Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática Ano Lectivo 00/03 Resolução de inequações do º grau; a parábola 0º Ano Nome: Nº: Turma: Numa viagem de longo curso, um avião da AIRSKY sofreu uma avaria e perdeu altitude durante algum tempo A avaria ocorreu num instante que se toma para origem dos tempos Durante o período de tempo a seguir considerado, a altitude do avião no instante t é dada por h ( t) t 6t + ( t [ 0, 7] ) Esta altitude é medida a partir do solo As unidades utilizadas são minutos para o tempo e milhares de pés para a altitude a) h ( 0) No conteto, qual o significado deste valor? b) Determina em que instante e qual a menor altitude a que esteve o avião c) Determina o intervalo de tempo em que o avião esteve abaio dos 5000 pés Considera as funções quadráticas definidas como se segue: 6 + 8; g ( ) 6 ; h ( ) + 5 a) Determina os zeros e estuda o sinal da função f b) Representa graficamente a função f Indica as coordenadas do vértice da parábola, o contradomínio e intervalos de monotonia da função c) Repete as alíneas anteriores para as restantes funções 3 Resolve, em IR, as inequações: a) > 0 b) 9 0 c) 5 > 0 d) 5 e) 4 + 3 0 f) ( ) < 3 g) ( 5)(3 ) 0 h) 3 + 3 4 Representa graficamente (papel e lápis) as funções reais de variável real assim definidas: a) f : b) g : c) h : + 3 d) i : e) > ( 3) + 4 j : f) + 3 > 4 m : >
5 Para obter uma parábola, desenha uma recta e um ponto P que não pertença à recta numa folha de papel de lustro Dobra o papel de modo a fazer passar a recta por P, repetindo esta operação várias vezes Nota: Se não tiveres papel de lustro, podes utilizar uma folha de papel A4 No caso de os vincos não ficarem suficientemente visíveis, risca-os com um lápis O sketch GSP ilustra a definição da parábola pelas suas tangentes: http://wwwprof000pt/users/amma/recursos_materiais/alabmat/0_ficheiros/parabgsp http://wwwprof000pt/users/amma/recursos_materiais/alabmat/func_quad/parabola_tangenteshtm 6 A palavra «parábola», que significa colocação ao lado ou comparação, foi escolhida para designar a curva que, modernamente, pode também ser representada por uma equação da forma: ± py (quando tem o vértice sobre a origem e o eio Oy é eio de simetria), dado que apresenta a seguinte propriedade: para qualquer ponto sobre ela, a área do quadrado desenhado sobre a abcissa é igual à área do rectângulo cujos lados são a ordenada e o valor constante p, sendo p, o parâmetro da parábola, igual à distancia do foco à directriz Eplora o sketch GSP, que ilustra essa propriedade: http://wwwprof000pt/users/amma/recursos_materiais/rec/0_ano/f_trab/00_03/parab_epgsp http://wwwprof000pt/users/amma/recursos_materiais/rec/0_ano/f_trab/00_03/parab_ephtm 7 Prende ao ponto B de um esquadro [AHB] uma das etremidades de um fio, que não seja elástico, e a outra a um ponto fio F, de modo que o comprimento do fio fique igual ao lado [HB] do esquadro Faz o esquadro deslizar contra o lado da régua colocada ao longo do cateto [AH], tendo o fio estendido com a ajuda da ponta de um lápis apoiada no lado [HB] do esquadro A curva que o ponto M descreve é uma parábola Porquê? O sketch GSP ilustra esta construção da parábola: http://wwwprof000pt/users/amma/recursos_materiais/alabmat/0_ficheiros/parabola_keplergsp http://wwwprof000pt/users/amma/recursos_materiais/alabmat/func_quad/parabola_keplerhtm 8 Eplora as ligações seguintes, relativas à parábola: http://wwweploremathcom/activities/activity_pagecfm?activityid36 http://wwwiescojp/math/java/conics/focus/focushtml http://wwwmsteuiucedu/dildine/sketches/parabolahtm http://wwwnpedusg/~bms/plnanalgeom/4_parahtm Descobre outras páginas interessantes sobre a parábola
SOLUÇÕES a) No momento em que ocorreu a avaria, o avião encontrava-se a mil pés de altitude b) Como h( t) t 6t + ( t 3) 9 + V (3, 3) ( t 3) + 3 a menor altitude a que esteve o avião foi 3 mil pés, três minutos após o momento em que ocorreu a avaria c) Ora, t 6t + < 5 ( t 3) + 3 < 5 ( t 3) < < t 3 < t ] 3, 3 + [ No intervalo ] 3, 3 + [ (em minutos), o avião esteve abaio dos 5000 pés 6 ± 36 3 0 6 + 8 0 4 6 + 8 ( 3) 9 + 8 ( 3) A parábola tem por vértice V (3, -); D ' f [, + [ ; a função é estritamente decrescente em ], 3] estritamente crescente em [ 3, + [ e 3 4 + f () + 0-0 + f - ± 6 + 48 g ( ) 0 6 0 3 4 g ( ) 6 ( + ) 6 ( + ) 8 A parábola tem por vértice V (-, -8); D ' g [ 8, + [ ; a função é estritamente decrescente em ], ] estritamente crescente em [, + [ e 3 + g () + 0-0 + g -8 3
h( ) 0 + 5 0 (nota que 4 0 < 0 ) h ( ) + 5 ( ) + 5 ( ) A parábola tem por vértice V (, -4); D ' h ], ] ; a função é estritamente crescente em ], ] decrescente em [, + [ e estritamente + h () - h -4 3 a) ] [ ], + [ b) [ 3,3], c) ] [ ] 5, + [, d) ] 5 ] [ 5, + [ e) IR f) g) [ 3,5], h) IR 4 a) + 4 f : O gráfico de f é: < 0 + 4 0 < < o simétrico, relativamente ao eio O, do gráfico de y, para < < ; o gráfico de y, para 4
b) g : < 0 0 < < 0 0 O gráfico de g é: o simétrico, relativamente ao eio O, do gráfico de y, para < < 0 ; o gráfico de y, para 0 c) h : + 3 3 + 4 + 3 + 3 < 0 + 3 0 < > 4 4 O gráfico de h é: o simétrico, relativamente ao eio O, do gráfico de y + 3, para < > 4 ; o gráfico de y + 3 4, para 4 e) i : > O gráfico de i é: o gráfico de y, para ; o gráfico de y, para > f) ( 3) + j : + 3 4 > 4 O gráfico de j é: + o gráfico de y ( 3), para 4 ; o gráfico de y 3, para > 4 + g) m : > O gráfico de m é: o gráfico de o gráfico de y, para ; y, para > O Professor 5