NIVELAMENTO 00/ MATEMÁTICA BÁSICA Núcleo Básico da Primeira Fase
Instituto Superior Tupy Nivelamento de Matemática Básica ÍNDICE. Regras dos Sinais.... Operações com frações.... Adição e Subtração.... Multiplicação.... Divisão.... Potenciação.... Radiciação.... Seqüência de Operações.... Produtos Notáveis.... Quadrado da soma de dois termos.... Quadrado da diferença de dois termos.... Produto da soma pela diferença de dois termos.... Fatoração.... Equação do º Grau.... Resolução de uma equação do º grau.... Equação do º Grau.... Resolução de uma equação do º grau... 8. Equações Irracionais... 9 9. Sistemas de Equações do º Grau... 0 9. Método da Substituição... 0 9. Método da Adição... 0 0. Trigonometria no Triângulo Retângulo... 0. Teorema de Pitágoras... 0. Relações Trigonométricas... Anotações: Acadêmico(: Turma: º semestre de 00.
Instituto Superior Tupy Nivelamento de Matemática Básica. REGRAS DOS SINAIS. Adição e Subtração Regra: Sinais iguais: Adicionamos os algarismos e mantemos o sinal. Sinais diferentes: Subtraímos os algarismos e aplicamos o sinal do maior. Eemplos: + 9 9 + Reduzimos as frações ao mesmo denominador, isto é, devemos calcular o mínimo múltiplo comum (M.M.C.) dos denominadores; Adicionamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador comum; Simplificamos o resultado sempre que possível. Eemplos: 8 + + + 0 0 + 0 0 0. Multiplicação e Divisão Regra: 9 + 9 8 + 8 8 9 Sinais iguais: Operamos os algarismos e aplicamos o sinal positivo. Sinais diferentes: Operamos os algarismos e aplicamos o sinal negativo. Eemplos: e) f ) g) h) ( + ) ( + ) 8 ( ) ( ) 8 ( + ) ( ) 8 ( ) ( + ) 8 ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ). Multiplicação Para multiplicarmos frações, procedemos da seguinte forma: Multiplicam-se os numeradores entre si; Multiplicam-se os denominadores entre si; Simplifica-se a fração resultante, sempre que possível. Eemplos: ( ) 0 (- ) - -. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES. Adição e Subtração Para adicionar ou subtrair frações, devemos proceder da seguinte maneira:
+ 9 9 + + + 9 Observações: Elevando um número ao epoente par, o resultado será positivo, conforme o eemplo a. Elevando um número a um epoente ímpar, o resultado terá o sinal do próprio número, conforme o eemplo c.. Radiciação Observação: Numa multiplicação de frações, pode-se simplificar os fatores comuns ao numerador e ao denominador, antes de efetuá-la, conforme o eemplo c.. Divisão Para dividir duas frações, procedemos da seguinte forma: Multiplica-se a primeira fração pelo inverso da segunda fração; Simplifica-se o resultado sempre que possível. Eemplos:. 0. 0-80 - Para obter a raiz de uma fração, etrai-se as raízes do numerador e do denominador. Eemplos: 8 9 Observações: 8 R Quando o índice da raiz for par não eistirá a raiz de um número negativo, conforme o eemplo c. R conjunto dos números reais. Potenciação Para elevar uma fração a um certo epoente, eleva-se o numerador e o denominador a esse epoente. Eemplos: + + 9. SEQÜÊNCIA DE OPERAÇÕES As epressões numéricas e algébricas devem ser resolvidas obedecendo a seguinte ordem de operação: º Potenciação e Radiciação; º Multiplicação e Divisão; º Adição e Subtração. 0 0 0 0 + 0 + + 8 Essas operações são assim realizadas: º Parênteses; º Colchetes; º Chaves. - + +. PRODUTOS NOTÁVEIS Certos produtos aparecem com bastante freqüência no cálculo algébrico, em Geometria Analítica, por eemplo. Os Produtos Notáveis, como o próprio nome já diz,
significa: produto resultado da multiplicação, e notável que se destaca. O único problema é que, às vezes, eles aparecem e a gente nem nota! Estes Produtos Notáveis acontecem quando, na multiplicação entre dois termos, aparecem variáveis. Tais produtos poderão ser calculados usando-se a propriedade distributiva (conhecida como chuveirinho ), ou então, de forma mais direta, através de algumas regras que veremos a seguir.. Quadrado da Soma de dois Termos ( a ( a + ( a + + a + ab + ab + b Portanto: (a + a + ab + b Eemplos: ( y) y + y (a ) ( [.(.() ] + () 9a 0a +. Produto da Soma e Diferença de dois Termos O Produto da Soma pela Diferença de dois Termos segue o mesmo raciocínio dos casos anteriores. Veja: ( a + ( a a ab + ab b a Portanto: (a +.(a a b b Primeiro termo Segundo termo Quadrado do º termo vezes o º pelo º termo Logo podemos estabelecer a seguinte regra: O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. Logo, podemos estabelecer a seguinte regra: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do º pelo º termo, mais o quadrado do segundo termo. Eemplos: ( + y) () + [. (). (y) ] + (y) + y + y (a + ) ( + [. (. () ] + () 9a + a +. Quadrado da Diferença de dois Termos Quadrado da Diferença de dois Termos pode ser enunciado da mesma maneira que o quadrado da soma de dois termos. Então temos: ( a ( a ( a Quadrado do º termo a ab ab + b Portanto: (a a ab + b Logo podemos estabelecer a seguinte regra: O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do º pelo º termo, mais o quadrado do segundo termo. Eemplos: ( + y).( y) y + y y Logo: ( + y).( y) y (a ).(a + ) ( () 9a ## EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS ## ) Calcule os quadrados e os produtos: (a + ) f) ( + ).( ) ( + ) g) ( ).( + ) ( + y) h) ( +.( a + ) (a ) i) (¾ y).(y + ¾) e) ( ) j) (m ½).(m + ½) a + 0a + + + + y + 9 y d ) a a + e) + f ) 9 g) h) 9 a i) 9 y j) m ) Simplifique as epressões: (a ) (a + ) (y + ) y(y + 0) (a + + (a ( ) + ( + ) e) ( + y)( y) + ( + y) y
a ) a a a + b + 8 e) # EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # ) Efetue as operações: ( + ) + ( ) (y ) + (y + ) (y + )( ) ( ) ( + ) + ( ) e) (ab + ) + ab(ab + ) f) (ay ) (ay ) 8 + + + y + y + y + e) a b + ab + y y + + f )a y ) Nos eercícios abaio, obtenha os produtos notáveis: (m + n) e) (a b ) (y + y ) f) ( + ) (b + c ) g) ( + ) ( ) h) ( y) 9m + m n + n + 9 g) + 9 e)9a a b + b h) + y + y 8 9y + y + 9y 8 0 b + b c + c 0 f ) + + ) Calcule os seguintes produtos notáveis: y y b m ab e) + a b ab b y y + 9a b ab + a b a b + a b 9 9 8 y + y e) + m + m 9 CURIOSIDADE: Quando não se dispõe de uma máquina de calcular, podem-se utilizar os conceitos dos produtos notáveis para facilitar alguns cálculos específicos. Veja: Qual o produto de ().(9)? Transformando a multiplicação para um produto notável, temos: (0 + ).(0 ) 0² ² 00 99 Agora tente você! Calcule (0).(99) utilizando um produto notável. RESUMINDO: ( a + ( a a + ab + b ( a ( a + a ab + b ( a + (. a ( a (. a + a b. FATORAÇÃO Fatorar uma epressão é reescrevê-la em fatores (partes) que se multiplicam. Estas partes (fatores) podem apresentar números e/ou variáveis que devem ser escritas com os menores números possíveis, e, as variáveis (letras), com o menor epoente natural possível. Observe a igualdade abaio: a + b (a + Como a + b poder escrito (a +, dizemos que epressão a + b foi fatorada, tendo como fator comum o número, que foi colocado em evidência. Eemplos: ab + ac a(b + fator comum a + ( + ) fator comum 0m + 0m 0m( + m) fator comum 0m ## EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS ## ) Fatore as epressões: a a + 8a 0 0 a a + 0a y 9y e) ( y) ( y) f) ( a + + ( a + a(a a + ) ( ) a ( a + 0a ) y( y) e) ( y)( ) f) (a + ( + ) # EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # ) Simplifique as epressões dadas:
a + b 0a ay a y 8y m n m n e) f) g) a + b y y( ) y z a b + a b a b 8 y y y e) y z f) a b g) y. EQUAÇÃO DO GRAU Equação do grau é toda equação que se reduz à forma a + b 0, onde a e b são números reais, com a 0. Vejamos alguns eemplos: 9 + 9 0 0 0 + 9 ( + ) ( 9) ( ) + + 9 9 + 0 ( + ) ( 9) ( ) + + 9 9 + 9 9 Logo, temos: S ## EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS ## ) Resolva as equações a seguir: ( ) + ( ) [ + ( + ) ] ( + 9) e) + m m m + + 8 ( + ) ( ) + + + { } { } a ) d ) e). Resolução de uma Equação do Grau Resolver uma equação do grau é determinar o valor de (variável) que satisfaz a igualdade. Vejamos alguns eemplos: 9 + 9 + 0 0 Temos então que: S { }. EQUAÇÃO DO GRAU Equação do grau é toda equação que se apresenta na forma a + b + c 0, onde a, b e c são números reais, com a 0. Vejamos alguns eemplos: + 0 a ; b ; c 0 0 a ; b 0; c 0 + 0 a ; b 0; c 0 a ; b 0; c 0 + 9. Resolução de uma Equação do Grau A resolução de uma equação do º grau pode ser obtida através de uma fórmula, usualmente chamada Fórmula de BHÁSKARA:
b a b ± a c + b + c 0 b ac a A epressão, chamada de discriminante da equação, é geralmente representada pela letra grega (lê-se: delt. Então: b ac Logo, se 0, podemos escrever: b ± a Observe que, quando < 0, a equação não admite raízes reais. Eemplo: Resolva a equação + + 0 Valores: a ; b ; c Fórmula: b ± b ac a Substituindo os valores, temos: Então: ± ± 9 ± ± + Logo, o conjunto-solução, também chamado de conjunto-verdade é: V, ## EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS ## ) Determine o conjunto-verdade das equações: + 0 p 0 p 0 y + y + 0 0 0 e) 0 0 + 80 0 f) y 0 y g) 9y + y h) + + + i) V e) V i ) V {, } V 0, V {, 0} d ) V { 8, 8} {, } f ) V {, } g ) V h) V {, } {, } 0 # EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Equação do º Grau) ) Determine o conjunto-solução das equações abaio:.( + ). ( ) 0. ( + ). ( ) e) f) + + + 8 8 + ( ). +. ( + ) +. + ( ) + ) Resolva as equações, apresentando o conjunto verdade: 8
a + + + 0 n 8 n 8n 9n f) { /, 0} g) {0, 9} h) {± } i) { ± / } j) {± } l) {, } m) {, } n) {} o) {0, } p) {/, /} q) {0} r) S s) {, /} e) + f) + S {} S {} S { /} S {/} e) S {} f) S {/} V {/} V {/} V { /} V {} e) V {0} f) V {/} # EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Equação do º Grau) ) Determine o conjunto-solução das equações: 0 0 + 0 + 0 + 0 e) 0 f) + 0 g) 9 0 h) 0 i) + 0 j) + 0 l) 0, 0, + 0 m) + 0 n) + + + o) + p) + 0 + q) + r) s) + + 9 + ( ) {, /} {/, /} {} { R} e) {0, /} 8. EQUAÇÕES IRRACIONAIS É toda equação que apresenta, pelo menos uma, variável no radicando. Veja os eemplos: + 0 Para se resolver uma equação do tipo irracional, normal mente isolamos o termo que possui a variável no radican do e, em seguida, elevamos os membros da equação a uma potência conveniente. Eemplo: Encontre o conjunto-solução da equação irracional dada por: + +. Resolução: Para se resolver a equação dada, deve se observar que todas as raízes (soluções) encontradas, de vem dar sentido a epressão +, ou seja, + 0. Pode se dizer também que a condição de eistência (CE) da equação em questão é + 0. Logo: CE: Continuando: + + + ( + ) ( ) + + + + 0 + + 0.( ) 0 Aplicando a fórmula de Bháskara, encontraremos: e Para garantirmos a veracidade da solução, sempre devemos fazer uma verificação de todos os valores encontrados: + + + + + + + + + 9 + + (Absurdo!) Portanto, o conjunto-solução será: S { }. 9
Observação Importante: Note que:, e que:,, se 0 se < 0 Como eemplo: ou. i) + + + + S {} S {9} S {} S {9} e) S {} f) S {/} g) S {} h) S {±} i) S {} ## EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS ## ) Determine o conjunto-verdade que satisfaz cada uma das equações: 9 + + + e) f) g) V {, } V {, } V {} V {} e) V {9} f) V {} g) V {, } # EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Equações Irracionais) ) Encontre o conjunto-solução das equações irracionais: + + + ( + 8). ( + ) + e) f) + g) h) + 0 9. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO º GRAU Resolver um sistema de equações do º grau é determinar o par ordenado (, y) para o qual, as duas equações são verdadeiras. Vamos recordar dois métodos de resolução: o método da substituição e o método da adição. 9. Método da Substituição Vejamos um eemplo: Resolva o sistema: Resolução: Isolando o valor de em I: + y y + y y Substituindo por ( y) em II, temos: y ( y) y y y y y y y y y Substituindo y em y, temos: () Então, encontramos o par ordenado que gera a solução: 9. Método da Adição Vejamos um eemplo: Resolva o sistema: Resolução: S { (, ) } + y 9 y Adicionando membro a membro as equações, de modo que a soma de uma das variáveis torne-se nula: I II I II 0
+ y 9 + y Substituindo em I, temos: + y 9 + y 9 y 9 y Assim, temos o par ordenado que gera a solução: S { (, ) } y + y g) para y e y + y h) para y 0 + y + y i ) para y ## EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS ## ) Determine a solução para cada um dos sistemas abaio: + y y + y y 8 + y y para y y y para y 0 + y y e) para y + y f) para y y ± S f ) S {(,) } S {(, ) } S {(,) } S {( 0,) } {(,) } g) S {(, ) } h) S {( 8,) } i) S {(,) } e) S, # EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Sistemas de Equações do º Grau) ) Resolva os sistemas de equações: + y 8 y 0, + 0,y 0,, y, y ( y) y ) Se o par ( a, é a solução do sistema + y + y ) Resolva o sistema abaio: a b a + b + a + b, calcule o valor de a + b. ( a ) Resolva o sistema: 0 y + y + y +
) Se o par ordenado (, y) é a solução do sistema abaio, calcule o valor de + y + + y y + 8 + y + y. 0. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 0. Teorema de Pitágoras Em todo triângulo retângulo temos que: "O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos". S {(, )} S {(, )} S {(, /)} ) S {0} ) S {(, )} ) S {(8,)} ) S {} # EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Problemas envolvendo Equações do º e º Graus) ) A soma do quádruplo de um número com é igual a. Qual é esse número? ) Quando diminuímos 8 anos da idade de Helena, obtemos de sua idade. Qual é a idade de Helena? ) Se adicionarmos um número natural com o seu sucessor e multiplicarmos o resultado por, vamos obter. Qual é o número natural considerado? ) Se do número subtrairmos o quíntuplo do inverso de um número, obteremos a fração. Qual é o número? ) Divide-se um número pelo seu consecutivo. Soma-se ao resultado dessa divisão o dobro do inverso do número e obtém-se. Qual é esse número? Podemos escrever: (hip) (cat) + (cat) Ou ainda: a b + c Observações: Um triângulo é dito retângulo quando possui um ângulo reto (90º). A hipotenusa sempre será o maior lado de um triângulo retângulo, figurando sempre à frente do ângulo reto. Eemplo: ) Calcular o valor de no triângulo retângulo abaio: ) Uma sala retangular tem m a mais de comprimento que a largura. Se a área da sala é de m, qual é o seu perímetro? ) Juntos, dois terrenos quadrados ocupam uma área de 9 m. O lado de um dos terrenos tem m a mais que o lado do outro. Qual é área de cada terreno? 8) Diminuindo m de cada lado de um terreno quadrado, obteremos um novo terreno de área 9m. Qual é a área do terreno original? + 9 + 9) Se do quadrado de um número subtrairmos, obteremos o próprio número. Qual é esse número? ) ) 0 anos ) ) ) ) 0 m ) 9m e 00m 8) 89 m 9) ou ## EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS ## ) Aplicando o Teorema de Pitágoras, calcule os valores de para cada caso:
) Usando o teorema de Pitágoras, calcule: 9 e), f ) g) 8, e), y, y,8 8, y,8 0. Relações Trigonométricas Num triângulo retângulo ABC, reto em Â, temos: f) g) O cálculo do Seno (sen), Cosseno (cos) e Tangente (tg) de um ângulo agudo: Cateto Oposto sen θ Hipotenusa CO H
Cateto Adjacente CA cos θ Hipotenusa H tg Cateto Oposto θ Cateto Adjacente CO CA sen 0 o o CO sen 0 H O que determina se o cateto é oposto ou adjacente é a sua posição em relação ao ângulo escolhido. Observações: Num triângulo a soma dos seus ângulos internos mede 80 o. A área (superfície) do triângulo é dada por: S base altura b h S ) Calcular a medida da altura do prédio, sabendo que eiste um observador a m do prédio observando sob um ângulo de 0 º. o m cateto adjacente ao ângulo de 0 Dados: o cateto oposto ao ângulo de 0 As razões trigonométricas podem ser obtidas através de tabelas trigonométricas ou em calculadoras. ângulo seno cosseno tangente 0 o 0,00 0,8 0, o 0 o 0,0 0,0 0,8 0,00, 90 o 0 Eemplos: ou o tg 0 o tg 0 Resposta:, m,9 m ) No triângulo retângulo da figura abaio, calcular a medida. A altura do prédio é de m ou,9 m. ## EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS ## ) Em cada caso, calcule sen α, cos α e tg α. Dados: hipotenusa cateto oposto ao ângulo de 0 o
) Um avião levanta vôo sob um ângulo constante de 0 em relação ao plano horizontal. Quando percorrer, em linha reta,.000m, qual será a altura atingida pelo avião? ) Do alto de uma torre de 0 m de altura, avista-se a praia sob um ângulo de em relação ao plano horizontal. Para transportar material da praia até a torre, um carroceiro cobra R$ 0,0 por metro. Quanto ele recebe para cada transporte que faz? ) Uma pessoa de,0 m de altura vê o topo de um prédio segundo um ângulo de elevação de 0. Qual a altura do prédio, se a distância da pessoa a ele for 0m? Qual a distância da pessoa a ele, no caso de um prédio ter 0m de altura? ) A distância de uma pessoa a uma árvore é de m. Essa pessoa tem,80m de altura e o ângulo de elevação segundo o qual ela vê o topo da árvore é de. Determine a altura dessa árvore. (tg º 0,; sen º 0,; cos º 0,90) ) Na construção de um telhado, foram usadas telhas francesas e o caimento do telhado é de 0 em relação ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado da casa, foram construídos m de telhado e que, até a laje do teto, a casa tem m de altura, determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa. (sen 0 0,; cos 0 0,99; tg 0 0,) ) Do alto de uma torre de 0m de altura, localizada numa ilha, avista-se a praia sob um ângulo de depressão de 0. Qual é a distância da torre até a praia?
8) Determine o valor de na figura abaio: sen α 0, / cos α 0,89 / tg α 0,0 sen α 0,0 / cos α 0,80 / tg α 0, sen α 0,8 / cos α 0, / tg α,0,m,m ),m ) 8,0m ) h 00m ) R$,00 ),0m 8) 9, y 9 8,9 Para refletir... 9) Nas figuras abaio, calcular o valor de e y : Eiste um paralelismo fiel entre o progresso social e a atividade matemática; os países socialmente atrasados são aqueles em que a atividade matemática é nula ou quase nula. (Jacques Chapellon) REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (comentadas) GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: uma nova abordagem. v.. São Paulo: FTD, 000. Neste livro você encontrará toda teoria e eercícios envolvendo trigonometria no triângulo retângulo (logo no início do livro). GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIONVANNI JR, José Ruy. A Conquista da Matemática: teoria e aplicação. ª série. São Paulo: FTD, 99. Neste livro você encontrará toda teoria e eercícios envolvendo produtos notáveis, fatoração, frações algébricas, equação do º grau e sistema de equações do º grau. GIOVANNI, José Ruy; GIONVANNI JR, José Ruy. Aprendizagem e Educação Matemática,. São Paulo: FTD, 990. Neste livro você encontrará toda teoria e eercícios envolvendo produtos notáveis, fatoração, frações algébricas, equação do º grau e sistemas de equações do º grau. GIOVANNI, José Ruy; GIONVANNI JR, José Ruy. Aprendizagem e Educação Matemática, 8. São Paulo: FTD, 990. Neste livro você encontrará toda teoria e eercícios envolvendo equações do º grau e trigonometria no triângulo retângulo. ANOTAÇÕES E LEMBRETES: