, a quação dircial d Bssl [7]. São soluçõs dssa quação as uçõs d Bssl d primira spéci, d sguda spéci (ou uçõs d Numa) d rcira spéci (ou uçõs d Hakl). Ouros xmplos d uçõs spciais são a ução gama, a ução ba, a ução rro, os poliômios d Lgdr, os poliômios d Hrmi, os poliômios d Jacobi, os poliômios d Ggbaur, c. Ns xo os limiarmos a sudar as uçõs d Bssl d primira spéci, dvido à sua imporâcia a oria d comuicaçõs. A ução d Bssl d primira spéci ordm pod sr diida aravés da séri d poêcias k k ( ) (x / ) J (x) (.55) k! ( k ) k od () é a ução gama. S or iiro, ão, (+)=!, assim, 4 x x x J (x).... (.56)! ( ).4 ( )( 4) Na Fig..38 são ilusradas as 4 primiras uçõs d Bssl, vidciado o comporamo oscilaório dcrsc à mdida qu o argumo x auma. Figura.38 - Fuçõs d Bssl d primira spéci. A parir d (.55) pod-s mosrar qu, s or iiro, ão J (x) ( ) J (x). (.57) Além disso, com o auxílio d séris d poêcias, pod-s mosrar qu a ução grariz para J (x), od é iiro, é 3

SINAIS E SISTEMAS x J (x). (.58) A parir d (.58) é possívl dmosrar as sguis rlaçõs d rcorrêcia: a) J (x) J (x) J (x) x (.59a) b) dj (x) [J (x) J (x)] dx (.59b) c) d [x J (x)] x J (x) dx (.59c) d) d [x J (x)] x J (x) dx (.59c) Exmplo.9: A parir da ução grariz mosrar qu a) cos( x s ) J (x) J (x).cos... b) s( x s ) J(x).s J 3(x).cos3... Solução: Basa azr j m (.58) xp[ x( j j )] jx s J (x) j J (x) [cos js ] {J (x) [J j{[j (x) J a parir da qual mosra-s o dsjado. (x) J (x)] [J (x)] s [J (x) J (x) J (x)] cos...} (x)] s 3...} A parir dss xmplo, podm sr xraídas as imporas rlaçõs: cos( x s ) J (x) J (x).cos... (.6a) s( x s ) J(x).s J 3(x).cos3... (.6b) jx s j J (x) (.6c) usadas com grad rquêcia a oria d comuicaçõs. Exmplo.: Mosrar a sgui rlação igral: J (x) cos(x s Solução: Vamos lmbrar qu ) 3

REPRESENTAÇÃO DE SINAIS, cos m.cos d /,, s m.s d /, m m m m Assim, muliplicado-s a xprssão (.6a) por cos() a xprssão (.6b) por s(), igrado-s r, obém-s (mosrar iso!) J (x), cos(x s ).cos d,, s(x s ).s d J (x), par ou zro ímpar par ou zro ímpar Excuado-s a soma o caso od é zro ou par, obém-s J (x) [cos(x s ).cos s(x s ).s ].d [cos(x s )].d A msma rlação s maém quado é ímpar, ou sja, é válida para qualqur iiro. Vamos obsrvar qu, para ( ) s(x s ), ão, (-) = - (), ou sja, é uma ução ímpar. Porao, sua igral o irvalo dv sr ula. Assim, uilizado-s o xmplo arior, coclui-s qu j(x s ) J (x) d (.6) A sguir, aprsam-s algus xrcícios para qu o lior possa sar o cohcimo adquirido s capíulo..8 EXERCÍCIOS.8. Dois siais d mpo coíuo são mosrados a Fig.P.8.. Esboc cuidadosam os sguis siais, com scalas: x() h() - 3 - - 3 - Figura P.8. 3

SINAIS E SISTEMAS i) x ( ) ii) x( ) iii) x( ) iv) x( / 3) v) x () x( ) u( ) vi) x () ( 3/ ) ( 3/ ) vii) xh () ( ) viii) x ( ) h( ) ix) x( / ) h( 4) x) x( ) (par par) xi) xo ( ) (par ímpar).8. A soma d duas ou mais sóids pod ou ão sr priódica dpddo da rlação r as rquêcias. Cosidr a soma d duas sóids com rquêcias. Para a soma sr priódica, dvm sr comsurávis, i.., dv xisir um úmro coido um úmro iiro d vzs m. S é ss úmro, ão: = = od são iiros, é a rquêcia udamal. Para os siais abaixo, drmi quais são priódicos o príodo, quado aplicávl. a) x () cos( ) 3si(5 ) b) x ( ) cos(5 ) 5cos( 5 ) c) x() 3si( ) si( ) d) x () 4cos( ) 3cos( 4) 5si( 6 ).8.3 Mosr qu: ( ) ( ) Sugsão: Exami a ução ( ).8.4 Cosidr-s a ução () A..rc( / T), para A T cosas. T a) Esboçar o gráico d (). b) Obr aaliicam o rsulado d ()*rp T [()]. c) Esboçar o gráico d ()*rp T [()]. Qual o om usual dssa ução?.8.5 Calcular o valor das sguis igrais diidas a) ().( ). d d) ( ).( ).d b) 3 ( ).( ).d ) ( ).( 4 ).d 3 5 c) ( ).( ).d ) 3 4 ( ).( ). d 5 33

REPRESENTAÇÃO DE SINAIS.8.6 Mosr qu x() u () xd ().8.7 Excuar a covolução, graicam, das uçõs v() A. u() w() [u() u( T)]. T Sugsão: Cosular o livro do Carlso [3]. 34

SINAIS E SISTEMAS CAPÍTULO : ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS : SÉRIE DE FOURIER Um dos pricipais objivos d s aalisar siais é o d drmiar o coúdo d rquêcia ou a aixa d rquêcia d siais. Iso é d xrma imporâcia m divrsos campos d aplicação. Em comuicaçõs, siais rasmiidos por saçõs AM são limiados a aixa d 535 khz a 65 khz [3], [4]. Siais d saçõs FM ocupam a aixa d rquêcia r 88 MHz a 8 MHz, as d lvisão UHF ocupam aixas r 47 MHz 89 MHz, assim por dia, para os dmais ipos d srviços. Um sial d voz ípico ocupa uma aixa d Hz a 4 khz. Aravés da aális d siais é possívl dr como um sial d voz ou d música é rasmiido m oura aixa d rquêcia (aravés d modulação). Na ára médica, por xmplo, a aális d um sial rsula d um xam d lrocardiograma (ECG) ou lrocalograma (EEG) pod idicar s o paci possui alguma aomalia cardíaca ou a aividad lérica crbral. Um submario mi um sial acúsico próprio dpddo da roação dos propulsors vibração dos moors. Es sial pod sr uilizado m dcção submaria. Ablhas aricaizadas (ou "assassias") domésicas são quas idêicas m amaho aparêcia, uma das mairas d dirciá-las é com a ajuda d um microscópio. No ao, dscobriu-s qu las bam as asas m rquêcias dirs,, cosqum, gram siais dirs. Ess siais, dcados, podm sr uilizados para idiicar as ablhas assassias corolar sua dissmiação. Uma oura aplicação impora d aális d siais é a limiação d cros ipos d ruídos como o d máquias, rasormadors d poêcia, viladors idusriais, c. Ess ipos d quipamos gram siais priódicos, qu podm sr dcomposos m vários siais. Um microo pod capar ss ruído um sisma compuadorizado aalisar s sial grar um ouro sial qu é a imagm do ruído (um ai-ruído). Iso cacla o ruído, ão aado a covrsa ormal r as pssoas qu sjam o ambi, por xmplo, dro d um avião. Ns capíulo aborda-s a primira par da aális dos siais d mpo coíuo, aizado-s os siais priódicos, aravés da séri d Fourir. No Capíulo 3, srão aalisados m dalhs os siais apriódicos, com o auxílio da rasormada d Fourir. As, porém, prd-s discuir algus cocios prlimiars sobr spcros d lihas, produo vorial similaridads r siais variávis o mpo.. FASORES GIRANTES Cosidr, iicialm, o problma do rgim prma soidal, al qual sudado a oria d circuios léricos. Nss caso, os siais são cosiuídos por sóids ras êm rprsação mporal como ilusrado a Fig.., coorm discuido a Capíulo. Assim, s x() or um sial soidal, ão x() A.cos( ) (.) 35

ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER od A é o valor d pico ou ampliud, é a rquêcia agular é o âgulo d as. x() T= A A cos...... -/ -A Figura. Sial soidal ro. A rquêcia agular, [rad/s], rlacioa-s com a rquêcia liar, [Hrz], aravés d =. Coorm já oi aizado, a sóid ra raa-s d uma aproximação idalizada, m visa d cosidrar odos os isas d mpo ( < < ). O modlo ora-s mais prciso, à mdida qu os mpos d obsrvação sjam logos comparados com o su príodo T = /... Espcro d lihas uilaral A rprsação spcral do sial soidal pod sr obida m rmos d asors giras, dduzidos a parir do orma d Eulr: j cos j.s (.) od é um âgulo arbirário. No caso da sóid ra (.), prcb-s qu j j () R [A.. ]. (.3) O rmo r colchs m (.3) pod sr irprado como um vor girado o plao complxo, z, coorm ilusra a Fig... Assim, di-s o asor gira associado a v() como sdo o úmro complxo (a orma polar) z j j z() A.. (.4) O asor gira m magiud A, gira o sido ai-horário uma axa d ciclos por sgudo (ou Hrz) m = orma um âgulo com o ixo ral posiivo. A projção do asor sobr o ixo ral prmi rcuprar x(), coorm sablcido por (.3). Im A z o+ R Figura. - Fasor gira o plao complxo z. 36

SINAIS E SISTEMAS Uma rprsação quival para o asor complxo z(), o domíio da rquêcia, cosiui o spcro d lihas (ou raias) uilaral, mosrado a Fig..3. Es diagrama iorma qu a rquêcia d oscilação, o asor gira m magiud A, rprsado aravés d uma liha o spcro d magiuds, as, rprsado por uma liha o spcro d ass. MAGNITUDE A o FASE Figura.3 - Espcro d lihas uilaral. o A im d padroizar a rprsação spcral dos siais, ora-s adquado sablcr as sguis covçõs [3]: a) A variávl idpd para rprsar o spcro é a rquêcia liar,, ( ão a rquêcia agular, ). Um valor paricular d é idiicado por um subscrio como, por xmplo, ; b) Os âgulos d as são mdidos m rlação à ução co-so. Siais m so prcisam sr covridos para co-sos, aravés da ididad: s = cos(-9 ); c) Cosidra-s qu a magiud é smpr uma gradza posiiva. Quado siais gaivos são prss, uiliza-s a ididad: -A.cos = A.cos( 8 ). Exmplo.: Esboçar o spcro uilaral do sial w() 7 cos(4 6 ) 4s(), cuja orma d oda sá dshada a Fig..4 a). Solução: O spcro d lihas uilaral d w() pod sr obido obsrvado-s qu w() 7cos() cos( ) 4cos(6 9 ) cora-s dshado a Fig..4 b) w() / (a) (Fig..4 coiua...) 37

ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER MAGNITUDE 7 4 FASE o -9 o (b) Figura.4 - Aális spcral d w(). a) Sial mporal w(). b) Espcro d w(). O xmplo arior é muio ilusraivo pois vidcia qu uma suprposição d sóids com dirs rquêcias ass pod dar origm a uma orma d oda ão- soidal, mbora aida priódica. Assim, pod-s idagar s uma oura orma d oda arbirária (porém priódica) como uma d-d-srra, por xmplo, podria sr siizada a parir da suprposição d sóids. Nas próximas sçõs sa cojcura srá coirmada, aravés do sudo da séri d Fourir... Espcro d lihas bilaral As rprsaçõs spcrais uilarais podm ão sr ão irssas géricas quao a rprsação domiada spcro bilaral, qu volv rquêcias posiivas gaivas. Nss caso, rcorr-s à propridad dos úmros complxos R[ z] (z z*), od z é uma gradza complxa z* é o su j j complxo cojugado. Assim, a parir d (.3) (.4), para z A.., obém-s x() A.cos( ) A A j j j j (.5) od =. O par d asors cojugados m (.5) cora-s dshado, o plao complxo, coorm a Fig..5 Im A A z o+ o+ z* R Figura.5 - Fasors giras cojugados. Por sua vz, o spcro d lihas bilaral, cora-s rgisrado a Fig..6, a qual iclui iormaçõs sobr ambos os asors: o asor ormal, associado à rquêcia posiiva (+ ), o asor cojugado, corrspod à rquêcia gaiva ( ), a im d spciicar a dirção d roação gaiva (o sido horário). 38

SINAIS E SISTEMAS A/ MAGNITUDE A/ FASE Figura.6 - Espcro d lihas bilaral. Coorm s obsrva, o spcro d magiuds possui simria par, quao o spcro d ass m simria ímpar. Exmplo.: Esboçar o spcro bilaral do sial w() sudado o xmplo.. Solução: O sial w() pod sr rscrio como w() 7 j j j4 j j4 4 j9 j6 j9 j6 porao, obém-s o spcro mosrado a Fig..7. MAGNITUDE 5 7 5-6 - 6 o 9 FASE o o o - 9 - Figura.7 - Espcro bilaral d w()... PRODUTO ESCALAR SEMELHANÇA ENTRE SINAIS Didaicam, a aalogia com o comporamo d vors o spaço ísico pod sr basa úil a aális d siais variávis o mpo. Assim, cosidr os dois vors V V mosrados a Fig..8, sja V um vor d rro, al qu V (.6) CV V od C é uma cosa com valor r. 39

ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER V C V V (a) V V C V V (b) V V C V (c) V V Figura.8 - Aális da smlhaça r vors. A magiud do vor rro m b) é mor qu os casos a) c). Por ispção da igura, ora-s vid qu o mor valor do vor d rro ocorr o caso b), quado C V corrspod à projção orogoal d V a dirção d V. Nss caso, cosuma-s dizr qu C V corrspod à compo d V a dirção d V, od C é scolhido d modo qu o vor d rro sja míimo. Uma oura coclusão pod sr xraída, m siuaçõs d projção orogoal como o caso da Fig..8b), obsrvado-s qu quao maior a compo d um vor a dirção do ouro, mais smlha srão sss vors mor srá o vor d rro [4]. Eão, C pod sr irprado como uma mdida da smlhaça r V V. S C =, ão, V ão m compo a dirção d V, sdo os vors prpdiculars r si domiados vors orogoais. Ns caso, ão xis qualqur rlação d dpdêcia r os vors, os quais são chamados d vors idpds. Rcorrdo-s a álgbra vorial, pod-s spciicar o aor cosa C aplicado-s a diição d produo scalar: C V V V V (.7) od V é o módulo d V. A parir daí, obém-s C V V V V (.8) V V V Obsrva-s qu, s V V são orogoais, ão, V V xrapola-s sss cocios para o caso d siais. C =. A sguir, Cosidr-s () () dois siais sobr os quais dsja-s sablcr o grau d similaridad (ou smlhaça) aravés d um aor C, ou sja, dsja-s sablcr a aproximação () C. (). Para isso, C dv sr al qu miimiz a ução rro (), () () C () (.9) Um criério basa usado para miimizar () cosiui a miimização do rro quadráico médio,, ou sja, a miimização d 4

SINAIS E SISTEMAS ().d (.) od ( - ) é um irvalo d obsrvação dro do qual dsja-s uar a comparação dos siais. Assim, ora-s cssário sablcr o valor d C qu saisaça a codição: d dc (.) ou, subsiuido (.), qu saisaça a d ().d () ().d C ().d dc (.) Como () ão dpd d C, a primira igral m (.) é ula, porao, obém-s qu (). ()d C (.3) ()d Rssala-s a smlhaça r a xprssão (.3), para siais, (.8), para vors. Assim, por aalogia com vors, C () rprsa a compo d () sobr o sial (). Além disso, di-s o produo scalar r as uçõs, (). (), um irvalo (, ) por (). () (). (). d, (.4) d al orma qu (.3) pod sr scria como (). () C () (.5) S C =, ão, é dio qu o sial () ão coém huma compo do sial (),, qu as duas uçõs são orogoais o irvalo (, ). Exmplo.3: Mosrar qu () s( ) () s(m ) são orogoais m qualqur irvalo (, + ), para valors d m iiros, m. Solução: Dv sr mosrado qu 4

ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER I / (). () s().s(m). d / é igual a zro. D ao, dsvolvdo I / / [cos( s( m) m m) cos( m) s( m m) ].d / o Uma vz qu m são iiros, (-m) (+m) ambém o são, assim, I= (iciva-s o lior a comprovar iso!). O rsulado do xmplo arior vidcia qu s( ) s( m ) são uçõs orogoais. Pod-s dmosrar qu cos( ) cos( m ), bm como s( ) cos( m ), ambém são uçõs orogoais. Exmplo.4: / 3 / Aproximar a ução ragular () rc rc pla ução () s, o irvalo (,), d orma qu o rro quadráico médio sja míimo. Solução: Dsja-s aproximar () C (), al qu C coduza ao rro míimo. O gráico d () sá dshado a Fig..9 (m liha poilhada). () Figura.9 - Aproximação da ução ragular por uma sóid. Assim, aplicado-s (.3), obém-s s.d C, porao, () s 4 s, ( )s.d ().d 4 4

SINAIS E SISTEMAS rprsa a mlhor aproximação d () por uma ução s. O dsho d () ambém cora-s a Fig..9. Por ouro lado, diz-s qu a ução () m uma compo da ução s cuja magiud é 4/..3 SÉRIE DE FUNÇÕES Discu-s sa sção, a xpasão d rchos d uçõs m séris d uçõs orogoais como, por xmplo, a séri d Fourir rigoomérica. As, porém, o cocio d orogoalidad d uçõs dv sr dalhado..3. Orogoalidad d uçõs rais Cosidr-s, ovam, o caso dos vors um plao xy, cujos vors uiários são â x â y, coorm squmaizado a Fig... y y F â y â x x x Figura. - Vors o plao xy. Um vor F, com compos x y as dirçõs x y, rspcivam, pod sr xprsso como F x â x y â y (.6) Qualqur vor ss plao pod sr xprsso m rmos d â x â y, vors uiários qu saisazm a, m â m â (.7), m od m corrspodm a x y, rspcivam. Assim, os vors uiários são orogoais r si. Coudo, obsrva-s qu s sisma d coordadas bidimsioal é iadquado para xprssar um vor F spacial, sdo cssário havr rês ixos d coordadas. Porao, para xprssar um vor F ridimsioal é cssário qu o sisma d coordadas sja complo. O ixo adicioal é o ixo z, cujo vor uiário é â z. E assim, um vor o spaço ridimsioal srá rprsado por F x â x y â y z â z od â x, â y â z são orogoais r si. (.8) 43

ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER No caso gral, hipoicam -dimsioal, o cojuo complo d vors uiários dv possuir compos orogoais dsigadas por xˆ, xˆ,..., xˆ, assim, um vor gral F m compos C, C,..., C, ais qu F C xˆ Cxˆ... C xˆ A codição d orogoalidad implica qu (.9), m xˆ m xˆ (.), m O cojuo ( xˆ, xˆ,..., xˆ ) cosiui um spaço vorial orogoal, od xˆ, xˆ,..., xˆ são vors d bas. Em gral, coudo, o produo xˆ xˆ m pod sr qualqur cosa k m ao ivés da uidad:, m xˆ m xˆ (.) k m, m Quado k m é igual à uidad o cojuo é chamado spaço orogoal ormalizado, ou ão, é dio raar-s d um cojuo orogoal ormalizado ou spaço vorial oroormal. Os valors dos compos, C r, podm sr obidos a parir d (.9), calculado-s iicialm o produo scalar F xˆ r C xˆ xˆ r C xˆ xˆ r... C r xˆ r xˆ r... (.) aplicado-s (.), a im d obr F xˆ r C r k r (.3) porao C r F xˆ r xˆ xˆ r r F xˆ k r r (.4) A sguir, xrapola-s sss cocios para o caso d siais. Cosidr-s, ão, um cojuo d uçõs g (), g (),..., g () orogoais r si, um irvalo a, ou sja g j ().g k, ().d k j, j k j k (.5) Uma ução arbirária () pod sr aproximada (siizada) um irvalo (, ) pla combiação liar dssa uçõs orogoais: 44

SINAIS E SISTEMAS 45 r r r (), g C () g C... () g C () C g () (.6) A mlhor aproximação corrspod àqula od C, C,..., C são ais qu miimizam o rro quadráico médio d (), al qual m (.), o qual srá rpido por coviêcia: ().d (.7) od r r r ) ( g C () () (.8) Para iso, ora-s cssário impor qu C... C... C C r. (.9) Procddo aos cálculos algébricos m (.9), pod-s mosrar qu o rro míimo acocrá quado r r r r r d (). ().g k ().d g ().d ().g C (.3) (coraja-s o lior a vriicar iso). Novam, é irssa comparar ssa xprssão com (.4), cocluir qu r r r r r r k () ().g () ().g g () ().g C, (.3) usado-s a diição d produo scalar (.4). Uilizado-s (.7), (.8) (.3), o rro quadráico médio srá r r r r r r ().d ().g C ().d g C ().d r r r r r r r r r k C ().d k C k C ().d (.3)

ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER Tora-s vid qu o rro quadráico médio dimiui à mdida qu aumas, ou sja, quado () é aproximada por um úmro maior d uçõs orogoais. No limi, quado, o rro d a zro () covrg para a soma iiia: () Cr g r (), (.33) r dsd qu {g r ()} cosiua um cojuo d uçõs orogoais (obdcm a (.5)) o irvalo (, ) os coicis C r obdcm a (.3) ou (.3). Exmplo.5: Cosidr-s ovam a ução ragular () sudada o xmplo.4, qu oi aproximada por uma úica ução s(). Discuir como a aproximação mlhora quado s usa um úmro grad d uçõs orogoais s s m, para m iiros. Solução: A ução ragular () srá aproximada por () C s C s... C od C r daí ().s r.d s r.d s r.d s r.d s, C r 4, r, r ímpar r par () Porao, 4 [s s 3 s 5 5...], coorm mosrado a Fig.., cosidrado-s um, dois, rês quaro rmos. O rro ssa aproximação é dado por (.3): ().d C k C k... od - = ().d. Também, k (). d s r r().d =. 46