TEA13: Matemática Aplicada II - Engenharia Ambiental - UFPR Gabarito P (1) (4. ponto) Reolva a equação diferencial e condição inicial uando Tranformada de Fourier: Solução da Quetão 1: u x + u t + u =, u(x,) = f(x) = x Aplica-e a tranformada de Fourier na dua equaçõe: EDP e condição inicial. A tranformada da EDP é: ikû(k,t) + û(k,t) + û(k,t) = t Obtem-e uma EDO em t, que pode er reecrita como: cuja olução é: A tranformada da condição inicial é: a condição inicial implica em A(k) = ˆf(k). û(k,t) t = ( ik 1)û(k,t) û(k,t) = A(k)e ( ik 1)t û(k,) = ˆf(k) û(x,t) = e t ˆf(k)e Aplicando a tranformada invera: [ F 1 [û(x,t) = F 1 e t ˆf(k)e [ u(x,t) = e t F 1 ˆf(k)e [ = e t F 1 ˆf(k)e Calculando a tranformada invera, uando F 1 [e ika ˆf(k) = f(x a) (conequência do teorema da convolução) e fazendo a = t, obtém-e: u(x,t) = e t f(x t) = e t (x t) Obervação: para calcular a tranformada da condição inicial, pode-e cair na tentação de calcular: û(k,) = ˆf(k) = 1 + f(x) e ikx dx = 1 + x e ikx dx não converge para valor finito (1) A integral da equação 1 é não convergente!
() (4. ponto) Encontre a Função de Green do problema: Solução da Quetão d y dt = f(t), y() =, dy() dt Utilizando o Método da Funçõe de Green, trocando a variável t τ: d y(τ) dτ G(t,τ) d y dτ dτ = Realizando uma integral por parte do lado equerdo: Fazendo G(t, ) = Gy G(t,)y () = f(τ) G y dτ = G y dτ = Fazendo uma egunda integral por parte do lado equerdo: G(t,)y () G y G y dτ = Fazendo G (t, ) = G(t,)y () + G (t,)y() + =, G y dτ = Ma, como a função é a olução fundamental para o forçante impulo: L # G = G = δ(τ t): y(t) = G(t,)y () G (t,)y() + Uando a condiçõe iniciai: y(t) = Para calcular a função de Green, reolve-e: d G = δ(τ t) dτ Aplicando a Tranformada de Laplace e uando L [δ(τ t) = e t : Iolando Ḡ Ḡ(t,) G(t,) G (t,) = e t Ḡ = e t Aplicando a tranformada invera: [ e [Ḡ = L 1 + G(t,) + G (t,) [ [ G(t,) G + L 1 + L 1 (t,)
[ [ [ e 1 1 + G(t,)L 1 + G (t,)l 1 Uando a tranformada invera do formulário: L [ 1 e t [ [ 1 n! = δ(τ t) L 1 = 1 L 1 = t n ( >, n inteiro poitivo) n+1 Para n = 1: Obtém-e: A convolução de Laplace é [f g(t) = f() = e t f(u) = δ(u t) ḡ() = 1 g(u) = u g(τ u) = τ u L [ 1 f()ḡ() = L 1 [e t 1 τ = f g = L 1 [ 1 = t [ e + G(t,) + G (t,) t τ f(u)g(τ u) du. Do Teorema de Convolução : L{f g} = f()ḡ() f g = L 1 [ f()ḡ() f(u)g(τ u) du = τ δ(u t)(τ u) du = (τ t)h(τ t) Voltando na Função de Green: G(t,τ) = (τ t)h(τ t) + G(t,) + G (t,) t A função de Green também deve obedecer a condiçõe iniciai do problema, G(t,) = G (t,) =. Portanto: G(t,τ) = (τ t)h(τ t)
(3) (. ponto) A equação diferencial e a condicõe de contorno abaixo ão um Problema de Sturm-Liouville? Sim ou não? Se não forem, como podemo tranformar em um problema de Sturm-Liouville? Solução da Quetão 3: d y dx xdy + λy =, ( < x < π) y() = y(π) = dx A EDO de Sturm-Liouville é: [p(x)y + q(x)y + λw(x)y = p(x)y + p (x)y + q(x)y + λw(x)y = O coeficiente de y deve er igual à derivada do coeficiente de y. No problema acima io não é verdade. Portanto, não é um problema de Sturm-Liouville. Para tranformá-lo em um problema de Sturm-Liouville vamo multiplicar por uma função σ(x): σ d y dx σxdy dx + σλy = Agora vamo reolver para encontrar σ(x): dσ dx = σx dσ σ = xdx dσ σ = xdx ln σ = x σ(x) = e x Agora, tem-e um problema de Sturm-Liouville.
F {f(x)} = ˆf(k) = 1 Relaçõe Matemática + f(x) e ikx dx f(x) = + ˆf(k) e ikx dk { } df(x) F = ik dx ˆf(k) F {f(x a)} = e ika F {f(x)} Convolução de Fourier: [f g(t) = [ [ 1 L 1 = 1 ( > ) L 1 a + a [ L 1 + a = en(at) ( > ) L 1 [ 1 a + f(x ξ)g(ξ) dξ = e at ( > a) [ n! = co(at) ( > ) L 1 = t n ( >, n inteiro poitivo) n+1 L [δ(τ t) = e t ( > ) Convolução de Laplace: [f g(t) = [ [ df(t) L = dt f() d f(t) f() L = f() f() f () dt EDO de Sturm-Liouville: [p(x)y + q(x)y + λw(x)y = t f(τ)g(t τ) dτ